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数学基础知识与典型例题复习--三角函数1


数学基础知识与典型例题 第四章三角函数

三 角 函 数 相 关 知 识 关 系 表 1.①与 ? (0° ≤ ? <360° )终边相同的角的集合 (角 ? 与角 ? 的终边重合):
? ?

?? | ? ? k ? 360 ??, k ? Z?; ? | ? ? k ?180 , k ? Z ? ; ②终边在 x 轴上

的角的集合: ?
③终边在 y 轴上的角的集合:
? ?

例 1.已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,那么这个 圆心角所对的弧长为( )

( A)2
(C ) 2 sin1

( B)sin 2
( D)2sin1

?? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z ?;

④终边在坐标轴上的角的集合: ? | ? ? k ? 90 , k ? Z .
?

角 的 概 念

2. 角度与弧度的互换关系:360° =2 ? 180° =? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意: 正角的弧度数为正数, 负角的弧度数为负数, 零角的弧度数为零, 熟记特殊角的弧度制. 3. 弧 度 制 下 , 扇 形 弧 长 公 式 ? 1 ? r , 扇 形 面 积 公 式
2

?

?

例 2. 已知 ? 为第三象限角,则 (A)第一或第二象限 (B)第二或第三象限 (C)第一或第三象限 (D)第二或第四象限

? 2

所在的象限是(

)

1 1 S ? R ? R 2 | ? | ,其中 ? 为弧所对圆心角的弧度数。 2 2
1.三角函数定义:利用直角坐标系, 可以把直角三角形中的三角函数推广 记r 到任意角的三角数.在 ? 终边上任取一点 P( x, y) (与原点不重合) , 例 3.已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的 值. 例 4.若 ? 是第三象限角,且 cos ? ? ? cos ? ,
2 2

?| OP |? x 2 ? y 2



三 角 函 数 的 定 义

? 则 是( ) 2 ( A) 第一象限角 ( B ) 第二象限角 (C ) 第三象限角 ( D) 第四象限角
例 5.若 cos ?

则 sin ? ?

注: ⑴三角函数值只与角 ? 的终边的位置有关,由角 ? 的大小唯一确 定,? 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数. ⑵根据三角函数定义可以推出一些三角公式:

y, x y x cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? 。 r r x y

? 0, 且 sin 2? ? 0,


则角? 的终边所在象限是(
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

k? k 90 ?? ? ? 或 ?? ?? 2 2 之间函数值关系 (k ? Z ) ,其规律是“奇变偶不变,符号看象限”
①诱导公式:即 如 sin(270



? ? ) ? ? cos?

②同角三角函数关系式:平方关系,倒数关系,商数关系. ⑶重视用定义解题. ⑷三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一 种图示方法.如单位圆

正弦线:MP ; 余弦线:OM ; 正切线:AT
2. 各象限角的各种三角函数值符号:
一 全 弦 坐标 y 的符号) 二 正 弦 , 三 切 四 余 ,(纵 (横坐标 x 的符号)

sin ? ?

x y cos ? ? tan ? ? y r r x

cot ? ?

x y

三角函数的公式: (一)基本关系

例 6.化简:

1 ? sin 2 440?

三 角 函 数 公 式

公式组二 ( k ? Z )

sin(2k? ? x) ? sin x, cos(2k? ? x) ? cos x tan(2k? ? x) ? tan x, cot(2k? ? x) ? cot x
tan(? x) ? ? tan x cot(? x) ? ? cot x
公式组五

例 7.已知 tanα,tanβ 是方程 x 根,且 α,β ? (?

2

? 3 3x ? 4 ? 0 两
)

? ? , ) ,则 α+β 等于( 2 2

公式组三

sin(? x) ? ? sin x cos(? x) ? cos x
公式组四

sin( ? ? x) ? ? sin x cos( ? ? x) ? ? cos x tan( ? ? x) ? tan x cot( ? ? x) ? cot x
公式组六

sin( 2? ? x ) ? ? sin x cos(2? ? x ) ? cos x tan(2? ? x ) ? ? tan x cot(2? ? x ) ? ? cot x

2 ? 3 2 ? (B) ? ? 或 3 3 ? 2 (C) ? 或 ? 3 3 ? (D) 3
(A) ?

sin(? ? x) ? sin x tan(? ? x) ? ? tan x cos(? ? x) ? ? cos x cot(? ? x) ? ? cot x
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

例 8.

