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北大精品课件高等代数(上)

时间:2011-05-05


第一学期第一次课

第一章 代数学的经典课题
§1
1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设 K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数, 且 K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对 K 内任意两个数 a 、 b ( a 可以等 于b ) ,必有 a ? b ? K,ab ? K,且当b ? 0时, / b ? K ,则称 K 为一个数域。 a 例 1.1 典型的数域举例: 复数域 C;实数域 R;有理数域 Q;Gauss 数域:Q (i) = { a ? b i | a, b ∈Q},其中 i = ? 1 。 命题 任意数域 K 都包括有理数域 Q。

若干准备知识

证明 设 K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素 a ? K,且a ? 0 。于是

0 ? a ? a ? K,
进而 ?m ?Z ? 0 ,

1?

a ?K 。 a

m ? 1 ? 1 ? ??? 1? K 。
最后, ?m, n ?Z ? 0 ,

m m m ? K , ? ? 0 ? ? K 。这就证明了 Q ? K 。证毕。 n n n

1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设 S 是集合, A 与 B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的 交集,记作 A ? B ;把 A 和 B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集,记做 从集合 A 中去掉属于 B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集, A? B; 记做 A \ B 。 定义(集合的映射) 设 A 、 B 为集合。如果存在法则 f ,使得 A 中任意元素 a 在法则 ,则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记为 f 下对应 B 中唯一确定的元素(记做 f (a) )

f : A ? B, a ? f (a ).
如果 f (a) ? b ? B ,则 b 称为 a 在 f 下的像, a 称为 b 在 f 下的原像。 A 的所有元素 在 f 下的像构成的 B 的子集称为 A 在 f 下的像,记做 f (A) ,即 f ( A) ? ? f (a) | a ? A? 。
1

若 ?a ? a'? A, 都有 f (a) ? f (a' ), 则称 f 为单射。若 ?b ? B, 都存在 a ? A ,使得

f (a) ? b ,则称 f 为满射。如果 f 既是单射又是满射,则称 f 为双射,或称一一对应。
1.1.4 求和号与求积号 1. 求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练, 我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域 K 上 n 个数 a1 , a 2 ,?, a n ,我们使用如下记号:

a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ai ,
i ?1

n

a1 a 2 ? a n ? ? ai .
i ?1

n

当然也可以写成

a1 ? a 2 ? ...... ? a n ? a1 a 2 ...... a n ?
2. 求和号的性质. 容易证明,

1?i ? n

?a
i

i

,

1?i ? n

?a

.

? ? a i ? ? ?a i
i ?1 i ?1

n

n

? (a
i ?1

n

i

? bi ) ? ? ai ? ? bi
i ?1 i ?1

n

n

??a
i ?1 j ?1

n

m

ij

? ?? aij
j ?1 i ?1

m

n

事实上,最后一条性质的证明只需要把各个元素排成如下形状:

a11 a 21 ...... a n1
分别先按行和列求和,再求总和即可。 第一学期第二次课

a12 a 22 an2

......

a1m

...... a 2 m ...... ...... ...... a nm

§2 一元高次代数方程的基础知识
1.2.1 高等代数基本定理及其等价命题 1. 高等代数基本定理
2

设 K 为数域。以 K [x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。如果

f ( x) ? a 0 x n ? a1 x n ?1 ? ...... ? a n ? K [ x], (a 0 ? 0) , 则 称 n 为 f (x) 的 次 数 , 记 为

deg f ( x) 。
定理(高等代数基本定理) C [x] 的任一元素在 C 中必有零点。 命题 设 f ( x) ? a 0 x ? a1 x
n n ?1

? ...... ? a n , (a 0 ? 0,n ? 1) 是 C 上一个 n 次多项式, a

是一个复数。则存在 C 上首项系数为 a 0 的 n ? 1 次多项式 q (x) ,使得

f ( x) ? q( x)( x ? a) ? f (a)
证明 推论 对 n 作数学归纳法。

x 0 为 f (x) 的零点,当且仅当 ( x ? x 0 ) 为 f (x) 的因式(其中 deg f ( x) ? 1 ) 。
n n ?1

命 题 ( 高 等 代 数 基 本 定 理 的 等 价 命 题 ) 设 f ( x) ? a 0 x ? a1 x

? ...... ? a n

(a 0 ? 0,n ? 1) 为 C 上的 n 次多项式,则它可以分解成为一次因式的乘积,即存在 n 个复
数 a1 , a 2 ,......, a n ,使

f ( x) ? a 0 ( x ? ? 1 )( x ? ? 2 )......( x ? ? n )
证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3,对 n 作数学归纳法。

2.高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设 K 是一个数域, x 是一个未知量,则等式

a 0 x n ? a1 x n ?1 ? ...... ? a n ?1 x ? a n ? 0
带入(1)式后使它变成等式,则称 ? 为方程(1)在 K 中的一个根。

(1)

(其中 a 0 , a1 ,......, a n ? K , a 0 ? 0 ) 称为数域 K 上的一个 n 次代数方程; 如果以 x ? ? ? K

定理(高等代数基本定理的另一种表述形式) 数域 K 上的 n (? 1) 次代数方程在复数域 C 内必有一个根。 命题 。 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根(可以重复)

命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定 C 上两个 n 次、m 次多项式

f ( x) ? a 0 ? a1 x ? ...... ? a n x n g ( x) ? b0 ? b1 x ? ...... ? bm x m

(a n ? 0) , (bm ? 0) ,

如果存在整整数 l , l ? m, l ? n ,及 l ? 1个不同的复数 ? 1 , ? 2 ,......, ? l , ? l ?1 ,使得

f ( ? i ) ? g ( ? i ) (i ? 1,2,......, l ? 1) ,
则 f ( x) ? g ( x) 。 1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性 设 f ( x) ? a0 x ? a1 x
n n ?1

? ? ? an , 其 中 ai ? K , a0 ? 0 。 设 f ( x )? 0的 复 根 为

?1 , ? 2 ,?, ? n (可能有重复) ,则
3

n 1 f ( x) ? ? ( x ? ? i ) ? ( x ? ?1 )( x ? ? 2 ) ? ( x ? ? n ) a0 i ?1

? x n ? (?1 ? ? 2 ? ? ? ? n ) x n ?1 ? ? ? ?1? 2 ?? n .
所以

a1 ? (?1) 1 (? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ) ; a0
a2 ? (?1) 2 ? ? i1 ? i2 ; a0 0 ? i1 ? i2 ? n

????????
an ? (?1) n ? 1? 2 ?? n . a0
我们记

? 0 (? 1 , ? 2 , ?, ? n ) ? 1 ;

? 1 (? 1 , ? 2 , ?, ? n ) ? ? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n ;
????????

? r (? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ?

i1 i2 0 ? i1 ? i2 ??? ir ? n

??

? ?? i ;
r

????????

? n (? 1 , ? 2 , ?, ? n ) ? ? 1? 2 ?? n
( ? 1 , ? 2 ,?, ? n 称为 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的初等对称多项式) 。于是有 定 理 2.5 ( 韦 达 定 理 ) 设 f ( x) ? a0 x ? a1 x
n n ?1

? ? ? an , 其 中 ai ? K , a0 ? 0 。 设

f ( x ) ? 0的复根为 ?1 , ? 2 ,?, ? n 。则
a1 ? (?1)1 ? 1 (? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ; a0 a2 ? (?1) 2 ? 2 (? 1 , ? 2 , ? , ? n ) ; a0

????????
an ? (?1) n ? n (? 1 , ? 2 , ? , ? n ). a0
命题 给定 R 上 n 次方程

a 0 x n ? a1 x n ?1 ? ...... ? a n ?1 x ? a n ? 0 ,

a0 ? 0 ,
4

如果 ? ? a ? b i 是方程的一个根,则共轭复数 ? ? a ? b i 也是方程的根。 证明 由已知,

a0? n ? a1? n ?1 ? ...... ? an ?1? ? an ? 0 .
两边取复共轭,又由于 a 0 , a1 ,......, a n ? R,所以

a0? n ? a1? n?1 ? ...... ? an?1? ? an ? 0 .
推论 证明 实数域上的奇数次一元代数方程至少有一个实根。 因为它的复根(非实根)必成对出现,已知它在 C 内有奇数个根,故其中必有一

根为实数。 第一学期第三次课

§3 线性方程组
1.3.1 数域 K 上的线性方程组的初等变换 举例说明解线性方程组的 Gauss 消元法。 定义(线性方程组的初等变换) 数域 K 上的线性方程组的如下三种变换 (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程两边同乘数域 K 内一个非零元素 c ; (3) 把某一个方程加上另一个方程的 k 倍,这里 k ? K 的每一种都称为线性方程组的初等变换。 容易证明,初等变换可逆,即经过初等变换后的线性方程组可以用初等变换复原。 命题 证明 线性方程组经过初等变换后与原方程组同解 设线性方程组为

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? b1 , ?a x ? a x ? ? ? a x ? b , ? 12 1 22 2 2n n 2 ? ...... ? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? bn . ?

(*)

经过初等变换后得到的线性方程组为(**) ,只需证明(*)的解是(**)的解,同时(**) 的解也是(*)的解即可。 设 x1 ? k1 , x 2 ? k 2 ,......, x n ? k n 是(*)的解,即(*)中用 xi ? k i (i ? 1,2,......n) 代入 后成为等式。对其进行初等变换,可以得到 x1 ? k1 , x 2 ? k 2 ,......, x n ? k n 代入(**)后也成 为等式,即 x1 ? k1 , x 2 ? k 2 ,......, x n ? k n 是(**)的解。反之, (**)的解也是(*)的解。 证毕。

5

1.3.2 线性方程组的系数矩阵和增广矩阵以及矩阵的初等变换 定义 (数域 K 上的矩阵) 给定数域 K 中的 mn 个元素 a i j( i ? 1, ? , m , j ? 1, ? , n ) 。 把它们按一定次序排成一个 m 行 n 列的长方形表格

? a11 a12 ?a a22 A ? ? 21 ?...... ? ? am1 am 2 ?

a1n ? ...... a2 n ? ?. ...... ......? ? ...... amn ? ? ......

称为数域 K 上的 一个 m 行 n 列矩阵,简称为 m? n 矩阵。 定义(线性方程组的系数矩阵和增广矩阵) 线性方程组中的未知量的系数排成的矩阵

A 称为方程组的系数矩阵;如果把方程组的常数项添到 A 内作为最后一列,得到的
m ? (n ? 1) 矩阵

? a11 a12 ?a a22 A ? ? 21 ?...... ? ? am1 am 2 ?
称为方程组的增广矩阵。

a1n b1 ? ...... a2 n b2 ? ?. ...... ...... ? ? ...... amn bn ? ? ......

定义(矩阵的初等变换) 对数域 K 上的矩阵的行(列)所作的如下变换 (1) 互换两行(列)的位置; (2) 把某一行(列)乘以 K 内一个非零常数 c ; (3) 把某一行(列)加上另一行(列)的 k 倍,这里 k ? K 称为矩阵的行(列)初等变换。 定义(齐次线性方程组) 数域 K 上常数项都为零的线性方程组称为数域 K 上的齐次 线性方程组。 这类方程组的一般形式是

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0, ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0, ? 12 1 22 2 2n n ? ?...... ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0. ?
命题 证明 说明 变元个数大于方程个数的齐次线性方程组必有非零解; 对变元个数作归纳。 线性方程组的解的存在性与数域的变化无关(这不同于高次代数方程) 。事实上,
6

在(通过矩阵的初等变换)用消元法解线性方程组时,只进行加、减、乘、除的运算。如果 所给的是数域 K 上的线性方程组,那么做初等变换后仍为 K 上的线性方程组,所求出的解 也都是数域 K 中的元素。 因此, K 上线性方程组的全部讨论都可以限制在数域 K 中进行。 对 第一学期第四次课

第二章 向量空间与矩阵
第一节
2.1.1 向量和 m 维向量空间的定义及性质 定义(向量)设 K 是一个数域。 K 中 m 个数 a1 , a 2 ,......, a m 所组成的一个 m 元有序数 组称为一个 m 维向量;

m 维向量空间

?a1 ? ?a ? ? ?? 2? ?... ? ? ? ?a m ?
称为一个 m 维列向量;而

( ? i ? K , i ? 1,2,......, m )

? ' ? (a1 ' , a 2 ' ,......, a m ' )
称为一个 m 维行向量。
m 我们用 K 记集合 {( a1 ' , a 2 ' ,......, a m ' ) | a i ? K , i ? 1,2,......, m} 。

定义( K 中的加法和数量乘法) 在 K 中定义加法如下:两个向量相加即相同位置处 的数相加,即

m

m

?a1 ? ?b1 ? ?a1 ? b1 ? ?a ? ?b ? ?a ? b ? 2 ? ? 2 ??? 2 ??? 2 . ?... ? ?... ? ?... ? ? ? ? ? ? ? ?a m ? ?bm ? ?a m ? bm ?
在 K 定义数量乘法为用 K 中的数去乘向量的各个位置,即对于某个 k ? K ,
m

?a1 ? ?ka1 ? ?a ? ?ka ? k? 2 ? ? ? 2 ? ?... ? ?... ? ? ? ? ? ?a m ? ?kam ?
定义( m 维向量空间) 集合 K 和上面定义的加法、数乘运算组成的代数系统称为数 域 K 上的 m 维向量空间。 命题 (向量空间的性质) 向量空间中的元素关于加法和数乘运算满足如下性质 (其中 K
7
m

表示数域, ? , ? , ? 表示 K m 中的向量) : (1) 加法结合律: (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? ) ; (2) 加法结合律: ? ? ? ? ? ? ? (3) 向量(0,0,……,0) (记为 0 )具有性质:对于任意 ? ,有 0 ? ? ? ? ? 0 ; (4)

?? ? (a1 , a2 ,?, am ) ,令 ? ? ? (?a1 ,?a2 ,?,?am ) ,称其为 ? 的负向量,它满

足 ? ? (?? ) ? (?? ) ? ? ? 0 ; (5) 对于数 1,有 1 ? ? ? (6) 对 K 内任意数 k , l ,有 (kl)? ? k (l? ) ; (7) 对 K 内任意数 k , l ,有 (k ? l )? ? k? ? l? ; (8) 对 K 内任意数 k ,有 k (? ? ? ) ? k? ? k? 。 2.1.2 线性组合和线性表出的定义 定义(线性组合) 设

?1 ,? 2 ,?,? s ? K m , k1 , k 2 ,?, k s ? K , 则 称 向 量
m

k1?1 ? k 2? 2 ? . . . .k.s.? s 为向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 的一个线性组合。
定义(线性表示) 设 ?1 ,? 2 ,?,? s , ? ? K 。如果存在 k1 , k 2 ,?, k s ? K ,使得

? ? k1?1 ? k 2? 2 ? ...... ? k s? s ,
则称 ? 可被向量组 ? 1 , ? 2 ,......, ? s 线性表示。 2.1.3 向量组的线性相关与线性无关的定义以及等价表述 定义(线性相关与线性无关) 设 ?1 ,? 2 ,?,? s ? K
m

。如果存在不全为零的

k1 , k 2 ,?, k s ? K ,使得 k1?1 ? k 2? 2 ? ...... ? k s? s ? 0 ,
则称 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关,否则称为线性无关。 注意:根据这个定义, ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关可以表述如下:若 k1 , k 2 ,?, k s ? K ,使 得 k1?1 ? k 2? 2 ? ...... ? k s? s ? 0 ,则必有 k1 ? k 2 ? ? ? k s ? 0 。 如果

?a1n ? ?a11 ? ?a12 ? ? ? ?a ? ?a ? ? 21 ?, ? ? ? 22 ?, ? , ? ? ?a2 n ? , ?1 ? 2 1 ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?am1 ? ?a m 2 ? ?amn ?
显然 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关当且仅当齐次线性方程组

8

?a11 x1 ? a12 x2 ? ...... ? a1n xn ? 0, ?a x ? a x ? ...... ? a x ? 0, ? 21 1 22 2 2n n ? ? ...... ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ...... ? amn xn ? 0. ?
有非零解, ?1 ,? 2 ,?,? s 线性无关当且仅当此齐次线性方程组只有零解。 命题 设 ?1 , ? 2 ,?,? n ? K ,则下述两条等价:
m

1) ?1 ,? 2 ,?,? n 线性相关; 2)某个 ? i 可被其余向量线性表示。 证明 1 ) ? 2 ) . 由 于 ?1 ,? 2 ,?,? n 线 性 相 关 , 故 存 在 不 全 为 零 的 n 个 数

k1 , k 2 ,? k n ? K ,使得 k1? 1 ? k 2? 2 ? ...... ? k n? n ? 0 。
不妨设某个 k i ? 0 。于是,由向量空间的性质有

? i ? (?k1 / k i )?1 ? (?k 2 / k i )? 2 ? ? ? (?k i ?1 / k i )? i ?1 ? (?k i ?1 / k i )? i ?1 ? ? ? (?k n / k i )? n
2) ? 1). 如果某个 ? i 可被其余向量线性表示,即存在 k1 ,?k i ?1 , k i ?1 ,?, k n ? K ,使 得

? i ? k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k i ?1? i ?1 ? k i ?1? i ?1 ? ? ? k n? n .
由向量空间的性质有

k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k i ?1? i ?1 ? (?1)? i ? k i ?1? i ?1 ? ? ? k n? n ? 0 .
于是 ? 1 , ? 2 ,?? n 线性相关。证毕。 推论 设 ?1 , ? 2 ,?,? n ? K ,则下述两条等价:
m

1) ? 1 , ? 2 ,?? n 线性无关; 2)任一 ? i 不能被其余向量线性表示。 第一学期第五次课

2.1.4 向量组的线性等价和集合上的等价关系
定义(线性等价) 给定 K 内的两个向量组
m

?1 , ? 2 ,?, ? r ,
? 1 , ? 2 , ?, ? s ,

(*) (**)

如果向量组(**)中每一个向量都能被向量组(*)线性表示,反过来向量组(*)中的每个 向量也都能被向量组(**)线性表示,则称向量组(*)和向量组(**)线性等价。 定义(集合上的等价关系) 给定一个集合 S , S 上的一个二元关系“~”称为一个等
9

价关系,如果“~”满足以下三条: (1) 反身性: ?a ? S , (2) 对称性: ?a, b ? S ,

a ~ a;

如果a ~ b, 则b ~ a ;

(3) 传递性: 若a ~ b,b ~ c, 则a ~ c 。 与 a 等价的元素的全体成为 a 所在的等价类。 命题 若 a 与 b 在不同的等价类,则它们所在的等价类的交集是空集。进而一个定义了

等价关系的集合可以表示为所有等价类的无交并。 证明 记 a 所在的等价类为 S a , b 的等价类为 S b 。若它们的交集非空,则存在

c ? S a ? S b ,于是有 c ~ a,c ~ b 。由等价关系定义中的对称性和传递性即知 a ~ b ,与 a
和 b 在不同的等价类矛盾。这就证明了 a 和 b 所在的等价类交集是空集。而集合包含所有等 价类的并集,又集合中的任一个元素都属于一个等价类,于是集合是等价类的并集。 综上可知,命题成立。证毕。 命题 给定 K m 内两个向量组

?1 , ? 2 ,?, ? r ,
? 1 , ? 2 , ?, ? s ,
则 ? 也可以被向量组(1)线性表示。 证明

(1) (2)

且(2)中每一个向量都能被向量组(1)线性表示。如果向量 ? 能被向量组(2)线性表示,

若向量组(2)中的每一个向量都可以被向量组(1)线性表示,则存在 k ij ? K

(1 ? i ? r, 1 ? j ? s) ,使得

? j ? ? kij? i
i ?1

r

( j ? 1, 2,?, s ) .

