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第1讲函数的概念及其表示有答案

时间:2016-08-21


第1讲 [最新考纲]

函数的概念及其表示

1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域,了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析 法)表示函数. 3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.

知 识 梳 理 1.函数的基本概念 (1)函数的定义 设集合 A 是

一个非空的数集,对 A 中的任意数 x,按照确定的法则 f,都有唯一 确定的数 y 与它对应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 y=f(x), x∈A,其中 x 叫做自变量. (2)函数的定义域、值域 定义域:函数 y=f(x)自变量取值的范围(数集 A)叫做这个函数的定义域. 值域:所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域. (3)函数的两个要素:定义域和对应法则. (4)表示函数的常用方法有:列表法、图象法和解析法. (5)分段函数 若函数在其定义域内,对于自变量 x 的不同取值区间,有着不同的对应法则,这 样的函数通常叫做分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 其值域等于各段函数的值域的 并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 2.映射 设 A,B 是两个非空集合,如果按照某种对应法则 f,对 A 中的任意一个元素 x, 在 B 中有一个且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射.这 时,称 y 是 x 在映射 f 的作用下的象,记作 f(x),于是 y=f(x),x 称作 y 的原象, 映射 f 也可记为:f:A→B,x→f(x),其中 A 叫做映射 f 的定义域(函数定义域的 推广),由所有象 f(x)构成的集合叫做映射 f 的值域,通常记作 f(A).

3.函数定义域的求法

类型 2n f?x?,n∈N*

x 满足的条件 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)>0 各个函数定义域的交集 使实际问题有意义

1 与[f(x)]0 f?x? logaf(x) 四则运算组成的函数 实际问题

4.函数值域的求法

方法 配方法 性质法 单调性法 换元法 分离常数法

示例 y=x2+x-2 y=ex y=x+ x-2 y=sin2 x+sin x+1 x y= x+1 辨 析 感 悟

示例答案 ? 9 ? y∈?-4,+∞? ? ? y∈(0,+∞) y∈[2,+∞) ?3 ? y∈?4,3? ? ? y∈(-∞,1)∪ (1,+∞)

1.对函数概念的理解. (1)(教材习题改编)如图:

以 x 为自变量的函数的图象为②④.(√) (2)函数 y=1 与 y=x0 是同一函数.(×)

2.函数的定义域、值域的求法 (3)(2013· 江西卷改编)函数 y= xln(1-x)的定义域为(0,1).(×) (4)(2014· 杭州月考改编)函数 f(x)= 3.分段函数求值 x2+1,x≤1, ? ? (5)(2013· 济南模拟改编)设函数 f(x)=?2 ,x>1, ? ?x 13 则 f(f(3))= 9 .(√) 1 的值域为(0,1].(√) 1+x2

学生用书?第 10 页 3 ? ?x2-x+ ,x≥0, 4 (6)(2014· 浙江部分重点中学调研改编)函数 f(x)=? + ? ?2x 1,x<0 1 则实数 a 的值为2或-2.(√) 4.函数解析式的求法 (7)已知 f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+5x+2.(√) (8)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2.(×) [感悟· 提升] 1.一个方法 判断两个函数是否为相同函数.一是定义域是否相同,二是对应 1 若 f(a)=2,

关系即解析式是否相同(注意解析式可以等价化简),如(2). 2. 三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分都有意义, 如(3);

二是分段函数求值时, 一定要分段讨论,注意验证结果是否在自变量的取值范围 内,如(6); 三是用换元法求函数解析式时,一定要注意换元后的范围,如(8).

考点一

求函数的定义域与值域

【例 1】 (1)(2013· 山东卷)函数 f(x)= 1-2x+ A.(-3,0] B.(-3,1]

1 的定义域为( x+3

).

