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第二章 函数 专题四 利用导数解决不等式恒成立中的参数问题 教案

时间:2014-03-09


专题四

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

专题四

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

一、单参数放在不等式上型: 【例题 1】 (07 全国Ⅰ理)设函数 f ( x) ? e x ? e? x .若对所有 x ? 0 都有 f ( x) ? ax ,求 a

的取值范围. 解:令 g ( x) ? f ( x) ? ax ,则 g?( x) ? f ?( x) ? a ? e x ? e? x ? a , (1)若 a ? 2 ,当 x ? 0 时, g?( x) ? e x ? e? x ? a ? 2 ? a ? 0 ,故 g ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, ∴ x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ,即 f ( x) ? ax .

a ? a2 ? 4 , 2 此时,若 x ? (0, x1 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. ∴ x ? (0, x1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x) ? ax ,与题设 f ( x) ? ax 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, 2] .
(2)若 a ? 2 ,方程 g ?( x) ? 0 的正根为 x1 ? ln 说明:上述方法是不等式放缩法.也可以用罗比达法则求解,方法如下: 解:显然,当 x ? 0 时, a 取任何实数成立.

e x ? e? x . x e x ? e? x (e x ? e ? x ) x ? e x ? e ? x ? g ( x ) ? ( x ? 0) g ( x ) ? 令 , , x x2 x ?x 令 h( x) ? (ex ? e? x ) x ? ex ? e? x , h?( x) ? (ex ? e? x ) x ,∵ x ? 0 ,∴ e ? e ? 0 , ∴ h?( x) ? 0 ,即 h( x) 在 (0, ??) 递增,∴ h( x) ? h(0) ? 0 . (e x ? e? x )? ? lim(e x ? e? x ) ? 2 , 于是 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 (0, ??) 递增, g ( x) ? lim g ( x) ? lim x?0 x?0 x?0 ? x 满足条件的 a 的取值范围是 (??, 2] . x 2 【针对练习 1】 (10 课标理)设函数 f ( x) ? e ?1 ? x ? ax ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. x x 解: f ?( x) ? e ?1 ? 2ax ,由 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故 f ?( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x , 1 从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 时, f ?( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2 1 x ?x 于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 .由 e ? 1 ? x ( x ? 0) 可得 e ? 1 ? x ( x ? 0) .从而当 a ? 时, 2 x ?x ?x x x f ?( x) ? e ?1 ? 2a(e ?1) ? e (e ?1)(e ? 2a) , 故当 x ? (0,ln 2a) 时, f ?( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 1 综合得 a 的取值范围为 (??, ] . 2
当 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? ax 成立,等价于 a ? 说明:本题可采用下述方法:
x x x 解: f ?( x) ? e ?1 ? 2ax ,令 g ( x) ? e ?1 ? 2ax , g?( x) ? e ? 2a ,∵ x ? 0 ,∴ e ? 1 ,
x

于是当 2a ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 [0, ??) 递增, g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ?( x) ? 0 ,

f ( x) 在 [0, ??) 递增, f ( x) ? f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 . 当 2a ? 1 时,由 g ?( x) ? 0 得 x ? ln 2a , 当 x ? (0,ln 2a) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,ln 2a) 递减,而 g (0) ? 0 ,∴ g ( x) ? 0 , 即 f ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (0,ln 2a) 递减,而 f (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 ,不满足条件, 1 ∴ a 的取值范围为 (??, ] . 2 3 2 【例题 2】 (07 全国Ⅰ文)设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
(1)求 a 、 b 的值; (2)若对于任意的 x ? [0,3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围.
2

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王肇堃

解: (1) f ?( x) ? 6 x2 ? 6ax ? 3b , ∵函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0 ,解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0

(2)由(1)可知, f ( x) ? 2x3 ? 9x2 ? 12x ? 8c , f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) . 当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2,3) 时, f ?( x) ? 0 . ∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ? [0,3] 时, f ( x ) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . ∵对于任意的 x ? [0,3] ,有 f ( x) ? c2 恒成立,∴ 9 ? 8c ? c ,解得 c ? ?1 或 c ? 9 , 因此 c 的取值范围为 (??, ?1) ? (9, ??) . 最值法总结:区间给定情况下,转化为求函数在给定区间上的最值.
2

【针对练习 2】 (07 重庆理)已知函数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c ( x ? 0) 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a 、 b 、 c 为常数. (1)试确定 a 、 b 的值; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ( x) ? ?2c 2 恒成立,求 c 的取值范围. 解: (1)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 .

