nbhkdz.com冰点文库

②竞赛中的三角问题


Y.P.M 数学竞赛讲座

1

竞赛中的三角问题
高中联赛中的三角问题具有知识的载体性、综合性和方法的功能性,本文分类研究竞赛中的三角问题.

1.角的范围 [例 1]:(2000 年全国高中数学联赛试题)设 sin?>0,cos?<0,且 sin
(A)(2k?+ (C)(2k?+

r />? ? ,2k?+ ),k?Z 6 3
5? ,2k?+?),k?Z 6

? ? ? >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3

)

(B)(

2 k? ? 2 k? ? + , + ),k?Z 3 6 3 3

(D)(2k?+

? ? 5? ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6

[解析]:

[类题]:
1.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若α 是第二象限的角,则π (A)第一象限角 (B)第二象限角
? 是( 2

) (D)第二、四象限角 .

(C)第一、三象限角

2.(2006 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知θ 是第三象限的角,且 sin

? ? ? <cos ,则 的取值范围是 4 4 4

3.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设0≤x≤2π ,则满足不等式sin(x-

? )>cosx的x的取值范围是________. 6

4.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)不等式组 sinx>cosx>tanx>cotx 在(0,2π )中的解集(用区间表示)是 5.(2009 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若 sin θ -cos θ ≥cosθ -sinθ ,0≤θ ≤2π ,则角θ 的取值范围是 6.(2011年全国高中数学联赛试题)如果cos θ -sin θ <7(sin θ -cos θ ),θ ∈[0,2π ),那么θ 的取值范围是 7.(2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若 e
|sinθ | 5 5 3 3 3 3

. . . .

-ln|cosθ |>e

|cosθ |

-ln|sinθ |,且θ ∈(0,2π ),则角θ 的取值范围是

2.恒等变换 [例2]:(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=
(A)cos2x (B)sin2x
sin 4 x ? 4 cos 2 x - cos 4 x ? 4 sin 2 x ,则f(x)可化简为(

)

(C)cosx-sinx

(D)cos

x x -sin 2 2

[解析]:

[类题]:
1.(1981 全国高中数学联赛试题)条件甲: 1 ? sin? =a.条件乙:sin (A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件
? ? +cos =a. 2 2

(C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件 )

2.(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知条件 p: 1 ? sin2? = (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件

4 4 和条件 q:|sinα +cosα |= .则 p 是 q 的( 3 3

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件 )

3.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知θ ∈[ (A)2sinθ (B)-2sinθ

5? 3? , ],则 1 ? sin2? - 1 ? sin2? 可化简为( 4 2

(C)-2cosθ

(D)2cosθ

2
3.(1981 全国高中数学联赛试题)设α ≠ (A)T 取负值
k? sin ? ? tan ? (k=0, ? 1, ? 2,…),T= . 2 cos ? ? cot ?

Y.P.M 数学竞赛讲座

(B)T 取非负值

(C)T 取正值
cos4 x ? sin4 x ? sin2 x cos2 x sin6 x ? cos6 x ? 2 sin2 x cos2 x

(D)T 取值可正可负 的值为( )

4.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)化简三角有理式 (A)1 (B)sinx+cosx

(C)sinxcosx

(D)1+sinxcosx
sin(x ? y ) sin(x ? y) 的值等于 x? y x? y

5.(2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)实数x,y满足tanx=x,tany=y,且|x|≠|y|,则

.

6.(2008 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知 0<x< 整数).则 a+b+c=( (A)8 ) (B)32

a ? ? 1 ,sinx-cosx= .若 tanx+ 可以表示成 的形式(a,b,c 是正 2 4 tan x b??c

(C)48
k k k

(D)50 )

7.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有实数 x,均有 sin xsinkx+cos xcoskx=cos 2x,则 k=( (A)6 (B)5 (C)4 (D)3

3.三角求值 [例3]:(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)若实数x,α ,β 满足x=log3tanα =-log3tanβ ,且α -β = [解析]:
? 则x的值是 6

.

[类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若 f(g(x))=sin2x,g(x)=tan
x 2 (0<x<π ),则 f( )= 2 2
4 4

. .

2.(1996年第七届希望杯数学邀请赛高二试题)已知θ 是第三象限的角,并且sin θ –cos θ = 3.(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 cos2θ = 4.(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 cos4θ = 5.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若sin (x+
2

5 ,那么sin2θ 的值是 9

2 4 4 ,则 cos θ +sin θ 的值是 3
1 4 4 ,则 cos θ +sin θ 的值是 5

. . .

? 3? ? ? 1 2 )-sin (x- )=- ,且x∈( , ),则tanx的值为 2 4 12 12 4
cos 3? 1 sin 3? = ,则 = cos ? 3 sin ?

6.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知θ 为锐角,且 7.(2008 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知

. .

tan ? sin( ? ? ?) =3,则 的值是 tan ? sin( ? ? ?)

4.角的变换 [例 4]:(1992 年第三届希望杯数学邀请赛高二试题)若 x∈R,则数列{cos[x+ (n–1)π ]}的前 7 项和(
(A)比 1 大 (B)比 1 小 (C)等于 1 (D)是零
2 7

)

[解析]:

Y.P.M 数学竞赛讲座 [类题]:
1.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知α 、β 为锐角,sinα =x,cosβ =y,cos(α +β )=2.(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)己知 sinα +sinβ =

3
3 ,则y与x的函数关系式为 . 5

6 3 2 ? ? ? ,cosα +cosβ = ,则 cos = 2 3 3

. .

3.(2011 年第二十二届希望杯数学邀请赛高一试题)已知 sinα +sinβ =1,cosα +cosβ =0,则 cos( ? ? ? ) cos( ? ? ?) = 4.(1993 年第四届希望杯数学邀请赛高二试题)已知 α ,β 都是锐角,tan 5.(2007 年第十八届希望杯数学邀请赛高一试题)已知 0<x< (Ⅰ)若 tan
x 1 = ,求 cos2x 和 cosy 的值; 2 2

? ?? 1 1 =- ,cosα –cosβ = ,则 sinα –sinβ = . 2 3 5

? 5 <y<π ,sin(x+y)= . 2 13

(Ⅱ)比较 siny 与 sin(x+y)的大小并说明理由.

5.特殊角值 [例 5]:(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)sin21300+sin700cos800= [解析]:

.

[类题]:
1.(1991 全国高中数学联赛试题)cos 10 +cos 50 -sin40 sin80 = 2.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)sin20 sin40 sin80 = 3.(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)sin6 sin42 sin66 sin78 = 4.(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)计算 5.(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)
1 sin 10 0
0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0

. . . .
0 0

-

3 cos100
0

=

1 ? cos200 2 sin200

-sin10 (cot5 -tan5 )=

.

6.函数性质 [例 6]:(2001 年全国高中数学联赛试题)在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以π 为周期、在(0,
单调递增的偶函数是( (A)y=sin|x| ) (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
? )上 2

[解析]:

[类题]:
1.(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题) 有四个函数: ① y=sinx+cosx; ②y=sinx-cosx;③y=sinxcos; ④y= (0,
? )上为单调增函数的是( 2
sin x . 其中在 cos x

) (B)② (C)①和③ (D)②和④ )

(A)①

2.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)下列函数中,既是在[0,

? ]内的增函数,又是以π 为最小正周期的函数是( 2

4
(A)y=|sinx| (B)y= e
sin 1 x 2

Y.P.M 数学竞赛讲座
(C)y=sin2x
? 为最小正周期的偶函数是( 2

(D)y=cos4x ) (D)y=sin 2x-cos 2x
2 2

3.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)下列函数中,以 (A)y=sin2x+cos2x (B)y=sin2xcos2x

(C)y=sin x+cos2x

2

7.图像变换 [例 7]:(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)将函数 y=f(x)cosx 的图象向右平移
得到函数 y=cos2x 的图象,则 f(x)可以是( (A)sinx (B)cosx ) (C)2sinx (D)2cosx
? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换, 4

[解析]:

[类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若把函数 y= 3 cosx-sinx 的图象向右平移 m(m>0) m 个单位长度后,所得到的 图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 .
? )的图象,可以将函数y=cos2x的图象( 6

2.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)为了得到函数y=sin(2x(A)向右平移 (C)向左平移
? 个单位长度 6 ? 个单位长度 6

)

(B)向右平移 (D)向左平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 3

3.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=f(x)的图像按向量 a=( +2,那么 y=f(x)的解析式为( (A)y=sinx ) (B)y=cosx

? ? ,2)平移后,得到的图像的解析式为 y=sin(x+ ) 4 4

(C)y=sinx+2

(D)y=cosx+2

4.(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)把函数 y=sin(2c+ 坐标缩短为原来的
1 ,则所得图象的函数解析式是 2

? ? )-1 的图象按向量 a=( ,1)平移,再把所得图象上各点的横 6 6

.

8.周期性质 [例 8]:(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 f1(x)=
上述函数中,周期函数的个数是 .
2 ,f2(x)=sinx+cos 2 x,f3(x)=sin

x 2

+cos 2 x,f4(x)=sinx ,

2

[解析]:

[类题]:
1.(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知函数y=sin x,则( (A)有最小正周期为2π (B)有最小正周期为π
2

) (C)有最小正周期为
? 2

(D)无最小正周期 . .