C.(-∞,-3)∪(-3,0] (2)函数 y=

D.(-∞,-3)∪(-3,1]

x-3 的值域为________. x+1

x ?1-2 ≥0, 解析 (1)由题意? 解得-3<x≤0. ?x+3>0,

(2)y=

x-3 x+1-4 4 4 = =1- ,因为 ≠0, x+1 x+1 x+1 x+1 4 ≠1.即函数的值域是{y|y≠1}. x+1

所以 1-

答案 (1)A (2){y|y≠1} 规律方法 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义为准则,列出不 等式或不等式组,然后求出它们的解集即可. (2)求函数的值域:①当所给函数是分式的形式,且分子、分母是同次的,可考 虑用分离常数法; ②若与二次函数有关, 可用配方法; ③当函数的图象易画出时, 可以借助于图象求解. 1? ? 【训练 1】 (1)函数 y=ln?1+x?+ 1-x2的定义域为________. ? ? 1 ? ?log x,x≥1, (2)函数 f(x)=? 2 ? ?2x,x<1 的值域为________.

解析

1 ? 1+ x>0, ? (1)根据题意可知,?x≠0, ? ?1-x2≥0

?x+1 ? >0, ?? x ? ?-1≤x≤1

?0<x≤1,故定义域

为(0,1]. (2)当 x≥1 时,log1x≤0;当 x<1 时,0<2x<2,故值域为(0,2)∪(-∞,0]=(-
2

∞,2). 答案 (1)(0,1] (2)(-∞,2) 考点二 求函数的解析式

?2 ? 【例 2】 (1)已知 f?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式. ? ? (2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x)的解析式.

(3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. 2 2 解 (1)令 x+1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x= , t-1 ∴f(t)=lg 2 2 ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x-1

(2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2+bx+3)=4ax +4a+2b=4x+2. ?4a=4, ?a=1, ∴? ∴? ?4a+2b=2, ?b=-1, ∴f(x)=x2-x+3. (3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得, 2 1 f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x),x∈(-1,1). 规律方法 求函数解析式常用方法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值 范围; ?1? (3)方程法:已知关于 f(x)与 f?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另 ? ? 外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). 【训练 2】 (1)若 f(x+1)=2x2+1,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x), 则当-1≤x≤0 时,f(x)=________. 解析 (1)令 t=x+1,则 x=t-1, 所以 f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3. 所以 f(x)=2x2-4x+3. (2)当-1≤x≤0 时, 有 0≤x+1≤1, 所以 f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x), x?x+1? 1 又 f(x+1)=2f(x),所以 f(x)=2f(1+x)=- 2 .

答案 (1)2x2-4x+3

(2)-

x?x+1? 2

考点三

分段函数及其应用

【 例 3 】 (1)(2014· 东 北 三 校 联 考 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f(x) 满 足 f(x) = ?log2?4-x?,x≤0 ? ,则 f(3)的值为( ?f?x-1?-f?x-2?,x>0 A.-1 B.-2 C.1 D.2 ).

?2x+a,x<1, (2)已知实数 a≠0, 函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a), 则 a 的值为 ?-x-2a,x≥1. ________. 解析 (1)依题意, 3>0, 得 f(3)=f(3-1)-f(3-2)=f(2)-f(1), 又 2>0, 所以 f(2) =f(2-1)-f(2-2)=f(1)-f(0); 所以 f(3)=f(1)-f(0)-f(1)=-f(0), 又 f(0)=log2(4 -0)=2,所以 f(3)=-f(0)=-2. (2)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 此时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a,解得 a=-2. 不合题意,舍去.当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 此时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,解得 a=-4. 3 综上可知,a 的值为- . 4 答案 (1)B 3 (2)-4

规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间, 然后代入该段的解析式求值,当出现 f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段 上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足

相应段自变量的取值范围. πx ? ?2cos ,x≤2 000, 3 【训练 3】 (2014· 烟台诊断)已知函数 f(x)=? - ? ?2x 2 008,x>2 000, =( A. 3 ). B.- 3 C.1 D.-1

则 f[f(2 013)]

32π 2π 解析 f(2 013)=22 013-2 008=25=32,所以 f[f(2 013)]=f(32)=2cos 3 =2cos 3 =-1. 答案 D

1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它是研究函数性质 的基础.因此,我们一定要树立函数定义域优先意识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法,三者之间是可以互相转 化的; 求函数解析式比较常见的方法有凑配法、 换元法、 待定系数法和方程法等, 特别要注意将实际问题转化为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明 确定义域.

