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线面平行与垂直的判定与性质(含答案)


线面平行与垂直的判定与性质
一. 考纲要求 1. 理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为推理依据的公理和定理. 2. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性 质与判定. 3. 能证明一些空间位置关系的简单命题 二. 基础练习 1. 平面 ? ∥平面 ? 的一个充分条件是( A.存在一条直线 ?,a ∥?,a ∥ ? B.存

在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? 2. 设 a, b 为两条直线, ? , ? 为两个平面.下列四个命题中,正确的命题是 ( ) A.若 a, b 与 ? 所成的角相等,则 a∥b C.若 a ? ? , b ? ? , a∥b,则 ?∥? 3. 若 P 两条异面直线 l,m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l,m 都异面 B.若 a ∥ ? ,b ∥ ? , ?∥ ? ,则 a∥b D.若 a ? ? , b ? ? , ? ? ? , 则 a ? b ) )

三.典型例题 例 1 如 图 , 在 四 棱 锥 O-ABCD 中 , 底 面 ABCD 四 边 长 为 1 的 菱 形 ,

?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点 ;

(Ⅰ)证明:直线 MN / / 平面OCD

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小;

O M A B N C D

例 2.如图,四棱锥 P—ABCD 中, PA ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD, CD⊥AD,CD=2AB,E 为 PC 中点 (I) 求证:平面 PDC ? 平面 PAD; (II) 求证:BE//平面 PAD. A D P E C

B

四.巩固练习 1. .四棱锥 S ? ABCD中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知

∠ABC ? 45? , AB ? 2 , BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值.
C D A

S

B

2. 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 O 为正方形 ABCD 的中心,M 为 BB1 的中点,求证: (1) D1O / / 平面A1 BC1 (2) D1O ? 平面MAC

参考答案 基础练习 1.D 2.D 3.B 典型例题 例题 1. (1)证明:取 OB 中点 E,连接 ME,NE

? ME‖AB,AB‖ CD, ME‖ CD 又? NE‖ OC,? 平面MNE‖ 平面OCD ?
? MN‖ 平面OCD
(2)? CD‖AB, ∴?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角)

∴CD ? MP 作 AP ? CD于P, 连接 MP ∵OA ? 平面A B C D ,
∵ ?ADP ?

?
4

,∴DP =

2 2

MD ? MA ? AD ? 2 ,
2 2

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? , ?MDC ? ?MDP ? MD 2 3

? 所以 AB 与 MD 所成角的大小为 3
CD ? AD( 已知) ? ? PA ? CD ? ? PA ? AD ? A ? ?

例题 2 (1)由 PA ? 平面 ABCD
CD ? 面PAD ? ? ? CD ? 面PAD?

? 平面 PDC ? 平面 PAD;
(2)取 PD 中点为 F,连结 EF、AF,由 E 为 PC 中点, 得 EF 为△PDC 的中位线,则 EF//CD,CD=2EF. 又 CD=2AB,则 EF=AB.由 AB//CD,则 EF∥AB. 所以四边形 ABEF 为平行四边形,则 EF//AF. 由 AF ? 面 PAD,则 EF//面 PAD.

P F D A E C

B

巩固练习 1.(Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO ,由侧面 SBC ⊥底面 ABCD , 得 SO⊥底面 ABCD . 因为 SA ? SB , 所以 AO ? BO , ∠ABC ? 45 , △A B 又 故 O
?

为等腰直角三角形, AO ⊥ BO ,由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC ,故 SA⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 ,

SA ? 3



AO ? 2

, 得
2

SO ? 1 , SD ? 11
. 连 结



△SAB 的 面 积
△D A 的 面 积 B

1 ?1 ? S1 ? AB ? SA2 ? ? AB ? ? 2 2 ?2 ?

DB

, 得

1 AB ? AD sin135? ? 2 ,设 D 到平面 SAB 的距离为 h ,由于 VD ? SAB ? VS ? ABD , 2 1 1 得 h ? S1 ? SO ? S2 , 解 得 h ? 2 . 设 SD 与 平 面 SAB 所 成 角 为 ? , 则 3 3 S2 ?
si?? n h 2 22 ? ? . SD 11 11

2 证明: (1)连结 在正方体

BD, B1D1

分别交

AC , A1C1



O , O1
为矩形

ABCD ? A1 B1C1D1 BD, B1D1
的中点

中,对角面

BB1 D1 D

? O , O1

分别是

? BO // D1O1

? 四边形 BO1 D1O 为平行四边形? BO1//D1O
? D1O ?
平面

A1 BC1 BO1 ?
,

平面

A1 BC1 ? D1O //

平面

A1 BC1

(2)连结 MO ,设正方体 在正方体

ABCD ? A1 B1C1D1
中,对角面

的棱长为 a , 为矩形且

ABCD ? A1 B1C1D1

BB1 D1 D

BB1 ? a, BD ? 2a

? O , M 分别是 BD, BB1 的中点
? BM ? a 2 , BO ? OD ? a 2 2
? BM BO 2 ? ? OD D1 D 2

B Rt?MBO ? Rt?O D D ? ? O M ? ?D1D O 1
? ? 在 Rt?ODD1 中 , ?DD1O ? ?D1OD ? 90

??BOM ? ?D1OD ? 90?

, 即

D1 O? M O
在正方体

ABCD ? A1 B1C1D1
平面 ABCD



? DD1 ?

?D D ? A C 1

又? AC ? BD ,

DD1 ? BD ? D

? AC ? 平面 BB1 D1 D

? D1O ?

平面

BB1 D1 D

? A C? D O 1
平面 MAC

又 AC ? MO ? O

? D1O ?


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