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第八届北京高中数学知识应用竞赛决赛试题参考解答


2005 年

第 44 卷

第6期

数学通报

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第八届北京高中数学知识应用 竞赛决赛试题参考解答
1. ( 满分 16 分) 三视图是从 主视、 左视、 俯 视三 个方向观察物体, 得到的平面图形. 如图 1 所示的物 体是由一个六棱柱和圆 柱组合 而成的,

主视图显 示 出正六棱柱的三个侧面 和圆柱 侧面, 左 视图显示 出 正六棱柱的两个侧面和 圆柱侧 面, 俯视 图显示出 一 个正六边形和一个圆( 中心重 合) , 图 1 还给出了 三 个视图的位置关系. 解 ( 1) , ,( 8 分)

( 2) , ,( 16 分)

2. ( 满分 16 分) 826 路公 共汽 车 往 返 行 驶 于 颐 和 园 和肖 村之间, 它 的行驶 路线
图1

贯 穿了 北 京 城 区, 如图. 不 同汽 车的车 况不同, 驾 驶员 不同, 沿 途 路 况 不 全 相 同, 导致 汽 车 行 驶 速 度 不 断 变 化. 某天, 一辆 826 路公共汽 车早上 7B 30 从颐和园出发, 于上午 9 B 20 到达终点肖村; 第二天, 另一 辆 826 路 公共汽车于早上 7 B 30 从肖村 出发驶 向颐 和园, 并 于上午 9 B 00 到达终点. ( 1) 如果第一天 7 B 30 从 颐和园出发 行驶的 汽 车到颐 和园 的 距离 s 与时 间 t 满足 函 数关 系 s =

( 1) 图 2 是一个物体的形状以及 它的主视图 和 俯视图, 缺左视图. 请画 出完整 的三视图, 符合三 个 视图的位置要求.

图2

( 2) 请根据图 3 的三视图, 想像物 体的原形, 并 画出物体的实物草图.

f ( t) , 第二天 7 B 30 从肖村出发行驶的汽车到颐和园 的距离 s 与时间t 满足函数关系s = g ( t ) , 它们都是 连续变化的函数, 请分别说明这两个函数的性质. ( 2) 请根据上面函数的性质, 证明: 存在一个 地 点, 两辆车在这两天的同一个时刻通过这个地点. 解 ( 1) 设颐和园到肖村的距离是 s * , 则 f ( t ) 的定义域是[ 7 B 30, 9 B 20] , 值域是[ 0, s * ] , f ( t ) 是 单调增函数; g ( t ) 的定义域是[ 7 B 30, 9 B 00] , 值域 是[ 0, s * ] , g ( t ) 是单调减函数. , ,( 8 分) ( 2) 图 1 中的函数曲线 f ( t ) 和 g ( t ) 是示意 性 的. 两辆车在同一时刻通过同一地点, 就是图 2 中的

图3

函数曲线 f ( t) 和 g ( t ) 存在交 点, 而 这是显 然成 立

60 的. 所以结论成立. , , ,( 16 分)

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向 位移 h ( 单位: 毫米) 与时间 t ( 单位: 月) 之间近似 地满足函数关系: h ( t ) = Asin( 数表达式. 解 ( 1) 由 图象 可以 近 似地 把地 壳 垂向 位 移 P t+ U ) , 求这个 函 6

看作正弦 函数. 设大 气压 力负 荷、 土壤 水负 荷以 及 海底 压 力 负 荷 影 响 下 的 地 壳 垂 向 位 移 分 别 为
图1

h 1( t) , h 2( t) 和 h 3( t) , 于是 P P t, 6 2 P P h 2( t) = 2. 5sin t+ , 6 6 h 1( t) = 5sin h 3( t) = 1. 25sin P t. , , , , ,( 9 分) 6 P t+ U ), 有 6

3. ( 满分 16 分) 大气、 土壤水、 海洋等物质 在地 球表面随着时间的变化 而变化, 这些物 质对地壳 压 力负荷的变化会引起地 壳的形 变, 在垂 直方向尤 为 明显. 根据上 海某 观测站 的观 测结 果, 该地 的大 气 压力负荷、 土壤水负荷 以及海底 压力负 荷引起的 地 壳垂向位移变化分别如图 1、 2、 3 所示.