教你审题 1——分段函数中求参数范围问题 ?-x2+2x,x≤0, 【 典 例】 (2013· 新课 标全国 Ⅰ卷 ) 已知 函 数 f(x) = ? ?若 ?ln?x+1?,x>0. |f(x)|≥ax? ,则 a 的取值范围是( A.(-∞,0] C.[-2,1] B.(-∞,1] ).

D.[-2,0]

(1)

2 ?-x +2x,x≤0, ? [审题]一审条件?: f(x)= 转化为一元二次函数与对数函数的 ?ln?x+1?,x>0,

图象问题.如图(1). 二审条件?:|f(x)|≥ax,由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2).

(2) 三审图形:观察 y=ax 的图象总在 y=|f(x)|的下方,则当 a>0 时,不合题意;当 a=0 时,符合题意;当 a<0 时,若 x≤0,f(x)=-x2+2x≤0, 所以|f(x)|≥ax 化简为 x2-2x≥ax, 即 x2≥(a+2)x,所以 a+2≥x 恒成立,所以 a≥-2. 综上-2≤a≤0. 答案 D [反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全 面的考虑; (2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是 否符合要求. 【自主体验】 ?lg x,x>0, (2014· 德州模拟)已知函数 f(x)=? 则 f(a)+f(1)=0,则实数 a 的值 ?x+3,x≤0, 等于( ).

A.-3 B.-1 或 3 C.1 D.-3 或 1 解析 因为 f(1)=lg 1=0,所以由 f(a)+f(1)=0 得 f(a)=0.当 a>0 时,f(a)=lg a =0,所以 a=1. 当 a≤0 时,f(a)=a+3=0,解得 a=-3.所以实数 a 的值为 a=1 或 a=-3,选 D. 答案 D

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.下列各组函数表示相同函数的是( A.f(x)= x2,g(x)=( x)2 B.f(x)=1,g(x)=x2 ?x,x≥0, C.f(x)=? g(t)=|t| ?-x,x<0, D.f(x)=x+1,g(x)= x2-1 x-1 ).

解析 A 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和[0,+∞),不相同; B 选项中的两个函数的对应法则不一致; D 选项中的两个函数的定义域分别是 R 和{x|x≠1},不相同,尽管它们的对应法 则一致,但也不是相同函数; C 选项中的两个函数的定义域都是 R,对应法则都是 g(x)=|x|,尽管表示自变量 的字母不同,但它们依然是相同函数. 答案 C
1 x 2.(2013· 临沂一模)函数 f(x)=ln + x 2 的定义域为( x-1

).

A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

?x≥0, ? 解析 要使函数有意义,则有? x >0, ? ?x-1 ?x≥0, 即? 解得 x>1. ?x?x-1?>0, 答案 B

3.(2013· 昆明调研)设 M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函数 f(x)的定义域为 M,值域为 N,则 f(x)的图象可以是( ).

解析 A 项定义域为[-2,0],D 项值域不是[0,2],C 项对定义域中除 2 以外的任 一 x 都有两个 y 与之对应,都不符合条件,故选 B. 答案 B
x ?2 ,x<1, 4 . (2014· 江西师大附中、鹰潭一中联考 ) 已知函数 f(x) = ? 则 ?f?x-1?,x≥1,

f(log27)=( 7 A.16 7 B.8

). 7 C.4 7 D.2

7 7 7 解析 因为 log27>1,log22>1,0<log24<1,所以 f(log27)=f(log27-1)=f(log22) 7 7 7 7 =f(log22-1)=f(log24)=2log24=4. 答案 C 5.函数 f(x)= cx 3 (x≠-2)满足 f(f(x))=x,则常数 c 等于( 2x+3 ).