(二)两角和与差公式 公式组一

tan 15? ? cot 15? 的值是( (A)2 (B)2+ 3
(C)4 (D)



4 3 3

tan(? ? ? ) ?
公式组二:

tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan ?
2

sin

?
2

??

1 ? cos? 2

? 1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? cos? tan 2 ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? sin ? cos ? ? , 2 2

?

公式组三

1 1 1 cos( ? ? ? ) ? sin ? cos( ? ? ? ) ? ? sin ? sin( ? ? ? ) ? cos ? 2 2 2 , , 1 1 1 sin( ? ? ? ) ? cos ? tan( ? ? ? ) ? cot ? tan( ? ? ? ) ? ? cot ? 2 2 2 , ,
常用数据:

30 、 45 、 60 、 90
sin15 ? cos 75 ?

的三角函数值
6? 4 2

, sin 75? ? cos15? ?

6? 4

2

tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3 , tan75? ? cot15? ? 2 ? 3
注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间 的联系,它们的变化形式. 如 tan(? 例 9. 设 ? ? (0, ( ) (B)

? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? ? tan ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? cos 2 ? ,sin 2 ? 等. 2 2 2 2

? 3 ? ) , 若 sin ? ? , 则 2 cos(? ? ) = 2 5 4

从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外, 还为研究三角函数图象及性

7 (A) 5

1 5

三 角 函 数 公 式

质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ① 常 值 代 换 : 特 别 是 用 “ 1 ” 的 代 换 , 如 1=cos2 θ +sin2 θ =tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。 如分拆项: sin 2 x ? 2cos2 x ? (sin 2 x ? cos2 x) ? cos2 x ? 1 ? cos2 x ; 配凑角(常用角变换):

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? 、? ? 、 2 2 2 2 ? ? (? ? ? ) ? ? 等.

7 (D)4 2 例 10. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( ) 1 1 3 3 ( A) ? ( B ) (C) ? ( D) 2 2 2 2
(C) 例 11. 求下列各式的值:⑴

1 ? tan 75? ; 1 ? tan 75?

⑵tan17?+tan28?+tan17?tan28?

③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函 数基本关系化成弦(切) 。 ⑤引入辅助角。asinθ +bcosθ =

例 12. 已 知

?

为 锐 角 , 且

tan ? ?

a 2 ? b2

sin(θ + ? ),这里辅助角 ?

所在象限由 a、b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b a

确定。

sin 2? cos ? ? sin ? 的值. sin 2? cos 2?

1 2

, 求

例 13. 已知 α 为第二象限角,且 sinα=

sin(? ? ) 15 4 的值. ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

三 角 函 数 公 式

例 14. 已知 tan(

?
4

??) ?

sin 2a ? cos2 ? 1 , (1)求 tan ? 的值; (2)求 2 1 ? cos 2?

的值

新疆

王新敞
奎屯

2 例 15. 已知 sin ? ? 2 cos ? , ⑴求 sin ? ? 4cos ? 的值; ⑵求 sin ? ? 2sin ? cos ? 的值. 5sin ? ? 2cos ?

例 16. 已知 sin ? ? cos ?

??

5 ,求 sin ? cos ?的值. 4
3 5 ,cos(?+?)= ? ,求 cos?. 13 5
+ ?.

