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解三角形.板块三.实际应用问题.学生版

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板块三.实际应用问题

典例分析
【例1】 某人朝正东方走 x km 后,向左转 1500,然后朝新方向走 3km,结果它离出发点

恰好

3

km,那么 x 等于
3

(A)

(B) 2 3

(C)

3

或 2 3

(D)3

【例2】 甲、乙两楼相距 20m ,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60 ,从甲楼顶望乙楼顶的

0

俯角为 300 ,则甲、乙两楼的高分别是





A

20 3m,

40 3 m 3

B

10 3m, 20 3m

C

10( 3 ? 2)m, 20 3m

D

15 3 20 3 m, m 2 3

【例3】 一只汽球在 2250m 的高空飞行,汽球上的工件人员测得前方一座山顶上 A 点

处的俯角为 180 ,汽球向前飞行了 2000m 后,又测得 A 点处的俯角为 820 ,则 山的高度为(精确到 1m ) ( ) B A 1988m

2096m

C

3125m

D

2451m

【例4】 已知轮船 A 和轮船 B 同时离开 C 岛,A 向北偏东 250 方向,B 向西偏北 200 方
3 向,若 A 的航行速度为 25 nmi/h,B 的速度是 A 的 ,过三小时后,A、B 的 5

距离是



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【例5】 货轮在海上以 40km/h 的速度由 B 到 C 航行,航向为方位角 ?NBC ? 140 ,A
0

处有灯塔, 其方位角 ?NBA ? 1100 , C 处观测灯塔 A 的方位角 ?MCA ? 350 , 在 由 B 到 C 需航行半小时,则 C 到灯塔 A 的距离是

【例6】 在某海滨城市附近海面有一台风,据检测,当前台风中心位于城市 O(如图)的

东偏南 ? (cos ? ?

2 ) 方向 300 km 的海面 P 处,并以 20 km / h 的速度向西偏 10

北 45 ? 的方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60 km ,并以 10 km / h 的速度不断增加,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长时 间?

【例7】 上海浦东有两建筑物 A、B,由于建筑物中间有障碍物,无法丈量出它们之间

的距离,请你在浦西不过江,利用斜三角形的知识,设计一个测量建筑物 A、 B 间距离的方案,并给出具体的计算方法.

【例8】 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意

一点, AB 为一边作等边三角形 ABC。 点 B 在什么位置时, 以 问: 四边形 OACB 面积最大?

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【例9】 空中有一气球, 在它的正西方 A 点测得它的仰角为 45 , 同时在它南偏东 60 的

0

0

B 点, 测得它的仰角为 300 , B 两点间的距离为 266 m, A、 这两测点均离地 1 m, 问测量时气球离地多少米?
【例10】 如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船

遇险等待营救.甲船立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 30 ? ,相 距 10 海里 C 处的乙船,试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救 援(角度精确到 1 ? )?

【例11】 如图所示,已知扇形 OAB,O 为顶点,圆心角 ?AOB ? 60 ,半径为 2 cm,在
0

弧 AB 上有一动点 P,由 P 引平行 OB 的直线和 OA 相交于 C, ?AOP ? ? , 求△ POC 的面积的最大值以及此时 ? 的值。

【例12】 如右图所示,有两条相交成 60 角的直路 xx?, yy? ,交点是 O ,甲、乙分别在
0

Ox, Oy 上,开始时甲离 O 点 3 km,乙离 O 点 1 km,后来甲沿 xx? 的方向,乙
沿 y?y 的方向,同时用 4 km/h 的速度步行。
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(1)起初两人的距离是多少?

(2) t 小时后两人的距离是多少? (3)什么时候两人的距离最短?

【例13】 如图所示,海岛 A 周围 38 海里内有暗礁,一艘船向正南方向航行,在 B 处测得

岛 A 在船的南偏东 300 方向上,船航行 30 海里后,在 C 处测得岛 A 在船的南 偏东 450 方向上,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁危险?

【例14】 如图所示,某海岛上一观察哨 A 上午 11 时测得一轮船在海岛北偏东 60 的 C

0

处,12 时 20 分测得船在海岛北偏西 600 的 B 处,12 时 40 分轮船到达位于海 岛正西方且距海岛 5 km 的 E 港口, 如果轮船始终匀速直线前进, 问船速多少?

【例15】 如图所示,公园内有一块边长 2a 的等边 △ABC 形状的三角地,现修成草坪,

图中 DE 把草坪分成面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上。 (1)设 AD ? x( x ? a) , ED ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式;
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(2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本希望它最短,DE 的位置应该在哪里? 如果 DE 是参观线路,则希望它最长,DE 的位置又在哪里?请给予证明。

【例16】 水渠道断面为等腰梯形,如图所示,渠道深为 h ,梯形面积为 S,为了使渠道

的渗水量达到最小,应使梯形两腰及下底之和达到最小,此时下底角 ? 应该是 多少?

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