(i)

由于 ? 能被向量组(2)线性表示,故存在 l j ? K ( 1 ? j ? s) ,使得

? ? ?lj? j .
j ?1

s

将(i)代入,得

? ? ?? kij? i ? ?? kij? i ? ? (? kij )? i ,
j ?1 i ?1 i ?1 j ?1 i ?1 j ?1

s

r

r

s

r

s

即 ? 可被 ?1 , ? 2 ,?, ? r 线性表示。 由此易推知 命题 线性等价是 K 的向量组集合上的等价关系。
m

2.1.5 向量组的极大线性无关部分组和向量组的秩
10

定义( 向量组的极大线性无关组) 设 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 为 K m 中的一个向量组,它的一部 分组 ? i1 , ? i2 , ? , ? ir 称为原向量组的一个极大线性无关组,若 (1) ? i1 , ? i2 , ? , ? ir 线性无关; (2) ? 1 , ? 2 , ? , ? s 中的每一个向量都可被 ? i1 , ? i2 , ? , ? ir 线性表出。 容易看出向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 和 ? i1 , ? i2 , ? , ? ir 线性等价。 引理 给定 K m 上的向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 和 ?1 , ? 2 , ?, ? r ,如果 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 可被

?1 , ? 2 , ?, ? r 线性表出,且 s ? r ,则向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关。
证明 由于 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 可被 ?1 , ? 2 , ?, ? r 线性表出,故存在 kij ? K ,使得

??1 ? k11?1 ? k12 ? 2 ? ? ? k1r ? r , ?? ? k ? ? k ? ? ? ? k ? , ? 2 21 1 22 2 2r r ? ????????????? ?? s ? ks1?1 ? ks 2 ? 2 ? ? ? ksr ? r . ?


(*)

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xs? s ? 0 .
将(*)代入(**) ,得

(**)

(? ki1 xi ) ?1 ?(? ki 2 xi ) ? 2 ? ? ? (? kir xi )? r ? 0 .
i ?1 i ?1 i ?1

s

s

s

设各系数均为零,得到

? ki1 xi ? ? ki 2 xi ? ? ? ? kir xr ? 0 ,
i ?1 i ?1 i ?1

s

s

s

(***)

(***)是一个含有 r 个未知量和 s 个方程的其次线性方程组,而 s ? r ,故方程组(***) 有非零解,于是存在不全为零的 x1 , x2 ,?, xr ? K ,使得(**)成立。由线性相关的定义即 知向量组 ? 1 , ? 2 , ? , ? s 线性相关。 定理 线性等价的向量组中的极大线性无关组所含的向量个数相等。

m 证 明 设 ?1 , ? 2 ,?, ? n 和 ?1 , ? 2 ,?, ? m K 中 的 线 性 等 价 的 向 量 组 。 设 向 量 组

? i , ? i , ? , ? i 和 ? j , ? j , ? , ? j 分别是原向量组的极大线性无关部分组,则由线性无关
1 2 r
1 2 s

部分组的定义和线性等价的传递性知此二极大线性无关部分组线性等价。由于

? i , ? i , ? , ? i 可将 ? j1 , ? j 2 ,? , ? jt 中的每一个向量线性表出,知 r ? s (否则由引理知向
1 2 r

量组 ? i1 , ? i2 , ? , ? ir 线性相关,矛盾) 。同理 s ? r 。于是 r ? s 。 推论 任意向量组中,任意极大线性无关组所含的向量个数相等。
m

定义(向量组的秩) 对于 K 内给定的一个向量组,它的极大线性无关组所含的向量
11

的数量称为该向量组的秩。 第一学期第六次课

第二章 §2 矩阵的秩
2.1.1 矩阵的行秩与列秩、矩阵的转置 定义 2.1 矩阵的行秩与列秩。 一个矩阵 A 的行向量组的秩成为 A 的行秩,它的列向量组的秩称为 A 的列秩。 命题 2.1 矩阵的行(列)初等变换不改变行(列)秩; 证明 只需证明行变换不该行秩。容易证明,经过任意一种初等行变换,得到的行向量

组与原来的向量组线性等价,所以命题成立。证毕。 定义 2.2 矩阵的转置 把矩阵 A 的行与列互换之后,得到的矩阵 A ' 称为矩阵 A 的转置矩阵。 命题 2.2 矩阵的行(列)初等变换不改变列(行)秩。 证明 只需证明行变换不改变列秩。列变换可用矩阵的转置证得。 假设 A 的列向量为 ?1 , ? 2 ,?, ? n ,它的一个极大线性无关部分组为 ? i1 , ? i 2 ,? , ? ir ,而 经过初等行变换之后的列向量为 ?1 ', ? 2 ',?, ? n ' ,只需证明 ? i1 ', ?i 2 ',?, ? ir ' 是变换后列向 量的一个极大线性无关部分组即可。 只需分别证明向量组 ? i1 ', ?i 2 ',?, ? ir ' (*)线性无关和 ?1 ', ? 2 ',?, ? n ' 中的任意一个向 量都可以被(*)线性表出。构造方程 xi1? i1 ', xi 2? i 2 ',?, xir?ir ' ? 0 ,由于 ? i1 , ? i 2 ,? , ? ir 线

? 性 无 关 , 线 性 方 程 组 ki1? ,1 k ? ?2 , k ? i i i2 , i

r

0 只 r有 零 解 。 而 方 程 i

xi1? i'1 , x ? ? , x ,?? r 是由 ki1? i1, ki 2? i 2 ,? , kir? ir ? 0 经过初等行变换得来的,而初 i2 i' 2 i i' r 0
等行变换是同解变换, 所以 xi1? i1 ', xi 2? i 2 ',?, xir?ir ' ? 0 只有零解, 于是 ? i1 ', ?i 2 ',?, ? ir ' 线 性无关。对于 A 的任意一个列向量 ? ,都可被 ? i1 , ? i 2 ,? , ? ir 线性表出,利用初等行变换是 同解变换同样可以证明经过初等行变换后, ? ' 可以被(*)线性表出。 证毕。 推论 矩阵的行、列秩相等,称为矩阵的秩,矩阵 A 的秩记为 r (A) ;

证明 设

? a11 ? a A ? ? 21 ?? ? ?a ? m1

a12 a22 am 2

? a1n ? ? ? a2 n ? , ? ? ? ? amn ? ?

不妨考虑 A ? 0 ,经过行、列调换后,可使左上角元素不等于零。用三种行、列变换可使矩
12

阵化为如下形式

? *(? 0) 0 ? ? 1 0 ? ? ??? ? 其中(**)代表一个矩阵。 ** ? ? 0 ** ? ? 0
若(**)不是零矩阵,重复上面做法,归纳下去,最后得到形如

?1 ? ? ? ? 1 ? ? ?

0

? ? ? ?. ? ? ?

的一个矩阵,可知,矩阵的行秩和列秩都等于矩阵中“1”的个数。于是由初等变换可逆和 推论可以知道,矩阵的行秩等于列秩。 定义 2.3 一个矩阵 A 的行秩或列秩成为该矩阵的秩,记作 r ( A) 。 2.2.2 矩阵的相抵 定义 2.4 给定数域 K 上的矩阵 A 和 B , A 经过初等变换能化为 B , 若 则称矩阵 A 和 B 相抵。 命题 2.3 相抵是等价关系,且秩是相抵等价类的完全不变量。 证明 逐项验证等价类的定义,可知相抵是等价关系;由于初等变换不改变矩阵的秩, 于是矩阵的秩是等价类的完全不变量。 2.2.3 用初等变换求矩阵的秩 用初等行变换或列变换将矩阵化为阶梯形,阶梯形矩阵的秩这就是原矩阵的秩。 第一学期第七次课

第二章 §3 线性方程组的理论课题

3.1.1 齐次线性方程组的基础解系 对于齐次线性方程组

?a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn ? 0, ?a x ? a x ? ? ? a x ? 0, ? 12 1 22 2 2n n ? ????????????? ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ? ? amn xn ? 0. ?


13

? a1n ? ? a11 ? ? a12 ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? , ? ? ? a22 ? ,?, ? ? ? a2 n ? , ?1 ? 2 n ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?a ? ?a ? ?a ? ? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ?
则上述方程组即为

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? 0

(*)

(其中 0 为零向量) 。将(*)的解视为 n 维向量,则所有解向量构成 K n 中的一个向量组, 记为 S 。 命题 证明 。 S 中的元素(解向量)的线性组合仍属于 S (仍是解) 只需要证明 S 关于加法与数乘封闭。设 (k1 , k2 ,?, kn ) , (l1 , l2 ,?, ln ) ? S ,则

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? n ? 0 ,

l1? 1? l ? ? ? ? ln? n ? 0 , 2 2

于是 (k1 ? l1 )?1 ? (k2 ? l2 )? 2 ? ? ? (kn ? ln )? n ? 0 ,故 (k1 ? l1 , k2 ? l2 ,?, kn ? ln ) ? S ;又因为

?k ? K , kk1?1 ? kk2? 2 ? ? ? kkn? n ? 0 ,所以 (kk1 , kk2 ,?, kkn ) ? S 。证毕。
定义(线性方程组基础解系) 齐次线性方程组(*)的一组解向量 ?1 ,?2 ,? ,? s 如果满 足如下条件: (1) ?1 ,?2 ,? ,? s 线性无关; (2) 方程组(*)的任一解向量都可被?1 ,?2 ,? ,? s 线性表出, 那么,就称?1 ,?2 ,? ,? s 是齐次线性方程组(*)的一个基础解系。 定理 的秩; 证明 记线性方程组为 x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? 0 ,其中 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵

? a1n ? ? a11 ? ? a12 ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? , ? ? ? a22 ? ,?, ? ? ? a2 n ? . ?1 ? n 2 ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?a ? ? ?a ? ? ?a ? ? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ?
设 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的 秩 为 r , 无 妨 设 ?1 , ? 2 ,?, ? r 为 其 极 大 线 性 无 关 部 分 组 , 则

?? r ?1 , ?? r ? 2 ,?, ?? n 皆可被 ?1 , ? 2 ,?, ? r 线性表出, 即
存在 kij ? K (1 ? i ? n ? r , 1 ? j ? r ) ,使得

?? r ?1 ? k11?1 ? k12? 2 ? ? ? k1r? r , ?? r ? 2 ? k21?1 ? k22? 2 ? ? ? k2 r? r ,
?? ?? ?? ?? ??
14

? ? n ? k n ? r 1? 1 ? k n ? r 2? 2 ? ? ? k n ? r r ? r ,
即 ki1?1 ? ki 2? 2 ? ? ? kir? r ? 1 ? ? r ?i ? 0,

(i ? 1, 2,? n ? r ) 。于是 S 中含有向量

?1 ? (k11 , k12 ,?, k1r ,1, 0,?, 0),

?2 ? (k21 , k22 ,?, k2 r , 0,1,?, 0),
?? ?? ?? ?? ??

? n ? r ? (k n ? r 1 , k n ? r 2 , ? , k n ? r r ,0, 0, ?? , 1) .
只需要证明 ?1 ,?2 ,?,?n ?r 是解向量组的一个极大线性无关部分组即可。易见,向量组

?1 ,?2 ,?,?n?r 线性无关。只需要再证明?1 ,?2 ,?,?n?r 能线性表出任意一个 ? ? S 即可。为
此,需要证明引理: 引理 证明 设 ?1 , ? 2 ,? , ? t 线性无关, ? 可被 ?1 , ? 2 ,? , ? t 线性表出,则表示法唯一。 设

? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? kt ? t , ? l1?1 ? l2? 2 ? ? ? lt ? t
两式相减,得到

(k1 ? l1 )?1 ? (k2 ? l2 )? 2 ? ? ? (kt ? lt )? t ? 0 .
由于 ?1 , ? 2 ,? , ? t 线性无关,故各 ? i (1 ? i ? t ) 的系数皆为零,于是 k i ? l i (? i ) ,即 ? 的表示 法唯一。引理证毕。 现在回到定理的证明。设 (c1 , c2 ,? , cn ) ? S ,则有

c1?1 ? c2? 2 ? ? ? cr? r ? cr ?1? r ?1 ? cr ?2? r ?2 ? ? ? cn? n ? 0 . c1 '?1 ? c2 '? 2 ? ? ? cr '? r ? cr ?1? r ?1 ? cr ? 2? r ? 2 ? ? ? cn? n ? 0 .

(1)

考虑? ? cr ?1?1 ? cr ? 2?2 ? ? ? cn?n ?r ? S ,则? 形如 (c1 ', c2 ',?, cr ', cr ?1 , cr ? 2 ,?, cn ) ,且有 (2)

记 ? ? ?(cr ?1? r ?1 ? cr ? 2? r ? 2 ? ? ? cn? n ) , 则 由 引 理 , 它 可 以 被 线 性 无 关 的 向 量 组

?1 , ? 2 ,?, ? r 唯一地线性表示,于是由(1)(2)两式可知 、
c1 ? c1 '; c2 ? c2 '; ? cr ? cr ' ,
于是? ? (c1 , c2 ,?, cn ) ? cr ?1?1 ? cr ? 2?2 ? ? ? cn?n ?r 。 这就证明了?1 ,?2 ,?,?n ?r 是解向量组 的一个极大线性无关部分组。再由矩阵的秩的定义可知命题成立。证毕。 基础解系的求法 我们只要找到齐次线性方程组的 n ? r 各自有未知量,就可以获得它的基础解系。具体 地说, 我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形, 那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵 的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端,其余 n ? r 个未知量移到等式 右端,再令右端 n ? r 个未知量其中的一个为 1,其余为零,这样可以得到 n ? r 个解向量,
15

这 n ? r 个解向量构成了方程组的基础解系。 例 求数域 K 上的齐次线性方程组

? ? x1 ? x2 ? x ? x ? 2x ? ? 1 2 3 ? ? 4 x1 ? 2 x2 ? 6 x3 ? ? 2 x1 ? 4 x2 ? 2 x3 ? ?
的一个基础解系。 解

3x4 ? x5 ? 0, x4 ? 0, 3x4 ? 4 x5 ? 0, 4 x4 ? 7 x5 ? 0.

用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形:

0 ?3 ?1 ? ? 1 ?1 1 ? 1 ?1 2 ?1 0 ? ?0 ? ??? ? 4 ?2 6 3 ?4 ? ? 0 ? ? ? ? 2 4 ?2 4 ?7 ? ? 0

1

?3 ?1? 2 ?2 ?2 ?1? ?, 0 0 3 ?1? ? 0 0 0 0? 0

于是 r ( A) ? 3 ,基础解系中有 n ? r ( A) ? 5 ? 3 ? 2 个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程 组

? x1 ? ? ? ?
移项,得

?

x2 2 x2 ? 2 x3

? 3 x4 ? 2 x4 3 x4

? ? ?

x5 x5 x5

? 0 , ? 0 , ? 0 .

? x1 ? ? ? ?
(1) 、取 x3 ? 1,

?

x2 2 x2

? 3 x4 ? 2 x4 3 x4

? ? 2 x3 ? ?

x5 x5 x5

, , .

x5 ? 0 ,得一个解向量

?1 ? (?1,1,1, 0, 0) ;
(2) 、取 x3 ? 0,

x5 ? 1 ,得另一解向量

?2 ? ( , , 0, ,1) .
?1 ,? 2 即为方程组的一个基础解系,方程组的全部解可表示为
k1?1 ? k 2? 2 (k1 , k 2 ? K ) .
解毕。 非齐次线性方程组的解的结构 设给定一个一般线性方程组
16

7 5 6 6

1 3

?a11 x1 ? a12 x2 ? ...... ? a1n xn ? b1 , ?a x ? a x ? ...... ? a x ? b , ? 21 1 22 2 2n n 2 ? ? ...... ?am1 x1 ? am 2 x2 ? ...... ? amn xn ? bm . ?
于是其系数矩阵和增广矩阵分别为

(*)

? a11 a12 ? a1n ? ?a ? ? 21 a22 ? a2 n ? A? ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ? ? ?


? a11 a12 ? a1n ?a a22 ? a2 n A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ?
定理 (数域 K 上线性方程组有解的判别定理)

b1 ? b2 ? ?。 ?? ? bm ? ?
对于数域 K 上的线性方程组(*) ,

若 r (A) ? r ( A) ,则方程组无解;r (A) ? r ( A) ? n ,则有唯一解;r (A) ? r ( A) ? n ,则有无 穷多解。 证明 写出线性方程组的向量形式,

x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n ? ? ,
其中

? a1i ? ? b1 ? ? ? ? ? ? a2i ? , (i ? 1, 2,?, n) , ? ? ? b2 ? 。 ?i ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?b ? ?a ? ? m? ? mi ?
若 r (A) ? r ( A) ,则由矩阵秩的定义,可知 A 列向量组的秩小于 A 列向量的秩,即向量组

?1 , ? 2 ,?, ? n 的 秩 小 于 向 量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ? 的 秩 。 只 需 证 明 ? 不 可 以 被 向 量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性表出即可证明方程组无解。事实上,若 ?1 , ? 2 ,?, ? n 可以将 ? 线性表出,
则向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? n 与 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ? 线性等价,则两个向量组的秩相等,矛盾于向量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的秩小于向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ? 的秩。所以 ?1 , ? 2 ,?, ? n 不能将 ? 线性表 出,方程组无解得证。 若 r (A) ? r ( A) ,则 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的极大线性无关部分组就是 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ? 的极大
17

线性无关部分组。于是 ? 能被 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性表出,即线性方程组有解。

? 任取线性方程组的一个解向量, 记为? 0 , 对于线性方程组的任意一个解向量? , ? ?0
是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组(称为线性方程组(*)的导出方程组)的 解向量。事实上,可以分别将 ? 和 ? 0 带入(*) ,再将对应方程相减,即可证明上述结论。 反过来,容易证明,对于导出方程组的每一个解向量 ? ,?0 ? ? 都是线性方程组(*)的解 向量。以 T 记导出方程组的解向量组成的集合,则(*)的解为

?? 0 ? ? | ? ? T ?.
详言之,记导出方程组的基础解系为 ? 1 , ? 2 ,?, ? n ?r ,则(*)的解为:

?0 ? k1? 1 ? k2? 2 ? ? ? kn?r ? n?r , (?ki ? K , i ? 1, 2,?, n ? r ) .
如果 r (A) ? r ( A) ? n ,则 T ? {0} ,故方程组(*)有唯一解;如果 r (A) ? r ( A) ? n ,则 T 为无穷集合,故方程组(*)有无穷多解。

第一学期第八次课

第二章 §4 矩阵的运算 2.4.1 矩阵运算的定义 定义(矩阵的加法和数乘) 给定两个 m ? n 矩阵

? a11 a12 ? a1n ? ?a a22 ? a2 n ? ?, A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? am1 am 2 ? amn ? ? ?

? b1 1 b 1 2 ? b n ? 1 ?b ? b 22 ? b n? 2 , B?? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?bm1 bm 2 ? bmn ? ? ?

A 和 B 加法定义为
? a11 ? b11 a12 ? b12 ? a1n ? b1n ? ?a ?b a22 ? b22 ? a2 n ? b2 n ? ?; A ? B ? ? 21 21 ? ? ? ? ? ? ? ? am1 ? bm1 am 2 ? bm 2 ? amn ? bmn ? ? ?
给定数域 K 中的一个元素 k , k 与 A 的数乘定义为

? a11 a12 ? a1n ? ? ka11 ka12 ? ka1n ? ? ? ? ? a a22 ? a2 n ? ? ka21 ka22 ? ka2 n ? . kA ? k ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ? ? m1 am 2 ? amn ? ? kam1 kam 2 ? kamn ?
18

定义(矩阵的乘法) 给定一个 m ? n 矩阵和一个 n ? l 矩阵

? a11 ? a A ? ? 21 ? ? ? ?a ? m1

a12 a22 ? am 2

? a1n ? ? ? a2 n ? , ? ? ? ? amn ? ?