1 ? 4bx 3 ? x 3 (4a ln x ? a ? 4b) . x 由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 . (2)由(1)知 f ?( x) ? 48x3 ln x ( x ? 0) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 . 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数. 因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,1) ,而 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) . (3)由(2)知, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值也是最小值,
又对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ? 4ax ln x ? ax ?
3 4

要使 f ( x) ? ?2c ( x ? 0) 恒成立,只需 ?3 ? c ? ?2c .
2
2

即 2c ? c ? 3 ? 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ? 0 ,解得 c ?
2

3 或 c ? ?1 . 2

∴ c 的取值范围为 (??, ?1] ? [ , ??) . 【针对练习 3】 (10 天津文)已知函数 f ( x) ? ax ?
3

3 2

f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.
解: f ?( x) ? 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ?1) . 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ①若 0 ? a ? 2 ,则

3 2 1 1 x ? 1 ( x ? R) ,其中 a ? 0 .若在区间 [? , ] 上, 2 2 2

1 1 1 .针对区间 [? , ] ,需分两种情况讨论: a 2 2

1 1 ? .当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表: a 2
1 (? ,0) 2 ?


x
f ?( x ) f ( x)

0 0
极大值

1 (0, ) 2 ?


∴ f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最小值在区间的端点得到.因此在区间 [? , ] 上, f ( x) ? 0 恒成立,

1 1 2 2

1 1 2 2

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1 ?5 ? a ? ? 8 ?0 ? f (? 2 ) ? 0 等价于 ? ,即 ? ,解得 ?5 ? a ? 5 ,又∵ 0 ? a ? 2 ,∴ 0 ? a ? 2 . ?5 ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ? 2 ? 8 1 1 ②若 a ? 2 ,则 0 ? ? .当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表: a 2

x
f ?( x ) f ( x)

1 (? ,0) 2 ?


0 0
极大值

1 (0, ) a ?


1 a 0
极小值

1 1 ( , ) a 2 ?


1 处得到. a 1 ?5 ? a ? f ( ? ) ? 0 ? 8 ?0 ? 1 1 2 因此在区间 [? , ] 上, f ( x) ? 0 恒成立,等价于 ? ,即 ? , 1 1 2 2 ?1 ? 2 ? 0 ?f( )?0 ? a ? 2a 2 2 解得 ,又∵ a ? 2 ,∴ 2 ? a ? 5 . ? a ?5或a ? ? 2 2 综合①,②, a 的取值范围为 0 ? a ? 5 . x2 2 【例题 3】 (08 湖南理)已知函数 f ( x) ? ln ( x ? 1) ? . 1? x (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; 1 n?a ? (2)若不等式 (1 ? ) ? e 对任意的 n ? N 都成立(其中 e 是自然对数的底数) ,求 a 的最大值. n 解: (1)函数 f ( x ) 的定义域是 (?1, ??) ,
∴ f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最小值在区间的端点或 x ?

1 1 2 2

2ln(1 ? x) x2 ? 2 x 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x 2 ? 2 x . ? ? 1? x (1 ? x)2 (1 ? x)2 2 设 g ( x) ? 2(1 ? x)ln(1 ? x) ? x ? 2x . f ?( x) ?
则 g?( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,令 h( x) ? 2ln(1 ? x) ? 2 x ,则 h?( x) ? 当 ?1 ? x ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (?1,0) 上为增函数,

2 ?2 x ?2? . 1? x 1? x

当 x ? 0 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 上为减函数.∴ h( x) 在 x ? 0 处取得极大值, 而 h(0) ? 0 ,∴ g?( x) ? 0 ( x ? 0) ,函数 g ( x) 在 (?1, ??) 上为减函数. 于是当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,当 x ? 0 时, g ( x) ? g (0) ? 0 . ∴当 ?1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0, f ( x ) 在 (?1,0) 上为增函数. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数. 故函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (?1,0) ,单调递减区间为 (0, ??) . (2)不等式 (1 ? )

1 1 ? e 等价于不等式 (n ? a ) ln(1 ? ) ? 1 ,由 1 ? ? 1 知, n n 1 1 1 ? , x ? (0,1] ,则 a? ? n .设 G( x) ? 1 ln(1 ? x ) x ln(1 ? ) n 1 1 (1 ? x)ln 2 (1 ? x) ? x 2 . G?( x) ? ? ? ? 2 (1 ? x)ln 2 (1 ? x) x 2 x (1 ? x)ln 2 (1 ? x)
n?a

1 n

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x2 ? 0 ,即 (1 ? x)ln 2 (1 ? x) ? x2 ? 0 . 1? x ∴ G?( x) ? 0 , x ? (0,1] ,于是 G ( x) 在 (0,1] 上为减函数. 1 1 ? 1 .∴a 的最大值为 ?1. 故函数 G ( x) 在 (0,1] 上的最小值为 G (1) ? ln 2 ln 2
由(1)知, ln (1 ? x) ?
2

小结:解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法,此类方法的解题步骤是:①分离变量;②构造 函数(非变量一方) ;③对所构造的函数求最值(一般需要求导数,有时还需求两次导数) ;④写出变 量的取值范围. 【针对练习 4】 (10 全国 1 理)已知 f ( x) ? ( x ? 1)ln x ? x ?1 ,若 xf ?( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围.