2.(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)函数 f(x)= 3 sin2x+cos2x 的最小正周期是 3.(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)函数 y=cos x+sin x 的最小正周期为
4 2

Y.P.M 数学竞赛讲座
4.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数 f(x)=2sin
x - 3 cosx 的最小正周期为__________. 2 x x +3cos 的最小正周期为 2 3

5

5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)x∈R,函数f(x)=2sin 6.(1994 年第五届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 f1(x)=|sin 小正周期分别是 T1,T2,T3,则( (A)T1<T2<T3 ) (B)T3<T2<T1

.

x x 2x 2x ||cos |,f2(x) =sin +cos ,f3(x)=arcos(sinx)的最 2 2 3 3

(C)T1<T3<T2

(D)T3<T1<T2

7.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是π ,且 当 x∈[0,
3 2

? 8? )时,f(x)=sinx,则 f( )的值为( 2 3

)
1 2 1 2

(A)

(B)-

3 2

(C)

(D)-

8.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)设 f(x)是以 2 为周期的奇函数,且 f(-

2 5 )=3,若 sinα = ,则 f(4cos2α )的值 . 5 5

9.奇偶性质 [例 9]:(1993 年全国高中数学联赛试题)已知 f(x)=asinx+b 3 x +4(a,b 为实数),且 f(lglog310) ? 5,则 f(lglg3)的值是(
(A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值

)

[解析]:

[类题]:
1.(1993 年第四届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,x∈R)为偶函数的充要条件是( (A)φ =2kπ (B)φ =kπ (C)φ =
k? 2

)

(D)φ =kπ +

? 2

2.(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若|lgφ |<1,则使函数 f(x)=sin(x-φ )+cos(x-φ )为奇函数的φ 的个数为 3.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)若f(x)=sin(2x+θ )+3cos(2x+θ )为奇函数,且在[0, 值为( (A)
5? 6

.

? ]为减函数,则θ 的一个 4

) (B)
2? 3

(C)-

? 6

(D)-

? 3

4.(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)当(A)奇函数 (B)偶函数

? ? ≤x≤ 时,函数 f(x)满足 2f(-sinx)+3f(sinx)=sin2x,则 f(x)是( 2 2

)

(C)非奇非偶函数
3

(D)既奇又偶函数 .

5.(1994 全国高中数学联赛试题)已知 x,y∈[-

? ? ? ? x ? sin x ? 2a ? 0 , ],a∈R,且 ? 3 ,则 cos(x+2y)= 4 4 ? ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0
4 3 2

6.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=ax +bsin x+cx +dx+2满足f(1)=7,f(-1)=9且f(2)+f(-2)=124.则 f( 2 )+f(- 2 )=( (A)34 ) (B)36 (C)38 (D)40

10.对称性质 [例10]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知函数y=sinx+acosx的图像关于直线x=
的图像关于直线( )对称.
5? 对称.则函数y=asinx+cosx 3

6
(A)x=
? 3

Y.P.M 数学竞赛讲座
(B)x=
2? 3

(C)x=

11? 6

(D)x=π

[解析]:

[类题]:
1.(1997 年第八届希望杯数学邀请赛高一试题)函数 y=2sin4x 的图象在 y 轴右边的第 3 条对称轴的方程是 2.(2007 年第十八届希望杯数学邀请赛高一试题)函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)在同一周期内,当 x= 时,ymin=-3,则函数 y 的解析式是 . . .
7? ? 时,ymax=3;当 x= 12 12

3.(2005 年第十六届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=sinax+cosax 的最小正周期为 4,则它的对称轴可能是直线
b cos c 的值等于( a 1 (A)2

4.(2007 年全国高中数学联赛试题)设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、 b、 c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则 ) (B)
1 2

(C)-1

(D)1

11.有界性质 [例 11]:(1994 全国高中数学联赛试题)设 a,b,c 是实数.那么对任何实数 x,不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是
( )

(A)a,b 同时为 0,且 c>0

(B) a 2 ? b2 =c

(C) a 2 ? b2 <c

(D) a 2 ? b2 >c

[解析]:

[类题]:
1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)是定义在(-∞,3]上的减函数,且对于x∈R,f(a -sinx)≤f(a+1+ cos x)恒成立.则实数a的取值范围是 围是 . . . ) (D)[- 3 , 3 ]
? ).则 x+y= 2
2 2 2 2

.

2.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过函数 f(x)=x+cosx- 3 sinx 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范

3.(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )= 4.(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若 sinx+siny=1,则 cosx+cosy 的取值范围是 5.(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知 cosx+cosy=1,则 sinx-siny 的取值范围是( (A)[-1,1] (B)[-2,2]
?

(C)[0, 3 ]
x ? sin y ? 2008
2 2

6.(2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数 x,y 满足 ?

?x ? 2008cos y ? 2007

(0≤y≤

. .

7.(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知角α ,β 满足2sin α +sin β ?2sinα =0,则cos α +cos β 的取值范围是

12.有界应用 [例 12]:(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若函数 f(x)=11-8cosx-2sin2x 的最大值为 a,最小值为 b,则
(A)18 (B)6 (C)5 (D)0
a ?1 等于( b

)

[解析]: [类题]:

Y.P.M 数学竞赛讲座
1.(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 y=cos x+sin x-cosx 的最大值等于( 32 (A) 27 16 (B) 27 (C)
3 3 2

7
) (D)
2

8 27

4 27 )

2.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)x 为实数,函数 f(x)=4cos x-3cos x-6cosx+5 的最大值是( (A)7 27 (B) 4 25 (C) 4 . . . (D)5

3.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=|cosx|+|cos2x|(x∈R)的最小值是 4.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=|sinx|sinx+|cosx|cosx的值域是 5.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=cos2x-2a(1+cosx)的最小值为2

1 ,则a= 2

6.(2009 年全国高中数学联赛试题)已知函数 y=(acos x-3)sinx 的最小值为-3,则实数 a 的取值范围是

.

7.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 f(x)=cos2x+p|cosx|+q,x∈R.记 f(x)的最大值为 h(p),则 h(p)的表达式为

14.单调区间 [例 14]:(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=|sinx|+|cosx|(x∈R)的单调减区间是 [解析]:
.

[类题]:
1.(2006 年第十七届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=log 1 cos(2x–
2

? )的单调递减区间是 3

. .

2.(1998 年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=arccos(ax–1)在[0,1]上是减函数,则实数 a 的取值范围是 3.(1998 年第九届希望杯数学邀请赛高一试题)函数 f(x)=2asin(2x+β )的值域为[?1,1],在区间[数,则常数 a 与β 的值分别为 .
2

5? ? , ]上是单调递减函 12 12

4.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=4sinxsin (
2? ,则实数m的取值范围是 3

? ? x + )+cos2x.若|f(x)-m|<2成立的充分条件是 ≤x≤ 4 2 6

. .

5.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 sin(x+sinx)=cos(x-cosx),x∈[0,π ],则 x=

15.单调性质 [例 15]:(1982 年全国高中数学联赛试题)对任何φ ∈(0,
? )都有( 2

)

(A)sinsinφ <cosφ <coscosφ (B)sinsinφ >cosφ >coscosφ (C)sincosφ >cosφ >cossinφ (D)sincosφ <cosφ <cossinφ

[解析]:

[类题]:
1.(1996 年全国高中数学联赛试题)设 x∈(( ) (B)a1<a3<a2 (C)a3<a1<a2
0 0

1 ,0),以下三个数 a1=cos(sinxπ ),a2=sin(cosxπ ),a3=cos(x+1)π 的大小关系是 2

(A)a3<a2<a1

(D)a2<a3<a1
0 0

2.(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设 a=sin(sin2008 ),b=sin(cos2008 ),c=cos(sin2008 ),d=cos(cos2008 ),则

8
a,b,c,d 的大小关系是( (A)a<b<c<d a,b,c,d 的大小关系是( (A)a<b<c<d ) (B)b<a<d<c (C)c<d<b<a ) (B)b<a<d<c (C)c<d<b<a
0 0

Y.P.M 数学竞赛讲座
(D)d<c<a<b
0 0

3.(2007 年全国高中数学联赛陕西初赛试题 ) 设 a=sin(sin2007 ),b=sin(cos2007 ),c=cos(sin2007 ),d=cos(cos2007 ), 则 (D)d<c<a<b
1

4.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 f(x)=cos

1 x 1 2 ,a=f(loge ),b=f(logπ ),c=f( lo g? ),则下述关系式正确的是 1 ? 5 e
e

(

) (B)b>c>a (C)c>a>b (D)b>a>c )

(A)a>b>c

5.(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知α ∈(0, (A)α sinα +cosα >1 (B)α sinα +cosα <1

? ),则α sinα +cosα 与1的大小关系是( 2

(C)α sinα +cosα =1

(D)大小与α 的取值有关

16.单调综合 [例 16]:(1990 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设α ∈(
(A)(cosα )
cosα

? ? cosα cosα sinα , ),则(cosα ) ,(sinα ) ,(cosα ) 的大小顺序是( ) 4 2

<(sinα )

cosα

<(cosα )

sinα sinα

(B)(cosα ) (D)(cosα )

cosα sinα

<(cosα ) <(cosα )

sinα cosα

<(sinα ) <(sinα )

cosα cosα

(C) (sinα )

cosα

<(cosα )

cosα

<(cosα )

[解析]:

[类题]:
1.(1994 全国高中数学联赛试题)已知 0<b<1,0<α < 是( ) (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z )
? log cos ? log cos ? ,则下列三数:x= (sin? )logb sin ? ,y= (cos? ) b ,z= (sin ? ) b 的大小关系 4

(A)x<z<y

2.(1995 年全国高中数学联赛试题)logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1 的大小关系是( (A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tan1<logcos1tan1 (C)logsin1tan1<logcos1tan1<logcos1sin1<logsin1cos1 3.(2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若 0<x≤1,a=( 4.(1998 年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 f(x)=( (A)0<α +β <
? 4