? b1 1 b 1 2 ? b l ? 1 ? ? b b 22 ? bl? 2 , B?? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?b b ? ? n1 n 2 ? bnl ?

A 和 B 的乘法定义为
? n ? ? a1i bi1 ? i ?1 ? n a b AB ? ? ? 2i i1 i ?1 ? ? n ? ? ? ? a mi bi1 ? i ?1
命题

?a ?a
i ?1 n i ?1 n

n

1i i 2

b

2i i 2

b

?

?a
i ?1

mi

bi 2

? b ? i ?1 ? n ? ? ? a 2i bil ? . i ?1 ? ? ? n ? ? ? a mi bil ? i ?1 ? ?

?a

n

1i il

2.4.2 矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)的性质 矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律(其中 A, B, C 均为 K 上的矩阵,

k, l 为数域 K 中的元素)
(1) 加法结合律 (2) 加法交换律 (3) 数乘结合律 (4) 数乘分配律

( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C ) ;

A ? B ? B ? A;
k (lA) ? (kl) A ; k ( A ? B) ? kA? kB ; (k ? l ) A ? kA? lA ;

(5) 乘法结合律

( AB)C ? A( BC) ; k ( AB) ? (kA) B ? A(kB) ;

(6) 乘法分配律

A( B ? C ) ? AB ? BC ; ( B ? C ) A ? BA ? CA;

(7) (8)

( A ? B)' ? A'? B' ;

? AB?' ? B' A' 。
矩阵的运算与秩的关系满足如下性质(其中 A, B 均为数域 K 上的 m? n 矩阵,k

2.4.3 矩阵的和与积的秩 命题

为 K 中的元素) : (1) 若 k ? 0 ,则 r (kA) ? r (A) ; (2) r (A' ) ? r (A) ; (3) r ( A ? B) ? r (A) ? r (B)
19

证明 (1)和(2)显然成立。关于(3) ,由矩阵的秩的定义,只需要证明 A ? B 的列 向量组的秩小于等于 A 的列向量组的秩加上 B 的列向量组的秩即可。 A ? B 的列项量可以 被 A 和 B 的所有列向量线性表出,于是 A ? B 的秩小于等于 A, B 所有列向量的所组成的向 量组的秩,小于等于 A, B 秩的和。于是命题成立。 命题 证明 设 A, B 分别为 m ? n 矩阵和一个 n ? l 矩阵,则 r ( AB) ? min ( r ( A), r (B )). 由矩阵乘法的定义,有

? n ? ? a1i bi1 ? i ?1 ? n a b AB ? ? ? 2i i1 i ?1 ? ? n ? ? ? ? a mi bi1 ? i ?1

?a ?a
i ?1 n i ?1 n

n

1i i 2

b

2i i 2

b

?

?a
i ?1

mi

bi 2

? b ? i ?1 ? n ? ? ? a 2i bil ? . i ?1 ? ? ? n ? ? ? a mi bil ? i ?1 ? ?

?a

n

1i il

AB 的列向量(记为 A ? Bi (i ? 1,2, ?, l ) )可表示为
? a1n ? ? a11 ? ? a12 ? ? ? ? ? ? ? ? a21 ? b ? ? a22 ? b ? ? ? ? a2 n ? b , i ?2 , ? l ) ( , , 1 A ? Bi ? ?? ? ni ? ? ? 1i ? ? ? 2i ? ? ? ? ?a ? ?a ? ? ?a ? ? ? m1 ? ? m2 ? ? mn ?
于是 AB 每一个列向量都可以写成 A 的列向量组的线性组合,故 r ( AB) ? r (A) ;同理可证, r ( AB) ? r (B) ,于是 r ( AB) ? min ( r ( A), r (B )) 。 命题 证明 r ( AB) ? r (A) ? r ( B) ? n . 记 C ? AB ,设 B 的列向量为 B1 , B2 ,?, Bl ,则 C 的列向量可以表示为

Ci ? ABi .
设 C 的列向量的一个极大线性无关部分组为 Ci1 , Ci2 ,? , Cir ,

(1)

Ci j ? ABi j , j ? 1, 2,?, r ,
任取 C 的一个列向量 C j ,存在 k j1 , k j 2 ,? , k jl ,使得 C j ? k j1Ci1 ? k j 2Ci2 ? ? ? k jr Cir , 将 (1)式代入,得到

A(k j1Bi1 ? k j 2 Bi2 ? ? ? k jr Bir ) ? C j ,
于是 k j1 Bi1 ? k j 2 Bi2 ? ? ? k jl Blr 是方程组 AX ? C j 的一个特解。 设齐次线性方程组 AX ? 0 的基础解系为 ? 1 , ? 2 ,? , ? n ? r ( A) ,由线性方程组理论知,方程

AX ? C j 的解可以表示为

? j ? k j1Bi ? k j 2 Bi ? ? ? k jr Bi ? m1? 1 ? m2? 2 ? ? ? mn?r ( A)? n ?r ( A) ,
1 2 r

其中 mi ? K ,由 Ci j ? ABi j , Bi 是方程 AX ? Ci 的解,于是 B 的列向量可以被向量组
20

Bi1 , Bi2 ,?, Bir , ? 1 , ? 2 ,?, ? n ?r ( A) 线性表示,于是 r ( B) ? r ? s ? r ( AB) ? (n ? r ( A)) ,即
r ( AB) ? r (A) ? r ( B) ? n . 证毕。 定义 主对角线上的 n 阶方阵 A 自左上角到右下角这一条对角线称为 A 的主对角线。

n 个元素的连加称为 A 的迹。
第一学期第九次课

第二章 §5 n 阶方阵
2.5.1 n 阶方阵,对角矩阵,数量矩阵,单位矩阵,初等矩阵,对称、反对称、上三角、下 三角矩阵 定义(数域 K 上的 n 阶方阵) 数域 K 上的 n ? n 矩阵成为 K 上的 n 阶方阵, K 上全体

n 阶方阵所成的集合记作 M n ( K ) 。
定义( n 阶对角矩阵、数量矩阵、单位矩阵) 数域 K 上形如

? d1 0? ? ? ? ? ? ? ? d n ?n?n ?0
的方阵被称为 n 阶对角矩阵,与其他矩阵相乘,有

? a11 a12 ? a1n ? ? d1a11 d 2 a12 ? d n a1n ? ? ? ? d1 0 ? ?d a d a ? d a ? ? 2 22 n 2n ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? ? 1 21 ; ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? 0 ? d n ?n?n ? ?a ? ?d a ? ? m1 am 2 ? amn ? ? 1 m1 d 2 am 2 ? d n amn ? ? a11 a12 ? a1l ? ? d1a11 d1a12 ? d1a1l ? ? d1 0 ? ?a a ? a ? ?d a d a ? d a ? ? ? ? 21 22 2l ? 2 22 2 2l ? 。 ? ? ? 2 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? d n ?n?n ? ?a ? ? ? ?0 ? n1 an 2 ? anl ? ? d n an1 d n an 2 ? d n anl ?
形如

?k 0? ? ? ? ? ? ? ? k ?n?n ?0
的方阵被称为 n 阶数量矩阵,与其他矩阵相乘,有

21

? a11 a12 ? a1n ? ? ka11 ka12 ? ka1n ? ?k 0 ? ? a a ? a ? ? ka ka ? ka ? ? ? ? 21 22 2n ? 22 2n ? ; ? ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k ?n?n ? ? ? ? ?0 ? am1 am 2 ? amn ? ? kam1 kam 2 ? kamn ? ? a11 a12 ? a1l ? ? ka11 ka12 ? ka1l ? ? ?? k 0 ? ? ka ka ? ka ? ? 22 2l ? ? a21 a22 ? a2l ? ? ? 21 。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? k ?n?n ? ?a ? ka ? an 2 ? anl ? ? ? n1 ? ? n1 kan 2 ? kanl ?
矩阵

?1 0? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?n?n ?0
被称为 n 阶单位矩阵,记作 En ,有

? a11 a12 ? a1n ? ? a11 a12 ? a1n ? ? ?? 1 0? ?a a ? a ? ? 22 2n ? ? a21 a22 ? a2 n ? ? ? 21 ; ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??0 ? 1 ?n?n ? ?a ? ?a ? ? m1 am 2 ? amn ? ? m1 am 2 ? amn ? ? a11 a12 ? a1l ? ? a11 a12 ? a1l ? ?1 0? ?a a ? a ? ?a a ? a ? ? ? ? 21 22 2l ? 22 2l ? 。 ? ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?n?n ? ?a ? ? ? ?0 ? n1 an 2 ? anl ? ? an1 an 2 ? anl ?
我们记第 i 行第 j 列为 1,其余位置全为零的 n 阶方阵

? ? ? ? ? ? ? ? ?E 。 ij ?? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? n? n
定义 初等矩阵

我们把形如

22

?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? k ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? n? n ? ?
其中对角线上除了第 i 个元素为 k (k ? 0) 以外,全为 1,其他位置全为 0 的矩阵和形如

?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? n?n ? ?
其中对角线上的元素全为 1,第 i 行 j 列位置上为 k,其余位置都为 0 的矩阵和形如

?1 ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? n? n

其中对角线上的元素除了第 i 和第 j 个元素为零外,都为 1,第 i 行第列和第(n-i)行第 (n-j)列位置上为 1,其余位置均为零的矩阵称为初等矩阵,分别用 Pn (k ? i ) , Pn (k ? i, j ) ,

Pn (i, j ) 来表示。初等矩阵都是由单位阵经过一次初等变换得到的。
定义 对称矩阵、反对称矩阵

设 A ? aij

? ?

n? n

为数域 K 上的 n 阶方阵,若 aij ? a ji ,称 A 为对称矩阵;若 aij ? ?a ji ,

则称 A 为反对称矩阵。
23

若 A, B 为数域 K 上的 n 阶对称(反对称)矩阵,则 kA ? lB 仍为 K 上的 n 阶对称(反对 称)矩阵,其中 k , l ? K 。 定义 上三角、下三角矩阵

数域 K 上形如

? a11 ? ? ? ? ? ?
的 n 阶方阵被称为上三角矩阵;形如

a12 ? a1n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ann ? ?

? a11 ? ? ? ? a21 ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? a ? ? nn ? ? n1
的 n 阶方阵被称为下三角矩阵。 对于 n 阶上(下)三角矩阵,同样有 若 A, B 为数域 K 上的 n 阶上(下)三角矩阵,则 kA ? lB 仍为 K 上的 n 阶上(下)三角 矩阵,其中 k , l ? K 。 命题 证明 对于 矩阵的初等行(列)变换等价于左(右)乘初等矩阵; 我们分别考察三种初等矩阵

?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? P(k ? i ) ? ? k ? , ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? n?n ? ?


24

?1 ? ? ? ? ? ?? a ? ? ? 11 1 ? ? ? a21 k ? ?? ? ? ?? 1 ? ? ? an1 ? ? ? ? ? 1? ? ?

a12 a22 ? an 2

?a ? a1l ? ? 11 ? ? ? a2l ? ? ? ? ka ? ? ? i1 ? ? ? anl ? ? ? ?a ? n1

a12 ?

?

kai 2 ? ? an 2 ?

a1l ? ? ? ? kail ? , ? ? ? anl ? ?

等价于初等行变换中将第 i 行乘以一个非零数,

? a11 ? ? a21 ? ? ? ?a ? m1

a12 a22 ? am1

?1 ? ? ? ? ? ? ? a11 ? ka1i ? a1l ? ? a1n ? ? ? a21 ? ka2i ? a2l ? 1 ?? ? ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ?, k ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 1 ?? ? ? ?? ? amn ? ? ? ? ? an1 ? kani ? anl ? ? ? ? ? ? 1? ?

等价于初等列变换中将第 i 列乘以一个非零数; 对于

?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? Pn (k ? i, j ) ? ? ? ? ? , ? ? k ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ?n?n ? ?

?1 ? ? ? ? ? ?? a ? ? ? 11 1 ? ? ? a21 ? ? ? ?? ? ? ?? k ? 1 ? ? ? an1 ? ? ? ? ? 1? ? ? ? a11 ? a1l ? ? ? ? ? a2l ? ? ? ? ka ? a j1 ? ? ? i1 ? ? ? anl ? ? ? ? a n1 ? a12 ? kai 2 ? a j 2 ? ? an 2 ? ? ? ? ? ? kail ? a jl ? ? ? ? anl ? ? a1l

a12 a22 ? an 2

等价于初等行变换中将第 j 行加上第 i 行的 k 倍,

25

? a11 ? ? a21 ? ? ? ?a ? m1

a12 a22 ? am1

?1 ? ? ? a ? ka1i ? a1 j ? a1l ? ? ? ? ? 11 ? a1n ? ? ? ? a21 ? ka2i ? a1 j ? a2l ? 1 ?? ? ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? k ? 1 ? ?? ? amn ? ? ? ? ? an1 ? kani ? a1 j ? anl ? ? ? ? ? 1? ? ?

等价于初等列变换中将第 j 列加上第 i 列的 k 倍; 对于

?1 ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? Pn (i, j ) ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?1 ? ? ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a11 ? ? 1 ? ? ? ? ? a j1 ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? ? i1 0 ? ? ? ? ?a 1 ? ? n1 ? ? ? 1 ? n? n

? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? , ? ? ? 0 ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? n? n

a12 ? a j2 ? ai 2 ? an 2

? ? ? ? a1l ? ? a11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a jl ? ? ai1 ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ail ? ? a j1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? anl ? ? an1 ? ?

a12 ? ai 2 ? a j2 ? an 2

? ? ? ? a1l ? ?, ? ? ? ? ? ? ail ? ? ? ? ? ? ? ? a jl ? ? ? ? ? ? ? ? anl ? ?

等价于初等行变换中互换 i,j 两行,而
?1 ? ? ? ? a1n ? ? 1 ?? ? a2 n ? ? 0 ? ? ? ? ?? ? 1 ?? ? ?? ? ? ? ?? ? 1 ?? ? ?? 1 ? ? ? ? amn ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? a11 ? a1i ? a1 j ? a1n ? ? ? ? 1 ? ? a21 ? a2i ? a2 j ? a2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ? ? ?a ? ami ? amj ? amn ? 1 ? ? ? m1 ? ? ? 1?

? a11 ? a1 j ? a1i ? ? a21 ? a2 j ? a2i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? amj ? ami ? m1

26

等价于初等列变换中互换 i,j 两列。 于是初等行(列)变换可以等价为左(右)乘初等矩阵。证毕。 定理 证明 一个方阵是满秩的当且仅当它能表示为初等矩阵的乘积。 必要性 经过初等变换可以将一个满秩 n 阶矩阵(记为 A)化为对角形,由初等

变换与乘初等矩阵的等价性,可知存在初等矩阵

P , P2 ,? Ps 和 Q1 , Q2 ,?, Qt , 1
使得 P , P2 ,? Ps AQ1 , Q2 ,?, Qt ? En ,由于初等变换存在逆变换,于是可知用初等变换的逆 1

? s 变 换 可 以 将 单 位 矩 阵 化 为 满 秩 矩 阵 A , 于 是 , 存 在 n 阶 初 等 矩 阵 P ', P2 ', P ' '和 1 Q1 ', Q2 ',?, Qt ' ' ,使得 P ', P2 ',? Ps ' ' EnQ1 ', Q2 ',?, Qt ' ' ? A , 1
由矩阵运算的结合律和单位矩阵的性质, 可以知道 A ? P ', P2 ',? Ps ' ' Q1 ', Q2 ',?, Qt ' ' , 必要 1 性证毕。 充分性 若 A 可以表示成为初等矩阵的乘积, A ? PP2 ? Ps ? PP2 ? Ps E , 则 表示 A 可 1 1 由 n 阶单位阵经过 s 次初等变换得到,于是 A 满秩。证毕。 推论 设 A 是满秩矩阵,对于任意矩阵 B, C ,有 r ( AB) ? r (B) ,r (CA) ? r (C ) (只要

乘法有意义). 证明 由于满秩矩阵可以写作初等矩阵的乘积,于是存在初等矩阵 P , P2 ,? , Pr ,使得 1

A ? PP2 ? Pr ,于是, AB ? PP2 ? Pr B ,由初等矩阵于初等变换的等价关系, AB 相当于 1 1
对 B 做 r 次初等行变换。由于初等变换不改变矩阵的秩,所以 r ( AB) ? r (B) ;同理, r (CA) ? r (C ) 。证毕。 第一学期第十次课

2.5.2 可逆矩阵,方阵的逆矩阵 1、可逆矩阵,方阵的逆矩阵的定义 定义 设 A 是属于 K 上的一个 n 阶方阵,如果存在属于 K 上的 n 阶方阵 B,使

BA ? AB ? E ,
则称 B 是 A 的一个逆矩阵,此时 A 称为可逆矩阵。 2、群和环的定义 定义 运算。 定义 设 G 是一个非空集合。 如果在 G 上定义了一个代数运算 (二元运算) 称为乘法, ,
27

设 A 是一个非空集合。任意一个由 A ? A 到 A 的映射就成为定义在 A 上的代数

记作 a ? b ,而且它适合以下条件,那么 ? G, ? ? 就成为一个群: 1、 乘法满足结合律 对于 G 中的任意元素 a,b,c 有

(a ? b) ? c ? a ?( b ? ; c )

2、 存在单位元素 e ? G ,对于任意 a ? G ,满足 3、 对于任意 a ? G ,存在 b ? G ,使得 关于群的性质,我们有如下命题: 命题 证明 对于任意 a ? G ,同样有 a ? b ? e 对于 b ,存在 c ? G ,使得 cb ? e ,

e?a ? a ;

。 b ? a? e

a ? e ? a ? (c ? b) ? a ? c ? (b ? a) ? c ? e ,
两端右乘 b ,得到

a ?b ? e 。
命题 证明 命题 证明 命题 对于任意 a ? G ,同样有 a ? e ? a

a ? e ? a ? a ? ) ? a ? a(? b ? a ? 。? e ( b ) a
单位元素唯一 假设存在 e, e ' ? G ,均是单位元素,则 e ? e ' e ? e ' 。 对于任意 a ? G , 存在唯一 b ? G , 使得
?1

a? b ? b? a ? , e于是元素 b 就称为 a

的逆元素,记为 a 。 证明 设存在 b, c ? G ,满足条件,则

b ? e ? b ? (c ? a) ? b ? c ? (a ? b) ? c ? e ? c 。
易知, (a ) 命题 定义
?1 ?1

? a。

对于 G 中的任意元素 a,b,方程 a ? x ? b 有唯一解。 一个群 G 称为一个交换群(Abelian Group) ,若定义在上面的代数运算 ? 满足交

换律,即对于任意 a, b ? G ,都有 a ? b ? b ? a 。 定义 设 L 是一个非空集合,在 L 上定义了两个代数运算,一个叫加法,记为 a+b,一

个叫乘法,记为 ab。如果具有性质: (1) 关于加法成为一个交换群; 、L (2) 、乘法满足结合律,即

?a, b, c ? L ,有 a(bc) ? (ab)c ;
(3) 、乘法关于加法满足分配律,即 ?a, b, c ? L ,有

a(b ? c) ? ab ? ac, (b ? c)a ? ba ? ca.
28

那么 L 就称为一个环。 命题 数域 K 上的 n 阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法构成群,称为 K 上的一般线性

群,记为 GL n (K ) ;数域 K 上的 n 阶方阵的全体关于矩阵的加、乘法构成环,称为 K 上的 全矩阵环,记为 M n (K ) ; 证明 按定义逐项验证即可。 其中 GL n (K ) 中乘法的单位元是 n 阶单位矩阵, M n (K ) 而

中加法的单位元是 n 阶零方阵。 命题 证明 命题 证明 事实上,

( AB)?1 ? B ? 1A?