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? , xf ?( x) ? x ln x ? 1 . x x 2 题设 xf ?( x) ? x ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a .令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g?( x) ? x?1 ? 1 . 当 0 ? x ? 1 , g ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 ,∴ x ? 1 是 g ( x) 的最大值点, ∴ g ( x) ? g (1) ? ?1 ,∴ a 的取值范围是 [?1, ??) . 【针对练习 5】若对所有的 x ? [e, ??) 都有 x ln x ? ax ? a 成立,求实数 a 的取值范围. x ln x x ln x 解:由题意有: a ? 在 x ? [e, ??) 上恒成立,令 f ( x) ? ,于是只需要满足 x ?1 x ?1 x ? 1 ? ln x 此时既不好找 f ?( x ) 的零点,也不好判断它的正负, a ? [ f ( x)]min ( x ?[e, ??)) , f ?( x) ? ( x ? 1)2 1 1 令 g ( x) ? x ? 1 ? ln x , g ?( x ) ? 1 ? ,∵ x ? [e, ??) ,∴ 1 ? ? 0 , g ?( x) ? 0 , x x 于是 g ( x) 在 x ? [e, ??) 上是增函数, g ( x) ? g (e) ? e ? 2 ,∴ f ?( x) ? 0 , e e ∴ f ( x ) 在 x ? [e, ??) 上是增函数,∴ [ f ( x)]min ? f (e) ? ,∴ a 的取值范围是 a ? . e ?1 e ?1
解: f ?( x) ? 说明:以上方法参数分离构造函数法. 【例题 4】 (13 新课标Ⅰ理改编)已知函数 f ( x) ? x ? 4x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x) ,求 k 的取值范围. 解法一: (变量分离法) :
2 x

f ( x) ? kg ( x) ? 2kex ( x ?1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2) . ①若 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时, x2 ? 4x ? 2 ? x x2 ? 4 x ? 2 ? x f ( x) ? kg ( x) ? 2k ? ? e ( x ? ?1) ,设函数 F ( x) ? ?e . x ?1 x ?1 x( x 2 ? 3x ? 4) ? x F ?( x) ? ? ? e ,∵ x2 ? 3x ? 4 ? 0 , ( x ? 1)2 ? 0 , 2 ( x ? 1) ? 1 ? x ? 0 ∴当 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在 (?1,0) 上递增;当 x ? 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 递减. ∴ F ( x)max ? F (0) ? 2 ,由 2k ? F ( x) ? 2k ? F ( x)max 得 2k ? 2 ,即 k ? 1 .
②若 x ? 1 ? 0 ,即 x ? ?1 时, f ( x) ? kg ( x) ? 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ? 2k ? 0 ? ?1 ? k ? R .
x 2

③若 x ? 1 ? 0 ,即 ?2 ? x ? ?1 时,

x2 ? 4 x ? 2 ? x f ( x) ? kg ( x) ? 2k ? ? e ,由(1)知 ?2 ? x ? ?1 , F ?( x) ? 0 , x ?1 F ( x) 在 [?2, ?1] 上递增,∴ F ( x)min ? F (?2) ? 2e2 ,
由 2k ? F ( x) ? 2k ? F ( x)min 得 2k ? 2e ? k ? e .
2 2

综上所述, k 的取值范围为 [1, e ] . 评析:分类的标准是以 x ? 1 ? 0 , x ? 1 ? 0 , x ? 1 ? 0 为标准选取的,此题选取此解法简单明了,值得思
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考和借鉴. 解法二:原答案有改动(直接构造函数法) : 设函数 F ( x) ? kg ( x) ? f ( x) ? 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2) , 则 F ?( x) ? 2kex ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(ke x ?1) .
x ①当 k ? 0 时,∵ x ? 2 ? 0 , ke ? 1 ? 0 , F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 在 [?2, ??) 上递减,

且 F (0) ? 2k ? 2 ? 0 , F ( x) ? 0 不恒成立. ②当 k ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 得, x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 . 若 x1 ? ?2 ,即 0 ? k ? e 时,∵ x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0 ; x ? ( x1 , ??) 时, F ?( x) ? 0 ,
2

∴ F ( x) 在 (?2, x1) 上递减,在 ( x1, ??) 上递增,
2 故 F ( x) 在 x ? x1 取最小值 F ( x1 ) ,而 F ( x1 ) ? 2ke 1 ( x1 ? 1) ? x1 ? 4x1 ? 2 . x
2 ∵ ke 1 ? 1 ,∴ F ( x1 ) ? ? x1 ? 2x1 ? ? x1( x1 ? 2) .
x 2 于是 F ( x) ? 0 ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,解得 ?2 ? x1 ? 0 ,即 ?2 ? ? ln k ? 0 ,解得 1 ? k ? e .