(B)logcos1sin1<logcos1tan1<logsin1cos1<logsin1tan1 (D)logcos1tan1<logsin1tan1<logsin1cos1<logcos1sin1
sin x 2 sin x sin x 2 ) ,b= ,c= 2 ,则 a,b,c 的大小关系为 x x x
cos ? x ? cos ? x ) +( ) ,0<α ,β < ,若 x>0 时,f(x)<2,则( sin ? sin ? 2

. )

(B)0<α +β <

? 2

(C)

? ? <α +β < 4 2

(D)α +β >

? 2

17.几何意义 [例 17]:(1989 年全国高中数学联赛试题)当 s 和 t 取遍所有实数时,则(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2 所能达到的最小值是__. [解析]:

[类题]:
1.(1984 年全国高中数学联赛试题)若动点 P(x,y)以等角速度ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y -x )的运动方程是( ) (A)以角速度ω 在单位圆上顺时针运动 (C)以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 (B)以角速度ω 在单位圆上逆时针运动 (D)以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动
2 2

Y.P.M 数学竞赛讲座
0 0 0

9
0

2.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 A(2,0)为平面上的一定点,P(sin(2t-60 ),cos(2t-60 ))为动点,则当 t 由 15 变到 45 时,线段 AP 所扫过的图形的面积是___________.
2 2

3.(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点 P(x,y)满足(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R),则点 P(x,y)所在区域的 面积为( (A)36π ) (B)32π (C)20π (D)16π

4.(2000 年第十三届希望杯数学邀请赛高二试题)已知方程 acosx+bsinx=c 在 0<x<π 上有两个根 α 和 β ,则 sin(α +β ) =__. 5.(2007 年第十八届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=
? ? sin x ? 3 (- <x< )的单调递减区间是 2 2 cos x

.

6.(2005 年全国高中数学联赛试题)设α 、 β 、 γ 满足 0<α <β <γ <2π ,若对于任意 x∈R,cos(x+α )+cos(x+β )+cos(x+γ )=0, 则γ -α = .
? 2 ]恒有(x+3+2sinθ cosθ ) +(x+ 2

7.(1996 年全国高中数学联赛试题)求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意θ ∈[0, asinθ +acosθ ) ≥ .
2

1 8

18.三角综合 [例 18]:(1994 年第五届希望杯数学邀请赛高二试题)方程 2sinx=cosx 在[0,2π ]上的根的个数是 [解析]:
.

[类题]:
1.(1984 年全国高中数学联赛试题)方程 sinx=lgx 的实根个数是( (A)1 (A)1 (B)2 (B)2 2.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)方程log2x=3cosx共有( ) (C)3 )组解. (C)3 (D)4
? ]上的实根个数为________. 2

(D)大于 3

3.(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)方程 log ? x+sinx=2 在区间(0,
2

4.(1992 年第三届希望杯数学邀请赛高二试题)方程 2cos

x x –x =10 +10 +1 的实根的个数是 3

.

5.(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数 x 满足 log2x=1+cosθ ,其中θ ∈[大值等于 .

? ,0],则函数 f(x)=|x-1|+2|x-3|的最 2

6.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若存在钝角α ,使得sinα - 3 cosα =log2(x -x+2)成立,则实数x的取值范围是 . 7.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知函数 f(x)=sin(2x2 2 2

2

? ? )-m 在[0, ]上有两个零点,则 m 的取值范围 6 2

.

8.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如果圆x +y =k 至少覆盖函数f(x)= 3 sin k的取值范围是( (A)|k|≥3 ) (B)|k|≥2
2 2 2

?x 的一个最大值点和一个最小值点,则 k

(C)|k|≥1

(D)1≤|k|≤2
?x 的一个最大点和一个最小点,则正整 n

9.(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果圆x +y =n 至少覆盖函数f(x)= 3 sin 数n的最小值为( (A)1 ) (B)2 (C)3

(D)4

10

Y.P.M 数学竞赛讲座
? )上的解, 2

10.(2000 年第十三届希望杯数学邀请赛高二试题)设 α 和 β 分别是方程 cos(sinx)=x 和 sin(cosx)=x 在区间(0, 则它们的大小关系是________. 11.(2005 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 f(x)=sin2x+e
|sinx+cosx|

的最大值与最小值之差等于______.

19.三角代换 [例 19]:(1993 年全国高中数学联赛试题)实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 [解析]:
1 1 + =_______. Smax S min

[类题]:
1.(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数 f(x)=
1 ? x2 的值域是 x?2
2 2

. .

2.(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则

2 xy 的最小值是 x ? y ?1

3.(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数 f(x)=2x- 4 x ? x 2 的值域是______________. 4.(2008 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知 f(x)=x +(a +b -1)x+a +2ab-b 是偶函数,则函数图象与 y 轴交点的纵坐标的 最大值是 .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

5.(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题) x,y 为实数,满足 x +y ≤1,则 |x +2xy-y |的最大值为 6.(2011 年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数 f(x)= ? x 2 ? 10 x ? 9 + ? x 2 ? 50 x ? 184 的最大值为 7.(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 x,y 为实数,则
max

. .

5 x 2 ? 4 y 2 ?10 x

(x +y )=____________.

2

2

20.三角最值 [例 20]:(1994 全国高中数学联赛试题)设 0<θ <π ,则 sin (1+cosθ )的最大值是 [解析]: [评注]: [类题]:
1.(2006 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=sin x-sinxcosx+cos x,则 f(x)的值域是
4 4 4 4 4 4

? 2

.

.

2.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)函数 f(x)=sin x+2sinxcosx+cos x 的最小值为__________. 3.(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+cos x 的最大值为__________. 4.(1992 年第三届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=cosx+sinxcosx 的值域是 5.(1993 年第四届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=cosx–cos3x 的最大值是 6.(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=sin x+cos x(x∈N*)的最小值是 7.(1997 年第八届希望杯数学邀请赛高二试题)函数 y=
1 ? cos x 的值域是 sin x ? cos x ? 2
2k 2k

. . . .

8.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设α ∈(0, (A)
27 64

? sin3 ? cos3 ? ),则 + 的最小值为( 2 cos? sin?

) (D)
5 6

(B)

3 5

2

(C)1

3

Y.P.M 数学竞赛讲座
9.(1993 年第四届希望杯数学邀请赛高二试题)已知方程 sin x+cos x–sin2x+k=0 有解,则 k 的取值范围是 10.(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若关于 x 的不等式 (A)3 4 sin x ? 1 ≥a 有解,则实数 a 的最大值是( cos x ? 2
4 4

11
. ) (D)
4 3

(B)

3 4

(C)-

4 3

11.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 x∈(0,

225 ? 2 ),则函数 y= + 的最小值为__________. 2 4 sin 2 x cos x
2

12.(1995 年全国高中数学联赛试题 ) 给定曲线族 2(2sin θ -cos θ +3)x -(8sin θ +cos θ +1)y=0, θ 为参数, 求该曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值.

21.三角方程 [例 21]:(1984 年全国高中数学联赛试题)方程 cos =cosx 的通解是 [解析]:
x 4

,在(0,24π )内,不相同的解有

个.

[类题]:
1.(2004 年全国高中数学联赛试题)设锐角 θ 使关于 x 的方程 x +4xcosθ +cotθ =0 有重根,则 θ 的弧度数为( (A)
? 6
2

)

(B)

5? ? 或 12 12

(C)

? 5? 或 6 12

(D)

? 12

2.(1992 年全国高中数学联赛试题)在区间[0,?]中,三角方程 cos7x ? cos5x 的解的个数是______. 3.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设关于 x 的三个方程 x +2sinA1x+sinA2=0,x +2sinA2x+sinA3=0,x +2sinA3x+sinA1 =0,均有实数根,A1,A2,A3 为凸 4n+2 边形 A1A2A3……A4n+2 的三个内角,且所有内角均为 30°的倍数,则这个凸 4n+2 边形的内角和 为______. 4.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)下列方程中与 sinx+cosx=0 解集相同的是( (A)sin2x=1-cos2x (B)sinx=- 1 ? sin 2 x (C)cos2x=0 ) (D)
cos 2 x =0 cos x ? sin x
2 2 2

5.(1994 年第五届希望杯数学邀请赛高二试题)方程 sin(π cosx)=cos(π sinx)的解集是

.

22.反三角函数 [例 22]:(1983 年全国高中数学联赛试题)求证:arcsinx+arccosx= [解析]:
? ,其中 x∈[-1,1]. 2

[类题]:
1.(2000 年全国高中数学联赛试题)arcsin(sin2000?)=__________. 2.(1990 年第一届希望杯数学邀请赛高二试题)方程 arcsin(sinx)=
?
6

x x 的实根个数是 | x|

. )

3.(1986 年全国高中数学联赛试题)设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( (A){x|2nπ +θ <x<(2n+1)π -θ ,n∈Z} (C){x|(2n-1)π +θ <x<2nπ -θ ,n∈Z} 4.(1985 年全国高中数学联赛试题)已知方程 arccos

(B){x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ ,n∈Z} (D){x|(2n-1)π -θ <x<2nπ +θ ,n∈Z}
4 4 -arccos(- )=arcsinx,则( 5 5

)

12
(A)x=
24 25

Y.P.M 数学竞赛讲座
(B)x=24 25

(C)x=0
1 arcsinx 的值域是( 2

(D)这样的 x 不存在 ) (D)[? ? , ] 2 2

5.(1989 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)=arctanx+ (A)(-π ,π ) (B)[3? 3? , ] 4 4
2

(C)(-

3? 3? , ) 4 4

6.(1997 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=x -π x,α =arcsin (A)f(α )>f(β )>f(γ )>f(δ ) (C)f(δ )>f>(α )>f(β )>f(γ ) 7.(1993 年全国高中数学联赛试题)若直线 x= 为 d,当 a 变化时 d 的最小值是( (A)
? 4

1 5 1 5 ,β =arctan ,γ =arcos(- ),δ =arctan(- ),则( 3 4 3 4

)

(B)f(α )>f(δ )>f(β )>f(γ ) (D)f(δ )>f(α )>f(γ )>f(β )
? 被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa) ? 0 所截的弦长 4

) (B)
? 3

(C)

? 2

(D)?

