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函数单调性的应用


函数的单调性是函数的重要性质

函数的单调性常应用在:
1.比较函数值(或自变量)的大小, 2.求函数的值域(包括最值), 3.确定单调区间, 4.求参数取值范围, 5.解不等式或方程, 6.证明不等式,
……

比较函数值(或自变量)的大小

一次函数y=kx+b的单调性
y


(0,1) (-0.5,0) (0.5,0) x y=-2x+1

y=2x+1

性质: (1)当k>0时, y随x的增大而增大; (2)当k<0时, y随x的增大而减小。

二次函数y=ax2+bx+c的单调性
a>0
y y

a<0

0

x 0

x

反比例函数
y
1

k y? x

的单调性
y y??1

1 y? x
1

x

1

o

x

x

-1

o

K>0

K<0

求函数的值域(包括最值)
问题情境:同学们,我们班最高的男生是谁?说他最高的根 据是什么?“我们班最高的男生是姚明”对吗?为什么?
答 我们班最高的男生是 A 同学, 根据是班内任选一名男生,

都一定比 A 同学矮;不对,因姚明不是我们班的男生.

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探究点一 问题 1 函数的最大(小)值的概念 你能根据函数 f(x)=x2 在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)
2 当 x=0 时,函数的值最小.因函数 f ( x ) = x 在(-∞,0]上 y

上是增函数来确定当 x 取何值时,函数的值最小吗?



是减函数,所以当 x≤0 时,则 f(x)≥f(0),又因函数 f(x)=x2 在 [0,+∞)上是增函数,所以当 x≥0 时,f(x)≥f(0).从而 x∈R, 都有 f(x)≥f(0).因此 x=0 时,f(0)是函数值中的最小值.
问题 2 你能根据函数 f(x)=-x2 在(-∞,0)上是增函数,在[0,+∞)

o

上是减函数来确定当 x 的值取何值时,函数值是最大还是最小?

x

答 对于函数 f(x)=-x2,同理可知 x∈R 都有 f(x)≤f(0).即 x=0 时,f(0)是函数值中的最大值.

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问题 3 根据以上讨论,你能给函数的最大值及最小值下个定义吗?



一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I.如果存在实数 M 满足:

(1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M.(2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最小值.

M
x0 x0

M

问题 4

已知函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调,如何求函数的最值?

f(b) a f(a) b a f(b)

f(a) b

答 如果函数 y=f(x)在定义域[a,b]上单调递增,则 f(x)max= f(b), f(x)min=f(a); 如果函数 y=f(x)在定义域[a, b]上单调递减, 则 f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).

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问题 5

已知函数 y=f(x)的定义域是[a,b],a<c<b.如果函数 f(x)在

区间[a,c]、[c,b]上单调性相反,如何求函数的最值?



当 x∈[a,c]时,f(x)是单调增函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单

调减函数.则 f(x)在 x=c 时取得最大值.反之,当 x∈[a,c]时, f(x)是单调减函数;当 x∈[c,b]时,f(x)是单调增函数,则 f(x)在 x=c 时取得最小值.

a c

b a

c b

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例1 2 已知函数 f(x)= (x∈[2,6]), 求函数的最大值和最小值. x-1

解 设 x1,x2 是区间[2,6] 上的任意两个实数,且 x1<x2,
2[?x2-1?-?x1-1?] 2?x2-x1? 2 2 则 f(x1)-f(x2)= - = = . x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1?

由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,
于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 2 所以,函数 y= 在区间[2,6] 上是减函数. x-1 2 因此,函数 y= 在区间[2,6] 的两个端点上分别取得最大值与 x-1 最小值,

即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2,
2 在 x=6 时取得最小值,最小值是5.

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小结

要熟记常见函数的单调性:一次函数 y=kx+b(k≠0),当

k>0 时单调递增,当 k<0 时单调递减;二次函数 y=ax2+ bx+ ? ? ? b? b c(a≠0),当 a>0 时,在?-∞,-2a?上单调递减,在?-2a,+∞? ? ? ? ? k 上单调递增,a<0 时相反;y=x(x≠0),当 k>0 时,在(-∞,0) 和(0,+∞)上都单调递减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞) 上都单调递增.