2 x ?2 若 x1 ? ?2 ,即 k ? e 时,则 F ?( x) ? 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,在 [?2, ??) 上 F ?( x) ? 0 ,
2

∴ F ( x) 在 [?2, ??) 上递增,又 F (?2) ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 成立,∴ k ? e 满足.
2

若 x1 ? ?2 , k ? e 时, F ?( x) ? 2( x ? 2)(kex ?1) ? 2( x ? 2)(e x?2 ?1) ? 0 ,
2

∴ F ( x) 在 [?2, ??) 上递增,又 F (?2) ? ?2ke?2 ? 2 ? ?2e?2 (k ? e2 ) ? 0 , ∴在 [?2, ??) 上 F ( x) ? 0 不恒成立. 综上所述, k 的取值范围为 [1, e ] . 评析:针对本题解析第二问解答总结如下:分类讨论的分类标准选取是关键,对含有字母 k 的 F ?( x) ?
2

2( x ? 2)(ke x ?1) :一级分类按 ke x ? 1 ? 0 有解和无解分 k ? 0 、k ? 0 两类;二级分类是对 k ? 0 时 考察 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 二者大小,分 x2 ? x1 , x2 ? x1 , x1 ? x2 分三类.
解法三:原答案(直接构造函数法) : 设函数 F ( x) ? kg ( x) ? f ( x) ? 2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4 x ? 2 ( x ? ?2) , 则 F ?( x) ? 2kex ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)(ke x ?1) . 有题设可得 F (0) ? 0 ,即 k ? 1 .令 F ?( x) ? 0 得, x1 ? ? ln k ? 0 , x2 ? ?2 . ①当 ?2 ? x1 ? 0 ,即 1 ? k ? e 时,
2

∴当 x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x1, ??) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x) 在 (?2, x1) 单调递减,在 ( x1, ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x ? x1 取最小值 F ( x1 ) ,
2 而 F ( x1) ? 2ke 1 ( x1 ? 1) ? x1 ? 4x1 ? 2 ? ?x1( x1 ? 2) ? 0 , x

∴当 x1 ? ?2 时, F ( x) ? 0 ,即 f ( x) ? kg ( x) 恒成立,
2 x ?2 ② x1 ? ?2 ,即 k ? e 时,则 F ?( x) ? 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,在 [?2, ??) 上 F ?( x) ? 0 ,
2

∴ F ( x) 在 [?2, ??) 上递增,又 F (?2) ? 0 ,∴ F ( x) ? 0 成立,∴ k ? e 满足.
2

③若 x1 ? ?2 , k ? e 时, F ?( x) ? 2( x ? 2)(kex ?1) ? 2( x ? 2)(e x?2 ?1) ? 0 ,
2

∴ F ( x) 在 [?2, ??) 上递增,又 F (?2) ? ?2ke ? 2 ? ?2e (k ? e ) ? 0 ,
2

?2

?2

∴在 [?2, ??) 上 F ( x) ? 0 不恒成立. 综上所述, k 的取值范围为 [1, e ] . 评析:本题解答的技巧和闪光点是 x ? ?2 时 f ( x) ? kg ( x) 恒成立 ? 构造的函数 F ( x) ? kg ( x) ? f ( x) ?
2

2kex ( x ? 1) ? x2 ? 4x ? 2 ? 0 ( x ? ?2) 恒成立 ? F (0) ? 0 ,即 k ? 1 .从而 x1 ? ? ln k ? 0 ,从而 可比较 x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 二者大小,分 x2 ? x1 ? 0 , x2 ? x1 , x1 ? x2 分三类,解法简捷,大大
减少了运算量,体现了很好的区分度.
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利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

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【针对练习 6】 (13 大纲文改编)已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 ,若 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:由 f (2) ? 0 得, a ? ?

5 5 .当 a ? ? , x ? (2, ??) 时, 4 4 5 1 f ?( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 , 2 2 ∴ f ( x ) 在 (2, ??) 是增函数,于是当 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 . 5 综上, a 的取值范围是 [? , ??) . 4
∵ x ? [2, ??) ,由 f ( x) ? 0 得 3a ?

说明:本题是在给定的区间上,不等式恒成立问题,可以用变量分离法处理,具体过程如下:

? x3 ? 3x ? 1 3 1 ? ?x ? ? 2 . 2 x x x 3 3 1 3 1 x ? 3x ? 1 令 h( x) ? ? x ? ? 2 ,则 h?( x) ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? . x x x x x3 再令 g ( x) ? x3 ? 3x ?1 , g?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ?1)( x ? 1) ,∵ x ? [2, ??) ,∴ g ?( x) ? 0 , ∴ g ( x) 在 [2, ??) 递增,于是 g ( x) ? g (2) ? 1 ? 0 ,即 h?( x) ? 0 . 3 1 15 ∴ h( x) 在 [2, ??) 递减,于是 h( x) ? h(2) ? ?2 ? ? ? ? . 2 4 4 15 5 5 ∴ 3a ? ? ,即 a ? ? ,故 a 的取值范围是 [? , ??) . 4 4 4 二、单参数放在区间上型: 【例题 5】已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? 5x2 ? cx ? d 图象上点 (1,8) 处的切线经过点 (3,0) ,并且 f ( x) 在 x ? 3 处有极值. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? (0, m) 时, f ( x) ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 解: (1)∵ f ?( x) ? 3ax ?10x ? c ,∴ f ?(1) ? 3a ? 10 ? c , 于是过点 (1,8) 处的切线为 y ? 8 ? (3a ? 10 ? c)( x ? 1) , 又切线经过点 (3,0) ,∴ 3a ? 6 ? c ? 0 ,① ∵ f ( x) 在 x ? 3 处有极值,∴ f ?(3) ? 27a ? 30 ? c ? 0 ,② 又 f (1) ? a ? 5 ? c ? d ? 8 ,③ 3 2 ∴由①②③解得: a ? 1 , c ? 3 , d ? 9 ,∴ f ( x) ? x ? 5x ? 3x ? 9 . 1 2 (2) f ?( x) ? 3x ?10x ? 3 ? (3x ?1)( x ? 3) ,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , x2 ? 3 . 3 1 当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,∴ f ( x) ? f (0) ? 9 ; 3 1 当 x ? ( ,3) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,∴ f ( x) ? f (3) ? 0 . 3 ∴当 m ? 3 时, f ( x) ? 0 在 (0, m) 内不恒成立,当且仅当 m ? (0,3] 时, f ( x) ? 0 在 (0, m) 内恒 成立,∴ m 的取值范围为 (0,3] .
【针对练习 7】 (07 陕西文) 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间 [0,1] 上是增函数, 在区间 (??,0) ,(1, ??)
3 2