23.和差化积 [例 23]:(2005 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对满足α
mcot
? ?? +n,则数组(m,n)= 2

? β ≠k ? 360 的任何角α ,β ,都有

0

sin( ? ? 300 ) ? sin(? ? 300 ) = cos? ? cos ?

.

[解析]:

[类题]:
1.(2009 年全国高中数学联赛江西初赛试题)cos
2? 4? 7? ? -cos -cos +cos = 15 15 15 15

.

2.(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 A= 1 ? cos 30 + 1 ? cos 7 0 + 1 ? cos 110 +…+ 1 ? cos 87 0 ,B= 1 ? cos 30 + 1 ? cos 7 0 + 1 ? cos110 +…+ 1 ? cos 87 0 ,则
A =_________. B

3.(1985 年上海高中数学竞赛试题)己知 sinx+siny= 2 ,cosx+cosy=

2 3 ,则 tanxtany= 3

.

Y.P.M 数学竞赛讲座

1

竞赛中的三角问题
高中联赛中的三角问题具有知识的载体性,着重于对向量本质特征-“数形二重性” 的考察,需要充分挖掘蕴含的几何本质.

一、知识结构
1.三角形的四心表示:
⑴静态形式:①

2.三角形的四心性质:
⑴重心性质

3.三角形的面积:


二、典型问题
1.基本问题 [例 1]:(2000 年全国高中数学联赛试题)设 sin?>0,cos?<0,且 sin
(A)(2k?+ (C)(2k?+
? ? ,2k?+ ),k?Z 6 3
5? ,2k?+?),k?Z 6

? ? ? >cos ,则 的取值范围是( 3 3 3

)

(B)(

2 k? ? 2 k? ? + , + ),k?Z 3 6 3 3

(D)(2k?+

? ? 5? ,2k?+ )∪(2k?+ ,2k?+?),k?Z 4 3 6

[解析]: [评注]: [类题]:
4.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若α 是第二象限的角,则π (A)第一象限角 (B)第二象限角
? 是( 2

) (D)第二、四象限角 )

(C)第一、三象限角
2

4.(2004 年全国高中数学联赛试题)设锐角 θ 使关于 x 的方程 x +4xcosθ +cotθ =0 有重根,则 θ 的弧度数为( (A)
? 6

(B)

5? ? 或 12 12
5 5 3

(C)

? 5? 或 6 12
3

(D)

? 12

(2011年全国高中数学联赛试题)如果cos θ -sin θ <7(sin θ -cos θ ),θ ∈[0,2π ),那么θ 的取值范围是 4.(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设0≤x≤2π ,则满足不等式sin(x? )>cosx的x的取值范围是________. 6

.

4.(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)不等式组 sinx>cosx>tanx>cotx 在(0,2π )中的解集(用区间表示)是 (2010 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)若 e 是 .
3
sin ?

.

? ln cos ? ? e

cos?

? ln sin ?

,且 ?

? ? 0, 2? ? ,则角 ? 的取值范围

3.(2009 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若 sin 则角 ? 的取值范围是( A. [0, ) C.

? ? cos3 ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 2?

?

4

]

B.

[ ,? ] 4

?

? 5? [ , ] 4 4

D.

? 3? [ , ) 4 2

3.(2006 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)已知θ 是第三象限的角,且 sin A. (2k?+

?

3? 3? 7? )( ? 2k? + , 2k? + ),k ? Z 4 8 4 8 5? 11? 7? 15? B. (2k?+ , 2k?+ )( ? 2k?+ , 2k?+ ),k ? Z 4 8 4 8 ? 3? 3? 7? C. (k?+ ,k?+ )( ? k?+ ,k?+ ),k ? Z 4 8 4 8 5? 11? 7? 15? D. (4k?+ ,4k?+ )( ? 4k?+ ,4k? + ),k ? Z 4 8 4 8 , 2k?+
2.恒等变换 [例2]:(2003年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)=
(A)cos2x (B)sin2x

?

? cos , 则 4 4 4

?

?

的取值范围是(



sin 4 x ? 4 cos 2 x - cos 4 x ? 4 sin 2 x ,则f(x)可化简为(

)

(C)cosx-sinx

(D)cos

x x -sin 2 2
2

[解析]:sin4+4cos2x=sin4x-4sin2x+4=(sin2-2)2,cos4x+4sin2x=(cos2x-2)2 ? f(x)=
(2-cos x)=cos x-sin x=cos2x.
2 2 2

sin 4 x ? 4 cos 2 x - cos 4 x ? 4 sin 2 x =2-sin x-

[评注]: [类题]:
2.(1981 全国高中数学联赛试题)条件甲: 1 ? sin? =a.条件乙:sin (A)甲是乙的充分必要条件 (B)甲是乙的必要条件
? ? +cos =a. 2 2

(C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的必要条件,也不是充分条件

[解析]:

1 ? sin? =a ? |sin

? ? ? ? +cos |=a,与 sin +cos =a 互不推出,选(D). 2 2 2 2
4 4 和条件 q:|sinα +cosα |= .则 p 是 q 的( 3 3

4.(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知条件 p: 1 ? sin2? = (A)充分但不必要条件 (B)必要但不充分条件

)

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

2.(1981 全国高中数学联赛试题)设α ≠ (A)T 取负值

k? sin ? ? tan ? (k=0, ? 1, ? 2,…),T= . 2 cos ? ? cot ?

(B)T 取非负值
sin ? ? tan ? 1 ? cos ? 2 =tan α >0. cos ? ? cot ? 1 ? sin ?

(C)T 取正值

(D)T 取值可正可负

[解析]:T=

(2008 年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知 0<x< 整数).则 a+b+c=( (A)8 ) (B)32

a ? ? 1 ,sinx-cosx= .若 tanx+ 可以表示成 的形式(a,b,c 是正 2 4 tan x b??c

(C)48
k k k

(D)50 )

(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)若对所有实数 x,均有 sin xsinkx+cos xcoskx=cos 2x,则 k=( (A)6 (B)5 (C)4 (D)3

(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)化简三角有理式

cos4 x ? sin 4 x ? sin 2 x cos2 x sin 6 x ? cos6 x ? 2 sin 2 x cos2 x

的值为(



D. 1+ sin x cos x sin x cos x 5? 3? (2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知 ? ? [ , ] ,则 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? 4 2 A. 2sin ? B. ?2sin ? C. ?2cos ? D. 2cos? A. 1 B. C. (2007年全国高中数学联赛陕西初赛试题)实数x,y满足tanx=x,tany=y,且|x|≠|y|,则

sin x ? cos x

可化简为(



sin(x ? y ) sin(x ? y) 的值等于 x? y x? y

.

3.三角求值 [例3]:(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)若实数x,α ,β 满足x=log3tanα =-log3tanβ ,且α -β = [解析]:由 log3tanα =-log3tanβ
x=
1 . 2

? 则x的值是 6

.

? tanα tanβ =1,由α -β =

tan ? ? tan ? ? 3 2 3 = ? ? tanα -tanβ = ? tanα = 3 ? 1 ? tan ? tan ? 6 3 3

[评注]: [类题]:
(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 cos2θ = (2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设 cos4θ =
2 4 4 ,则 cos θ +sin θ 的值是 3
1 4 4 ,则 cos θ +sin θ 的值是 5

. . . . .

(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知 sinα cosβ =1,则 cos(α +β )= (2011 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)若 f(g(x))=sin2x,g(x)=tan (2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若sin (x+
2

x 2 (0<x<π ),则 f( )= 2 2

? 3? ? ? 1 2 )-sin (x- )=- ,且x∈( , ),则tanx的值为 2 4 12 12 4
6 3 2 ? ? ? ,cosα +cosβ = ,则 cos = 2 3 3

(2009 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)己知 sinα +sinβ =

.

3.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知 ? 为锐角,且 (2008 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知

cos 3? 1 sin 3? ? ,则 ? cos ? 3 sin ?
.

tan ? sin( ? ? ?) =3,则 的值是 tan ? sin( ? ? ?)

3 5 2.(1983 全国高中数学联赛试题)在△ABC 中,sinA= ,cosB= ,那么 cosC 的值等于 5 13

.

14.角的变换 [例 14]:(2005 年全国高中数学联赛湖南初赛试题) [解析]: [评注]: [类题]:
(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知α 、β 为锐角,sinα =x,cosβ =y,cos(α +β )=3 ,则y与x的函数关系式为 5

.

14.特殊角值 [例 14]:(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题) sin 130 ? sin 70 cos80 ?
2 0 0 0



答案:

3 . 4
2

解: sin

1300 ? sin 700 cos800 ? cos2 400 ? sin 700 sin100

?

1 ? cos800 1 1 ? sin 700 sin100 ? ? (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) ? sin 700 sin100 2 2 2

?