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2 跟踪训练 1 已知函数 f(x)=- ,x∈[0,2],求函数的最大值 x+1 和最小值.

解 设 x1,x2 是区间[0,2] 上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1) 2 2 -f(x2)=- -(- ) x1+1 x2+1 2?x2+1-x1-1? 2?x2-x1? =- =- . ?x1+1??x2+1? ?x1+1??x2+1?
由 0≤x1<x2≤2,得 x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),

2 故 f(x)在区间[0,2] 上是增函数. 因此, 函数 f(x)=- 在区间[0,2] x+1 的左端点取得最小值, 右端点取得最大值, 即最小值是 f(0)=-2, 2 最大值是 f(2)=- . 3

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例2 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到 最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h m 与时间 t s 之间的关系 为 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的 最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到 1 m)?



作出函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18 的图象

(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的 最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时 刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 14.7 当 t=- =1.5 时, 2×?-4.9?
4×?-4.9?×18-14.72 函数有最大值 h= ≈29. 4×?-4.9?

于是,烟花冲出后 1.5 s 是它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度约为 29 m.

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小结

(1)求解实际问题一般分成四步,即:设元—列式—

求解—作答.(2)实际问题要注意函数自变量的取值范围.

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跟踪训练 2 如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个 方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点, 水平方向为 x 轴、 竖直方向为 y 轴建立平面直角坐标系. 那么水 流喷出的高度 h(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的函数关 5 5 2 系式为 h=-x +2x+ ,x∈[0, ]. 4 2

求水流喷出的高度 h 的最大值是多少?

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5 5 由函数 h=-x2+2x+ ,x∈[0, ]的图象可知,函数图象 4 2

的顶点就是水流喷出的最高点.
5 5 此时函数取得最大值.对于函数 h=-x +2x+ ,x∈[0, ],当 4 2 5 9 x=1 时,函数有最大值 hmax=-12+2×1+ = (m).于是水流 4 4 9 喷出的最高高度是4 m.
2

f ( x) ? x ? 2x ? 3 例2.已知函数 (1) 若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值 ; (2) 若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值 。
2

f ( x) ? ( x ?1) ? 4
2

y

(1)ymin=f(0)=-3, ymax=f(-2)=5

–2 0 1

3

x

f ( x) ? x ? 2x ? 3 例2.已知函数 (1) 若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值 ; (2) 若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值 。
2

f ( x) ? ( x ?1) ? 4
2

y

(1)ymin=f(0)=-3, ymax=f(-2)=5 (2)ymin=f(2)=-3, ymax=f(4)=5

–2 0 1

3

x

f ( x) ? x ? 2x ? 3 例2.已知函数 (1) 若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值 ; (2) 若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值 思考:若x∈[ 0,4 ],求函数f(x)的最值。 。
2

f ( x) ? ( x ?1) ? 4
2

y

(1)ymin=f(0)=-3, ymax=f(-2)=5 (2)ymin=f(2)=-3, ymax=f(4)=5

–2 0 1

3

x

(3)ymin=f(1)=-4, ymax=f(4)=5

求下列函数的最值

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.函数 f(x)在[-2,2]上的图象如图所示,则此 函数的最小值、最大值分别是 A.f(-2),0 C.f(-2),2
解析

( C )

B.0,2 D.f(2),2

观察函数图象知,图象最低点的纵坐标为 f(-2),

最高点的纵坐标为 2,故选 C.

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2.函数 y=-x+1 1 A.- 2

?1 ? 在区间?2,2?上的最大值是 ? ?

( C )

B.-1

1 C. 2

D.3

解析 ∵函数 y=-x+1

?1 ? 在区间?2,2?上是减函数, ? ?

?1? 1 1 ? ? ∴f(x)max=f 2 =-2+1=2. ? ?

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3.求出下列函数的最小值: 1 2 (1)y=x -2x;(2)y= ,x∈[1,3]. x



(1)因为 y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,且当 x=1 时

y=-1,所以函数取得最小值-1,即 ymin=-1.

1 1 1 1 (2)因为对于任意实数 x∈[1,3] , 都有x≥3, 且当 x=3 时x=3, 1 1 所以函数取得最小值 ,即 ymin= . 3 3

求参数取值范围

变形: 的单调递减区间是 则a的取值范围是 a=-3 .


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