例 17. 已知锐角 ?,? 满足 cos?=

三 角 函 数 公 式

例 18. 已知

? 1 1 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? 0 ,tan? = ? ,tan? = ? ,求 2? 3 7 2
3 5 ,sinB = ,则 cosC 的值为( 5 13 16 56 16 或 (C) (D) ? 65 65 65
)

例 19. 在△ABC 中,已知 cosA = (A)

16 65

(B)

56 65

例 20. 若关于 x 的方程 2cos2(? + x) ? sinx + a = 0 有实根,求实数 a 的取值范围。

三角函数的性质:

y ? sin x
定义域 值域 三 R

y ? cos x
R

y ? A sin??x ? ? ? (A、 ? >0)
R

[?1,1]

[?1,1]

?? A, A?

角 函 数

周期性

2?
奇函数

2?
偶函数

2?
当 ? ? 0, 非奇非偶 , 当 ? ? 0, 奇 函数

?

奇偶性

[?
单调性

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2 k? ]

[? 2k ?1? ? , 2k? ]
上为增函数;

上为增函数;

? 3? [ ? 2 k? , ? 2 k? ] 2 2
上为减函数. (k?Z )

[2k? , ? 2k ?1? ? ]
上为减函数. (k?Z )

? 1 ? ? ? 2k? ? 2 ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ?
上为增函数;

? 3 ? ? ? 2k? ? 2 ? ? 2k? ? 2 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ?
上为减函数( k ? Z )

y ? tan x
定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性
1 ? ? ? x | x ? R且x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

?x | x ? R且x ? k? , k ? Z?
R

R

三 角 函 数

?

?

奇函数

奇函数

? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ? 上 为 增 函 数 2 ? 2 ? (k?Z )

?k? , ?k ? 1?? ? 上为减函数( k ? Z )

以上性质的理解记忆关键是能想象或画出函数图象 . .......... 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的 图 像 和 性 质 以 函 数 ① y ? sin x

y ? sin x

为 基 础 , 通 过 图 像 变 换 来 把 握 . 如

图例变化为 ???? ? ② y ? A sin(? x ? ? ) (A>0, ? >0)相应地,

? ? ? ①的单调增区间 ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ?
?

?
2

?

2

2

? 2 k? ≤ ? x ? ? ≤

?
2

?

变为 ??? ?

? 2k? 的解集是②的增区间.
2?

?x ? ? ) 或 注:⑴ y ? sin(


y ? cos(? x ? ? ) ( ? ? 0 )的周期 T ?

?

;

y ? sin(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k? ?

?
2

(k?Z ) ,对称中心 (k? , 0) ;

y ? cos(? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k?
y ? tan( ?x ? ? ) 的对称中心(
例 21.下列函数中,既是(0, (A)y=lgx2 三 角 函 数 例 22.函数

k? ,0 ). 2

(k?Z ) ,对称中心 (k? ? 1 ? , 0) ; 2

? )上的增函数,又是以π 为周期的偶函数是( 2 sin 2 x (B)y=|sinx| (C)y=cosx (D)y= 2
的最小正周期是( )(A)

)

y ? sin

x 2

? 2

(B) ? )

(C)

2?

(D)

4?

例 23. 函数 (A) [ 0,

y ? 2 sin(

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是(

?
3

]

(B) [

?
12

,

7? ] 12
3

(C)

例 24.函数 y ? 2 cos( x ? ? )( ? ≤ x ≤ 2 ? ) 的最小值是(
3 6

? 5? 5? [ , ] , ?] (D) [ 3 6 6 (C ) ? 1 ) ( A) ? 2 ( B) ? 3

( D)1

例 25. 为了得到函数 y (A)向右平移

三 角 函 数

? 个单位长度 6 ? (C)向左平移 个单位长度 6
例 26. 若函数

? ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象( 6



f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分)如图所示,则 ?和? 的取值是( ? ? 1 ? 1 ? (A) ? ? 1, ? ? (B) ? ? 1, ? ? ? (C) ? ? , ? ? (D) ? ? , ? ? ? 3 3 2 6 2 6

? 3 ? (D)向左平移 3
(B)向右平移

个单位长度 个单位长度 )

例 27. 函数

f ( x) ? cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是_____.
纵坐标不变, 再把所得图象上所有点向左平移 y ? sin x 的图象上各点的横坐标扩大为原来的 2 倍,

例 28. 将函数

? 个单位, 3

所得图象的解析式是__________________. 例 29. 函数 例 30.函数

y ? sin x ? 3 cos x 在区间[ 0,

?
2

]的最小值为______. .