1 1 1 1 3 ? (cos 700 cos100 ? sin 700 sin100 ) ? ? cos 600 ? . 2 2 2 2 4

[解析]: [评注]: [类题]:
2.(1991 全国高中数学联赛试题)cos 10 +cos 50 -sin40 sin80 = (2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)
1 ? cos200 2 sin200
2 0 2 0 0 0

.
0 0

-sin10 (cot5 -tan5 )=

0

.

(2007 年全国高中数学联赛江西初赛试题)计算

1 3 ? ? 0 sin10 cos100
0

.

(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题) sin 20
0

? sin 400 ? sin800 ?
0 0 0

. .

(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)sin6 sin42 sin66 sin78 =

14.函数性质 [例 14]:(2005 年全国高中数学联赛湖南初赛试题) [解析]: [评注]: [类题]:
(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题 ) 有四个函数 : ① y=sinx+cosx; ② y=sinx-cosx; ③ y=sinxcos; ④ y= (0,
? )上为单调增函数的是( 2
sin x . 其中在 cos x

) (B)② (C)①和③ (D)②和④

(A)①

1.(2001 年全国高中数学联赛试题)在四个函数 y=sin|x|,y=cos|x|,y=|ctgx|,y=lg|sinx|中以π 为周期、 在(0, 增的偶函数是( (A)y=sin|x| ) (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|

? )上单调递 2

4.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)下列函数中,既是在[0,
1 x 2

? ]内的增函数,又是以π 为最小正周期的函数是( 2

)

(A)y=|sinx|

(B)y= e

sin

(C)y=sin2x
? 为最小正周期的偶函数是( 2

(D)y=cos4x ) (D)y=sin 2x-cos 2x
2 2

4.(2009年全国高中数学联赛四川初赛试题)下列函数中,以 (A)y=sin2x+cos2x (B)y=sin2xcos2x

(C)y=sin x+cos2x

2

14.图像变换 [例 14]:(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)将函数 y=f(x)cosx 的图象向右平移
换,得到函数 y=cos2x 的图象,则 f(x)可以是( (A)sinx (B)cosx ) (C)2sinx (D)2cosx
? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变 4

[解析]: [评注]: [类题]:
(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=f(x)的图像按向量 a=( 2,那么 y=f(x)的解析式为( (A)y=sinx ) (B)y=cosx (C)y=sinx+2 (D)y=cosx+2 )
? ? ,2)平移后,得到的图像的解析式为 y=sin(x+ )+ 4 4

(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)为了得到函数y=sin(2x(A)向右平移 (C)向左平移
? 个单位长度 6 ? 个单位长度 6

? )的图象,可以将函数y=cos2x的图象( 6

(B)向右平移 (D)向左平移

? 个单位长度 3 ? 个单位长度 3

(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)把函数

? ? y ? sin(2 x ? ) ? 1 的图象按向量 a ? ( ? ,1) 平移,再把所得图象上各点 6 6


的横坐标缩短为原来的 A.

y ? sin(4 x ?

C. y ? sin(2 x ?

2? )? 2 3 ?
6 )

1 ,则所得图象的函数解析式是( 2
B. D.

y ? sin(4 x ? ) 6 2? y ? cos(4 x ? ) 3
3 cos x ? sin x 的图象向右平移 m ( m >0)个单位长度后,所

?

(2010 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)若把函数 y ? 得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A. ). C.

π 3

B.

2 π 3

π 6

D.

5 π 6

14.周期性质 [例 14]:(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 f1 ( x) ?

2,

f 2 ( x) ? sin x ? cos 2 x , f3 ( x) ? sin
周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3

x ? cos 2 x , f 4 ( x) ? sin x 2 ,上述函数中, 2
(D) 4

[解析]:P [评注]: [类题]:

(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)函数 A.

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x 的最小正周期是(
C. ? D. 2?



? 4

B.

? 2

(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知函数y=sin x,则( (A)有最小正周期为2π (B)有最小正周期为π
4 2

2

) (C)有最小正周期为
? 2

(D)无最小正周期

1.(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)函数 y=cos x+sin x 的最小正周期为( (A)

)

? 4

(B)

? 2

(C) ?

(D)2 ?

(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题) x ? R, 函数 (2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)函数

f ( x) ? 2sin

x x ? 3cos 的最小正周期为 2 3

.

x f ( x) ? 2sin ? 3 cos x 的最小正周期为__________。 2
)
1 2 1 2

(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是周期函数,若 f(x)的最小正周期是π ,且当 x∈[0,
3 2

? 8? )时,f(x)=sinx,则 f( )的值为( 2 3

(A)

(B)-

3 2

(C)

(D)-

3.(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题 ) 设

f ( x) 是以

2 为周期的奇函数,且

5 2 f (? ) ? 3 ,若 sin ? ? 5 5



f (4cos 2? ) 的值

[解析]: 5.奇偶性质 [例 5]:(1993 年全国高中数学联赛试题)已知 f(x)=asinx+b 3 x +4(a,b 为实数),且 f(lglog310) ? 5, 则 f(lglg3)的值是(
(A)?5 (B)?3 (C)3 (D)随 a,b 取不同值而取不同值

)

[解析]: [评注]: [类题]:
(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若|lgφ |<1,则使函数 f(x)=sin(x-φ )+cos(x-φ )为奇函数的φ 的个数为 1.(2005 年全国高中数学联赛山东初赛试题)当- 是( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数 (D)既奇又偶函数 .

? 2

≤x ≤

? 2

时,函数 f(x)满足 2 f(-sinx)+3 f(sinx)=sin2x,则 f(x)

2.(1994 全国高中数学联赛试题)已知 x,y∈[-

? x3 ? sin x ? 2a ? 0 ? ? ? , ],a∈R,且 ? 3 ,则 cos(x+2y)= 4 4 ? ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0
4 3 2

.

(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=ax +bsin x+cx +dx+2满足f(1)=7,f(-1)=9且f(2)+f(-2)=124.则

f( 2 )+f(- 2 )=( (A)34

) (B)36 (C)38 (D)40
? ]为减函数,则θ 的一个 4

3.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)若f(x)=sin(2x+θ )+3cos(2x+θ )为奇函数,且在[0, 值为( (A)
5? 6

) (B)
2? 3

(C)-

? 6

(D)-

? 3

4.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题) 2.(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)

14.对称性质 [例14]:(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知函数y=sinx+acosx的图像关于直线x=
的图像关于直线( (A)x=
? 3
5? 对称.则函数y=asinx+cosx 3

)对称. (B)x=
2? 3

(C)x=

11? 6

(D)x=π

[解析]: [评注]: [类题]:
2.(2005 年全国高中数学联赛试题)

[解析]:
1.(2007 年全国高中数学联赛试题)设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1.若实数 a、 b、 c 使得 af(x)+bf(x-c)=1 对任意实数 x 恒成立, 则
b cos c 的值等于( a 1 2

) (B)
1 2

(A)-

(C)-1

(D)1

4.有界应用 [例 4]:(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)若函数 f(x)=11-8cosx-2sin2x 的最大值为 a,最小值为 b,则
(A)18 (B)6 (C)5
a ?1 =6. b a ?1 等于( b

)

(D)0

[解析]:f(x)=11-8cosx-2sin2x=2cos2x-8cosx+9=2(cosx-2)2+1 ? a=19,b=3 ? [评注]: [类题]:

1.(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知函数f(x)是定义在(-∞,3]上的减函数,且对于x∈R,f(a -sinx)≤f(a+1+ cos x)恒成立.则实数a的取值范围是
2 2 2

2

.

? ? a 2 ? sin x ? 3 a2 ? 1 ? 3 ? ? 1 ? 10 ? ? 2 [解析]:对于x∈R,f(a -sinx)≤f(a+1+cos x)恒成立 ? ? a ? 1 ? cos x ? 3 ? ? ]. a ?1?1? 3 ? a∈[- 2 , 2 ?a 2 ? sin x ? a ? 1 ? cos2 x ?sin2 x ? sin x ? a ? 2 ? a 2 ? ? ? ?

2.(1994 全国高中数学联赛试题)设 a,b,c 是实数.那么对任何实数 x,不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是(

)

(A)a,b 同时为 0,且 c>0

(B) a 2 ? b2 =c

(C) a 2 ? b2 <c

(D) a 2 ? b2 >c

[解析]:①当ab≠0时,asinx+bcosx+c>0 ?
bcosx+c>0 ? c>0 ? c> a 2 ? b2 .

a 2 ? b 2 sin(x+φ )+c>0 ? - a 2 ? b 2 +c>0 ? c> a 2 ? b 2 ;②当ab=0时,asinx+

4.(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知不等式 m +(cos θ -5)m+4sin θ ≥0 恒成立,则实数 m 的取值范围是( (A)0≤m≤4 (B)1≤m≤4
2 2

2

2

2

)

(C)m≥4 或 x≤0

(D)m≥1 或 m≤0

2.(2002 年全国高中数学联赛试题)使不等式 sin x+acosx+a ≥1+cosx 对一切 x∈R 恒成立的负数 a 的取值范围是______. 1.(2008年全国高中数学联赛试题)设f(x)=cos2x-2a(1+cosx)的最小值为2

1 ,则a= 2

. .

1.(2009 年全国高中数学联赛试题)已知函数 y=(acos x-3)sinx 的最小值为-3,则实数 a 的取值范围是 3.(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=|cosx|+|cos2x|(x∈R)的最小值是 .