( 2) 对于 h ( t) = A sin( h ( t) = A sin(

=

P t+ U ) = h 1( t )+ h 2( t ) + h 3( t ) 6 P P P P 5sin t+ 2. 5sin t+ + 1. 25sin 6 2 6 6

P t, , , , , ,( 11 分) 6 当 t = 0 时, h ( 0) = h 1( 0) + h 2( 0) + h 3( 0) = 图1

5 + 1. 25 + 0 = - 3. 75, 当 t = 3 时, h( 3) = h 1( 3) + h2( 3) + h3 ( 3) = 0 + 2. 5+ 1. 25 = 5( 1 + 3) , 4 5( 1 + 3) P + U ) = 4 2 15 4 ,

A sin U = - 3. 75 所以有 A sin(
图2

A sin U = 即

, , , , , ,( 13 分) 5( 1 + 3) A cos U = 4 3 于是 tg U = U- 1. 098. 1+ 3 1 因为 1 + tg2 U = sec2 U, 所 以 cos U = = sec U
图3

1 1 + tg U
2

( 1) 根据图像分别求出上述三 种因素影响 下的 上海观测站垂 向位 移 h( 单 位: 毫 米) 与 时 间 t( 单 位: 月) 的近似的三角函数表达式. ( 2) 上述三种因素共同影响下 的上海观测 站垂

U 0. 6734. 得 A =

5( 1 + 3) U 5. 071. 4cos U

所以 h U 5. 071s in( =-

P t+ U ) , 其 中 U 由 tg U 6

3 确定. , , , , , , , ,( 16 分) 1+ 3

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数学通报 由已知 f =

61 k 和 l 1 = 60 cm, 得 k = f 1 # l 1 = l

( 可以算出 U= 0. 2943P ). 4. ( 满分 18 分) 如图, 钢琴 上一个 八度中 有 12 个琴键, 分别可以弹奏 出 12 个 半音. 12 个半音的 频 率值如下表:

261. 6 @ 60 = 15696 l2 = k 15696 k 15696 = = 56. 6, l 3 = = = f2 277. 2 f3 293. 7

53. 4, , ,, 依此 可 以 得 到: l 1 = 60cm, l2 = 56. 6cm, l 3 = 53. 4cm , l 4 = 50. 5cm, l5 = 47. 6cm, l6 = 44. 9cm, l 7 = 42. 4cm, l8 = 40. 0cm, l9 = 37. 8cm , l 10 = 35. 7cm, l11 半音 音名 简谱 标记 唱名 频率 ( Hz) 半音 音名 简谱 标记 唱名 频率 ( Hz) 1
#

2 C b D
b

3
#

4 D b E
b

5 E 3 Mi

6
#

7 F b G
# b

= 33. 7cm, l 12 = 31. 8cm. , , ,( 10 分) ( 2) 设 12 个 半 音 对 应的 频 率 值 是 a 1, a2 , ,, a 12 . 经计算发 现 a 1, a2 , ,, a12 近似 成等比数 列, 公 比 q U 1. 06. , , , , , , , , ,( 18 分) 5. ( 满分 18 分) 中国 日报网 站消息: 2004 年 12 月 26 日, 印度 尼西 亚苏 门答 腊岛 北部发 生强 烈 地 震, 地震引发海啸, 波及数个国家. 据路透社报道, A 国地质 勘探局 称本次 印尼 地

C 1 Do

D 2 Re

F 4 Fa

#

1 2

#

2 3

4 5

261. 6 277. 2 293. 7 311. 1 329. 6 349. 2 370. 0 8
#

9
b #

10 A 6 La

11
# b #

12 B 7 Si C1 i Do

震是近百年来最大的五次 地震之 一, 震级 达到了 里 氏 8. 9 级, 也是自 1964 年以来全球最大的一次地震; B 国地震监 测机 构称 他们 测得 这次 地震 的震 级 为 里氏 6. 8 级. 据 12 月 29 日英国泰晤士报报道, 爱丁堡的地震 学家马森说: / 如果比较过去 5 年全球地震所释放的 能量, 其威力仍比( 这次) 印尼大地震低0. 科学家以里 氏 ( Richter scale) 震级 来量 度地 震 的强度. 若设 I 为地震时所释放的能量, r 为里氏 震 级, 则它们满足关系: r = log30 I. ( 1) 根据上面提供的信息, 试估计: A 国地质勘 探局和 B 国地震监 测机 构测算 的这次 印度 洋大 地 震能量相差多少倍. ( 2) 地震是一种 很普 遍的 自然 现象, 地 球上 天

G 5 So

G A

A B

5 b 6

6 b 7

392. 0 415. 3 440. 0 466. 1 493. 9 523. 2

( 1) 各种乐器 的设 计原 理都 满足 12 个 半音 频 率的规律. 已知在同一个琴弦上, 频率 f 与 弦长 l 满 足f = k , 其中 k 是常数, 即频率与弦长成反比. 设 l

简谱标记/ 10 ( 唱名 Do ) 的弦长为 60cm, 试确定 12 个 半音的弦长( 精确到 0. 1cm) . ( 2) 表中 12 个半音频率值构成的数列是什么数 列? 解 ( 1) 设 12 个半音 的弦长 分别为 l1 , l 2, l3 ,

天都 有地 震 发生, 而 且多 到 一天 就 要发 生 一 万 多 次, 一年 约有 五百万 次. 大多 数地 震不 用灵 敏的 仪 器察觉不到, 只有 1% 的地震( 约五万次) 才是人 们 可以感觉出来 的, 其中 能造 成 破坏 的约 有一 千 次.

l 4, l5 , l 6, l 7, l8 , l 9, l10 , l 11, l12, 12 个半 音的 频 率分 别 为 f 1 , f 2, f 3, f 4 , f 5, f 6 , f 7, f 8, f 9 , f 10, f 11, f 2 1.

