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对数、指数的运算练习及答案

时间:2012-08-03


高一对数的运算公式,幂的运算公式.
1.幂的有关概念: (1)正整数指数幂: a = (3)负整数指数幂: a (4)正分数指数幂: a (5)负分数指数幂: a
?p n

( n ? N ).
*

(2)零指数幂: a ? 1( a ?
0

).

?

( a ? 0, p ? N ) .
*

m n

?
m n

( a ? 0, m ,n ? N 且 n ? 1)
*

?

?

( a ? 0, m ,n ? N 且 n ? 1)
*

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.根式: (1)如果一个数的 n 次方等于 a ? n ? 1且 n ? N (2)0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . (3)式子 n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (4)
*

? ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根.

?

n

a

?

n

?
n n

. . (6)当 n 为偶数时,
n

(5)当 n 为奇数时, a = 3.指数幂的运算法则: (1) a ? a =
r s

a =

n

=

.

( a ? 0, r , s ? R ) .

(2)

a a

r s

=

( a ? 0, r , s ? R ) .

(3) ? a b ? =
r

( a ? 0 ,b ? 0 r ? R. ) (4) ? a ,

r

?

s

=

( a ? 0, r , s ? R ) .

二.对数
1.对数的定义:如果 a ? N ( a ? 0 且 a ? 1 ) ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
b

,

其中 a 叫做 , 2.对数的运算法则:

叫做真数.

若 a ? 0 且 a ? 1 , M ? 0, N ? 0 ,那么 (1) l o g a M N = (3) l o g a M = 3.特殊对数: (1) l o g a 1 = ; (2) l o g a a = . (其中 a ? 0 且 a ? 1)
n

. .

(2) l o g a

M N

=

.

4.对数的换底公式及对数恒等式

(1) a

loga N

=

(对数恒等式).

(2) l o g a N ?

log b N log ba

(换底公式);

(3) l o g a b ?

1 log ba

;

log an N

m

?

(换底公式的推论)

【基础练习】
1.对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是( (1)若 M=N,则 lo g a M ? lo g a N ; (2)若 lo g a M ? lo g a N ,则 M=N; (3)若 lo g a M
2

)

C

? lo g a N ,则 M=N;
2 2

(4)若 M=N,则 lo g a M A.(1)(3) B.(2)(4)

? lo g a N .
2

C.(2)

D. (1)(2)(3)(4) ) A

2.若 a ? 0, a ? 1 ,且 x>0,y>0,x>y,则下列式子中正确的个数有(

(1) lo g a x ? lo g a y ? lo g a ? x ? y ? ;(2) lo g a x ? lo g a y ? lo g a ? x ? y ? ;
? x? ? ? lo g a x ? lo g a y ;(4) lo g a ? xy ? ? lo g a x ? lo g a y ? y?

(3) lo g a ?

A.0 个 B.1 个 C.2 个 3.下列各式中成立的一项是( )
? n ? 7 A. ? ? ? n m 7 ?m ?
3 3 ?3
7 1

D.3 个 D
3

B. 1 2 ? ? 3 ? ?
4

?3

C. 4 x ? y ? ? x ? y ? 4
3 3

3

D.

3

9 ?

3

3

4.化简 a 2 ? a

?

?a ?
?5

?

1 2

? ?1 ? 2 ?a ? ? ?

13

=

.

1 a
2

【典例分析】
题型一:指数幂的运算 例 1. 化简下列各式:
2 ? ? (1) ? 0 .0 2 7 3 ? ? ? ? 1 .5

1000 27

1 3 ? 2 ? ? ?1 ? ?1 3 (2) ? x 3 ? y 4 ? z ? ? ? x ? y 4 ? z ? ? ? ? ?

?

1 3

xz

?2

7

(3) a

3

2

a

?3

?

3

a

?8

?

3

a

15

?

1 2

a

变式训练 1:化简

3

?

9 2

a

?

3

a

?2

? ??2 ?

3

a

?7

?

3

a

13

? ? ?

1 2

?

25 12

a

1

例 2 . 化简

x ?1
2 3 1 3

?

x ?1
1

?

x ? x3
1

1

?x3

x ? x ?1

x ?1
3

x3 ?1

变式训练 2:化简(1) ? a ? a
3

?3

??a

3

?a

?3

? ? ?? a ?