4.(2004 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 y=cos x+sin x-cosx 的最大值等于( 32 (A) 27 16 (B) 27 (C)
3

3

2

) (D) 4 27 )

8 27
2

4.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)x 为实数,函数 f(x)=4cos x-3cos x-6cosx+5 的最大值是( (A)7 27 (B) 4 25 (C) 4 (D)5

(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过函数 f(x)=x+cosx- 3 sinx 的图象上的一点的切线的斜率为 k,则 k 的取值范围 是 . (2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若 sin x ? sin y (A)

? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是

[?2, 2]

(B)

[?1, 1]

(C)

[0, 3 ]

(D)

[? 3 , 3 ]
) (D)[- 3 , 3 ]
2 2

(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知 cosx+cosy=1,则 sinx-siny 的取值范围是( (A)[-1,1] (B)[-2,2]
2

(C)[0, 3 ]
2

(2009年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知角α ,β 满足2sin α +sin β ?2sinα =0,则cos α +cos β 的取值范围是 (2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)函数f(x)=|sinx|sinx+|cosx|cosx的值域是 (2008 年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数 x,y 满足 ? 1.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 则h
? x ? sin y ? 2008 ?x ? 2008cos y ? 2007

.

. .

(0≤y≤

? ).则 x+y= 2

f ? x ? ? cos 2 x ? p cos x ? p, x ? R .记 f ? x ? 的最大值为 h ? p ? ,

? p ? 的表达式为



14.单调区间 [例 14]:(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)函数 y=|sinx|+|cosx|(x∈R)的单调减区间是 [解析]:函数 y=|sinx|+|cosx|= [评注]:
1? | sin2 x | ,T=

.

? ? ? ? ? [k +k + ]. 2 2 2 4

[类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知 sin

? x ? sin x ? ? cos ? x ? cos x ? , x ? ?0, ? ? ,则 x =
2



2.(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=4sinxsin (
2? ,则实数m的取值范围是 3

? ? x + )+cos2x.若|f(x)-m|<2成立的充分条件是 ≤x≤ 4 2 6

.

6.单调性质 [例 6]:(1982 年全国高中数学联赛试题)对任何φ ∈(0,
? )都有( 2

)

(A)sinsinφ <cosφ <coscosφ (B)sinsinφ >cosφ >coscosφ (C)sincosφ >cosφ >cossinφ (D)sincosφ <cosφ <cossinφ

[解析]:对任何φ ∈(0,

? ? ? ),0<sinφ <φ < ? cosφ <cossinφ ;又因 0<cosφ <1< ,在 sinx<x 中,令 x=cosφ 得:sincosφ 2 2 2

<cosφ ? sincosφ <cosφ <cossinφ .

[评注]: [类题]:
1.

[解析]:
2.(1996 年全国高中数学联赛试题)设 x∈(( ) (B)a1<a3<a2 ) (B)b<a<d<c ) (B)b<a<d<c (C)c<d<b<a (D)d<c<a<b (C)c<d<b<a
0 0

1 ,0),以下三个数 a1=cos(sinxπ ),a2=sin(cosxπ ),a3=cos(x+1)π 的大小关系是 2

(A)a3<a2<a1 a,b,c,d 的大小关系是( (A)a<b<c<d a,b,c,d 的大小关系是( (A)a<b<c<d

(C)a3<a1<a2
0 0

(D)a2<a3<a1
0 0

(2008 年 全 国 高 中 数 学 联 赛湖 南 初 赛 试 题 ) 设 a=sin(sin2008 ),b=sin(cos2008 ),c=cos(sin2008 ),d=cos(cos2008 ), 则 (D)d<c<a<b
0 0

(2007 年 全 国 高 中 数 学 联 赛陕 西 初 赛 试 题 ) 设 a=sin(sin2007 ),b=sin(cos2007 ),c=cos(sin2007 ),d=cos(cos2007 ), 则

(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设

f ( x) ? cos

1 1 1 x , a ? f (log e ), b ? f (log? ), c ? f (log 1 2 ) ,则 ? e 5 e ?
D.

下述关系式正确的是( 1. A. a ? b ? c

) 。 B.

b?c?a

C.

c ?a ?b

b?a?c
)

2.(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知α ∈(0, (A)α sinα +cosα >1 (B)α sinα +cosα <1

? ),则α sinα +cosα 与1的大小关系是( 2

(C)α sinα +cosα =1

(D)大小与α 的取值有关

7.单调综合 [例 7]:(1990 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设α ∈(
(A)(cosα )
cosα

? ? cosα cosα sinα , ),则(cosα ) ,(sinα ) ,(cosα ) 的大小顺序是( 4 2

)

<(sinα )

cosα

<(cosα )

sinα sinα

(B)(cosα ) (D)(cosα )

cosα sinα

<(cosα ) <(cosα )

sinα cosα

<(sinα ) <(sinα )

cosα cosα

(C) (sinα )

cosα

<(cosα )

cosα

<(cosα )

[解析]:α ∈(

? ? cosα cosα cosα sinα , ) ? 0<cosα <sinα <1 ? (cosα ) <(sinα ) ,且(cosα ) >(cosα ) ? (D). 4 2

[评注]: [类题]:
(2011 年全国高中数学联赛天津初赛试题) (2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题) 2.(1994 全国高中数学联赛试题)已知 0<b<1,0<α < 是( ) (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z )
? log cos ? log cos ? ,则下列三数:x= (sin? )logb sin ? ,y= (cos? ) b ,z= (sin ? ) b 的大小关系 4

(A)x<z<y

2.(1995 年全国高中数学联赛试题)logsin1cos1,logsin1tan1,logcos1sin1,logcos1tan1 的大小关系是( (A)logsin1cos1<logcos1sin1<logsin1tan1<logcos1tan1 (C)logsin1tan1<logcos1tan1<logcos1sin1<logsin1cos1 (2008 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若 0 ?

(B)logcos1sin1<logcos1tan1<logsin1cos1<logsin1tan1 (D)logcos1tan1<logsin1tan1<logsin1cos1<logcos1sin1

x ? 1, a ? (

sin x 2 sin x 2 sin x ,c ? ) ,b ? x2 x x

,则 a, b, c 的大小关系





3.(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)

8.三角方程 [例 8]:(1984 年全国高中数学联赛试题)方程 cos =cosx 的通解是 [解析]:cos =cosx ? x=2kπ + ,或 x=2nπ x 4 x 4 x 4

,在(0,24π )内,不相同的解有

个.

8 k? 8n? 8 k? 8n? x (k∈Z),或 x= (n∈Z), <24π ? k<9, <24π ? n<15, ? x= 3 5 3 5 4

而 k=3,n=5;k=6,n=10 时两角相等 ? 在(0,24π )内,不相同的解有 8+14-2=20 个.

[评注]: [类题]:
1.(1992 年全国高中数学联赛试题)在区间[0,?]中,三角方程 cos7x ? cos5x 的解的个数是______. 4.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设关于 x 的三个方程 x +2sinA1x+sinA2=0,x +2sinA2x+sinA3=0,x +2sinA3x+sinA1 =0,均有实数根,A1,A2,A3 为凸 4n+2 边形 A1A2A3……A4n+2 的三个内角,且所有内角均为 30°的倍数,则这个凸 4n+2 边形的内角和 为______. 3.(2009 年全国高中数学联赛新疆初赛试题)下列方程中与 sinx+cosx=0 解集相同的是( A.sin2x=1-cos2x B.sinx=- )
2 2 2

1 ? sin 2 x C.cos2x=0

D.

cos 2 x ?0 cos x ? sin x

4.(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题) 5.(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)

9.反三角函数 [例 9]:(1983 年全国高中数学联赛试题)求证:arcsinx+arccosx= [解析]:设 arcsinx=α ∈[α )=cosβ ?
? ,其中 x∈[-1,1]. 2

? ? ? ? , ],arccosx=β ∈[0,π ] ? -α ∈[0,π ],sinα =x,cosβ =x ? sinα =cosβ ? cos( 2 2 2 2

? ? -α =β ? α +β = . 2 2

[评注]: [类题]:
(2000 年全国高中数学联赛试题)arcsin(sin2000?)=__________. (1986 年全国高中数学联赛试题)设-1<a<0,θ =arcsina,那么不等式 sinx<a 的解集为( (A){x|2nπ +θ <x<(2n+1)π -θ ,n∈Z} (C){x|(2n-1)π +θ <x<2nπ -θ ,n∈Z} )

(B){x|2nπ -θ <x<(2n+1)π +θ ,n∈Z} (D){x|(2n-1)π -θ <x<2nπ +θ ,n∈Z}

[解析]:(D).
(1985 年全国高中数学联赛试题)已知方程 arccos (A)x=
24 25 4 5 4 4 -arccos(- )=arcsinx,则( 5 5

) (D)这样的 x 不存在

(B)x=4 5

24 25

(C)x=0
? cosα =

[解析]:设 arccos =α ,arccos(- )=β
sinβ =-

4 4 3 3 ,cosβ =- ? sinα = ,sinβ = ? cos(β -α )=cosα cosβ +sinα 5 5 5 5

? 7 <0 ? β -α > ? 这样的 x 不存在. 2 25
1 arcsinx 的值域是( 2

(1989 年全国高中数学联赛试题)函数 f(x)=arctanx+ (A)(-π ,π ) (B)[3? 3? , ] 4 4

)
3? 3? , ) 4 4

(C)(-

(D)[-

? ? , ] 2 2

[解析]:设 arcsinx=α ∈[-

? ? ? ? ? ? 1 , ],且 x∈[-1,1] ? arctanx=β ∈[- , ] ? f(x)=β + α ∈[- , ]. 2 2 4 4 2 2 2
2

