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》高考数学(广东专用,文科)第二篇 函数、导数及其应用 第10节 导数的概念与计算 Word版含答案


第 10 节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 导数的概念及运算 导数的几何意义 导数的综合问题

导数的概念与计算 练题感 提知能

题号 1、2、3、4、12 5、6、8、9、11、13 7、10、14、15、16

A组 一、选择题 1.在曲线 y=x2+1 的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+Δ x,2

+Δ y),则 为( C )

(A)Δ x+ +2 (B)Δ x- -2 (C)Δ x+2 (D)Δ x- +2

解析:Δ y=f(1+Δ x)-f(1) =[(1+Δ x)2+1]-2 =(Δ x)2+2·(Δ x), ∴ =Δ x+2,选 C. 2.若 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(0)等于( (A)2 (B)0 (C)-2 (D)-4 D )

解析:∵f′(x)=2f′(1)+2x, ∴f′(1)=2f′(1)+2, ∴f′(1)=-2, ∴f′(x)=2x-4, ∴f′(0)=-4. 故选 D. 3.(2013 合肥模拟)函数 y=x2cos x 在 x=1 处的导数是( (A)0 (B)2cos 1-sin 1 B )

(C)cos 1-sin 1 (D)1 解析:∵y′=(x2cos x)′ =(x2)′cos x+x2(cos x)′ =2xcos x-x2sin x, ∴在 x=1 处的导数为 2cos 1-sin 1, 故选 B. 4.(2013 中山市期末)函数 f(x)=x2-bx+a 的图象如图所示,则函数 g(x)=ln x+f′(x)的零点所在的区间是( B )

(A)( , ) (B)( ,1) (C)(1,2)

(D)(2,3) 解析:由题图知 f(1)=1-b+a=0,0<f(0)=a<1, 所以 1<b<2. g(x)=ln x+2x-b, 易知 g(x)为(0,+∞)上的增函数, 又 g(1)=2-b>0,g( )=ln +1-b<0, 故函数 g(x)的零点所在区间为( ,1),故选 B. 5.(2013 深圳调研)曲线 y=2x-ln x 在点(1,2)处的切线方程为 ( C ) (B)y=-x+3 (D)y=x-1

(A)y=-x-1 (C)y=x+1

解析:y′=2- , 所以曲线在点(1,2)处的切线的斜率为 k=2-1=1, 因此,在点(1,2)处的切线方程为 y-2=x-1, 即 y=x+1,故选 C. 6.(2013 潍坊模拟)若曲线 f(x)=x·sin x+1 在 x= 处的切线与直线 ax+2y+1=0 互相垂直,则实数 a 等于( (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2 解析:f′(x)=sin x+xcos x,依题意, f′( )=1,且- ×1=-1,解得 a=2,故选 D. D )

7.(2013 惠阳一中实验学校高三月考)曲线 y= 在点(4,e2)处的切线 与坐标轴所围成的三角形的面积为( (A)6e2 (B)4e2 (C)2e2 (D)e2 解析:∵y′= · ,∴y′|x=4= ·e2. ∴曲线 y= 在点(4,e2)处的切线方程为 y-e2= ·e2(x-4).令 y=0,得 x=2,令 x=0,得 y=-e2,所以,切线与坐标轴所围成的三角形面积 S= ×2×|-e2|=e2.故选 D. 二、填空题 8.设直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则实数 b 的值 为 . D )

解析:由已知条件可得直线的斜率 k= , y′=(ln x)′= = , 得切点的横坐标为 x=2, 切点坐标为(2,ln 2). 由点(2,ln 2)在切线 y= x+b 上可得 b=ln 2- ×2=ln 2-1. 答案:ln 2-1

9.(2013 广东六校第三次联考)设 P 为曲线 C:y=x3-x 上的点,则曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 .

解析:设点 P 的横坐标是 x,则曲线 C 在点 P 处的切线斜率是 k=3x2-1 ≥-1,设切线的倾斜角是α ,则 tan α ≥-1,α ∈[0,π ),解得 α ∈[0, )∪[ ,π ). 答案:[0, )∪[ ,π ) 10.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012), 则函数 f(x)在点(0,0)处的切线方程为 解析:∵f(x)=x[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)], ∴f′(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)+x·[(x-a1)(x-a2)…(x-a2012)]′ ∴f′(0)=a1·a2·a3·…·a2012 =(a1·a2012)1006=41006=22012. ∴f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y=22012x. 答案:y=22012x 11.(2013 广州高三调研)若直线 y=2x+m 是曲线 y=xln x 的切线,则实 数 m 的值为 . .