A.3 B.-3 C.3 或-3 D.5 或-3 ? cx ? c?2x+3? c2x ? ? 解析 f(f(x))= = =x,即 x[(2c+6)x+9-c2]=0, 2cx+6x+9 ? cx ? 2?2x+3?+3 ? ? ?2c+6=0, 所以? 解得 c=-3. 2 ?9-c =0, 答案 B 二、填空题 x-2 6.(2014· 杭州质检)函数 f(x)=ln 的定义域是________. x+1 解析 由题意知 x-2 >0,即(x-2)(x+1)>0,解得 x>2 或 x<-1. x+1

答案 {x|x>2,或 x<-1}
x ?2 +1,x<1, 7.(2014· 石家庄模拟)已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a ?x +ax,x≥1,

=________. 解析 f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2. 答案 2 ?1-x? 1-x2 ?= 8.已知 f? 2,则 f(x)的解析式为________. ?1+x? 1+x 解析 令 t= 1-x 1-t ,由此得 x= (t≠-1), 1+x 1+t

?1-t?2 ? 1-? 2t ?1+t? 所以 f(t)= = 2, ?1-t?2 1+t ? 1+? ?1+t? 从而 f(x)的解析式为 f(x)= 答案 f(x)= 三、解答题 9.设二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)=0 的两个实根的平方和为 10, f(x)的图象过点(0,3),求 f(x)的解析式. 解 ∵f(2+x)=f(2-x), ∴f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 于是,设 f(x)=a(x-2)2+k(a≠0), 则由 f(0)=3,可得 k=3-4a, ∴f(x)=a(x-2)2+3-4a=ax2-4ax+3. ∵ax2-4ax+3=0 的两实根的平方和为 10, 16 2 2 ∴10=x1 +x2 2=(x1+x2) -2x1x2=16- , a ∴a=1.∴f(x)=x2-4x+3. 10.某人开汽车沿一条直线以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远处的 B 地.在 B 地停留 1 h 后,再以 50 km/h 的速度返回 A 地,把汽车与 A 地的距离 s(km)表 2x (x≠-1). 1+x2

2x (x≠-1) 1+x2

示为时间 t(h)(从 A 地出发开始)的函数,并画出函数的图象.



? ? 5 7 由题意知:s=?150,2<t≤2, 7 13 ? < t ≤ ?150-50???t-2???,7 2 2.

5 60t,0≤t≤2,

其图象如图所示.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.设 f(x)=lg 2+x ? x? ?2? ,则 f?2?+f?x?的定义域为( ? ? ? ? 2-x B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4) ).

A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2) 解析 ∵

2+x x 2 2 >0,∴-2<x<2,∴-2<2<2 且-2< x<2,取 x=1,则x =2 2-x

不合题意(舍去),故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B. 答案 B 2.已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=-1 对称,且当 x∈(0,+∞)时,有 f(x) 1 =x,则当 x∈(-∞,-2)时,f(x) 的解析式为( 1 A.f(x)=- x C.f(x)= 1 x+2 ). B.f(x)=- 1 x-2 1 x+2

D.f(x)=-

解析 当 x∈(-∞,-2)时,则-2-x∈(0,+∞), ∴f(x)=- 1 . x+2

答案 D 二、填空题
-x ?2 ,x∈?-∞,1], 1 3.(2013· 潍坊模拟)设函数 f(x)=? 则满足 f(x)=4的 x 值 ?log81x,x∈?1,+∞?,

为________. 1 解析 当 x∈(-∞,1]时,2-x=4=2-2,∴x=2(舍去);
1 1 1 4? 当 x∈(1,+∞)时,log81x=4,即 x= 814 = 3 4 =3.

答案 3 三、解答题 1 4.若函数 f(x)= x2-x+a 的定义域和值域均为[1,b](b>1),求 a,b 的值. 2 1 1 解 ∵f(x)=2(x-1)2+a-2, ∴其对称轴为 x=1,即函数 f(x)在[1,b]上单调递增. 1 ∴f(x)min=f(1)=a-2=1,① 1 f(x)max=f(b)=2b2-b+a=b,② 3 ? ?a= , 又 b>1,由①②解得? 2 ? ?b=3, 3 ∴a,b 的值分别为2,3.


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