(1997 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=x -π x,α =arcsin ,β =arctan (A)f(α )>f(β )>f(γ )>f(δ ) (C)f(δ )>f>(α )>f(β )>f(γ )

1 3

5 1 5 ,γ =arcos(- ),δ =arctan(- ),则( 4 3 4

)

(B)f(α )>f(δ )>f(β )>f(γ ) (D)f(δ )>f(α )>f(γ )>f(β )

10.三角综合 [例 10]:(1993 年全国高中数学联赛试题)若直线 x=
截的弦长为 d,当 a 变化时 d 的最小值是( (A)
? 4
? 被曲线 C:(x?arcsina)(x?arccosa)+(y?arcsina)(y+arccosa) ? 0 所 4

) (C)
? 2

(B)

? 3

(D)?
1 2

[解析]:曲线 C 是以 A(arcsina,arcsina),B(arccosa,-arccosa)两点为直径端点的圆,其圆心的横坐标= (arcsina+
arccosa)=
? . 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 , 故直线过圆心 ? d 是该圆的直径 ? d =|AB| =2[(arcsina) +(arccosa) ] ≥(arcsine+arccosa) =( ) ? d ≥ 4 2

[评注]: [类题]:
(1984 年全国高中数学联赛试题)方程 sinx=lgx 的实根个数是( (A)1 (B)2 (2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)方程log2x=3cosx共有( ) (C)3 )组解. (D)大于 3

(A)1

(B)2
|sinx+cosx|

(C)3

(D)4

4.(2005 年全国高中数学联赛四川初赛试题)函数 f(x)=sin2x+e

的最大值与最小值之差等于______.
? ,0],则函数 f(x)=|x-1|+2|x-3|的最 2

4.(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)若实数 x 满足 log2x=1+cosθ ,其中θ ∈[大值等于 .
2

(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若存在钝角α ,使得sinα - 3 cosα =log2(x -x+2)成立,则实数x的取值范围是 1.(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)方程 log ?
2

.

? x ? sin x ? 2 在区间 (0, ] 上的实根个数为________. 2

(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知函数 为( A. )

? ? ?? f ( x) ? sin(2 x ? ) ? m 在 ?0, ? 上有两个零点,则 m 的取值范围 6 ? 2?
?1 ? ? , 1? ?2 ?
?x 的一个最大点和一个最小点,则正整数 n

?1 ? ? , 1? ?2 ?

B

?1 ? , 1? ? ?2 ?

C.

?1 ? , 1? ? ?2 ?
2 2 2

D.

(2005年全国高中数学联赛湖南初赛试题)如果圆x +y =n 至少覆盖函数f(x)= 3 sin n的最小值为( (A)1 ) (B)2
n 2

(C)3

(D)4

[解析]:P( ,

3 )?(

n 2 2 ) +3≤n ? n≥2. 2
2 2 2

2.(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)如果圆x +y =k 至少覆盖函数f(x)= 3 sin k的取值范围是( (A)|k|≥3 ) (B)|k|≥2 (C)|k|≥1

?x 的一个最大值点和一个最小值点,则 k

(D)1≤|k|≤2

4.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题) 5.(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)

11.几何意义 [例 11]:(1989 年全国高中数学联赛试题)当 s 和 t 取遍所有实数时,则(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|)2 所能达到的最小值是
________.

[解析]: [评注]: [类题]:
5.(1984 年全国高中数学联赛试题)若动点 P(x,y)以等角速度ω 在单位圆上逆时针运动,则点 Q(-2xy,y -x )的运动方程是( ) (A)以角速度ω 在单位圆上顺时针运动 (C)以角速度 2ω 在单位圆上顺时针运动 (B)以角速度ω 在单位圆上逆时针运动 (D)以角速度 2ω 在单位圆上逆时针运动
3? 3? 2 2 2 2 -2ω x),y -x =sin ω x-cos ω x=-cos2ω x=sin( -2ω x),选(C). 2 2
0 0 0 0 2 2

[解析]:设 x=cosω x,y=sinω x ? -2xy=-sin2ω x=cos(

5.(1990 年全国高中数学联赛试题)设 A(2,0)为平面上的一定点,P(sin(2t-60 ),cos(2t-60 ))为动点,则当 t 由 15 变到 45 时,线段 AP 所扫过的图形的面积是___________.

[解析]:

? . 6

1.(2005 年全国高中数学联赛试题)设α 、 β 、 γ 满足 0<α <β <γ <2π ,若对于任意 x∈R,cos(x+α )+cos(x+β )+cos(x+γ )=0, 则γ -α = 积为( (A)36π ) (B)32π (C)20π (D)16π
? 2 ]恒有(x+3+2sinθ cosθ ) +(x+ 2

.
2 2

(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知点 P(x,y)满足(x-4cosθ ) +(y-4sinθ ) =4(θ ∈R),则点 P(x,y)所在区域的面

2.(1996 年全国高中数学联赛试题)求实数 a 的取值范围,使得对任意实数 x 和任意θ ∈[0, asinθ +acosθ ) ≥ .
2

1 8

3.(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)

12.三角代换 [例 12]:(1993 年全国高中数学联赛试题)实数 x,y 满足 4x2?5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则
1 1 + =_______. Smax S min

[解析]: [评注]: [类题]:
(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题) x, y 为实数,满足 x
2

? y 2 ? 1,则 x 2 ? 2 xy ? y 2

的最大值为

.

答:

2

.

解:设 x ? r cos ? ,

y ? r sin ? , 0 ? r ? 1, ? ? ? ? ? ? ,则

x 2 ? 2 xy ? y 2 ? r 2 cos 2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2 ? ? r 2 sin 2? ? cos 2?

? 2r 2 sin(2? ? ) ? 2 4

?

, (当 r

? 1, 2? ?

?
4

??

?
2

时取等号).

(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)函数

1 ? x2 f ( x) ? x?2

的值域是______.

2.(2011 年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)函数 f(x)= ? x 2 ? 10 x ? 9 + ? x 2 ? 50 x ? 184 的最大值为 (2008 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知 轴交点的纵坐标的最大值是( A. )

.

f ? x ? ? x 2 ? ? a 2 ? b 2 ? 1? x ? a 2 ? 2ab ? b 2 是偶函数, 则函数图象与 y

2

B. 2
2

C.

2 2

D. 4

解:由已知条件可知, a

? b2 ? 1 ? 0 ,函数图象与 y 轴交点的纵坐标为 a2 ? 2ab ? b2 。令 a ? cos? , b ? sin ? ,则
选 A。

a2 ? 2ab ? b2 ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? ? sin 2 ? ? cos 2? ? sin 2? ? 2 。因此

(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 x, y 为实数,则
2

5 x ? 4 y ?10 x
2

2

max ( x 2 ? y 2 ) ? ____________。 2
2 xy 的最小值是 x ? y ?1

(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)若实数x、y满足x +y =1,则

2.(2010 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数

的值域是______________.

提示: 因

, 设



) , 则

(其中 故

, .

, 为锐角) , 所以当

时,

, 当

时,



13.三角最值 [例 13]:(1994 全国高中数学联赛试题)设 0<θ <π ,则 sin (1+cosθ )的最大值是
? 2 ? 2 ? 2

.

[解析]:设 sin =t∈(0,1) ? 1+cosθ =2-2sin2 =2(1-t2) ? sin (1+cosθ )=2t(1-t2),令 f(t)= [评注]: [类题]:
2.(1995 年全国高中数学联赛试题)给定曲线族 2(2sinθ -cosθ +3)x -(8sinθ +cosθ +1)y=0,θ 为参数,求该曲线在直线 y=2x 上所截得的弦长的最大值.
2

? 2

[解析]:x=

8 sin ? ? cos ? ? 1 2 2 2 ? 2(x-4)sinθ -(x-1)cosθ =1-3x ? (1-3x) ≤4(x-4) +(x-1) ? x∈[-8,2] ? |x|max=8 ? 弦长的 2 sin ? ? cos ? ? 3

最大值=8 5 . 1.(2006 年全国高中数学联赛试题)设 f(x)=sin x-sinxcosx+cos x,则 f(x)的值域是
4 4 4 4 4 4

.

(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)函数 f(x)=sin x+2sinxcosx+cos x 的最小值为__________. (2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=sin x+sinxcosx+cos x 的最大值为__________.
5? ? 2? ? ? ,- ],则 y=tan(x+ )-tan(x+ )+cos(x+ )的最大值是( 12 3 3 6 6 11 12 3 3 (C) (D) 2 6 5

2.(2003 年全国高中数学联赛试题)若 x∈[(A)
12 5

)

2

(B)

11 6

[解析]:y=tan(x+

2? ? ? 2? 2? ? )-tan(x+ )+cos(x+ )=tan(x+ )+cot(x+ )+cos(x+ )= 3 6 6 3 3 6

2 cos(2 x ? 4? ) 3

+cos(x+

? ), 6

1.(2007 年全国高中数学联赛试题)已知函数 f(x)=

sin( ?x) ? cos( ?x) ? 2 x

(

1 5 ≤x≤ ),则 f(x)的最小值为__________. 4 4

4.(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设α ∈(0, (A)
27 64

? sin3 ? cos3 ? ),则 + 的最小值为( 2 cos? sin?

) (D)
5 6

(B)

3 5

2

(C)1

3

2.(1995 年全国高中数学联赛试题)设 x≥y≥z≥

? ? ,且 x+y+z? ,求乘积 cosxsinycosz 的最大值和最小值. 2 12
sin x ? 1 ≥a 有解,则实数 a 的最大值是( cos x ? 2

(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若关于 x 的不等式 (A)3 4

) (D)
4 3

(B)

3 4
2k 2k

(C)-

4 3

(2010 年全国高中数学联赛福建初赛试题)函数 f(x)=sin x+cos x(x∈N*)的最小值是

.