上是减函数,又 f ?( ) ?

(1)求 f ( x) 的解析式; (2)若在区间 [0, m] (m ? 0) 上恒有 f ( x) ? x 成立,求 m 的取值范围.
2 解: (1) f ?( x) ? 3ax ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,即 ?

1 2

3 . 2

c?0 ? ? ?c ? 0 解得 ? 3 . b?? a ?3a ? 2b ? c ? 0 ? ? 2

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专题四

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

3a 3a 3 ? ? ,∴a ? ?2 ,∴ f ( x) ? ?2 x3 ? 3x2 . 4 2 2 1 3 2 (2)令 f ( x) ? x ,即 ?2 x ? 3x ? x ? 0 ,∴x(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ,∴0 ? x ? 或 x ? 1 . 2 1 又 f ( x) ? x 在区间 [0, m] 上恒成立,∴0 ? m ? . 2 三、双参数中知道其中一个参数的范围型: a 【例题 6】 (07 天津理)已知函数 f ( x) ? x ? ? b ( x ? 0) ,其中 a , b ? R . x (1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; 1 1 (2)若对于任意的 a ? [ , 2] ,不等式 f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 4 a 解: (1) f ?( x ) ? 1 ? 2 . x 当 a ? 0 时,显然 f ?( x) ? 0 ( x ? 0) .这时 f ( x ) 在 (??, 0) , (0, ??) 上内是增函数.
∴ f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ,∴ f ?( ) ? 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ? a . 当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 的变化情况如下表:

1 2

x f ?( x ) f ( x)

(??, ? a ) ?


? a 0
极大值

(? a ,0) ?


(0, a )
- ↘

a 0
极小值

( a , ??) ?


∴ f ( x ) 在 (??, ? a ) , ( a , ??) 内是增函数,在 (? a ,0) , (0, ??) 内是减函数. (2)法一:化归为最值.

1 1 2 4 39 ? 1 ? 1 1 ? f ( ) ? 10 ?b ? ? 4a [ ,1] f ( x) ? 10 在 上恒成立,当且仅当 ? 4 ,即 ? ,对 ?a ? [ , 2] 成立. 4 2 4 ? ? ? f (1) ? 10 ?b ? 9 ? a 7 7 从而得 b ? ,∴满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4
法二:变量分离. ∵ f ( x) ? 10 ,∴ b ? 10 ? ( x ? ) ,即 b ? 10 ? ( x ? ) min .

由(2)知, f ( x ) 在 [ ,1] 上的最大值为 f ( ) 与 f (1) 的较大者,对于任意的 a ? [ , 2] ,不等式

1 4

a x

a x

a x2 ? a ? ? ? 0, x2 x2 1 1 39 39 7 ? ?4 ? 2 ? ? , ∴ g ( x) 在 [ ,1] 上递减, g ( x) 最小值为 g ( ) ? ?4a ? 4 4 4 4 4 7 7 从而得 b ? ,∴满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4
令 g ( x) ? 10 ? ( x ? ) , g ?( x) ? ?1 ?

a x

2 2 或用 a ? ? x ? (10 ? b) x ,即 ? x ? (10 ? b) x ? 2 ,进一步分离变量得 b ? 10 ? ( x ? ) ,

2 x

1 7 时取得最小值 , 4 4 7 7 从而得 b ? ,∴满足条件的 b 的取值范围是 (??, ] . 4 4
利用导数可以得到 10 ? ( x ? ) 在 x ? 法三:变更主元.
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2 x

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利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

1 a a f ( x) ? 10 在 [ ,1] 上恒成立,即 x ? ? b ? 10 , ? (a) ? x ? ? b ? 10 ? 0 , x x 4 1 1 2 ∵ x ? [ ,1] ,∴ ? (a ) 在 [ , 2] 递增,即 ? (a ) 的最大值为 ? (2) ? x ? ? b ? 10 ? 0 . 4 2 x
以下同上法. 说明:本题是在对于任意的 a ? [?2, 2] , f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立相当于两次恒成立,这样的题,往往 先保证一个恒成立,在此基础上,再保证另一个恒成立. 【例题 7】设函数 f ( x) ? ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? 16ln x ? b (a , b ? R) ,若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式

f ( x) ? ? x4 在 x ? (0,1] 上恒成立,求实数 b 的取值范围.
?2 x 2 ? 16ln x ? b ? a 在 x ? (0,1] 上恒成立. 解: f ( x) ? ? x 在 x ? (0,1] 上恒成立,即 x3 ?2 x 2 ? 16ln x ? b ? amin ? ?2 , 由条件 a ? [?2, 2] 得 x3 2 3 又 x ? (0,1] ,∴ ?2 x ? 16ln x ? b ? ?2 x ,即 b ? (?2x3 ? 2x2 ?16ln x)min .
4