1

B ?1 A?1 ( AB) ? E ,由逆矩阵的唯一性可知,命题成立。
假设 n 阶可逆方阵 A 的逆矩阵是 B,则 B ' 是 A ' 的逆矩阵。 只需要证明 B ' A ' ? A ' B ' ? E 即可。

B ' A ' ? ( AB) ' ? E ' ? E A ' B ' ? ( BA) ' ? E ' ? E
于是命题得证。 命题 证明 矩阵可逆当且仅当满秩;



必要性 若 n 阶方阵 A 可逆,则存在 n 阶方阵 B,使得 BA ? E ,于是有

n ? r ( BA) ? r ( A) ? n ,于是 r ( A) ? n ;
充分性 若 n 阶方阵满秩, A 可以表为初等矩阵的乘积, 则 即存在初等矩阵 P , P2 ,? , Pn , 1 使得 A ? PP ? Pn 。只需要证明初等矩阵是可逆的。事实上, P(k ? i) P( ? i) ? E ; 1 2

1 k

P(k ? i, j ) P(?k ? i, j ) ? E ; P(i, j ) P(i, j ) ? E ,所以由命题
毕。

1 1 A?1 ? Pn ? 1Pn ?1? ? P ? 。证 1

2.5.3 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵,矩阵方程 AX ? B 和 XA ? B 的解法( A 为可逆 阵) 1、 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 如果 A 可逆,则 A 满秩。于是 A 可以经过初等行变换化为对角形,即

Pn Pn?1 ? P A ? E ,则 A?1 ? Pn Pn ?1 ? PE 。 1 1
于是,对单位矩阵做与把 A 化为标准形相同的初等行变换(由矩阵乘法和初等变换的等价 性可以知道这是可行的)就可以得到 A 的逆矩阵,不妨把可逆矩阵 A 和单位矩阵 E 并在一
?1 起,得到 ? A | E ? ,对 A 进行初等行变换,将其化为对角形,即得到 E | A ;

?

?

同样地,将可逆矩阵和单位矩阵拼成如下形状
29

? A? ? ?, ?E?
进行初等列变换,同样可以得到 A?1 。 2、关于矩阵方程 AX ? B 和 XA ? B 的解法(其中 A 为可逆阵) a、关于矩阵方程 AX ? B ,其中 A 是一个 n ? n 矩阵,X 和 B 是 n ? l 矩阵。 由关于群性质,可以知道 X ? A?1B ,于是将 A 和 B 并排拼成一个矩阵 ? A | B ? ,进行初等 行变换,将 A 化为单位矩阵,于是可以得到 ( E | A B) ; b、关于矩阵方程 XA ? B ,其中 A 是一个 n ? n 矩阵,X 和 B 是 m ? n 矩阵。 我们将 A 和 B 拼为 ? 例 同样地,
?1

? A? ?1 ? ,可以得到方程的解 BA 。 B? ?

设 A 和 B 为数域 K 上的 m? n 和 n ? s 矩阵,则 r ( AB) ? r (A) +r ( B) ? n.

证明

存在 m? m 和 n ? n 初等矩阵,使得 PP ? Ps AQ1Q2 ?Qt ? D ,其中 D 为 A 在 1 2

初等变换的下标准形,记 s 为 D 的秩。令 P ? PP2 ? Ps ; Q ? Q1Q2 ?Qt ,则 PAQ ? D 。Q 1 和 P 均为满秩方阵,则

r ( AB) ? r ( PAB) ? r (( PAQ)Q ?1B) ? r ( D(Q ?1B)) ,

? b11 b12 ? b1n ? ? ? ?1 ? b21 b22 ? b2 n ? ,则 记Q B 为 ? ? ? ? ? ? ? ?b ? ? m1 bm 2 ? bmn ?
? b11 b12 ? ? b21 b22 ? ? ? ? ?1 DQ B = ? bs1 bs 2 ? 0 0 ? ? ? ? ? 0 0 ?
?1 ?1

? ? ? ? b1m ? ? ? ? ? ? b2 m ? ? ? ? ? ? ? ? bsn ? , ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ? ?
?1 ?1

于是 DQ B 的秩为 Q B 前 s 个行向量的秩。而 Q B 可以被 Q B 前 s 个行向量的极大线 性无关部分组和 Q B 的后 n-s 个向量线性表示,于是
?1

r (Q ?1B) ? r ( DQ ?1B) ? (n ? s) ,
于是

r ( AB) ? r ( A) ? r ( B) ? n 。
30

证毕。 第一学期第十一次课

第二章 §6 分块矩阵
2.6.1 分块矩阵的乘法,准对角阵的乘积和秩 1、矩阵的分块和分块矩阵的乘法 设 A 是属于 K 上的 m ? n 矩阵,B 是 K 上 n ? k 矩阵,将 A 的行分割 r 段,每段分别包 含 m1 , m2 ,?, mr 个行,又将 A 的列分割为 s 段,每段包含 n1 , n2 ,? , ns 个列。于是 A 可用小 块矩阵表示如下:

? A11 ? A A ? ? 21 ? ? ? ?A ? r1

A12 ? A1s ? ? A22 ? A2 s ? , ? ? ? ? Ar 2 ? Ars ? ?

其中 Aij 为 mi ? n j 矩阵。对 B 做类似的分割,只是要求它的行的分割法和 A 的列的分割 法一样。于是 B 可以表示为

? B11 ? B B ? ? 21 ? ? ? ?B ? s1

B12 ? B1t ? ? B22 ? B2t ? , ? ? ? ? Bs 2 ? Bst ? ?

其中 Bij 是 ni ? k j 的矩阵。这种分割法称为矩阵的分块。此时,设 AB ? C ,则 C 有如 下分块形式:

? C11 C12 ? C1t ? ? ? ? C21 C22 ? C2t ? , C? ? ? ? ? ? ? ? ?C ? ? r1 Cr 2 ? Crt ?
其中 Cij 是 mi ? ki 矩阵,且

Cij ? ? Ail Blj 。
l ?1

s

定义 称数域 K 上的分块形式的 n 阶方阵

31

? A1 ? A?? ? ? ? ?

A2

? ? ? ? ? ? As ? ?

为准对角矩阵,其中 Ai (i ? 1, 2,?, s) 为 ni 阶方阵( n1 ? n2 ? ? ? ns ? n ) ,其余位置全是小 块零矩阵。 2、分块矩阵的一些性质 命题

n 阶准对角矩阵有如下性质:

(1) 、对于两个同类型的 n 阶准对角矩阵(其中 Ai , Bi 同为 ni 阶方阵) ,

? A1 ? A?? ? ? ? ?


A2

? ? B1 ? ? ?,B ? ? ? ? ? ? ? ? As ? ? ?

B2

? ? ?, ? ? ? Bs ? ?

? A1 B1 ? AB ? ? ? ? ? ?

A2 B2

? ? ?; ? ? ? As Bs ? ?

(2) r ( A) ? r ( A1 ) ? r ( A2 ) ? ? ? r ( As ) ; 、 (3) 可逆 ? Ai (i ? 1, 2,?, s) 可逆,且 、A

? A1?1 ? ?1 A ?? ? ? ? ?
命题 分块矩阵 ? ? 记M ? ?

A2 ?1

? ? ?。 ? ? ? As ?1 ? ?

? A C? ? 的秩大于等于 A 与 B 的秩的和。 ? ? 0 B?

证明

?A C? ? ,设 A 为 m ? n 矩阵,B 为 n ? l 矩阵, A 在初等变换标准形为 ? 0 B? ?E D1 ? ? r ?0 0? ? , r ? r ( A) ; 0?

B 在初等变换下的标准形为
32

?E D2 ? ? s ?0

0? ? , s ? r ( B) , 0?

则对 M 前 m 行前 n 列做初等变换,对它的后 k 行后 l 列也做初等变换,这样可以把 M 化为

?D M1 ? ? 1 ?0

C1 ? ?。 D2 ?

现在利用 D1 左上角的“1”经过初等列变换消去它右边 C1 位置中的非零元;再用 D2 左上角 的“1”经过初等行变换消去它上面 C1 处的非零元素,于是把 M 1 再化作

? Er ? 0 M2 ? ? ?0 ? ?0 ?

0 0 0

0 0 0

0 Es

0? ? C2 ? 。 0? ? 0? ?

则有 r ( M ) ? r ( M1 ) ? r ( M 2 ) ? r ? s ? r (C2 ) ? r ? s ? r ( A) ? r ( B) 。证毕。 容易得出,对于矩阵

?A 0? N ?? ?, ?C B?
也有同样的性质。 对 于 上 述 M 和 N , 如 果 r ( A)? m, r ( B) ? , 则 r ( M )? r ( A) k ? ; r ( B) 如 果

r ( A) ? n, r ( B) ? l ,则 r (M ) ? r ( A) ? r ( B) 。
命题 设 A 、 B 、 C 为数域 K 上的三个可以连乘的矩阵,则 r (ABC) ? r (B) ? r ( AB) ? r (BC ) 证明 假设 A、B、C 分别为 m ? n 、 n ? l 和 l ? s 矩阵。令

? AB M ?? ? B
考虑

0 ? ?, BC ?

? E ? A ? ? AB 0 ? ? El N ?? m ?? ?? ? 0 En ? ? B BC ? ? 0 ? 0 ? ABC ? ?? ?, 0 ? ?B

?C ? ? 0 ? ABC ?? E ?? ?? Es ? ? B BC ?? 0 ?

?C ? ? E ?

由可逆矩阵乘法的性质(命题 )和命题 可以知道,

r ( ABC) ? r ( B) ? r ( N ) ? r (M ) ? r ( AB) ? r ( BC)
2.6.2 矩阵分块技巧的运用(挖洞法)和其应用——可逆矩阵的分块求逆
33

1、挖洞法 设

?A B? M ?? ?, ?C D?
其中 A 为 m? m 矩阵,B 为 m ? n 矩阵,C 为 l ? m 矩阵,D 为 l ? n 矩阵。不妨设 A 可逆, 取

? E M 1 ? ? m ?1 ? ?CA


0? ?, El ?

? E M 1M ? ? m ?1 ? ?CA


0 ?? A B ? ? A B ? , ?? ??? ?1 ? El ? ? C D ? ? 0 D ? CA B ?

?E M2 ? ? m ? 0


A?1 B ? ?, El ?

? A B ? ? Em MM 2 ? ? ?? ?C D?? 0

0 ? A?1 B ? ? A ? 。 ??? ?1 ? El ? ? C D ? CA B ?

由于分块矩阵的乘法形式上与普通矩阵相同,所以也可以用左乘(或右乘)一个适当的 分块方阵来读一个分块矩阵做类似的变换。但是要注意: (1) 、两个小块矩阵相乘时必须遵守左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这一原则; (2) 、两个小块矩阵相乘成不能交换次序,要分清那个在左,那个在右。 2、矩阵的分块求逆 设方阵

?A B? M ?? ?, ?C D?
其中 A 可逆。令

? E N ?? ?1 ? ?CA


0 ?? A B ? ? E ?? ?? E ?? C D ? ? 0

0 ? A?1 B ? ? A ? , ??? ?1 ? E ? ? 0 D ? CA B ?

? E U ?? ?1 ? ?CA

0? ?E ? ,V ? ? E? ?0

? A ?1 B ? ?1 ? , D1 ? D ? CA B , E ?
34

若 M 可逆,则 N 可逆,于是 D1 可逆。

? A?1 N ?1 ? ? ? 0
求得

0 ? ? (UMV ) ?1 ? V ?1M ?1U ?1 , ?1 ? D1 ?

? A ?1 M ?1 ? V ? ? 0
第一学期第十二次课

0 ? ?U 。 D1?1 ?

第三章 §1,§2

n 阶方阵的行列式

3.1.1 平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积具有的三条性质 在解析几何中已证明, 给定二维向量空间中的单位正交标架, 设向量 ? , ? 的坐标分别为

( a1 , a2 ) 和 (b1 , b2 ) ,则由向量 ? , ? 张成的平行四边形的有向面积为 a1b2 ? a2b1 ,这里记为;
给定三维空间内右手单位正交标架,设向量 ? , ? , ? 的坐标分别为 (a1 , a2 , a3 ) 、 (b1 , b2 , b3 ) 和

(c1 , c2 , c3 ) , 则 由 向 量 ? , ? , ? 张 成 的 平 行 六 面 体 的 有 向 体 积 为 (a1 b2 ? a2 )b1 ? c1( a3 b1 ) a1?b3( c2 ? 。1 b2 ? a )
? a11 ? a21

a2 b1 c3

我们引入如下记号:对于二阶方阵 A ? ?

a12 ? ? ,定义 A ? a11a22 ? a12 a21 ;对于三 a22 ?

? a11 ? 阶方阵 A ? ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? a ? a23 ? ,定义 A ? a11 22 a32 a33 ? ?

a23 a33

? a12

a21 a31

a23 a33

? a13

a21 a31

a22 a32



不难发现, A (有向面积与有向体积)满足以下三条性质: (1) 、如果 A 的某行或某列换为两个向量的线性组合 k? ? l ? ,则 A ? A1 ? A2 ,其 中 A1 , A2 分别为把该行(列)换为 ? , ? 所得的 n 阶方阵; (2) 、如果 A 不满秩,则 A ? 0 ; (3) 、当 A 为单位矩阵时, A ? 1 。 3.1.2 利用上述三条性质定义 n 阶方阵的行列式函数的 det 定义 线性函数

n 若 f : M n ( K ) ? K 满足如下条件:对 K 中任意向量 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ? (写成横排形式)

以及 K 中任意数 k, ?i ? 1, 2,?, n ,都有

35

? ?1 ? ? ? ? ? ? f ??i ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ?

? ?1 ? ? ? ? ? ? f ? ?i ? + ? ? ? ? ? ?? ? ? n?

? ?1 ? ? ? ? ? ? f ? ? ?; ? ? ? ? ? ?? ? ? n?

? ?1 ? ? ? ? ? ? f ? k? i ? = kf ? ? ? ? ? ?? ? ? n ?

? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ?i ? , ? ? ? ? ? ?? ? ? n?

则称 f 为 M n ( K ) 上的一个行线性函数。 设 g : M n ( K ) ? K 满足如下条件 对 K n 中任意向量 ?1 , ? 2 ,?, ? n , ?(写成竖排形式) 以及 K 中任意数 k, j ? 1, 2,?, n , ? 都有

g ( ?1 , ? 2 ,?, ? j ? ? ,?, ? n ) ? g ( ?1 , ? 2 ,?, ? j ,?, ? n ) ? g ( ?1 , ? 2 ,?, ? ,?, ? n ) ; g ( ?1 , ? 2 ,?, k ? j ,?, ? n ) ? kg ( ?1 , ? 2 ,?, ? j ,?, ? n ) ,
则称 g 为 M n ( K ) 上的一个列线性函数。 同样地,行(列)线性函数的定义还可以写作

?k , l ? K ,有

? ?1 ? ? ? ? ? ? f ? k? i ? l? ? = kf ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ?

? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? i ? + lf ? ? ? ? ? ?? ? ? n?

? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ?和 ? ? ? ? ? ?? ? ? n?

g ( ?1 , ? 2 ,?, k ? j ? l ? ,?, ? n ) ? kg ( ?1 , ? 2 ,?, ? j ,?, ? n ) ? lg ( ?1 , ? 2 ,?, ? ,?, ? n ) 。
容易证明它们与上面定义的等价性。 定义 反对称线性函数

记号如上,若列线性函数 f 满足

f (?1 ,?, ? i ,?, ? j ,?, ? n ) ? ? f (?1 ,?, ? j ,?, ?i ,?, ? n ) ,
则称 f 为列反对称函数。 定理 设 f : M n ( K ) ? K 为列线性函数,则下述四条等价:

i) f 反对称; 、

,, ? ? , 0 ii) f (?,1 ?? , ,? ) ? 、

n

? ;

iii) f (?1 ,?, ? i ? k? j ,?, ? j ,?, ? n ) ? f (?1 ,?, ? i ,?, ? j ,?, ? n ) ; 、 iv) 、若 M 不满秩,则 f (M ) ? 0 。 证明 i) ? ii) 若 f 反对称,则
36

f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? ? f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ,
于是 f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? 0 。 ii) ? iii) 若 f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? 0 ,由于 f 列线性,则

f (?1 ,? , ? i ? k? j ,? , ? j ,? , ? n ) ? f (?1 ,? , ? i ,? , ? j ,? , ? n ) ? kf (?1 ,? , ? j ,? , ? j ,? , ? n ) ? f (?1 ,? , ? i ,? , ? j ,? , ? n ).
iii) ? iv) 若 f (?1 ,?, ? i ,?, k? j ,?, ? n ) ? f (?1 ,?, ? i ,?, ? j ,?, ? n ) ,则由已知, 不满秩矩阵必有一个列向量可以被其他列向量线性表出。 若记 M 的列向量为 ?1 , ? 2 ,?, ? n , 则必存在一个 ? i ,满足 ? i ?

?k ?
j ?1 j ?i j

n

j

,其中 k j ? K ,于是
n

f ( M ) ? f (?1 ,?, ? k j? j ,?, ? n ) ? 0 。
j ?1 j ?i

iv) ? ii) 矩阵 ??1 ?? ?? ?? n ? 不满秩,则 f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? 0 。 ii) ? i) 若 f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? 0 ,则

f (?1 ,?, ? ? ? ,?, ? ? ? ,?, ? n ) ? 0 ,
于是

f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? 0 ,
则有 f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) ? ? f (?1 ,?, ? ,?, ? ,?, ? n ) 。证毕 定义 函数 f : M n ( K ) ? K 被称为一个行列式函数,当且仅当 f 满足下列 3 条性质:

1、 f 列线性; 2、 f 反对称; 3、 f ( E ) ? 1 。 2.3.3 行列式函数的存在性与唯一性 引理 设 f 和 g 为烈现行反对称函数, A, B ? M n ( K ) 。则若经过相同的初等列变换化

为 A1 和 B1 ,则

f ( A) ? g ( A) ? f ( A1 ) ? g ( B1 ) 。
证明 定理 证明 由初等变换的可逆性, 只需证 ? ” 只需分别对三类基本初等列变换进行证明。 “ 。 行列式函数存在且唯一。 首先证明若行列式函数存在,则唯一。设 f , g : M n ( K ) ? K 是行列式函数,若

A 不 满 秩 , 则 f ( A) ? 0? g ( A ) 若 A 满 秩 , 则 A 可 以 经 过 初 等 列 变 换 化 为 E , ;

f ( E) ? 1 ? g ( E) ,于是由引理 f ( A) ? g ( A) ,即 f 和 g 在 M n ( K ) 上取值相等,于是
f ? g 。唯一性证毕。
37

再证明行列式函数的存在性。定义函数 det 如下:设 A ? ? a11 ? ? M 1 ( K ) ,定义

det( A) ? a11 ;
设在集合 M n ?1 ( K ) 内函数 det( A) 已定义,那么,对

? a11 a12 ? a1n ? ? ? a a22 ? a2 n ? A ? ? 21 ? M n (K ) , ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n1 an 2 ? ann ?
定义 det( A) ? a11M 11 ? a12 M 12 ? ? ? (?1)
n ?1 n ? 1? a1n M 1n ? ? a1i A ? ?. 其中 M ij 表示划去 A 的第 i ?1 ?i?

i 行和第 j 列后所剩的 n-1 阶方阵的 det 值, A ? ? 为 (?1) M 1i 。
i

?1? ?i ?

用记号 A 来代表 det( A) ,如果 A ? aij ? M n ( K ) ,可以写成

? ?
a11 a21 ? an1

a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann .

det A ? A ?