1 f ( x) ? cos x ? cos 2 x( x ? R) 的最大值等于 2

例 31. 已知 x ? ?0, 例 32.已知函数

? 5? ? ?? ? ,求函数 y ? cos(12 ? x) ? cos(12 ? x) 的值域 ? 2?

f ( x) ? log 1 (sin x ? cos x)
2

⑴求它的定义域和值域; ⑶判断它的奇偶性;

⑵求它的单调区间; ⑷判断它的周期性.

例 33. 已知 f(x)=5sinxcosx- 5 3 cos2x+

5 3 (x∈R) 2

⑴求 f(x)的最小正周期;⑵求 f(x)单调区间; ⑶求 f(x)图象的对称轴,对称中心。 例 34. 求函数 f (x)= log 1 三 角 函 数 反 三 角 函 数

1 ? cos( x ? ) 的单调递增区间 3 4 2

反三角函数符号的运用:

? ? ? ? ?? arcsin a ? ? ? , ? 、 arccos a ??0, ? ?、 arc tan a ? ( ? , ) 2 2 ? 2 2?

注意:反三角数符号只表示 这个范围的角,其他范围的角需要用诱导公式变到这个范围. ...

1 ? 3 ? ) ? ? , x ? ?? , ? ? 的角 x 是( 3 ? 2 ? 1 1 1 ( A) arc sin( ? ) ( B ) ? arc sin (C )2? ? arc sin(? ) 3 3 3 例 36.求 arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 的值.
例 35.适合 sin x

1 ( D)? ? arc sin( ? ) 3

数学基础知识与典型例题(第四章三角函数)答案 例 1.C 例 2.D 例 3. 由定义 : r 例 4.B 解 : ∵

? 5 ,sin?=?

(2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ?

? (k ? Z ) 2

3 4 ,cos?= 5 5

,∴2sin?+cos?=? ,∴

k? ?

? ? 3? ? ? k? ? (k ? Z ) 2 2 4

2 5

,则

? 2

是第二或第四象限角,又∵

? ? ? ? ? cos ? ? cos ,∴ cos ? 0 ,则 是第二或第三象限角,∴ 必为第二象限角 2 2 2 2 2
例 5.D 例 6. 解:原式 ?

1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? cos 2 80 ? ? cos 80 ?

例 7. A 例 8.C 例 9.B 例 10.B 例 11.

tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 ; ? ? 1 ? tan 45 tan 75 tan17? ? tan 28? ? ? ⑵ ∵ tan( , ∴ tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28? ∴ 原 式 =1? tan17?tan28?+ 17 ? 28 ) ? 1 ? tan17? tan 28?
解:⑴原式=

tan17?tan28?=1 例 12.解:∵ tan ?

?

2 sin 2? cos ? ? sin ? sin ? (2cos2 ? ?1) 1 1 5 , ? 为锐角,∴ cos ? ? ∴ ? ? ? 2 sin 2? cos2? 2sin ? cos ? cos2? 2cos ? 4 5
?
)

2 ( sin ? ?cos ?) 2( s i n ? ?cos ?) 4 2 例 13. 解 : ? . 当 ? 为 第 二 象 限 角 , 且 sin ? ? 15 时 , ? 2 s i n2? ? c o s 2? ? 1 2 s i n 4c o s ?( s i n ? ?cos ?) ?co? s ? 2c o s? 4 ? sin(? ? ) 1 2 4 ,所以 = sin ? ? co s? ? 0, co s? ? ? ? ? 2. 4 sin 2? ? cos 2? ? 1 4 cos? s i n? (?
例 14. 解(1) :由 tan(? ? ? ) ?

tan

?

4

? tan?