设 g ( x) ? ?2 x3 ? 2 x2 ?16ln x ,则 g ?( x) ? ?6 x ? 4 x ?
2

16 ?6 x3 ? 4 x 2 ? 16 ?2(3x3 ? 2 x 2 ? 8) ? ? . x x x

令 ? ( x) ? 3x3 ? 2 x2 ? 8 , ??( x) ? 9 x2 ? 4 x ? x(9x ? 4) , 当 x ? (0, ) , ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ( ,1) , ? ?( x) ? 0 ,

4 9

4 9

32 ? 0 ,于是 g ?( x) ? 0 , 243 ∴ g ( x) ? ?2 x3 ? 2 x2 ?16ln x 在 x ? (0,1] 递减,∴ g ( x) 的最小值为 g (1) ? 0 , ∴ b ? 0 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??,0] . 4 3 2 【针对练习 8】设函数 f ( x) ? x ? ax ? 2x ? b ( x ? R) ,其中 a , b ? R .若对于任意的 a ? [?2, 2] , 不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围. 3 2 2 解: f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4x ? x(4x ? 3ax ? 4) .
∴ x ? (0,1] 时, ? ( x)极小值 ? ? ( ) ? 8 ? 由条件 a ? [?2, 2] 可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2 2

4 9

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中较大者. 为使对任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立,

? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ,即 ? ,在 a ? [?2, 2] 上恒成立. ? f (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ∴ b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, 4] . 四、双参数中的范围均未知型: 2 【例题 8】 (10 湖南理)已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c (b, c ? R) ,对任意的 x ? R ,恒有 f ?( x) ? f ( x) . 2 (1)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) ; 2 2 (2)若对满足题设条件的任意 b , c ,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c ? b ) 恒成立,求 M 的最小值. 2 解: (1)易知 f ?( x) ? 2 x ? b .由题设,对任意的 x ? R , 2 x ? b ? x ? bx ? c ,即
当且仅当 ?

b2 x ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立,∴ (b ? 2) ? 4(c ? b) ? 0 ,从而 c ? ? 1 . 4
2 2

b2 ?1 ? | b | ,因此 2c ? b ? c ? (c ? b) ? 0 . 4 2 2 故当 x ? 0 时,有 ( x ? c) ? f ( x) ? (2c ? b) x ? c(c ?1) ? 0 ,即当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c) .
于是 c ? 1 ,且 c ? 2
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利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

(2)由(1)知, c ? | b | .

f (c) ? f (b) c 2 ? b2 ? bc ? b 2 c ? 2b ? ? . c 2 ? b2 c 2 ? b2 b?c b c ? 2b 1 1 3 ? 2? (?1 ? t ? 1) 的值域是 (??, ) . 令t ? , 则 ? 1 ? t ? 1, . 而函数 g (t ) ? 2 ? c b?c 1? t 1? t 2 3 因此,当 c ? | b | 时, M 的取值集合为 [ , ??) . 2 2 2 当 c ? | b | 时,由(1)知, b ? ?2 , c ? 2 .此时 f (c) ? f (b) ? ?8 或 0 , c ? b ? 0 . 3 2 3 2 从而 f (c) ? f (b) ? (c ? b ) 恒成立.综上所述, M 的最小值为 . 2 2 3 x 3bx 2 2 10 【针对练习 9】若 f ( x ) ? 2 图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 ,设 g ( x) ? f ( x) ? 2 ? 3 . a a 5 (1)若函数 g ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 g ( x) 的解析式;
当 c ? | b | 时,有 M ? (2)若函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,且 b2 ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上都成立,求实数 m 的取值范围. 解:∵ f ?( x ) ?

3 2 3 ? x ,∴由 2 ? x 2 ? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为 ( a, a ) , (?a, ?a) , 2 a a ∴切线方程为 y ? a ? 3( x ? a) 或 y ? a ? 3( x ? a) ,整理得 3x ? y ? 2a ? 0 或 3x ? y ? 2a ? 0 .


| ?2a ? 2a | 3 ? (?1)
2 2

?