下面要证明上述定义的函数 det( A) 是行列式函数,从而说明了行列式函数的存在性。 对 n 作归纳,可分别证明 det( E) ? 1 ; det( A) 是列线性函数和 det( A) 反对称,于是

det( A) 是行列式函数。
命题 证明 行列式函数是行线性函数。 对 n 作归纳。

3.2.4 行列式的六条性质 命题 行列式函数满足以下六条性质:

1、 A ? A ' ;

a11 ? ka1i
2、 ?

? a1n ? ? k ? aij ? ?


a21 ? ka2i ? a2 n ? ? ?

n?n

an1 ? kani ? ann
类似地,对行向量,有

38

a1 1 ? ? an1

a ? ?

21

? ?

an 1 ? ?


kai1 kai 2 ? ? kain ? k ? aij ? an 2 ? ? ann

n?n

3、若 A 的某列(行)为两列(行)之和,则 A 为两个相应的行列式之和; 4、A 不满秩,则 A ? 0 ,特别地,A 有两行(列)相等,则 A ? 0 ; 5、将 A 的一行(列)的若干倍加到 B 的另一行(列)上去,行列式值不变; 6、两行(列)互换,行列式反号。 第一学期第十三次课

第三章 §2
1、行列式的按任意行(列)展开 定义 命题 证明 推论 命 Aij ? (?1)
i? j

n 阶方阵的行列式(续)

3.2.5 行列式的按任意列展开和特殊矩阵的行列式

M ij ,称为 aij 的代数余子式。

按行列式的第 i 行展开,有 aij ?

?a
j ?1

n

ij

Aij 。

将第 i 行先后与第 i ? 1, i ? 2,?,1行交换,再展开。 行列式按第 j 行展开,有 aij ?

?a
i ?1

n

ij

Aij 。

2、范德蒙行列式 形如

1 A? a1 ? a
的行列式称为范德蒙行列式。 命题
n ?1 1

1 a2 ? a
n ?1 2

? ?

1 an ?
n ?1 n

? a

A?

1?i ? j ? n

?

(a j ? ai ) 。

证明

对 n 作归纳。

3、准对角阵的行列式

39

命题 证明 推论

An?n ?

0 Bm?m

? A B。

对 n 作归纳。

An?n 0

? Bm?m

? A B。

A1
推论

A2 ? * An

? A1 A2 ? An 。

4、可微函数的方阵的行列式的微商 命题 设 aij (t ) 在 (a, b) 上可导,则

a11 (t ) a12 (t ) ? ? a1n (t ) ' ? a11 (t ) a12 (t ) ? a1n (t ) ? ? ? ? ? ? n ? a21 (t ) a22 (t ) ? a2 n (t ) ? ? ? a '(t ) ai 2 '(t ) ? ? ain '(t ) 。 ? ? ? ? ? i ?1 i1 ? ? ? ? ? a (t ) a (t ) ? a (t ) ? ? n2 nn ? n1 ? an1 (t ) an 2 (t ) ? ? ann (t )
证明 对 n 作归纳。

第一学期第十四次课

第三章 §3 行列式的初步应用
3.3.1 行列式的应用:用行列式求逆矩阵;克莱姆法则 定义 设矩阵

? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? , A? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n1 an 2 ? ann ?
矩阵

? A11 ? A ? A ? ? 12 ? ? ? ?A ? 1n
称为 A 的伴随矩阵。

A21 ? A22 ? A2 n

An1 ? ? ? An 2 ? ? ? ? ? Ann ? ?

40

由行列式的性质容易证得,

?a
k ?1

n

ik

?A ? A jk ? ? ?0 ?

i? j i? j

? ? ij A ,

其中 ? ij ? ?

?1 i ? j ,为 Kronecker 记号。于是有 ?0 i ? j
对于 n 阶满秩方阵 A ,有 AA ? A E ,若 A ? 0 ,则 A
*

命题

?1

?

1 * A 。 A

考察线性方程组

? a11 ? ? a21 ? ? ? ?a ? n1

a12 ? a1n ? ? x1 ? ? b1 ? ?? ? ? ? a22 ? a2 n ? ? x2 ? ? b2 ? , ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? an 2 ? ann ?? xn ? ? bn ? ?? ? ? ?

将其记为 AX ? B ,若 A 满秩,则

? x1 ? ? ? ? x2 ? ? A?1 B ? 1 A* B , ?? ? A ? ? ?x ? ? n?


? A11b1 ? A21b2 ? ? ? An1bn ? ? ? * ? A12b1 ? A22b2 ? ? ? An 2bn ? , AB? ??????????? ? ? ? A b ? A b ?? ? A b ? ? 2n 2 nn n ? ? 1n 1
A1i b1 ? A2i b2 ? ? ? Ani bn 就是把 A 的第 i 列换成 B 后的行列式,记
? a11 ? a1i ?1 b1 ? Ai ? ? ? ? ? ?a ? a bn ni ?1 ? n1
于是有: 定理 若数域 K 上的 n 个未知量 n 个方程的线性方程组的系数矩阵的行列式 A ? 0 ,

a1i ?1 ? a1n ? ? ? ? ?, ani ?1 ? ann ? ?

则它有唯一的一组解 X i ?

A 1 * A B ? i 。这个定理称为 Cramer 法则。 A A

3.3.2 矩阵乘积的行列式、用矩阵的子式的行列式刻画矩阵的秩
41

命题 证明 定义

设 A, B ? M n ( K ) ,则 AB ? A B 。 对 A 讨论满秩与不满秩的情况。 设

? a11 ? a A ? ? 21 ? ? ? ?a ? m1

a12 a22 ? am 2

? a1n ? ? ? a2 n ? , ? ? ? ? amn ? ?

取 ?i1 , i2 ,? , it ? ? ?1, 2,?, m? , ? j1 , j2 ,? , jt ? ? ?1, 2,? , n? ,

ai1 j1 ai2 j1 ? ait j1
称为 A 的一个 t 阶子式,记为 A ? 引理 证明

ai1 j2 ai2 j2 ? ait j2
?

? ai1 jt ? ai2 jt ? ? ait jt
it ? ?。 jt ?

? i1 ? j1

i2

j2 ?

r ( A) ? r ? 存在非零的 r 阶子式。
“?” 若 r ( A) ? r ,则由矩阵的秩的定义, A 存在 r 个线性无关的行向量,

设它们为 i1 , i2 ,?, ir 行,取它们构成一个秩为 r 的 r ? n 矩阵

? ai11 ? ? ai2 1 ? ? ? ? ai 1 ? r

ai1 2 ? ai1n ? ? ai2 2 ? ai2 n ? ? ? ? ? air 2 ? air n ? ?
? i1 ? j1 i2 j2 ? ir ? ? ? 0; ? jr ?

存在 r 个线性无关的列向量,设它们为 j1 , j2 ,? , jr 列,于是 A ?

“ ?”

若存在 A ?

? i1 ? j1

i2 j2

? ir ? ? ? 0 ,则此子式的 r 个列向量线性无关,将它们 ? jr ?

扩充成为原矩阵 A 的第 j1 , j2 ,? , jr ,它们仍线性无关。证毕。 命题 对于 K 上的 n 阶方阵 A ,r ( A) ? r 当且仅当存在某个 r 阶子式不等于零, 但所有

r ? 1 阶子式都等于零。
证明 “ ? ” 若 r ( A) ? r ,则由引理,存在某个 r 阶子式不等于零。若存在某个 r ? 1 阶子式不等于零,则由引理, r ( A) ? r ? 1,矛盾于 r ( A) ? r ,必要性得证; “ ?” 若对于 A ,存在某个 r 阶子式不等于零,则 r ( A) ? r ,而但所有 r ? 1 阶子式
42

都等于零,则 r ( A) ? r ? 1,于是 r ( A) ? r ,证毕。 第一学期第十五次课

第三章 §4 行列式的完全展开式
3.4.1 一些基本概念 定义 给定 n 个互不相同的自然书,把它们按一定次序排列起来:

i1 i2 ? in ,
称为该 n 个自然数的一个排列。 在上述排列中, 如果有一个较大的自然竖排在一个较小的自 然数前面,则称为一个反序。一个排列中包含的反序的总数称为该排列的反序数。排列

i1i2 ?in 的反序数计作 N (i1i2 ? in ) 。一个排列的反序数为奇数时,该排列称为奇排列;如果
反序数时偶数,则称为偶排列。

N (i1i2 ? in ) 的算法
给定 n 个自然数,按大小顺序排列:

1 ? i1 ? i2 ? ? ? in ,
现在把它们按任意次序重排,得 n 元排列 j1 j2 ? jn ,这个排列的反序数可用下法计算:先 找出排在 i1 前面的数字有多少,设为 ? (i1 ) ,然后划去 i1 ,再看 i2 前面未划去的数字有多少, 设为 ? (i2 ) ,然后划去 i2 ,再看 i3 前面未划去的数字有多少,设为 r (i3 ) ,然后划去 i3 ,?, 经过 n 次后,即得

N (i1i2 ?in ) ? ? (i1 ) ? ? (i2 ) ? ? ? ? (in ) 。
命题 给定数域 K 上的 m ? n 矩阵, m ? n ) ( ,

? a11 a12 ? a1n ? ? ? a a22 ? a2 n ? , A ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n1 an 2 ? ann ?
取定 m 个自然数,按大小次序排列:1 ? i1 ? i2 ? ? ? im ? n ,又设 j1 j2 ? jm 是这 m 个自然 数的一个排列,则

a1 j1 a2 j1 ? amj1
推论 定理

a1 j2 a2 j2 ? amj2

? a1 jm ? a2 jm ? ? amjm ? (?1) N ( j1 j2 ? jm )

a1i1 a2i1 ? ami1

a1i2 a2i2 ? ami2

? a1im ? a2im ? ? amim


将命题中 j1 j2 ? jn 的 k , l 互换,则其奇偶性发生变化。 数域 K 上的 n 阶行列式有如下展开式
43

a11 A? a21 ? an1
证明 令 f ( A) ?

a12 ? a1n a22 ? a2 n ? ? an 2 ? ann ?
( i1i2 ?in )

?

(?1) N (i1i2?in ) ai11ai2 2 ? ain n 。

( i1i2 ?in )

?

(?1) N (i1i2?in ) ai11ai2 2 ? ain n ,证明 f ( A) 是行列式函数。

推论

设 A ? ( aij ) n?n ,则 A ?

( i1i2 ?in )

?

(?1) N (i1i2?in ) a1i1 a2i2 ? anin 。

第一学期第十七次课

第四章
§1
4.1.1 线性空间的定义及例 1、线性空间的定义 定义 4.1 线性空间

线性空间与线性变换
线性空间的基本概念

设 V 是一个非空集合,且 V 上有一个二元运算“+” (V ?V ? V ) ,又设 K 为数域,V 中的元素与 K 中的元素有运算数量乘法“ ? ” ( K ?V ? V ) , 且“+”与“ ? ”满足如下性质: 1、 加法交换律 2、 加法结合律

?? , ? ?V ,有 ? ? ? ? ? ? ? ; ?? , ? , ? ?V ,有 (? ? ? ) ? ? ? ? ? (? ? ? ) ;

3、 存在“零元” ,即存在 0 ?V ,使得 ?? ?V ,0 ? ? ? ? ; 4、 存在负元,即 ?? ?V ,存在 ? ?V ,使得 ? ? ? ? 0 ; 5、 “1 律”

1? ? ? ? ;

6、 数乘结合律 7、 分配律 8、 分配律

?k , l ? K , ? ?V ,都有 (kl )? ? k (l? ) ? l (k? ) ;

?k , l ? K , ? ?V ,都有 (k ? l )? ? k? ? l? ; ?k ? K , ? , ? ?V ,都有 k (? ? ? ) ? k? ? k ? ,

则称 V 为 K 上的一个线性空间,我们把线性空间中的元素称为向量。注意:线性空间 依赖于“+”和“ ? ”的定义,不光与集合 V 有关。 2、零向量和负向量的唯一性,向量减法的定义,线性空间的加法和数乘运算与通常数 的加、乘法类似的性质 命题 4.1 零元素唯一,任意元素的负元素唯一。 证明:
44

设 0 与 0 ' 均是零元素,则由零元素的性质,有

0 ? 0'? 0 ? 0' ; ?? ?V ,设 ? , ? ' 都是 ? 的负向量,则

? ? 0 ? ? ? (? '? ? ) ? ? ? ? '? (? ? ? ) ? ? ? 0 ? ? ,
于是命题得证。由于负向量唯一,我们用 ?? 代表 ? 的负向量。 定义 4.2 减法 我们定义二元运算减法“-”如下:

? ? ? 定义为 ? ? (?? ) 。
命题 4.2 线性空间中的加法和数乘满足如下性质: 1、 加法满足消去律 2、 可移项

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; ?
k? ? ? 且 k ? 0 ,则 ? ?

3、 可以消因子 4、 0 ? ? ? 0,

1 ?; k

k ?0 ? 0 , (? 1? ? ?? 。 )
3、线性空间的例子 例 4.1 令 V 表示在 (a, b) 上可微的函数所构成的集合,令 K ? ? ,V 中加法的定义就是函数 的加法,关于 K 的数乘就是实数遇函数的乘法,V 构成 K 上的线性空间。 4.1.2 线性空间中线性组合和线性表出的定义,向量组的线性相关与线性无关的定义以 及等价表述,向量组的秩,向量组的线性等价;极大线性无关组 定义 4.3 线性组合 给 定 V 内 一 个 向 量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? s , 又 给 定 数 域 K 内 s 个 数 k1 , k2 ,? , k s , 称

k1? 1 ? k 2 2? ? ? ks? s 为向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 的一个线性组合; ?
定义 4.4 线性表出 给定 V 内一个向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s ,设 ? 是 V 内的一个向量,如果存在 K 内 s 个数

k1 , k2 ,? , ks ,使得 ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? ks? s ,则称向量 ? 可以被向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线
性表出。 定义 4.5 向量组的线性相关与线性无关 给定 V 内一个向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s ,如果对 V 内某一个向量 ? ,存在数域 K 内不全为
45

零的数 k1 , k2 ,? , k s ,使得

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? ks? s ? 0 ,则称向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性相关;
若由方程 k1?1 ? k2? 2 ? ? ? ks? s ? 0 必定推出

k1 ? k2 ? ? ? ks ? 0 ,则称向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s 线性无关。
命题 4.3 设 ?1 , ? 2 ,?? s ?V ,则下述两条等价: 1) ?1 , ? 2 ,?? s 线性相关; 2)某个 ? i 可被其余向量线性表示。 证明同向量空间。 定义 4.6 线性等价 给定 V 内两个向量组

?1 , ? 2 ,?, ? r
?1 , ? 2 ,?, ? s

(Ⅰ) , (Ⅱ) ,

如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)线性表示,反过来, (Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ) 线性表示,则称两向量组线性等价。 定义 4.7 极大线性无关部分组 给定 V 内一个向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? s ,如果它有一个部分组 ? i1 , ? i2 ,? , ? ir 满足如下条件: (i) ? i1 , ? i2 ,? , ? ir 线性无关; 、 (ii) 、原向量组中任一向量都能被 ? i1 , ? i2 ,? , ? ir 线性表示, 则称此部分组为原向量组的一个极大线性无关部分组。 由于在向量空间中我们证明的关于线性表示和线性等价的一些命题中并没有用到 K 的 一些特有的性质,于是那些命题在线性空间中依然成立。 定义 4.8 向量组的秩 一个向量组的任一极大线性无关部分组中均包含相同数目的向量,其向量数目成为该向 量组的秩。 例 4.2 求证:向量组 e 1 , e 证明: 方法一: 设 k1 , k2 ? ? ,满足 k1e
?1 x
n

?

?x

?2 x

? 的秩等于 2(其中 ?

1

? ?2 )

? k2e?2 x ? 0 ,则 k1e?1x ? ?k2e?2 x ,假若 k1 , k 2 不全为零,不妨

( ? ?? ) x 设 k1 ? 0 ,则有 e 1 2 ? ?

k2 ,而由于 ?1 ? ?2 ,等号左边为严格单调函数,矛盾于等号右 k1

边为常数。于是
46

k1 ? k2 ? 0 。
所以 e
?1 x

, e?2 x 线性无关,向量组的秩等于 2。
?1 x

证毕。 方法二:若在 (a, b) 上 k1e 两端求导数,得

? k2e?2 x ? 0 ,

k1?1e?1x ? k2 ?2e?2 x ? 0 ,
以 x ? c ? (a, b) 代入,

? k1e ?1c ? k 2 e ?2 c ? 0, ? ? ?c ?c ? k1?1e 1 ? k 2 ?2 e 2 ? 0. ?


e?1c

e?2c

?1e

?2 c

?2 e

?2 c

? e( ?1 ? ?2 ) c (?2 ? ?1 ) ? 0 ,

于是 k1 ? k2 ? 0 。 证毕。 第一学期第十八次课

4.1.3 线性空间的基与维数,向量的坐标 设 V 是数域 K 上的线性空间, 定义 4.9 基和维数 如果在 V 中存在 n 个向量 ?1 , ? 2 ,?, ? n ,满足: 1) ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性无关; 、 2) 中任一向量在 K 上可表成 ?1 , ? 2 ,?, ? n 的线性组合, 、V 则称 ?1 , ? 2 ,?, ? n 为 V 的一组基。 基即是 V 的一个极大线性无关部分组。 基的个数定义为线性空间的维数。 命题 4.4 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间,而 ?1 , ? 2 ,? , ? n ?V 。若 V 中任一向量皆可 被 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性表出,则 ?1 , ? 2 ,?, ? n 是 V 的一组基。 证明:由 ?1 , ? 2 ,?, ? n 与 V 的一组基线性等价可以推出它们的秩相等。 命题 4.5 设 V 为 K 上的 n 维线性空间, ?1 , ? 2 ,? , ? n ?V ,则下述两条等价: 1) ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性无关; 、 2) 中任一向量可被 ?1 , ? 2 ,?, ? n 线性表出。 、V 定义 4.10 向量的坐标
47

设 V 为 K 上的 n 维线性空间,?1 , ? 2 ,? , ? n 是它的一组基。任给 ? ?V ,由命题 ,? 可唯 一表示为 ?1 , ? 2 ,? , ? n 的线性组合,即 ?!ai ? K ,

(i ? 1, 2,?, n) ,使得

? ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? an? n ,
于是我们称 ? a1 , a2 ,? , an ? 为 ? 在基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的坐标。 易见,在某组基下的坐标与 V/K 中的向量是一一对应的关系。 第一学期第十九次课

4.1.4 线性空间的基变换,基的过渡矩阵 设 V/K 是 n 维线性空间,设 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和?1 ,?2 ,? ,?n 是两组基,且

??1 ? t11?1 ? t21? 2 ? ? ? tn1? n , ?? ? t ? ? t ? ? ? ? t ? , ? 2 12 1 22 2 n2 n ? ???????????? ??n ? t1n?1 ? t2 n? 2 ? ? ? tnn? n . ?
将其写成矩阵形式

? t11 t12 ? t1n ? ? ? t t ? t2 n ? , (?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n ) ? 21 22 ?? ? ? ? ? ? ?t ? ? n1 tn 2 ? tnn ?
定义 4.11 我们称矩阵

? t11 t12 ? t1n ? ? ? t t ? t2 n ? T ? ? 21 22 ?? ? ? ? ? ? ?t ? ? n1 tn 2 ? tnn ?
为从 ?1 , ? 2 ,? , ? n 到 ?1 ,?2 ,? ,?n 的过渡矩阵。 命题 4.6 设在 n 维线性空间 V/K 中给定一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 。T 是 K 上一个 n 阶方阵。命

(?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n )T .
则有?1 ,?2 ,? ,?n 是 V/K 的一组基,当且仅当 T 可逆。 证明: 若 ?1 ,?2 ,? ,?n 是线性空间 V/K 的一组基,则?1 ,?2 ,? ,?n 线性无关。 考察同构映射

48

? :V ? K n (标字打不上去,我不知道为什么) ? ? ? 在?1 , ? 2 ,? , ? n下的坐
构造方程

k1? (?1 ) ? k2? (?2 ) ? ? ? kn? (?n ) ? 0 ,其中 ki ? K , (i ? 1, 2,?, n) , ? ? (k1?1 ? k2?2 ? ? ? kn?n ) ? 0 , ? k1?1 ? k2?2 ? ? ? kn?n ? 0 , ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? 0 。
于是 ? (?1 ), ? (?2 ),?, ? (?n ) 线性无关。

? (?1 ), ? (?2 ),?, ? (?n ) 构成了过渡矩阵的列向量,所以过渡矩阵可逆;
反过来,若过渡矩阵可逆,则构造方程

k1?1 ? k2?2 ? ? ? kn?n ? 0 ,其中 ki ? K , (i ? 1, 2,?, n) ,
两边用 ? 作用,得到

k1? (?1 ) ? k2? (?2 ) ? ? ? kn? (?n ) ? 0 。 ? k1 ? k2 ? ? ? kn ? 0 ,
证毕。

4.1.5 向量的坐标变换公式; K 中的两组基的过渡矩阵 1、向量的坐标变换公式 设 V/K 有两组基为 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和?1 ,?2 ,? ,?n , 又设 ? 在 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的坐标为 ? a1 , a2 ,? , an ? ,即

n

? a1 ? ? ? a ? ? (?1 , ? 2 ,? , ? n ) ? 2 ? , ?? ? ? ? ?a ? ? n?
在 ?1 ,?2 ,? ,?n 下的坐标为 (b1 , b2 ,?, bn ) ,即

? b1 ? ? ? b ? ? (?1 ,? 2 ,? ,?n ) ? 2 ? 。 ?? ? ? ? ?b ? ? n?
现在设两组基之间的过渡矩阵为 T,即
49

(?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n )T .