1 ? tan tan? 4 2 2 1 1 1 5 sin 2? ? cos ? 2 sin ? cos? ? cos ? 2 sin ? ? cos ? (2) ? ? tan ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 cos ? 2 3 2 6 1 ? cos2? 1 ? 2 cos ? ? 1
例 15. 解:

4

?

?

1 ? tan? 1 ,解得 tan ? ? ? 1 ? 3 1 ? tan? 2

sin ? ? 2cos ? ,? tan ? ? 2 ∴⑴

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

2 2 ⑵ sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? sin ? ? 2 sin ? cos? ? tan ? ? 2 tan? ? 4 ? 2 ? 6 2 2 2

4 ?1 5 sin ? ? cos ? tan ? ? 1 25 9 25 例 16.解:∵ (sin ? ? cos ? ) 2 ? ∴ 1 ? 2 sin ? cos ? ? ,? sin ? cos ? ? ? 16 32 16 3 4 5 12 例 17. 解:∵cos?= ,∴sin?= ,又∵cos(?+?)= ? <0 ,∴?+? 为钝角, ∴sin(?+?)= , 5 13 13 5 5 3 12 4 33 ∴cos?=cos[(?+?)??]=cos(?+?)cos?+sin(?+?)sin?= ? ? ? (角变换技巧) ? ? 13 5 13 5 65
例 18. 解 :

tan2? ? tan? ? ?1 , 又 ∵ tan2? < 0 , tan? < 0 , ∴ 3? ? 2? ? 2? , 1 ? tan2? tan? 2 ? 7? ? ? ? ? 0 , ∴ ? ? 2? ? ? ? 2? ,∴2? + ? = 2 4 3 12 例 19. 解: ∵C = ? ? (A + B) ,∴cosC = ? cos(A + B) 又∵A?(0, ?),∴sinA = 而 sinB = ,显然 sinA > sinB ∴A > B,即 B 必为锐角 , 5 13 4 ∴ cosB = ,∴cosC = ? cos(A + B) = sinAsinB ? cosAcosB = 12 ? 3 ? 5 ? 4 ? 16 5 13 5 13 5 65
tan2? ? 2 tan? 3 ?? 2 4 1 ? tan ?
,∴

tan(2? ? ?) ?

例 20. 解:原方程变形为:2cos2x ? sinx + a = 0

即 2 ? 2sin2x ? sinx + a = 0,∴ a ? 2 sin 2 x ? sin x ? 2 ? 2(sin x ? 1 ) 2 ? 17 ,∵? 1≤

4

8

1 17 a min ? ? ; 当sin x ? 1时, sinx≤1 ,∴ 当sin x ? ? 时, amax ? 1, 4 8

17 , 1] ∴a 的取值范围是[ ? 8

例 21.B 例 22.C 例 23.C 例 24.D 例 25.B 例 26.C 例 27. ? 例 28. 例 31.解: y ? cos( 数 y 的值域是

?

12

? x) ? cos(

5? ? ? ? ? ? x) ? 2 cos( ? x) ,∵ x ? ?0, ? ? ,∴ ? ≤ ? x ≤ ,∴ cos( ? ? x) ? ? 1 ,1? ,∴函 ? ? ? 12 3 6 3 3 3 2 ?2 ? ? ? ?

3 x ? y ? sin( ? ) 例 29.1 例 30. 4 2 6

? 2 ? , 2? ? ? 2 ?
4 4

例 32. 解( 1 ) x 必须满足 sinx-cosx>0 ,利用单位圆中的 三角函数线及 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5 ? , k ∈ Z ∴ 函 数定义域为

? 5 (2k? ? , 2k? ? ?) , k ∈ Z ∵ 4 4
0 ? sin x ? cos x ≤ 2 ∴ y ≥ log 1
2

? ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) ∴ 当 x ∈ (2k? ? ? , 2k? ? 5 ? ) 时 , 0 ? s i n x? ( ≤) ∴ 1 4 4 4 4 1 1 (3)∵ f ( x) 定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 ,∴ 2 ? ? ∴ 函数值域为[ ? , ?? ) 2 2

f ( x) 不具备奇偶性
(4)∵ f(x+2π )=f(x)∴ 函数 f(x)最小正周期为 2π 注;利用单位圆中的三角函数线可知,以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准,可区分 sinx-cosx 的符号;以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准, 可区分 sinx+cosx 的符号