解析:设切点为(x0,x0ln x0),由 y′=(xln x)′=ln x+x· =ln x+1 得 切线斜率为 k=ln x0+1,故切线方程为 y-x0ln x0=(ln x0+1)·(x-x0), 整理得 y=(ln x0+1)x-x0,与 y=2x+m 比较得 解得

答案:-e 三、解答题 12.(1)求下列函数的导数. ①y=(2x2+3)(3x-1); ②y=( -2)2; ③y=x-sin cos ; (2)设 f(x)=(ax+b)sin x+(cx+d)cos x, 试确定常数 a,b,c,d,使得 f′(x)=xcos x. 解:(1)①法一 y′=(2x2+3)′(3x-1)+(2x2+3)(3x-1)′

=4x(3x-1)+3(2x2+3) =18x2-4x+9. 法二 ∵y=(2x2+3)(3x-1)=6x3-2x2+9x-3,

∴y′=(6x3-2x2+9x-3)′=18x2-4x+9. ②∵y=( -2)2=x-4 +4, ∴y′=x′-(4 )′+4′=1-4× ③∵y=x-sin cos =x- sin x, ∴y′=x′-( sin x)′=1- cos x. (2)由已知 f′(x)=[(ax+b)sin x+(cx+d)cos x] ′ =[(ax+b)sin x]′+[(cx+d)cos x]′=(ax+b)′sin x+ =1-2 .

(ax+b)(sin x)′+(cx+d)′cos x+(cx+d)(cos x)′=asin x+(ax+b)cos x+ccos x-(cx+d)sin x=(a-cx-d)sin x+(ax+b+c)cos x. ∵f′(x)=xcos x, ∴必须有



? a=d=1,b=c=0.

13.已知函数 f(x)= 在 x= 处的切线为 l,直线 g(x)=kx+ 与 l 平行, 求 f(x)的图象上的点到直线 g(x)的最短距离. 解:因为 f(x)= , 所以 f′(x)= . 所以切线 l 的斜率为 k=f′( )=1,切点为 T( , ). 所以切线 l 的方程为 x-y+ =0. 因为切线 l 与直线 g(x)=kx+ 平行, 所以 k=1, 即 g(x)=x+ . f(x)的图象上的点到直线 g(x)=x+ 的最短距离为切线 l:x-y+ =0 与 直线 x-y+ =0 之间的距离,

所以所求最短距离为

= .

14.已知点 M 是曲线 y= x3-2x2+3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角α 的取值范围. 解:(1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1, ∴当 x=2 时,y′=-1,y= , ∴斜率最小的切线过 ∴切线方程为 x+y- =0. (2)由(1)得 k≥-1, ∴tan α ≥-1, ∴α ∈ ∪ . B组 15.(2012 年高考辽宁卷)已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横 坐标分别为 4,-2,过 P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为( C ) ,斜率 k=-1,

(A)1 (B)3 (C)-4 (D)-8 解析:y= ,y′=x,∴y′|x=4=4,y′|x=-2=-2, 点 P 的坐标为(4,8),点 Q 的坐标为(-2,2),

∴在点 P 处的切线方程为 y-8=4(x-4),即 y=4x-8. 在点 Q 处的切线方程为 y-2=-2(x+2), 即 y=-2x-2,解 得 A(1,-4),

则 A 点的纵坐标为-4.故选 C. 16.(2013 河北保定一模)设函数 f(x)=|sin x|的图象与直线 y=kx(k>0)有且仅有三个公共点,这三个公共点横坐标的最大值为α , 则α 等于( (A)-cos α B ) (C)sin α (D)π

(B)tan α

解析:如图,若直线与函数有且仅有三个公共点,

则直线 y=kx 与曲线 y=-sin x(x∈[π ,2π ])相切, 设切点为(α ,-sin α ), 则-sin α =kα 且 k=-cos α , 所以α =tan α . 故选 B.


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