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如果我们接受 A 国对这次地震震 级的估计, 并 且将 马森讲的/ 威力0 理解为地震所释放的能量, 根 据表 1 的数据, 请你分析一下马森说法是否正确? 表 1: 地球上每年发生的各级地震的大致次数 地震震级 8. 0 - 8. 9 7. 0 - 7. 9 6. 0 - 6. 9 5. 0 - 5. 9 地震次数 [ 1 18 120 800

6. ( 满分 16 分) 在社 会调 查时, 有 些敏 感的 问 题人们往往不 愿意 如实 地回 答, 如/ 你考 试时 作 过 弊吗?0, / 你 在超 市偷 拿过 商品 吗?0 . 但是, 人 们 又 需要了解这种人在整个人 群中占 的百分比. 下面 介 绍一种调查方法. 这方法要求 被 调查 者在 两 个问 题中 随机 地 选 择一个回答( 只回答/ 是0 或/ 不是0) , 而不必告诉 别 人他回答 的是哪 一个 问题. 这 两个 问题 中, 一个 问 题是 要调 查 的敏 感 问题, 另 一个 是 无关 紧 要 的 问 题. 例如: 设第 一个问题是/ 你考试作 过弊吗?0. 第 二个问题是/ 你出 生的 月 份是 偶数 吗?0 . 我们 让 被 调查者在保密的情况下掷 一个均 匀的骰子, 其他 人 不知道掷骰子的结果, 要求: 当出现 1 点或 2 点 时, 回答第二个问题; 否则回答第一个问题. 由于其他人不知道他 回答的 是哪一个 问题, 因 此, 当他回答/ 是0 时, 你也无法知道 他是否作过 弊. 这种调查保护了他的隐私, 也可 以从调查 结果中 得 到需要的估计. 设想调查的对象是 1800 个学生, 其中有 346 人 回答/ 是0. 请 你 估计 考 试 作弊 的 学 生所 占 的 百 分 比. 解 掷一个均匀骰子, 掷出 1 点或 2 点的概率

地震震级 4. 0 - 4. 9 3. 0 - 3. 9 2. 0 - 2. 9 1. 0 - 1. 9 地震次数 6200 49000 100000 4850000

( 资料来源于 www. yq. gov. cn/ yqdzj/ kpxc/ dqsdz. htm )



( 1) 设 IA 、 I B 分别表示A 国地质勘探局和B

国地震监测机构对印度洋地震能量的估计值. IA 于是 8. 9 = log30 ( IA ) , 6. 8 = log30( I B ) , = IB 308. 9- 6. 8 = 302. 1 U 1264. 60. IA U 1264. 6I B , 这说明 A 国地质勘探局比 B 国 地震监测 机构 测算 的印 度洋 地震能 量高 出约 1264 倍. , , , , , , ,, , ,( 8 分) ( 2) 由 A 国对印度洋地 震地震 震级的 测算, 可 以得出, 这次地 震能量 相当于 I A U 308. 9 = 303. 4 @ 305. 5 U 105247. 61 @ 305. 5, 由表一提供的 数据, 我 们 可以对一年地震释放 的总能量 做一个 粗略的估 计, 假定前 几年没有发 生过 8 级以上的 地震, 对其 它的 震级范围, 我们取其平均值进行分析. I 一年总能量 U 18 @ 307. 5 + 120 @ 306. 5 + 800 @ 305. 5 + 6200 @ 304. 5 + 49000 @ 303. 5 + 100000 @ 30
2. 5

是三分之 一. 因此, 可以 认为 1800 个学生 中约有 三 分之一, 即 600 个学生, 回答的 是第二 个问 题; 从 而 有 1200 个学生回答了第一个问题. 另一方面, 可以认为 一个人 出生的月 份是偶 数 还是奇数的概率相同, 都是 6 . 因 此, 回答 第二个 问 12

+ 4850000 @ 30

1. 5

U 16200 @ 305. 5 + 3600 @ 305. 5 + 800 @ 305. 5 + 206. 67 @ 30 + 54. 44 @ 30 + 3. 70 @
5. 5 5. 5

305. 5 + 5. 99 @ 305. 5 = 20870. 80 @ 305. 5 I 五年总能量 U 104354. 00 @ 305. 5 可见, 印尼地震产生的能量 105247. 61 @ 305. 5 与 全球五年地震总能量 104354. 00 @ 305. 5 相差无几. 因 此, 马森的说法是正确的. , , , ,( 18 分)

题 的 600 个学生中估计有一半, 即 300 个学生回答的 / 是 0. 由 于有 346 人回答/ 是0, 而其中 300 个学生回答 的是第 二 个 问 题. 由 此 可 知: 对 第 一 个 问 题 回 答 / 是0 的学生有 46 个. 考试作弊学生占的百分比约是 46 = 3. 83% . , , , , , , , , ,( 16 分) 1200


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