? a1 ? ? b1 ? ? ? ? ? ? a2 ? , Y ? ? b2 ? , X? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?a ? ?b ? ? n? ? n?
于是

(?1 , ? 2 ,?, ? n ) X ? (?1 ,?2 ,?,?n )Y ? [(?1 , ? 2 ,?, ? n )T ]Y ? (?1, ? 2 ,?, ? n )(TY ) 。
于是,由坐标的唯一性,可以知道 X ? TY ,这就是坐标变换公式。 2、 K 中两组基的过渡矩阵的求法 我们设 K n 中两组基分别为
n

?1 ? (a11 , a12 ,? , a1n ), ? 2 ? (a21 , a22 ,? , a2 n ),
????????

? n ? (an1 , an 2 ,? , ann ).


?1 ? (b11 , b12 ,? , b1n ), ? 2 ? (b21 , b22 ,? , b2 n ),
????????

? n ? (bn1 , bn 2 ,? , bnn ).


(?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n )T .
按定义,T 的第 i 个列向量分别是? i 在基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的坐标。 将 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和?1 ,?2 ,? ,?n 看作列向量分别排成矩阵

? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? ; A? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n1 an 2 ? ann ?

50

? b11 b12 ? b1n ? ? ? ? b21 b22 ? b2 n ? , B? ? ? ? ? ? ? ? ?b b ? ? n1 n 2 ? bnn ?
则有

B ? AT ,
将 A 和 B 拼成 n ? 2n 分块矩阵 ? A | B ? ,利用初等行变换将左边矩阵 A 化为单位矩阵 E,则 右边出来的就是过渡矩阵 T,示意如下:
行初等 ? “变换”两个字打不上去) ? A | B ? ??? ? E | T ? (

§2
4.2.1 线性空间的子空间的定义 定义 4.12 子空间

子空间与商空间

设 V 是数域 K 上的一个线性空间,M 时 V 的一个非空子集。如果 M 关于 V 内的加法与数 乘运算也组成数域 K 上的一个线性空间,则称为 V 的一个子空间。 命题 4.7 设 V 是 K 上的线性空间,又设一个非空集合 W ? V ,则 W 是子空间当且仅当下 述两条成立: i) W 对减法?封闭; 、 ii) W 对于 K 中元素作数乘封闭。 、 证明: 必要性由定义直接得出; 充分性: 各运算律在 V 中已有,所以 W 满足运算律的条件。 只需要证明 0 ?W 且对于任意 ? ?W , ?? ?W ,且对加法封闭即可。 事实上,由于 W 关于数乘封闭,则 0 ? ? ? 0 ?W ; (?1) ? ? ? ?? ?W ,于是对于

?? , ? ?W , ? ? ? ? ? ? (?? ) ?W ,W 关于加法封闭。于是 W 是 V 的一个子空间。
证毕。 事实上,W 关于加法和数乘封闭也可以得出上述结论。 命题 4.8 设 W 是 V 的一个有限维子空间,则 W 的任一组基可以扩充为 V 的一组基。 证明:
51

设 dimV ? n , dimW ? r , (r ? n) , 若 r ? n ,则命题为真; 若 r ? n ,对 n ? r 作归纳:

, 设 ?1 , ? 2 ,? , ? r 为 W 的一组基,取 ? r ?1 ?V \ W ,则 ?1 , ?2 , ? ? r, ? r ? 线性无关。于是令 1 W ' ? {? ? k? r ?1 | ? ?W , k ? K } ,易见,W’是 V 的一个子空间,且 dimW ' ? r ? 1 ,此时

n ? dimW ' ? n ? r ?1 ,对其用归纳假设即可。
第一学期第二十次课

4.2.2 子空间的交与和,生成元集

k? ? , 2 ,t ? 1 , 定义 4.13 设 ?1 , ? 2 ,? , ? t ? V , ?k1? ?2 2 ? ?k ?t tk |? 则 1 i Ki ?
间的维数等于 ?1 , ? 2 ,?, ? t 的秩。 定义 4.14 子空间的交与和 设 V1 , V2 为线性空间 V/K 的子空间,定义

? 是 V 的一

个子空间,称为由 ?1 , ? 2 ,?, ? t 生成的子空间,记为 L(?1 , ? 2 ,?, ? t ) 。易见,生成的子空

V1 ? V2 ? {v ?V1且v ?V2 } ,称为子空间的交; V1 ? V2 ? {v1 ? v2 | v1 ?V1 , v2 ?V2 } ,称为子空间的和。
命题 4.9 证明: 由命题 ,只需要证明 V1 ? V2 和 V1 ? V2 关于加法与数乘封闭即可。 事实上, ?? , ? ?V1 ? V2 ,则 ? , ? ? V1 , ? , ? ?V2 。由于 V1 , V2 均是 V 的子空间,则

V1 ? V2 和 V1 ? V2 都是 V 的子空间。

? ? ? ?V1 , ? ? ? ?V2 , ? ? ? ?V1 ? V2 , 1 ? V2 关于加法封闭, ? ?V1 ? V2 , ? K , V ? 于是 k
kv ?V1 , kv ?V2 ,于是 kv ?V1 ? V2 ,V1 ? V2 关于数乘封闭; ?? , ? ?V1 ? V2 ,则由 V1 ? V2
的 定 义 ,

??1 , ? ?V ?, 1 ? ?V ,2 1
2

, 使2 得 ? ? 2

1

? ? ,2 ?

? ?

1

?, 2 而 ? ?

?1 ? ? ?V , ? 1 ? ? 2?V ,则 1 2

? ? ? ? (?1 ? ? 2 ) ? (?1 ? ? 2 ) ? (?1 ? ?1 ) ? (? 2 ? ? 2 ) ?V1 ? V2 , V1 ? V2 关于加法封闭,
?? ?V1 ? V2 , k ? K , ??1 ?V1 , ? 2 ?V2 ,使得 ? ? ?1 ? ? 2 ,由于 k?1 ?V1 , k? 2 ?V2 ,则 k? ? k (?1 ? ? 2 ) ? k? 1 ? k? 2 ?V1 ? V 2 , V1 ? V2 关于数乘封闭。
证毕。 命题 4.10 设 V1 ,V2 ,? ,Vm 是 V 的子空间, V1 ? V2 ??? Vm 和 V1 ? V2 ? ? ? Vm 均为 V 的 则 子空间。

52

4.2.3 维数公式。 定理 4.1 设 V 为有限维线性空间, V1 , V2 为子空间,则

dim(V1 ? V2 ) ? dimV1 ? dimV2 ? dim(V1 ? V2 ) 。
这个定理中的公式被称为维数公式。 证明: 设 dimV1 ? s , dimV2 ? t , dim(V1 ? V2 ) ? n , dim(V1 ? V2 ) ? r , 取 V1 ? V2 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? r (若 V1 ? V2 =0,则 r ? 0 ,基为空集) 将此基分别扩充为 V1 , V2 的基

?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? s ?r ,
?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r ,
只需要证明 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? s ?r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r 是 V1 ? V2 的一组基即可。 首先, 易见 V1 ? V2 中的任一向量都可以被 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? s ?r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r 线性表 出。事实上, ?? ?V1 ? V2 ,则 ? ? ? 1 ? ? 2 ,其中 ? 1 ? V1 , ? 2 ? V2 , 而

? 1 ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr ? r ? kr ?1?1 ? kr ?2? 2 ? ? ? ks? s ?r ,
? 2 ? l 1? 1? l 2 2? ?l ? ??r ? 1??r ? ? r r l 1 l ?? ? 2 2
? ?t kir, l j ? K l ?. t
于是 ? ? ? 1 ? ? 2 可被 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? l ?r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r 线性表出。只要再证明向量 组 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? l ?r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r 线性无关即可。 设 k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr ? r ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? as ?r? s ?r ? b1?1 ? b2 ? 2 ? ? ? bt ?r ?t ?r ? 0 , 其中 ki , a j , bh ? K 则

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr ? r ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? as ?r? s ?r ? ?b1?1 ? b2 ?2 ? ? ? bt ?r ?t ?r , (*)
于是

k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr ? r ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? as ?r? s ?r ?V1 , ?b1?1 ? b2 ? 2 ? ? ? bt ?r ?t ?r ?V2 ,
于是 k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kr ? r ? a1?1 ? a2? 2 ? ? ? as ?r? s ?r ?V1 ? V2 ,记为 ? 。 则 ? 可被 ?1 , ? 2 ,? , ? r 线性表示,则

? ? h1?1 ? h2? 2 ? ? ? hr ? r ,
带入(*) ,有

h1?1 ? h2? 2 ? ? ? hr ? r ? b1?1 ? b2 ? 2 ? ? ? bt ?r ?t ?r ? 0 ,
由于 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ? r 是 V2 的一组基,所以线性无关,则
53

h1 ? h2 ? ? ? hr ? b1 ? b2 ? ? ? bt ?r ? 0 ,
带回(*) ,又有

k1 ? k2 ? ? ? kr ? a1 ? a2 ? ? ? as ?r ? 0 ,
于是向量组 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ?1 , ? 2 ,?, ? s ?r , ?1 , ? 2 ,?, ?t ?r 线性无关。 证毕。 推论 2.1 设 V1 , V2 ,? , Vt 都是有限为线性空间 V 的子空间,则:

dim(V1 ? V2 ? ? ? Vt ) ? dimV1 ? dimV2 ? ? ? dimVt 。
证明:对 t 作归纳。 第一学期第二十一次课

第四章 §2 子空间与商空间
4.2.4 子空间的直和与直和的四个等价定义 定义 设 V 是数域 K 上的线性空间,V1 ,V2 ,? ,Vm 是 V 的有限为子空间。若对于

?V
i ?1

m

i

中任一向量,表达式

? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? m , ?i ?Vi , i ? 1, 2,?, m
是唯一的,则称

? V 为直和,记为
i ?1 i

m

V1 ? V2 ? ? ? Vm 或 ? Vi 。
i ?1

m

定理

设 V1 ,V2 ,? ,Vm 为数域 K 上的线性空间 V 上的有限为子空间,则下述四条等价:
m 是直和;

? 1) V1 ? 2? ?V 、 V

2) 、零向量表示法唯一;

( ? V ? ? ? 0 i, } 1 , 3) Vi ?V 1 ? ? i? ? V m ) {??2 , 、

? m



i( 4) m 、d
证明

V1 ? V ? ? ? Vm ?m ) m d d i i 2

1

V ? m V ??? d2 i

Vm 。

1 )? 2 ) 显然。 2) ? 1)

设 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? m ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? m , 则

(?1 ? ?1 ) ? (? 2 ? ? 2 ) ? ? ? (? m ? ? m ) ? 0 。
由 2)知,零向量的表示法唯一,于是

?i ? ?i , i ? 1, 2,?, m ,
即 ? 的表示法唯一。由直和的定义可知, V1 ? V2 ? ? ? Vm 是直和。 2) ? 3) 假若存在某

) 个 i,1 ? i ? m , 使 得 Vi ? ( V? ? ?? V ? ? ? V 1 i m

{ 0 }则 存 在 向 量 ? ? 0 且 ?,

? ? ?Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ,于是存在 ? j ? V j ,使得
54

? ? ? ?1 ? ? ? ?i ? ? ? ? m 。
由线性空间的定义,

? ?? ?Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ,
则 ?1 ? ? ? (?? ) ? ? ? ? m ? ? ? (?? ) ? 0 ,与零向量的表示法唯一矛盾,于是

? Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ? {0}, ?i ? 1, 2,?, m 。
3) ? 2)
若 2)不真,则有

0 ? ?1 ? ? ? ? i ? ? ? ? m ,
其中 ? j ?V j ( j ? 1, 2,?, m) 且 ?? i ? 0 。于是

? ? ?? i ? ?1 ? ? ? ? i ? ? ? ? m ?Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ,
与 3)矛盾,于是 2)成立。 3) ? 4) 对 m 作归纳。m=2 时,由维数公式得到

dim(V1 ? V2 ) ? dim V1 ? dim V2 ? dim(V1 ? V2 ) ? dim V1 ? dim V2 。
设 m ? 1(m ? 3) 已证,

dim(V1 ? V2 ? ? ? Vm ) ? dim Vm ? dim(V1 ? V2 ? ? ? Vm ?1 ) ? dim(Vm ? (V1 ? V2 ? ? ? Vm ?1 )) ? dim Vm ? dim(V1 ? V2 ? ? ? Vm?1 ),
垐 而 ?i,1 ? i ? m ? 1 ,都有 Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ?1 ) ? Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ? {0} ;
用归纳假设,可以得到 dim(V1 ? V2 ? ? ? Vm ) ? dimV1 ? dimV2 ? ? ? dimVm ;

4) ? 3)

?i,1 ? i ? m ,都有

垐 dim(Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm )) ? dim(Vi ) ? dim(V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ? dim(V1 ? V2 ? ? ? Vm ) ? 0 ,

? 于是 Vi ? (V1 ? ? ? Vi ? ? ? Vm ) ? {0}, ?i ? 1, 2,? , m 。证毕。
推论 设 V1 , V2 为 V 的有限维子空间,则下述四条等价: i) V1 ? V2 是直和; 、 ii) 、零向量的表示法唯一; iii) V1 ? V2 ? {0} ; 、

i( iv) m 、d

V1 )Vm ? m V1 ? ?d i d i 2

V2



4.2.5 直和因子的基与直和的基 命题 证明 设 V ? V1 ? V2 ? ? ? Vm ,则 V1 , V2 ,? , Vm 的基的并集为 V 的一组基。 设 ? i1 , ? i2 ,? , ? ir 是 Vi 的一组基,则 V 中任一向量可被
i

?{?
i ?1

m

i1

, ? i2 ,? , ? ir } 线性表
i

出。又 dim V ? 一组基。

? dimV
i ?1

m

i

? r1 ? r2 ? ? ? rm ,由命题 ,它们线性无关,于是它们是 V 的

证毕。
55

4.2.6 补空间的定义及存在性 定义 命题 证明 设 V1 为 V 的子空间,若子空间 V2 满足 V ? V1 ? V2 ,则称为 V1 的补空间。 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间。 设 V1 为 K 上的 n 为线性空间 V 的非平凡子空间,取 V1 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? r ,

将其扩为 V 的一组基 ?1 , ? 2 ,?, ? r , ? r ?1 , ? r ? 2 ,?, ? n 取 V2 ? L(? r ?1 , ? r ? 2 ,?, ? n ) ,则有

V ? V1 ? V2 ,且 dimV1 ? dimV2 ? n ? dim(V1 ? V2 ) ,
于是 V ? V1 ? V2 ,即 V2 是 V1 的补空间。证毕。 第一学期第二十二次课

4.2.7 线性空间关于一个子空间的同余关系 定义 给定 K 上的线性空间 V,M 是 V 的子空间,设 ? 是 V 的一个向量。如果 V 的一

个向量 ? ' 满足: ? '? ? ? M ,则称 ? ' 与 ? 模 M 同余,记作 ? ' ? ? (mod M ) 。 易见,同余关系是 V 上的一个等价关系。 把全部等价类组成的集合(一个等价类视为等价类集合中的一个元素)记为 V / M ,

V / M 中的元素形如

? ? M ? ?? ? ? | ? ? M ? ,
我们称 ? ? M 为一个模 M 的同余类,而将等价类中的任一元素称为等价类的代表元素。 命题 同余类满足如下一些性质:

1) ? '? ? ? M ? ? ' ?? ? M ; 、 2) ? ' ?? ? M ? ? '? M ? ? ? M ; 、 3) ? ? M ? 0 ? 、 M ?? M ? ;

4) 、若 ? '? M ? ? ? M ,则 (? '? M ) ? (? ? M ) ? ? 。 证明 1)由定义可以得出;若 , ? ' ?? ? M , 则 由 1 ) ? ? ? ' ? M , 则

? ? ? ? ? ?( ? ? ? ) ? ?( ? ? ? ,于是, ? ? M ? ? '? M ,同理 ? '? M ? ? ? M , ' ' M )
于是 ? ? M ? ? '? M ,2)得证;由 2)可以推出 3) ; 我们将 ? ? M 记为 ? 。 4.2.8 商空间的定义,定义的合理性以及商空间的基的选取 定义

V / M 中的运算(加法和数量乘法)

对于任意 ? ?V / M ,定义 ? ? ? ? ? ? ? ; k? ? k? 。 下面证明加法和数量乘法是良定义,即若 ? ? ? ' , ? ? ? ' ,有 ? ? ? ? ? '? ? ' ;且

?k ? K ,有 k? ? k? ' 。
56

事 实 上 , 若

? ? ? ' , ? ? ? ' , 则 ? ?? '? M , ? ? ? ' ? M , 于 是

(? ? ? ) ? (? ? ? M ), ? ? ? ? ? '? ? ' , k (? ? ? ') ? M ,于是 k? ? k? ' ,加法和数 ' '?
乘是良定义。 命题 证明 定义 命题

V / M 关于上面定义的加法和数乘构成一个线性空间。
逐项验证即可。 这个线性空间被称为 V 对子空间 M 的商空间。 设 V 是数域 K 上的 n 维线性空间, W 是 V 的一个 m 维子空间,则

dimV ? dimW ? dimV / W ;
证 明 任 取 W 的 一 组 基 ?1 , ? 2 ,? , ? m , 将 它 扩 为 V 的 一 组 基

?1 , ? 2 ,?, ? m , ? m?1 , ? m?2 ,?, ? n ,断言 ?1 , ? 2 ,?, ? m 是 V / W 的一组基。
首 先 证 明 线 性 无 关 性 。 设 有

km?1 , km? 2 ,?, kn ? K

, 使 得

km?1?

m ?1

? k

m? 2
m ?1

?

?2 ?? m
m? 2

? k ?0 ,? n 左端= km ?1? m ?1 ? km ? 2? m ? 2 ? ? ? kn? n , n 由加法的定义,
m? 2

于 是 km?1?