1.(2010 年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知 n ( n ? N , n ? 2 )是常数,且 x1 , x2 ,? , xn 是区间

? ?? 内任 0, ? ? 2? ?

意实数,则函数

f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1 的最大值等于_______.

2.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题) 3.(2011 年全国高中数学联赛山东初赛试题) (2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设 x ? (0,

?
2

) ,则函数 y ?

解 因为 x ? (0,

?
2

225 2 的最小值为__________. ? 2 4sin x cos x

) ,所以 sin x ? 0,cos x ? 0 ,设 k ? 0 ,
(1)

y?

225 1 1 ? k sin 2 x ? ? ? k cos 2 x ? k ? 15 k ? 3 3 k ? k 2 4sin x cos x cos x

15 ? 2 225 ? 225 ? 4 2 sin x ? , ? k sin x , sin x ? , ? ? ? 2 k ? 4sin 2 x ? ? 4k ?? ?? 其中等号成立当且仅当 ? 成立,此时 ? 1 ? k cos 2 x ?cos3 x ? 1 ?cos 2 x ? 1 3 2 ? cos x ? ? k ? ? k ?

15 1 1 ? ? 1 ,设 ? t 6 ,则 2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 0 .而 k 2 k 3 k2
2t 4 ? 15t 3 ? 2 ? 2t 4 ? t 3 ? 16t 3 ? 2 ? t 3 (2t ? 1) ? 2(2t ? 1)(4t 2 ? 2t ? 1) ? (2t ? 1)(t 3 ? 8t 2 ? 4t ? 2),
故 (2t ? 1)(t ? 8t ? 4t ? 2) ? 0 ,
3 2

注意到 sin x ?
2

15 1 1 ? 1, cos 2 x ? ? 1 ,判断易知满足限制条件的根只有 t ? . 3 2 2 2 k k

1 1 时, k ? 6 ? 64 ,不等式(1)取得等号. 2 t 225 2 所以函数 y ? 的最小值为 15 64 ? 3 3 64 ? 64 ? 68 . ? 2 4sin x cos x
当t ?

14.和差化积 [ 例 14]:(2005 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 江 西 初 赛 试 题 ) 若 对 满 足 ? ? ? ? k ? 360? 的 任 何 角 ? , ? , 都 有

s i n? (? 3 ? 0? ) s ?i ? n( ? 30 ) cos ? ? co ?s

? m cot

? ??
2

? n ,则数组 (m, n) =
3 1 , )。 2 2



答: (m, n) ? (

解:左边 ?

2sin

? ??
2

2 ? ?? ? ?? ?2sin sin 2 2
3 1 ,n ? . 2 2

cos(

? ? ? ? 60?

)

?

3 ? ?? 1 cot ? , 2 2 2

与右边比较得 m

?

[解析]: [评注]: [类题]:
(2009 年全国高中数学联赛江西初赛试题) cos

?
15

? cos

2? 4? 7? ? cos ? cos ? 15 15 15



? 7? ? ? 2? 4? ? ? 原式 ? ? cos ? cos ? cos ? ? ? cos ? 15 15 ? ? 15 15 ? ? [解析]: 4? ? ? ? ? 2 cos cos ? 2 cos cos 15 5 15 5
? 2 cos

?? ?
5

4? ? ? ? cos ? ? cos 5? 15 15 ? sin

? ?4 cos

?
6

sin

?
10

? ?2 cos
(注:由

?
5

sin

1 ?? . 10 2

?

sin 720 ? 2sin 360 cos360 ? 4sin180 cos180 cos360 ,
则 sin180 cos 360 ?

1 ? ? 1 ,即 cos sin ) ? . 4 5 10 4
1 ? cos 3o ? 1 ? cos 7o ? 1 ? cos11o ? ??? ? 1 ? cos87o

2.(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设 A ?

B ? 1 ? cos 3o ? 1 ? cos 7o ? 1 ? cos11o ? ??? ? 1 ? cos87o
则 A/B=_____________. A.

2? 2 2

B.

2? 2 2

C.

2 ?1

D.

2 ?1

显然

A 2

?

1 ? cos 3? 1 ? cos 7 ? 1 ? cos87 ? ? ??? 2 2 2

? cos1.5? ? cos3.5? ? cos5.5? ? ? ? cos 43.5? ;
B 2 ? 1 ? cos 3? 1 ? cos 7 ? 1 ? cos87 ? ? ??? 2 2 2

? sin1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? .

注意到
2 cos? sin1? ? sin(? ? 1? ) ? sin(? ? 1? ) , 2 sin? sin1? ? cos( ? ? 1? ) ? cos( ? ? 1? ) ,

所以
2 sin1? ? A 2 ? (sin 2.5? ? sin 0.5? ) ? (sin 4.5? ? sin 2.5? ) ? (sin 6.5? ? sin 4.5? ) ? ?

? (sin 44.5? ? sin 42.5? ) ? sin 44.5? ? sin 0.5? ? 2 cos 22.5? sin 22 ? ,

2 sin1? ?

B 2

? (cos 0.5? ? cos 2.5? ) ? (cos 2.5? ? cos 4.5? ) ? (cos 4.5? ? cos 6.5? ) ? ?

? (cos 42.5? ? cos 44.5? ) ? cos0.5? ? cos 44.5? ? 2 sin 22.5? sin 22 ? .

故 A : B ? (2 sin1? ?

A 2

) : (2 sin1? ?

B 2

) ? (2 cos 22.5? sin 22 ? ) : (2 sin 22.5? sin 22 ? ) ? cot 22.5?

? 2 ?1.

答:D.
A 2 B 2
? cos1.50 ? cos3.50 ? cos5.50 ? ? ? ? cos 43.50 ,

另解:

? sin1.5? ? sin 3.5? ? sin 5.5? ? ? ? sin 43.5? ,

A 2

?i

B 2

? (cos1.5? ? i sin1.5 ? ) ? (cos 3.5 ? ? i sin 3.5? ) ? ? ? (cos 43.5? ? i sin 43.5? )
21

? (cos1.5 ? ? i sin1.5 ? )? (cos 2 ? ? i sin 2 ? ) k
k ?0

1 ? (cos 2 ? ? i sin 2 ? ) 22 ? (cos1.5 ? i sin 1.5 ) 1 ? (cos 2 ? ? i sin 2 ? )
? ?

? (cos1.5 ? ? i sin 1.5 ? )

1 ? (cos 44 ? ? i sin 44 ? ) 1 ? (cos 2 ? ? i sin 2 ? )

? (cos1.5? ? i sin1.5? )

2 sin 2 22 ? ? 2i sin 22 ? cos 22 ? 2 sin 2 1? ? 2i sin1? cos1?

?

(cos1.5 ? ? i sin 1.5 ? )( ?2i sin 22 ? )(cos 22 ? ? i sin 22 ? ) (?2i sin 1? )(cos1? ? i sin 1? )

= 因为

sin 22 ? (cos 22.5? ? i sin 22.5 ? ) . sin1?
B 2 ? sin 22 ? sin 22 .5 ? , sin 1?

A sin 22 ? cos 22 .5 ? A B ? 和 是实数,所以 , sin 1? 2 2 2

A: B ?

A 2

:

B 2

?

cos 22.5 2 cos 22.5 1 ? cos 45 ? ? ? ? ? ? sin 22.5 2 sin 22.5 cos 22.5 sin 45 ?
? 2 ? ?

1?

2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?1 2 2 2


③竞赛中的三角形问题

竞赛中的三角问题_学科竞赛_初中教育_教育专区。杨培明老师数学竞赛讲座Y.P.M 数学竞赛讲座 1 竞赛中的三角问题高中联赛中的向量问题具有纯粹性,着重于对向...

利用三角变换处理竞赛中的最值问题

利用三角变换处理竞赛中的最值问题_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 利用三角变换处理竞赛中的最值问题 作者:苏清银 刘伟健 来源:《新高考· 高一...

⑨竞赛中的复数问题

Y.P.M 数学竞赛讲座 1 竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶 于技巧,复数...

竞赛中的三角形三边

三角形任何一边的长大于其它两边 之差,而小于这两边之和,竞赛中有许多问题考查的就是三角形这种三边的关系. 例1(第14届“希望杯”全国数学邀请赛题)将长为12...

⑧竞赛中的立体几何问题

竞赛中的立体几何问题_学科竞赛_高中教育_教育专区。杨培明老师数学竞赛讲座Y...,OA=1,OB= (D)钝角三角形 ②(2008 年第 19 届“希望杯”全国数学邀请赛...

竞赛中的三角函数例题选讲附答案

竞赛中的三角函数例题选讲附答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一.三角函数的性质 1.正,余弦函数的有界...

数学竞赛中的平面几何问题选讲

数学竞赛中的平面几何问题选讲_学科竞赛_初中教育_教育专区。数学竞赛中的平面几何问题选讲例 1 ( 2005 年福建省竞赛题)在直角三角形 ABC 中, ?B ? 90? ,...

三角形竞赛

竞赛中的三角问题 17页 免费 三角形 竞赛题 5页 1下载券 三角形四心竞赛...14 一个凸 n 边形由若干边长为 1 的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成...

竞赛中的三角函数例题选讲附答案

竞赛中的三角函数例题选讲附答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。高中数学竞赛试卷竞赛中的三角函数例题选讲 【内容综述】 一.三角函数的性质 1.正,余弦函数的有界...