2 10 ,解得 a ? ?1 ,∴ f ( x) ? x3 ,∴ g ( x) ? x3 ? 3bx ? 3 . 5
2 3

(1)∵ g?( x) ? 3x ? 3b , g ( x) 在 x ? 1 处有极值,∴ g ?(1) ? 0 , 即 3 ?12 ? 3b ? 0 ,解得 b ? 1 ,∴ g ( x) ? x ? 3x ? 3 . (2)∵函数 g ( x) 在区间 [?1,1] 上为增函数,∴ g?( x) ? 3x ? 3b ? 0 在区间 [?1,1] 上恒成立,
2

∴ b ? 0 ,又∵ b ? mb ? 4 ? g ( x) 在区间 [?1,1] 上恒成立,∴ b ? mb ? 4 ? g (1) ,
2 2
2 即 b ? mb ? 4 ? 4 ? 3b ,∴ m ? b ? 3 在 b ? (??,0] 上恒成立,∴ m ? 3 ,

∴ m 的取值范围是 [3, ??) .

五、双参数中的线性规划型: 【例题 9】 (12 浙江理)已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax3 ? 2bx ? a ? b . (1)证明:当 0 ? x ? 1 时,①函数 f ( x ) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ;② f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ; (2)若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0,1] 恒成立,求 a ? b 的取值范围. b 2 2 ). 解: (1)① f ?( x) ? 12ax ? 2b ? 12a ( x ? 6a 当 b ? 0 时, f ?( x) ? 12ax2 ? 2b ? 0 ,在 0 ? x ? 1 上恒成立, ∴ f ( x ) 在 [0,1] 上递增,此时 f ( x ) 的最大值为: f (1) ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b ? | 2a ? b | ?a ;
当 b ? 0 时, f ?( x) ? 12ax ? 2b ? 12a( x ?
2

b b )( x ? ), 6a 6a

b b ] 上递减,在 [ , ??) 上递增,∴ f ( x) 在 [0,1] 上的最大值为: 6a 6a ?b ? a, b ? 2a f ( x)max ? max{ f (0), f (1)} ? max{(b ? a),(3a ? b)} ? ? ? | 2a ? b | ?a . ?3a ? b, b ? 2a 综上所述:函数 f ( x ) 在 0 ? x ? 1 上的最大值为 | 2a ? b | ?a . ②∵ 0 ? x ? 1 ,当 b ? 2a 时,
此时 f ( x ) 在 [0,
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利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? 3a ? b ? 4ax3 ? 2bx ? 2a ? 4ax3 ? 4ax ? 2a ? 2a(2x3 ? 2x ? 1) . 当 b ? 2a 时, f ( x)? | 2a ? b | ?a ? f ( x) ? a ? b ? 4ax3 ? 2b(1 ? x) ? 2a ? 4ax3 ? 4a(1 ? x) ? 2a ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1) .
设 g ( x) ? 2 x3 ? 2 x ? 1 , g ?( x) ? 6 x ? 2 ? 2( x ?
2

3 3 )( x ? ) ,列表可得 3 3

3 4 3 ) ? 1? ? 0 ,∴当 0 ? x ? 1 时, 2 x3 ? 2 x ? 1 ? 0 , 3 9 ∴ f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 2a(2 x3 ? 2 x ? 1) ? 0 . (2)由①知:函数 f ( x ) 在 0 ? x ? 1 上的最大值为 | 2a ? b | ?a ,∴ | 2a ? b | ?a ? 1 . 由②知: f ( x) ? ?(| 2a ? b | ?a) ? ?1 , b 于是 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0,1] 恒成立的充要条件为: 2 A C ? 2a ? b ? 0 ? 2a ? b ? 0 1 ? ? ?3a ? b ? 1 或 ?b ? a ? 1 ,在坐标系 aOb 中, ? ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?1 O 1 a b ? a ?1 不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分, B ?1 其中不包括线段 BC .作一组平行线 a ? b ? t (t ? R) , g ( x)min ? g (
得 ?1 ? a ? b ? 3 ,∴ a ? b 的取值范围为 (?1,3] . 【针对练习 10】已知函数 f ( x) ?

b ? 2a b ? 3a ? 1

(1)若 a ? b ? ?1 ,求 f ( x ) 的单调区间;

1 2 x ? ax ? 2b ln x ? 1 ( x ? 0) . 2

(2)若 f ( x ) 的两个极值点 x1 , x2 恒满足 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,求 a ? 2b 的取值范围. 解: (1)当 a ? b ? ?1 时, f ( x) ?

1 2 x ? x ? 2ln x ? 1 , x ? 0 , 2 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) f ?( x) ? x ? 1 ? ? ? ,x ? 0. x x x ∵ x ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? 2 ,令 f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 . ∴ f ( x ) 的单调递增区间是 (2, ??) ,单调递减区间是 (0, 2) .

(2) f ?( x) ? x ? a ?