? k

?

? ?

?k ?

n

?, 故 存 在 k1 , k2 ,?, km ? K , 使 得 W n

km?1? m?1 ? km?2? m?2 ? ? ? kn? n ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? km? m ,而由于 ?1 , ? 2 ,? , ? n 是 V 的一组
基,则 km?1 ? km? 2 ? ? ? kn ? 0 。 再证 V / M 中任一向量可被表成 ?1 , ? 2 ,? , ? m 的线性组合。事实上,任取 ? ?V / W , 则 存 在

k1 , k2 ,?, kn ? K



使



? ? k1? ?1k ? ? 2 ? 2 n? n ? k







k1? ?1k ? ?2 ? 2 m? m ?W ,于是 ? ? km?1? m?1 ? km? 2? m? 2 ? ? ? kn? n 。 ? k
于是 ?1 , ? 2 ,? , ? m 是 V / W 的一组基。证毕.。

第一学期第二十三次课

第四章 §3 线性映射与线性变换
4.3.1 线性映射的定义 定义 设 U , V 为数域 K 上的线性空间, ? :U ? V 为映射,且满足以下两个条件:

i) ?? ? ) ??( )??( ,) ?? 、 ( ? ? ? ( , ? )? ii) ? (k ) ? ( ,) 、 ? k ( ??

U ;


?? ,?Uk ) K ?

则称 ? 为(由 U 到 V 的)线性映射, 由数域 K 上的线性空间 U 到 V 的 K 的线性映射的全体记为 Hom K (U , V ) ,或简记为 Hom (U , V ) 。 定义中的 i)和 ii)二条件可用下述一条代替:

? (k? ? l ? ) ? k? (? ) ? k? (? ), (?? , ? ?U , k , l ? K ) 。
57



M m?n ( K ) 是 K 上的线性空间, M s?n ( K ) 也是 K 上线性空间,取定一个 K 上的

s ? m 矩阵 A ,定义映射

? : M m?n ( K ) ? M s?n ( K ),
x ? AX .
则 ? 是由 M m?n ( K ) 到 M s?n ( K ) 的线性映射。 例 考虑区间 (a, b) 上连续函数的全体,它是 ? 上的线性空间,令

U ? L(1,sin x,sin 2 x,?,sin nx), V ? L(1,cos x,cos 2 x,?,cos nx).
再令

?:
则 ? 是由 U 到 V 的一个线性映射。 定义 设 ? :U ? V 是线性映射

U ?V, f ( x) ? AX .

i) 、如果 ? 是单射,则称 ? 是单线性映射(monomorphism) ; ii) 、如果 ? 是满射,则称 ? 是满线性映射(endmorphism) ; iii) 、如果 ? 既单且满,则称 ? 为同构映射(简称为同构,isomorphism) ,并说 U 与 V 是 同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism) ,同构映射的逆映射也是同构 映射; iv) ? 的核(kernel)定义为 ker ? ? {? ?U | ? (? ) ? 0} ; 、 v) ? 的像(image)定义为 im? ={? ?V | ?? ?U , s.t ? (? ) ? ? } ,也记为 ? (U ) ; 、 命题 证明

k e r 和 im? 是 V 的子空间。 ?
容易证明它们关于加法和数乘封闭。

vi) ? 的余核定义为 co ker ? ? V/im? 。 、 命题 线性映射 f 是单的当且仅当 ker f ? {0} , f 是满的当且仅当 coker f ? {0} 。

定理(同态基本定理) 设 f : U ? V 是数域 K 上的线性空间的满线性映射,则映射

? : U / ker f ? V , ? ? ker f ? f (? ).
是同构映射。 证明 首先证明 ? 是良定义, 即若 ? ? ? ' ?U / ker f , ?? ) ??)' 则 ( ?( 。 由于 ? ? ? ' ,

存 在 ? ? ker f , 使 得 ? ? ? '? ? 。 于 是 f (? ) ? f (? ? ? )? f ( ') f ? ) f ? , 即 ' ? ? ( ? ( ')

? ( ? ) ? ? ( ? ') 。
58







?



线









?? , ? ? U / ker ?



k, l ? K



? (k? ? l ? ) ? f (k? ? l ? ) ? kf (? ) ? lf ( ? ) ? k? (? ) ? l? ( ? ) 。
易见 ? 是满射,且有 V ? imf 。只要再证明 ? 是单射即可,即证明 ker ? ? {0} 。设

? ? ker ? ,则 ? (? ) ? f (? ) ? 0 ,于是 ? ? ker f ,即有 ? ? 0 。证毕。
命题 设 ? :U ? V 是线性映射, dimU ? n ,则下述三条等价: i) ? 单; 、 ii) ? 将 U 中任意线性无关组映为 V 中的线性无关组; 、 iii) m ( ? U ? n 。 、d ) i 证 明 i ) ? ii ) 若 ?1 , ? 2 ,? , ? t ? V 线 性 无 关 , 则 令

k1? (?1 ) ? k2? (? 2 ) ? ? ? kt? (? t ) ? 0 , 由线性映射的定义,? (k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kt?t ) ? 0 。

? 单,于是 k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kt?t ? 0 ,则 k1 ? k2 ? ? ? kt ? 0 ,ii)成立;ii) ? iii)若
取 U 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n ,则由已知, ? (?1 ), ? (? 2 ),?, ? (? n ) 线性无关,而 im? 中任意 向量可以被 ? (?1 ), ? (? 2 ),?, ? (? n ) 线性表出,于是 ? (?1 ), ? (? 2 ),?, ? (? n ) 构成 im? 的一组 基 , iii ) 成 立 ; iii ) ? i ) 由 同 态 基 本 定 理 知 U / k e r? ?

? m 于是 i ,

dimU ? dim ker ? ? dimim? ? dim ker ? ? 0 ,即有 ker ? ? {0} 。证毕。
第一学期第二十四次课

4.3.2 线性映射的运算的定义与性质 定义 线性映射的运算(加法与数域 K 上的数量乘法)

设 f : U ? V , g : U ? V 为线性映射,定义 f ? g 为

f ? g :U ? V ,

? ? f (? ) ? g (? ).(?? ?U )
定义 k ?f (?k ? K ) 为

k ?f : U ? V ,

? ? kf (? ).(?? ?U )
说明

f ? g 与 k ? f 仍为线性映射。

命题 Hom K (U , V ) 在加法和数乘下构成数域 K 上的线性空间。 证明 定义 逐项验证。 线性映射的乘法(复合)
f g

? ? 设存在映射 f , g ,U ?? V ?? W ,映射的乘法定义为 ( g ? f )(? ) ? g ( f (? )) 。易
验证, g ? f ? Hom(U ,W ) 。
59

特别地,称 V 到自身的线性映射为 V 上的线性变换,常记 Hom(V , V ) 为 End(V ) 。 ,用黑体或空体表示。 End(V ) 中的元素(线性变换) 对于 f ( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ? ? an x , ai ? K ,规定
2 n

f ( A) ? a0 ? a1 A ? a2 A2 ? ? ? an An , ai ? K 。
4.3.3 线性映射在一组基下的矩阵的定义 定义 设 f ? Hom(U ,V ) ,取 U 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和 V 的一组基?1 ,?2 ,?,?m ,设

f (?1 ) ? a11?1 ? a21 ?2 ? ? ? am ? m , 1 f (? 2 ) ? a12?1 ? a22 ?2 ? ? ? am2 ? m , ?????????????? f (? n ) ? a1n?1 ? a2 n?2 ? ? ? amn? m.
于是

? a11 a12 ? a1n ? ? ? a a22 ? a2 n ? ( f (?1 ), f (? 2 ),?, f (? n )) ? (?1 ,?2 ,?,?m ) ? 21 . ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? m1 am 2 ? amn ?
称 ( aij ) 为 f 在基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和 ?1 ,?2 ,?,?m 下的矩阵。 在给定 U 和 V 的基的前提下, Hom(U ,V ) 中的元素与它的矩阵互相决定,严格地说, 有: 命题 设 U 和 V 是数域 K 上的线性空间, dimU ? n ,dim V ? m ,则 Hom K (U , V )

同构于 K 上的 m? n 矩阵的全体构成的线性空间. 证明 取定 U 和 V 的基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和?1 ,?2 ,?,?m ,考察映射

? : Hom(U , V ) ? M m?n ( K ),
f ? A.
其中 A 是 f 的矩阵。 ?? ?U , ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? n ,

? k1 ? ? k1 ? ? k1 ? ? ? ? ? ? ? ? k2 ?) ? ( f (? , ? ,?, ? )) ? k2 ? ? (? ,? ,?,? ) A ? k2 ? . f (? ) ? f ((?1 , ? 2 ,?, ? n ) 1 2 n 1 2 m ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? ?k ? ?k ? ? n? ? n? ? n?

60

? k1 ? ? ? k2 于是 f (? ) 在 V 中的坐标为 A ? ? 。 ?? ? ? ? ?k ? ? n?
1、 证明 ? 是单射,设 f ? g ,若它们的矩阵分别为 A, B ,则 A ? B 。否则 U 中任一

向量在 f , g 下的像坐标相同 ? f ? g ; 2、 证明

? 是 满 射 , 任 给 C ?M , 定 义 从 U 到 V 的 映 射 f , 满 足
f (k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? n ) ? k1 f (?1 ) ? k2 f (? 2 ) ? ? ? kn f (? n ) ,

( f ( 1 )f , ? 2 ?) , ? n, ? ? )? ? ?m C ,再对任一 ? ? k1?1 ? k2? 2 ? ? ? kn? n ?U ,令 ? ( f ( , , ) . 1) 2(

易见 f 线性,即线性映射 f 的矩阵就是 C 。 3、 证明 ? 是线性映射,设 f , g ? Hom(U ,V ) ,它们的矩阵分别为 A, B ,

( f ? g )(? i ) ? f (? i ) ? g (? i ) ? (ai1?1 ? ai 2?2 ? ? ? aim?m ) ? (bi1?1 ? bi 2?2 ? ? ? bim?m ) ? (ai1 ? bi1 )?1 ? (ai 2 ? bi 2 )?2 ? ? ? (aim ? bim )?m .(i ? 1, 2,?, n)
于是 f ? g 在 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和 ?1 ,?2 ,?,?m 下的矩阵为 A ? B ;同理可证 ? (kf ) ? k? ( f ) 。 命题得证。 线性映射的复合的矩阵 命题 设 f ? Hom(U ,V ), g ? Hom(V ,W ) , 设 U ,V ,W 的 基 为 ?1 , ? 2 ,? , ? n ,

?1 ,?2 ,?,?m 和 ?1 , ? 2 ,? , ?l ,记 f 和 g 在这组基下的矩阵分别为 A 和 B ,则 g ? f 在基
?1 , ? 2 ,? , ? n 和 ?1 , ? 2 ,? , ?l 下的矩阵为 BA 。特别地,当 U ? V ? W 时, f ( A) 的矩阵为
f ( A) 。
说明 对于一般的线性映射,一般不满足交换律,甚至交换后没有意义。

第一学期第二十五次课

第四章 §3 线性映射与线性变换(续)
4.3.4 线性变换的定义与运算 定义 End (V ) 。 例 恒同变换 线性空间到自身的线性映射称为线性变换,记 Hom K (V , V ) 为 End K (V ) 或

E :V ? V ,

? ? ?.
例 投影 (射影) V ? V1 ? V2 ,?? ?V , ? ? ?1 ? ? 2 (?1 ?V1 , ? 2 ?V2 ) , 设 定义 V 到 V1
61

的投影 PV1 (? ) ? ?1 , V 到 V2 的投影 PV2 (? ) ? ? 2 。 定义

E n dV 中的运算(加法、数乘和乘法) ( )

加法定义为 (A+ B)(? ) ? A(? ) + B(? ),(?? ?V ) ; 数乘定义为 (kA)(? ) ? k ( A(? )) ,其中 k ? K ; 乘法(复合)定义为 ( A ? B)(? ) ? A( B(? )) 。 命题 命题 证明 End (V ) 关于加法和复合(作为乘法)构成环,称为 V 的自同态环。 设 V 为数域 K 上的 n 维线性空间,则 End (V ) 同构于 M n (K ) 。 由定理 直接推出。

4.3.5 线性变换的矩阵与矩阵的相似 线性变换(在一组基下)的矩阵的定义是线性映射的矩阵的特例。 设 ? 和 A? 在 ? 1 , ? , ? n 下的坐标分别为

? x1 ? ? y1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? 和 ? y2 ? ,记 A 在 ? , ? , ? 下的矩阵为 A ,则 ? y2 ? ? 1 n ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?y ? ? n? ? n? ? n?

? x1 ? ? ? x A? 2 ? 。 ?? ? ? ? ?x ? ? n?

即在给定的基下向量在线性变换下的像的坐标等于的线性变换的矩阵乘以原来向量的 坐标。 命题 设线性变换 A 在一组基 ? 1 , ? , ? n 下的矩阵为 A ,由基 ? 1 , ? , ? n 到基 ?1 , ? ,? n
?1

的过渡矩阵为 T ,则 A 在?1 , ? ,? n 下的矩阵为 T 证明

AT 。

由已知, A(?1 , ? 2 ,?, ? n ) ? ( A?1 , A? 2 ,?, A? n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n ) A ,且有

(?1 ,?,?n ) ? (?1 ,?, ? n )T (*) ,
设 A 在?1 , ? ,? n 下的矩阵为 B ,则

B(?1 ,?2 ,?,?n ) ? ( B?1 , B?2 ,?, B?n ) ? (?1 ,?2 ,?,?n ) B 。
将(*)代入,则有 B ? T AT 。 定义 命题 命题 证明 称 n 阶矩阵 A 相似于 B (记为 A ? B ) ,若存在可逆矩阵 T ,使得 B ? T AT 。 相似是等价关系。 二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变换在两组基下的矩阵。 充分性已证。必要性 若 A ? B ,则存在 T ? GLn ( K ) ,使得 B ? T AT 。定义
?1 ?1 ?1

K 上 的 n 为 线 性 空 间 V 上 的 线 性 变 换 A 如 下 : 任 取 V 的 一 组 基 ?1 ,? , ? n , 定 义
A(?1 ,?, ? n ) ? (?1 ,?, ? n ) A ,再令 (?1 ,?,?n ) ? (?1 ,?, ? n )T ,由命题 可知,?1 , ? ,? n 是

V 的一组基,代入整理,得到 A(?1 ,?,?n ) ? (?1 ,?,?n )T ?1 AT 。证毕。
62

第一学期第二十六次课

第四章 §4 线性变换的特征值与特征向量
4.4.1 线性变换的特征值与特征向量的定义 定义 若存在非零向量 ? ?V ,使得对于某个 ? ? K ,有 A? ? ?? ,则称 ? 是 A 的属

于特征值 ? 的特征向量。 命题 证明 线性空间 V 中属于确定的特征值 ? 的特征向量(添加上零向量)构成子空间。 设 ?1 , ? 2 是属于 ? 的特征向量, ?k , l ? K ,则

A(k?1 ? l?2 ) ? kA(?1 ) ? lA(?2 ) ? k ??1 ? l??2 ? ? (k?1 ? l?2 ) ,
证毕。 定义 线性空间 V 中属于确定的特征值 ? 的特征向量(添加上零向量)构成子空间称

为属于特征值 ? 的特征子空间,记为 V? 。 4.4.2 特征值和特征子空间的计算、特征多项式 取定 V 的一组基 ? 1 , ? , ? n ,设 V 上的线性变换 A 在此组基下的矩阵为 A ,假设 ? 是属 于

? 的 特 征 向 量 , 且 ? ? x1?1 ? x2? 2 ? ? ? xn? n , A? ? ?? 有 非 零 解 当 且 仅 当

? x1 ? ? x1 ? ? x1 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 ? ? (? ,?, ? )? ? x2 ? ? (? E ? A) ? x2 ? 有非零解 ? ? E ? A ? 0 。 (?1 ,? , ? n ) A 1 n ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?x ? ?x ? ?x ? ? n? ? n? ? n?
定义 上述 f (? ) ? ? E ? A 被称为线性变换 A 的特征多项式。 特征多项式在 K 中的零

点就是特征值。取定一个特征值 ? ? ?0 ,方程组 ? ?0 E ? A? X ? 0 的非零解就是属于 ?0 的 特征向量的坐标。

第一学期第二十七次课

第四章 §4 特征值与特征向量(续)
4.4.2 关于特征向量与特征子空间的一些性质 命题 证明 线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。 设 A 为 V / K 上的线性变换, ?1 , ?2 ,? , ?t 是两两不同的特征值, ?i (1 ? i ? t ) 是

属于特征子空间 V?i 的特征向量,设 k1 , k2 ,?, kt ? K ,使得 k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? kt?t ? 0 ,两 边用 A 作用( i ? 1, 2,?, t ? 1 ) ,于是得到方程组
j

?1j?1 ? ?2j? 2 ? ? ? ?t j?t ? 0, j ? 0,1,?, t ? 1,
其中 ?i 的方幂组成的矩阵为
63

1 ? 1 ? ? 1 ? ?2 ? ?t ? ? ?1 ?, ? ? ? ? ? ? t ?1 ? ?? ?2t ?1 ? ?tt ?1 ? ? 1 ?

?i 两两不同,于是此矩阵的行列式非零,矩阵非退化,于是方程组只有零解,即
k1?1 ? k2?2 ? ? ? kt?t ? 0 ,
又由于特征向量非零,则 k1 ? k2 ? ? ? kt ? 0 ,则 ?1 , ? 2 ,? , ?t 线性无关。证毕。 推论 证明

n 维空间的具有 n 个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩阵.
取每个特征值的一个特征向量作为基即可。
t

推论 设 ?1 , ?2 ,? , ?t 为 A 的两两不同的特征值,则 ? V? 为直和。
i ?1
i

证明

只要证明零向量的表示法唯一即可。设 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ?t , (?i ?V?i ) ,假若某个

?i ? 0 ,则 ?1 , ? 2 ,? , ?t 线性相关,与上述命题矛盾。证毕。
定理

n 维空间线性变换的矩阵相似于对角矩阵的充分必要条件是该空间等于特征子
必要性 设 V / K 上的线性变换 A 在一组基?1 ,?2 ,? ,?n 下成对角形,即

空间的直和。 证明

? d1 ? ? ? d2 ? ?, A(?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 ,?2 ,?,?n ) ? ? ? ? ? ? dn ? ? ?
将 d1 , d 2 ,?, d n 中 的 不 同 的 值 分 别 记 为 ?1 , ?2 ,? , ?t , 相 应 的 基 向 量 记 为

? j ,? j ,? ,? j ,? j ,? j ,? ,? j ,? ,? j ,? j ,? ,? j , Vi ? L(? j ,? j ,? ,? j ) , 记 易见,
11 12 1s 1 21 22 2s 2 t1 t2 tst

i1

i2

isi

V ? ?Vi ,只要证明 ?i ? 1, 2,?, t , V?i ? Vi 即可。易见, ? ”成立;任取 ? ?V?i , “
i ?1

t

? ? l1?1 ? l2?2 ? ? ? ln?n ? ?1 ? ?2 ? ? ? ?t (1) ,
其中 ? k ? l jk 1? jk 1 ? l jk 2 ? jk 2 ? ? ? l jks ? jks ? Vk ? V?k ,两边用 A 作用,得到
k k

?i? ? ?1?1 ? ?2?2 ? ? ? ?t?t (2) ,
用(1)乘以 ?i 与(2)相减,得到

(?1 ? ?i )?1 ? (?2 ? ?i )?2 ? ? ? (?i ?1 ? ?i )?i ?1 ? (?i ?1 ? ?i )?i ?1 ? (?i ?2 ? ?i )?i ?2 ? ? ? (?t ? ?i )?t ? 0 ,

?i 两两不同, 又属于不同特征值的特征向量线性无关, ? j ? 0( j ? 1, 2,?, i ? 1, i ? 1,?, t ) , 得
即有 ? ? ?i ?Vi 。 ? ”得证。于是 Vi ? V?i ,必要性证毕。 “
64

充分性 若 K 上的线性空间 V 可以分解成为特征子空间的直和,记号同上,则

V ? V?1 ? V?2 ? ? ? V?t ,
分别取个个特征子空间的基合并为 V 的一组基,则在此组基下, A 的矩阵成对角形。证毕。 4.4.3 线性变换的不变子空间 定义 设 A 为线性空间 V 上的线性变换,V1 是 V 的一个子空间。如果 V1 在 A 下的像包

含于 V1 (即 A(V1 ) ? V1 ) ,则称 V1 为 V 的一个( A - )不变子空间。这时 A 可以看作 V1 内的 一个线性变换,称为 A 在 V1 内的限制,记作 A |M 。 命题

n 维空间线性变换的矩阵相似于准对角矩阵的充分必要条件是该空间能分解为

不变子空间的直和。 证明 必要性 记 n 维线性空间为 V / K ,若其上的线性变换 A 在某组基

?11 , ?12 ,?, ?1r , ? 21 , ? 22 ,?, ? 2 r ,?, ? t1 , ? t 2 ,?, ? tr ,
1 2 t

下的矩阵为准对角形

? A1 ? A?? ? ? ? ?