? 5 5 11 ,kπ + π ],减区间[kπ + ? , k? ? ?] 12 12 12 12 k? ? k 5 (3)对称中心( ,对称轴 x ? ? ? ? ,0) ? ,k∈Z 2 12 2 6 1 ? 1 1 ? 例 34. 解: ∵f (x)= log 1 cos( x ? ) 令 t ? x ? ,∴y= log 1 cos t ,t 是 x 的增函数,又∵0< <1,∴当 y= log 1 cos t 为单调递增 2 3 4 3 4 2 2 2
例 33. (1)T=π (2)增区间[kπ -

? ? 3? 3? 1 ? (k?Z), ∴ 2k? ≤ x ? <2k?+ (k?Z) ,6k?≤ x<6k?+ 2 2 4 4 3 4 1 ? 3? 3? (x)= log1 cos( x ? ) 的单调递减区间是[6k?,6k?+ ) (k?Z) 4 4 3 4 2
时 ,cost 为单调递减 且 cost>0, ∴ 2k? ≤ t<2k?+ 例 35.D 例 36. 解 : arctan2 = ?, arctan3 = ? , 则 tan? = 2 , tan? = 3, 且

(k?Z), ∴ f

tan(? ? ?) ?
?

3? tan? ? tan? 2?3 ? ,又 arctan1 = ? ? ?1,而 ? ? ? ? ? ? ,∴? + ? = 4 2 1 ? tan? tan? 1 ? 2 ? 3

? ? ? ? ? , ? ??? ? , ∴ 4 2 4 2 ? ,∴ arctan 1 ? arctan 2 ? arctan 3 = 4

4、如果你不服穷,就“疯狂地付出”吧! “There is no elevator to success――only stairs. 成功没有电梯,只有一步一个脚印的楼梯。 ” 如果你想改变自己的命运,如果你想通过自己而改变父母及家庭的命运,请先问一问自己: “我曾为此付出过什么?” 中国奥运史上第 100 枚金牌的获得者――唐功红,是一位体重超重量级,付出超重量级的女“超人” 。 她练举重可以练到手上剪下的老茧――可以装满一罐头瓶; 她强迫自己增体重――每顿饭要吃撑到吐为止,终于超过了 120 公斤; 为了迎接奥运大赛,她忍着腰伤剧痛训练举重――每天举的重量超过 10 吨(相当于每天举起 3 辆解放牌汽车)?? 这才叫“疯狂的训练” ! 她获得了在每次大赛后给家里打报喜电话的满足,因为她妈妈、姐姐一定会守在电话旁边,听她传来的乡音: “姐,比赛你看了 吗?” “看了!看了!你真争气! ” “咱妈在吗?我想听妈的声音。 ”她妈妈每次都会激动地说不上话来。 因为家里很穷,父亲身体不好,唐功红从小就开始干重体力活儿,她妈妈说,从没听唐功红说累过。 后来,家里东借西凑了 500 块钱送她上了体校。唐功红说: “我从来就没有节假日,从来就没有星期天,从来就没有什么娱乐, 也没有时间去考虑其他的问题,只有举起、放下、放下、举起,每天的运动量要达十几吨。 ” 最终,因为她的拼劲,在雅典打破了世界纪录,她凭实力让父母开始过上了好日子。 所以,不管你所处的环境是多么的“恶劣” ,也不管你的担子有多么重,你绝对有能力和潜力“扭转乾坤” !只要你肯付出,你所 做过的美梦,终会有成真的一天!让我们坚定地、快乐地熬下去吧!心甘情愿地付出吧!

成功真没有电梯,只有一步一个脚印的楼梯! There is no elevator to success――only stairs.


数学基础知识与典型例题复习--三角函数1

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