2b x 2 ? ax ? 2b ? ,x ? 0. x x 由已知 x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根,
即 x1 , x2 是方程 x ? ax ? 2b ? 0 的两个根.
2

b

N
M
?2

∵ 0 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 ,记 g ( x) ? x ? ax ? 2b ,则
2

O

a

a ? 2b ? 1 ? 0 ? g (0) ? 0 ?b ? 0 ?2 ? ? a?b?2 ? 0 ? g (1) ? 0 ,即 ? a ? 2b ? 1 ? 0 , ? ? g (2) ? 0 a ? b ? 2 ? 0 ? ? 上述关于 a , b 的不等式组表示的平面区域如图所示. 1 1 1 1 把 z ? a ? 2b 变形为 b ? a ? z ,此式表示斜率为 ,在 b 轴上的截距为 ? z 的一组平行线. 2 2 2 2 当直线经过点 M 时, z 最大,当直线经过点 N 时, z 最小. ?a ? 2b ? 1 ? 0 解方程组 ? ,得 a ? ?1 , b ? 0 ,∴点 M 的坐标为 (?1,0) ,此时 z ? ?1 , ?b ? 0
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利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

?a ? 2b ? 1 ? 0 ,得 a ? ?3 , b ? 1 ,∴点 N 的坐标为 (?3,1) ,此时 z ? ?5 . ?a ? b ? 2 ? 0 ∴ z ? a ? 2b 的取值范围是 (?5, ?1) . 六、双参数中的绝对值存在型: 【例题 10】 (06 湖北理)设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? b)e3?x ( x ? R) 的一个极值点. (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间; 25 x 2 (2)设 a ? 0 , g ( x) ? (a ? )e .若存在 ?1 , ?2 ?[0,4] 使得 | f (?1) ? g (?2 ) | ? 1 成立,求 a 的 4
解方程组 ? 取值范围. 解: (1) f ?( x) ? ?[ x2 ? (a ? 2) x ? b ? a]e3?x ,由 f ?(3) ? 0 ,得 [32 ? (a ? 2)3 ? b ? a]e3?3 ? 0 , 即得 b ? ?3 ? 2a ,则 f ?( x) ? ?[ x2 ? (a ? 2) x ? 3 ? 3a]e3?x ? ?( x ? 3)( x ? a ? 1)e3?x . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 3 或 x2 ? ?a ? 1 ,由于 x ? 3 是极值点,∴ x1 ? x2 ,即 a ? ?4 . 当 a ? ?4 时, x2 ? 3 ? x1 ,则在区间 (??,3) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数; 在区间 (3, ?a ? 1) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数; 在区间 (?a ? 1, ??) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数. 当 a ? ?4 时, x2 ? 3 ? x1 ,则在区间 (??, ?a ? 1) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数; 在区间 (?a ? 1,3) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数; 在区间 (3, ??) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数. (2)由(1)知,当 a ? 0 时, ?a ? 1 ? 0 , f ( x ) 在区间 (0,3) 上的单调递增,在区间 (3, 4) 上单调递 减,那么 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的值域是 [min{ f (0), f (4)}, f (3)] ,
3 ?1 而 f (0) ? ?(2a ? 3)e ? 0 , f (4) ? (2a ? 13)e ? 0 , f (3) ? a ? 6 , 3 那么 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的值域是 [?(2a ? 3)e , a ? 6] .

25 x )e 在区间 [0, 4] 上是增函数,且它在区间 [0, 4] 上的值域是 4 25 25 25 1 1 [a 2 ? ,(a 2 ? )e4 ] ,由于 (a 2 ? ) ? (a ? 6) ? a 2 ? a ? ? (a ? ) 2 ? 0 , 4 4 4 4 2 25 3 3 2 ) ? ( a ? 6) ? 1 且 a ? 0 ,解得 0 ? a ? .故 a 的取值范围是 (0, ) . ∴只须仅须 ( a ? 4 2 2 2 【针对练习 11】 (10 辽宁理)已知函数 f ( x) ? (a ? 1)ln x ? ax ? 1 . (1)讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)设 a ? ?1 ,如果对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | ,求 a 的取值范围.
又 g ( x) ? (a ?
2

解: (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 ? 2ax ? . x x 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递增; 当 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调递减;
当 ?1 ? a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a ?1 . 2a a ?1 a ?1 则当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ( ? , ??) 时, f ?( x) ? 0 . 2a 2a a ?1 a ?1 故 f ( x ) 在 (0, ? ) 单调递增,在 ( ? , ??) 单调递减. 2a 2a (2)不妨假设 x1 ? x2 ,而 a ? ?1 ,由(1)知在 (0, ??) 单调递减,从而 任意 x1 , x2 ? (0, ??) , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 | x1 ? x2 | 等价于 ?
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专题四

利用导数解决不等式恒成立中的参数问题

王肇堃

任意 x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x2 ) ? 4 x2 ? f ( x1 ) ? 4 x1 .



a ?1 ? 2ax ? 4 . x a ?1 ? 2ax ? 4 ? 0 . ①等价于 g ( x) 在 (0, ??) 单调递减,即 x ?4 x ? 1 (2 x ? 1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2 x ? 1) 2 ? ? ?2, 从而 a ? 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 2 x2 ? 1 故 a 的取值范围为 (??, ?2] .
令 g ( x) ? f ( x) ? 4 x ,则 g ?( x) ?

【方法总结】关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多,参数问题形式多样,方法灵活多变,
技巧性较强,对于某些“含参函数”题目,不一定用某一种方法,还可用多种方法去处理.这就要求我们 养成良好的数学思维,有良好的观察与分析问题的能力,灵活的转化问题能力,使所见到的“含参函数” 问题能更有效地解决.

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必考问题2 函数、导数、不等式的综合问题x

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