A2

? ? ?, ? ? ? At ? ?

其中 ri 等于 Ai 的阶数,令 Vi ? L(? i1 , ? i 2 ,? , ? iri ) ,则 Vi 是 A - 不变子空间,且

V ? V1 ? V2 ? ? ? Vt 。
充分性 若 V ? V1 ? V2 ? ? ? Vt ,则取 Vi 的基并为 V 的基,则在此组基下 A 的矩阵成 准对角形。证毕。 第一学期第二十八次课

命题

如果 n 维空间 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵,则 A 在任一不变子空

间 M 上(的限制)的矩阵相似于对角矩阵。 证明 若 V 上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵,则 V 可以分解为特征子空间的直

和。记 A 的所有特征值为 ?1 , ?2 ,? , ?t ,则 V ? V?1 ? V?2 ? ? ? V?t ,取 M i ? M ? V?i ,断 言 M ? M1 ? M 2 ? ? ? M t 。首先要证明 M ? M1 ? M 2 ?? M t 。 “ ? ”显然; ? ” “
j

?? ? M ,则存在 ? i ? V?i ,使得 ? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ? t ,两边同

时用 A ( j ? 1, 2,? , t ? 1) 作用,得到表达式

65

1 ? 1 ?? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ?2 ? ?t ?? ? 2 ? ?? ? , ? A? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? t ?1 ? ? t ?1 ? A ? ? ?? ?2t ?1 ? ?tt ?1 ?? ? t ? ? ? ? 1 ?? ?
于是

1 ? 1 ? ? ?1 ? ? 1 ? ? ? ?2 ? ?t ? ? ? 2 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?1 ? ?? ? ?? ?2t ?1 ? ?tt ?1 ? ? t? ? 1 ?
t ?1

?1

? ? ? ? ? ? A? ? , ? ? ? ? t ?1 ? ?A ?? ? ?

即 ? i 可以表示成 ? , A? ,?, A ? 的线性组合,于是 ? i ? M , ? ”得证。 “ 再 证 明 M ? M1 ? M 2 ?? M t 是 直 和 。 设 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? ?t , 其 中 ? i ? M i , 则

? i ? V? ,由于 V ? V? ? V? ? ? ? V? ,于是 ?i ? 0 ,零向量表示法唯一。
i

1

2

t

于是 M 可以分解成为特征子空间的直和,即有 A |M 可对角化。证毕。

第四章 §5 商空间上诱导的线性变换
4.5.1 线性变换在(关于不变子空间的)商空间上的诱导变换的定义 给定 K 上的线性空间 V , M 是 V 的一个 A —不变子空间,定义变换

A: V / M ?V / M

? ? M ? A? ? M



需 要 验 证 A 的 合 理 性 。 设 ? '? M ? ? ? M , 则 存 在 ? ? M , 使 得 ? ' ? ? ? ? , 于 是

A? ' ? A(? ? ? ) ? A? ? A? , 而 由 于 M 是 A 的 不 变 子 空 间 , 于 是 A? ? M , 便 有

A? ? M ? A? '? M 。于是 A 的定义与商空间上的元素的选取无关,即 A 的定义合理。对
于此定义,即有 A(? ) ? A(? ) 。容易验证 A 是 V / M 上的线性变换。 定义 上面定义的线性变换 A 称为 V 内线性变换 A 在商空间 V / M 内的诱导变换。

设 dimV ? n , dim M ? r ,若给定 M 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? r ,将其扩充成为 V 的一组 基 ?1 , ? 2 ,? , ? n , A 在此组基下的矩阵为 ? 若

? A11 ? 0

A12 ? 则 ? , ? r ?1 , ? r ? 2 ,?, ? n 构成商空间的一 A22 ?

组基,且 A 在此组基下的矩阵为 ? A22 ? 。于是,有: 命题 设 A 是 n 维线性空间 V 上的线性变换,W 是 A 的不变子空间,则 A 的特征多项

式等于 A |W 的特征多项式与 A 在商空间 V / W 上的诱导变换的特征多项式的乘积。 命题 设 A 是数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性变换,则 A 的特征多项式的根都属

于 K 当且仅当 A 在 V 的某组基下的矩阵为上三角形。
66

证明

必要性 对 n 作归纳 1 时命题成立,设 n ? 1 成立,取 A 关于某个特征值 ?0 的一

个特征向量 ? 0 ,取 M ? L(? 0 ) ,由上一个命题, n ? 1 维线性空间 V / M 上的线性变换 A 的 特征值都属于 K , 于是在某组基 ? 2 , ? 3 ,? , ? n 下的矩阵成上三角形, 易证 ?0 , ? 2 ,?, ? n 是 V 的 一组基,且 A 在 ?0 , ? 2 ,?, ? n 下的矩阵成上三角形。 充分性 显然。 证毕。 推论

? 上的有限维线性空间上的线性变换在适当的基下的矩阵成上三角形。

第一学期第二十九次课

第五章 §1 双线性函数
5.1.1 线性空间上的线性函数的定义 1、线性函数的定义 定 义 设 V 为 数 域 K 上 的 线 性 空 间 , f : V?

K为 映 射 , 满 足

则称 f 为由 V 到 f (? ? ? ) ? f (? ) f ? ?, ? ?,; f (k? ) ? kf (? ), ?k ? K , ? ?V , ? ( ) ? V 。 K 的一个线性函数(即 f 为 V 到 K 的一个线性映射) 如同一般的线性映射,有以下事实: i) f V ? 、 : K 是线性函数当且仅当 f (k? ? l ? ) ? kf (? ) ? lf (? ) ;

ii) f 0 0? ; 、 ) ( iii) f (?? ? ?(f) ? 。 、 ) 命题 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K 上

的 n 维线性空间。 证明 容易证明数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体关于函数加法和数乘

构成线性空间。定义线性函数 f j ,

j ? 1, 2,? , n ,使得对于 V / K 的某一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n ,

f j (? i ) ? ? ij 。则可以验证 f j 构成上述线性空间的一组基。
定义 由数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的线性函数的全体构成的线性空间称为 V 的对
?

偶空间,记为 V ; 5.1.2 双线性函数 1、双线性函数的定义 定义 设 V 为数域 K 上的线性空间, f : V ?V ? K 为映射,满足

, kf 1 ) i) f k 1? k2 2? ? ) 1? (?, ? 、 ( 1 ?

kf ( 2? )? 2 ? ,

; ,

, 1 22 ? ,1 ( ) ii) f (?l ?1 l?? ) 1lf (??) 2lf? ,?? 、 2

其中 k1 , k2 , l1 , l2 ? K , ? , ?1 , ? 2 , ? , ?1 , ? 2 ?V 。则称 f 为 V 上的一个双线性函数。
67

2、双线性函数在给定基下的矩阵 设 ?1 , ? 2 ,? , ? n 为 V 上 的 一 组 基 , f : V ?V ? K 为 双 线 性 函 数 , ?? , ? ?V , 设

? ? x1? 1 ? x 2 2? ? ? xn? n ; ? ? y1?1 ? y2? 2 ? ? ? yn? n ,则 ?
f (? , ? ) ? f (? xi? i , ? y j? j ) ? ?? xi yi f (? i , ? j )
i ?1 j ?1 i ?1 j ?1 n n n n

? ? x1

x2

定义 阵。 引理

上述 f (? i , ? j ) (1 ? i ? n,1 ? j ? n ) 称为双线性函数 f 在 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的矩

?

?

? f (?1 , ?1 ) ? f (? 2 , ?1 ) ? xn ? ? ? ? ? ? f (? , ? ) n 1 ?

f (?1 , ? 2 ) ? f (? 2 , ? 2 ) ? ? f (? n , ? 2 ) ?

f (?1 , ? n ) ?? y1 ? ?? ? f (? 2 , ? n ) ?? y2 ? . ?? ? ? ? ?? ? f (? n , ? n ) ?? yn ? ?? ?

设有集合 A, B 即映射 f : A ? B 和 g : B ? A ,若 g ? f : A ? A 为恒同映射,

则 f 单且 g 满。 推论 命题 。 f 和 g 同上,若 g ? f ? id A 且 f ? g ? id B ,则 f 与 g 是一一对应(双射) 设 ?1 , ? 2 ,? , ? n 为线性空间的一组基,定义映射 ? 和?

? : ? f | f : V ?V ? K , f is bilinear? ? M n ( K ),

f ? ? f (? i , ? j ) ? .



? : M n ( K ) ? ? f | f : V ? V ? K , f is bilinear?

?a ? ?
ij

f:

V ?V ? K , f (? i , ? j ) ? aij .

则 ? 和? 是一一对应。 证明 由于 f 和? ? ? ( f ) 在 (? i , ? j ) 处取值相同,由 f 双线性,得到 f ? ? ? ? ( f ) ,
n (K )

? ? ? 是恒同映射;又有 ? ?? ? id M
命题
2

,于是由引理可知, ? 为一一对应。证毕。

数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的双线性函数的全体关于函数加法和数乘构成 K

上的 n 维线性空间(与 M n (K ) 作为 K 上线性空间同构) 。 3、双线性函数在不同基下的矩阵 设 ?1 , ? 2 ,? , ? n 和 ?1 ,?2 ,? ,?n 为 V 的两组基, f 为一个双线性函数,设 f 在这两组基 下的矩阵分别为 A 和 B ,又设从 ?1 , ? 2 ,? , ? n 到?1 ,?2 ,? ,?n 的过渡矩阵为 T ,即

(?1 ,?2 ,?,?n ) ? (?1 , ? 2 ,?, ? n )T ,

?? , ? ?V ,设 ? 和 ? 在?1 ,?2 ,?,?n 下的坐标分别为 ( x1 , x2 ,?, xn ) ' 和 ( y1 , y2 ,?, yn ) ' ,
则 ? 和 ? 在 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的坐标分别为
68

? x1 ? ? y1 ? ? ? ? ? ? x2 ? 和 T ? y2 ? T ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?y ? ?x ? ? n? ? n?


' ? ? x1 ? ? ? ? y1 ? ? ? y1 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? f (? , ? ) ? ? T ?? ? ? A ? T ?? ? ? ? ? x1 ? xn ? T ' AT ? ? ? ?y ? ? ? x ?? ? ? y ?? ? n? ? ? n ?? ? ? n ?? ? y1 ? ? ? ? ? x1 ? xn ? B ? ? ? . ?y ? ? n?
双线性函数与矩阵一一对应,于是有: 命题 设 线 性 空 间 V 上 的 双 线 性 函 数 f 在 一 组 基 ?1 ,? , ? n 下 的 矩 阵 为 A , 由 基

? 1 , ? , ? n 到基?1 , ? ,? n 的过渡矩阵为 T ,则 f 在?1 , ? ,? n 下的矩阵为 T ?AT .
4、矩阵的合同 定义 于B。 命题 定义 合同关系是 M n ( K ) 上的一个等价关系。 双线性函数的秩定义为该函数在一组基下的矩阵的秩。 设 A, B ? M n ( K ) ,若存在可逆矩阵 T ? M n ( K ) ,使得 B ? T ' AT ,则称 A 合同

第一学期第三十次课

5.1.3 线性空间上的对称双线性函数、二次型函数的定义 定义 数。 命题 若 f 为 V 上的双线性函数且 f (? , ? ) ? f ( ? , ? ) , 则称 f 为 V 上的对称双线性函

f 为对称双线性函数,当且仅当 f 在任意一组基下的矩阵为对称矩阵,当且仅当

f 在某一组基下的矩阵为对称矩阵。
证明 任取 V 的一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n ,任取 ? , ? ?V ,设它们在此组基下的坐标所构成

的列向量分别为 X 和 Y , f 在此组基下的矩阵记为 A , f 为对称双线性函数, 若 则由定义, 于是 X ' AY ? Y ' AX , 即有 X ' AY ? X ' A 'Y , f 双线性, A ? A ' ; 则 f (? , ? ) ? f (? , ? ) , 反过来, 若在任意一组基下的矩阵为对称矩阵, f (? , ? ) ? f ( ? , ? ) ,第一个充要性得证。 则 若 f 在某组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的矩阵为对称矩阵, 记为 A , 任取 V 的另一组基?1 , ? ,? n ,
69

设从 ?1 , ? 2 ,? , ? n 到 ?1 , ? ,? n 的过渡矩阵为 T ,则 f 在 ?1 , ? ,? n 下的矩阵为 B ? T ' AT , 且 B ' ? (T ' AT )' ? T ' A ' T ? T ' AT ? B ,第二个充分必要性得证。证毕。 定理 证明 数域 K 上的 n 维线性空间 V 上的对称双线性函数的矩阵必合同于对角阵。 对 n 作归纳。 n ? 1 时命题成立。假设 n ? 1 时成立,对于 n 维线性空间,若对称

双线性函数 f 恒等于零,则命题成立。 f 不恒等于零, 若 则存在 ? ?V ,使得 f (? , ? ) ? 0 。 否 则 若

?? ?V







f (? ? , ?

则 ), 0

?? , ? ?V



f (? ? ? , ? ? ? ) ? f (? , ? ) ? f (? , ? ) ? f (? , ? ) ? f (? , ? ) ? 0 ? f (? , ? ) ? ? f (? , ? ) , f
对称,则 f ( ? , ? ) ? 0 ,与 f 非零矛盾。取该 ? ,即满足 f (? , ? ) ? 0 。将其扩充为 V 的一 组 基 , 记 为 ? , ? 2 , ? 3 , ? , ? n 。 ?i ' ? ?i ?

f (?i , ? ) , ) , 则 f (?i '? ? f (? , ? )

0 ,于是 f 在

? ,?2 ',?3 ',? ,?n ' 下的矩阵为
? f (? , ? ) 0 ? ? ?, ?? ? 0
取子空间 M ? L ?? 2 ',?3 ',? ,? n ' ? ,将 f 视为其上的对称线性函数,则由归纳假设,存在一 组基 ? 2 , ?3 ,?, ? n 使得 f |M 在此组基上的矩阵成对角形,于是易知 f 在 ? , ? 2 , ?3 ,?, ? n 下 的矩阵成对角形。证毕。 定义 设 f (? , ? ) 是 V 内的一个对称双线性函数,我们定义 Q f (? ) ? f (? , ? ) ,称为

f (? , ? ) 决定的二次型函数。如果在 V 内取定一组基 ?1 , ? 2 ,? , ? n ,又令 f (? i , ? j ) ? aij ,
A ? ? aij ? ,于是

Q f (? ) ? f (? , ? ) ? ?? aij xi x j ( aij ? a ji )
i ?1 j ?1

n

n

上式称为二次型函数在 ?1 , ? 2 ,? , ? n 下的解析表达式。由定义可见,对称双线性函数与二次 型函数一一对应。

第五章 §2 二次型
5.2.1 数域上的二次型的定义,二次型 f 对应的二次型函数 Q f (? ) 的定义;二次型的矩 阵和秩的定义 定义 设 f (? , ? ) 是数域 K 上的对称双线性函数 f ?

?? a x y
i ?1 j ?1 ij i n

n

n

i

, 其中 ( x1 , x2 ,? , xn )

和 ( y1 , y2 ,? , yn ) 分 别 为

? 和 ? 在 某 组 基 ? 1 , ? 2 ,? , ? n 下 的 坐 标 ,
n n n

aij ? a ji ? K (?1 ? i, j ? n) 。 ? ? ? , f (? , ? ) ? ?? aij xi x j , f ? ?? aij xi x j 为 取 则 称
i ?1 j ?1 i ?1 j ?1

70

,其系数矩阵 K 上的一个 n 元二次型(即是一个二次齐次函数)

? a11 a12 ? a1n ? ? ? ? a21 a22 ? a2 n ? A? ? ? ? ? ? ? ? ?a ? ? n1 an 2 ? ann ?
称为此二次型的矩阵, A 的秩 r ( A) 称为此二次型的秩。而 Q f (? ) ? 型函数。 定理 数域 K 上的 n 元二次型在可逆变数替换下可以化为只有平方项的标准形。

?? a x x
i ?1 j ?1 ij i

n

n

j

称为二次

5.2.2 二次型化为标准形的计算方法(配方法) 分两种情况进行讨论。 (1) 、二次型种由某个变量平方项的系数不为零,例如 a11 ? 0 ,此时把二次型对 x1 进 行配方得

f ? a11 x12 ? 2a12 x1 x2 ? ? ? 2a1n x1 xn ? ?? aij xi x j
i ?2 j ?2 n n ? ? a a ? a11 ? x1 ? 12 x2 ? ? ? 1n xn ? ? ?? bij xi x j , a11 a11 ? i ? 2 j ? 2 ? 2

n

n

作变数替换

a1n a12 ? ? y1 ? x1 ? a x2 ? ? ? a xn 11 11 ? ? x2 ? y2 ? ???????????? ? xn . ? yn ? ?
反解为

a1n a12 ? ? x1 ? y1 ? a y2 ? ? ? a yn 11 11 ? ? y2 ? x2 ? ???????????? ? yn . ? xn ? ?
写成矩阵形式

71

a12 ? ?1 ?a ? x1 ? 11 ? ? ? x2 ? ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ?x ? ? n? ? ?0 ?
经过变数替换,二次型化作

? ?

?

a1n ? a11 ? ? y1 ? ?? ? 0 ? ? y2 ? 。 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? yn ? ? 1 ?

a y ? ?? bij yi y j ,
2 11 1 i ?2 j ?2

n

n

然后再对上式右边的 n ? 1 个变量继续进行计算。 如果 a11 ? 0 , 而某个 aii ? 0 , 则对 xi 配方。 (2) 、所有 aii ? 0 ( i ? 1, 2,?, n ) ,而有一个 aij ? 0 ( i ? j ) ,则作变数替换

? xi ? yi ? y j , ? ? x j ? yi ? y j , ? ? xk ? yk (k ? i, j ).
这就可以把二次型化为第一种情况。

72


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北京大学数学系《高等代数》(第3版)网授精讲班_考研_教...

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高等代数(北大版)第10章习题参考答案

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高等代数(北大版)第3章习题参考答案

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高等代数北大版教案-第6章线性空间

V 是数域 K 上的线性空间的满线性·76· 映射,则映射 ? : U / ker f ...高等代数课件(北大版)第... 26页 免费 高等代数课件(北大版)第... 27...

北大2017秋高等代数作业

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高等代数(北大版)第1章习题参考答案

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