4

?a

?4

? 1? ? a ? a

?1

?? ?

a?a

?1

(2) ? x

?1

1 ? ?1 ? ? x ? 1? ? x 2 ? x 2 ? ? ?

?

3 2

3

x

? x2

题型二:对数式的运算
1

例 3.计算(log3 3 2 )2- 3

? lo g 3 2

+log0.25

1 4

+9log5 5 - l o g 3

2

27

9 2

变式训练 3: 化简或求值: (1) ? ? 1 ? lo g 6 3 ? ? lo g 6 2 ? lo g 6 1 8 ? ? lo g 6 4
2

?

?

1

(2) lo g

2

?

6?4 2 ?

6?4 2

?

4

例 4.已知 lo g 1 8 9 ? a ,1 8 ? 5 ,求 lo g 3 6 2 5 (用 a,b 表示).
b

2b 2?a

.
1? a ? b

变式训练 4:设 6 0 ? 3, 6 0 ? 5, 试求 1 2 2 (1 ? b ) 的值.
a b

2

题型三:综合应用
例 5.若正整数 m 满足 10
m -1

?2

512

? 10 ,则 m=
m

? lg 2 ? 0 .3 0 1 0 ? .

155

变式训练 5:(1)已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 a

?

1 b

? 2 ,则

c 的值为(

)

B

A.2

B. 1 5

C.4

D. 3 0

(2)方程的 lo g 1 (9 x ?1 ? 5) ? lo g 1 3 x ?1 ? 2 解是
2 2

.

lo g 3 1 5

【当堂检测】 1. 求值: lg 5 2 ?
2 3 lg 8 ? lg 5 ? lg 2 0 ? ? lg 2 ?
2

3

2. 化简

a b
1 1

3

2 3 4

ab
1

2

( a ? 0, b ? 0 )
1

ab

?1

? 4 2 ? ?3 3 ?a b ? a b ? ?

1

3.已知 x 2 ? x

?

1 2

?5

,求

x ?1
2

的值.

23

x

4. 求值: lo g

?2? 3 ?

?2 ?

3

?

-1

【自我检测】
(C 级) 1.设 3 ?
x

1 7

则(

) C. -1<x<0 D. 0<x<1

A

A.-2<x<-1

B. -3<x<-2

(C 级) 2. 已知 lo g 2 3 ? a , 3 ? 7 ,求 lo g 3
b

7

?2

21

? (用 a,b 表示)

2 ? a ? ab a ?2 ? b?

1 2

1 3

1

(B 级) 3.已知 0<x<1,且 log 2 x ? log 3 y ? log 5 z ,则将 x , y , z 5 按从小到大的顺序排列为
1
1

1

z5 ,x2 , y3

(C 级) 4. 求值: ? lg 5 ? ? lg 5 0 ? lg 2
2

1

(C 级) 5. 求值: ? lo g 3 2 ? lo g 9 2 ? ? ? lo g 4 3 ? lo g 8 3 ?

5 4

(B 级)6.已知函数 f ( x ) ? a ? a
x

?x

( a ? 0, a ? 1 ),且 f(1)=3,则 f(0)+f(1)+f(2)的值是

.

12

(B 级 )7. 设 函 数 f ( x ) ? log a x
2 2 2

( a ? 0, a ? 1 ) 且 , 若 f ( x1 ? x 2 ? ? x 2 0 0 7 ) ? 8 , 则 ) c

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2 0 0 7 ) 的值等于(

A.4

B.8

C.16

D. 2 lo g a 8

(A 级)8.若 2 ? 8
x

y ?1

,9 ? 3
y

x?9

则 x+y=

(

) c

A.18

B.24

C.27

D.21

9. (2011·重庆高考文科)设 a 小关系是( (A)
a?b?c

? lo g 1
3

1 2

, b ? lo g 1
2

2 3

, c ? lo g 3

4 3

, 则 a, b, c

的大

) (B)
c?b?a

(C)

b?a?c

(D)

b?c?a

10.(2011·四川高考理科)计算 (lg

1 4

? lg 2 5) ? 1 0 0

?

1 2

=

.


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