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独立重复事件概率-理科

时间:2014-01-20


高二数学 选修2-3

2.2.3独立重复试验 与二项分布

复习引入
前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独 立事件的意义,这些都是我们在具体求概率时需要 考虑的一些模型,吻合模型用公式去求概率简便 . ⑴ P ( A ? B) ? P ( A) ? P ( B)(当 A与B 互斥时) ; P ( AB ) ⑵ P ( B

| A) ? P ( A) ⑶ P ( AB) ? P ( A) P ( B) (当 A与B 相互独立时) 那么求概率还有什么模型呢?

分析下面的试验,它们有什么共同特点? ⑴投掷一个骰子投掷 5 次; ⑵某人射击 1 次,击中目标的概率是 0.8, 他射击 10 次 ; ⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比 赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛); ⑷一个盒子中装有 5 个球( 3 个红球和 2 个 黑球) ,有放回地依次从中抽取 5 个球; ⑸生产一种零件,出现次品的概率是 0.04, 生产这种零件 4 件.

共同特点是: 多次重复地做同一个试验.

基本概念
1、 n 次独立重复试验 : n 次试验称 一般地,在相同条件下,重复做的 为 n 次独立重复试验 . 在 n 次独立重复试验中, 记 Ai 是“第 i 次试验的结果” 显然, P ( A1 A2 ? An ) = P ( A1 ) P ( A2 )? P ( An )
独立重复试验的特点: 1∵ )每次试验只有两种结果,要么发生,要么不发生; “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其 , 2他试验的影响 )任何一次试验中, A事件发生的概率相同,即相 ∴上面等式成立 . 互独立,互不影响试验的结果。

请判断以下是否是独立重复实验 (1)坛子中放有 3 个白球,2 个黑球,观察其颜

色后又放回坛子,接着再摸第二次,这种摸球方式
叫做有放回摸球。现在摸了两次球,两次均为白球。

(2)坛子中放有 3 个白球,2 个黑球,从中进行
不放回地摸球。现在摸了两次球,两次均为白球。

(3)口袋中装有5个白球、3个红球、2个黑球,
依次从中抽出5个球。

探究
投掷一枚图钉,设针尖向上的概率为p,则针尖 向下的概率为q=1-p.连续掷一枚图钉3次,仅出现1次 针尖向上的概率是多少?
连续掷一枚图钉3次,就是做3次独立重复试验。用 Ai (i ? 1, 2,3) 表示第i次掷得针尖向上的事件,用 B1 表示“仅出现一次针尖 向上”的事件,则 B ? ( A A A ) ? ( A A A ) ? ( A A A ).
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3

由于事件 A1 A2 A3 , A1 A2 A3和 A1 A2 A3 彼此互斥,由概率加法公式 得

P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q 2 p ? q 2 p ? q 2 p ? 3q 2 p

2 3 q p. 所以,连续掷一枚图钉3次,仅出现1次针尖向上的概率是

思考?
上面我们利用掷1次图钉,针尖向上的概率为p,求 出了连续掷3次图钉,仅出现次1针尖向上的概率。类 似地,连续掷3次图钉,出现 k (0 ? k ? 3) 次针尖向 上的概率是多少?你能发现其中的规律吗?
P( B0 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? q 3 ,
P( B1 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3q p,
2

P( B2 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? 3qp 2 ,
P( B3 ) ? P( A1 A2 A3 ) ? p 3 .
仔细观察上述等式,可以发现

P( Bk ) ? C p q
k 3 k

3? k

, k ? 0,1, 2,3.

基本概念
2、二项分布:

一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的 次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么 在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为

P( X ? k ) ? C p (1 ? p)
k n k

n ?k

, k ? 0,1, 2,..., n.

此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p), 并称p为成功概率。
注:
k k n? k Pn ( k ) ? cn p q 是( p ? q )n 展开式中的第 k ? 1 项.

基本概念

3、 二项分布
在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次 独立重复试验中这个事件恰发生x次,显然x是一个随机 变量. 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:
ξ 0
0 n 0 n 1 n

1
1 n ?1

?

k
C pq
k n k n? k

?

n
n n 0 Cn p q

p

C pq C pq

?

?
n? k

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作 其中n,p为参数,并记 C
k n

x ~ B(n, p,)

p (1 ? p)
k

? B( k; n, p)

运用n次独立重复试验模型解题

例1某射手每次射击击中目标的概率是0.8.
手在10次射击中。
(1)恰有8次击中目标的概率;

求这名射

(2)至少有8次击中目标的概率。
(结果保留两个有效数字)

例题
? 例1、在人寿保险事业中,很重视某一年龄段 的投保人的死亡率,假如每个投保人能活到 65岁的概率为0.6,试问3个投保人中:
(1)全部活到65岁的概率;(2)有2个活到65岁的概率; (3)有1个活到65岁的概率 (4)都活不到65岁的概率。 解、设A ?“1个投保人能活到65岁”,则 A ?“一个投保人活不到65岁“

P(A)=0.6,P(A)=1-0.6=0.4
3 3 0 (1)P ( 3 ) =C 0.6 0.4 ? 0.216 3 3
2 2 1 (2)P ( 2 ) =C 0.6 0.4 ? 0.432 3 3
1 1 2 (3)P ( 1 ) =C 0.6 0.4 ? 0.288 3 3

0 0 3 (4)P ( 0 ) =C 0.6 0.4 ? 0.064 3 3

运用n次独立重复试验模型解题

例3 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比
赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜

出并停止比赛).
⑴试求甲打完5局才能取胜的概率. ⑵按比赛规则甲获胜的概率.

解:甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为 1 1 ,乙获胜的概率为 . 2 2 ⑴甲打完 5 局才能取胜,相当于进行 5 次独立重复试验, 且甲第 5 局比赛取胜,前 4 局恰好 2 胜 2 负 ∴甲打完 5 局才能取胜 1 2 1 2 1 3 2 P ? C ? ( ) ? ( ) ? ? 的概率 1 . 4 2 2 2 16
(2) 记事件 A ? “甲打完 3 局才能取胜” , 记事件 B =“甲打完 4 局才能取胜” , 记事件 C =“甲打完 5 局才能取胜” . 事件 D =“按比赛规则甲获胜” ,则 D ? A ? B ? C , 又因为事件 A 、 B 、 C 彼此互斥, 故 P ( D) ? P ( A ? B ? C ) ? P ( A) ? P ( B) ? P (C ) 1 3 3 1 1 ? ? ? ? . 答: 按比赛规则甲获胜的概率为 . 8 16 16 2 2

例2、100件产品中有3件不合格品,每 次取一件,有放回地抽取三次,求取 得不合格品次数的分布列。
解:X可能取值为0,1,2,3.由于是有放回地每次取一件 ,连续取三次,所以相当于作3次独立重复试验,一次抽到 不合格品的概率p=0.03.
P( X ? 0) ? C30 0.030 (1 ? 0.03)3 ? 0.912673
1 P( X ? 1) ? C3 0.031 (1 ? 0.03) 2 ? 0.084681

P( X ? 2) ? C32 0.032 (1 ? 0.03)1 ? 0.002619
3 P( X ? 3) ? C3 0.033 (1 ? 0.03)0 ? 0.000027

X 0

1

2

3

P 0.912673 0.084681 0.002619 0.000027

练习、甲、乙两人各进行3次射击,甲每 次击中目标的概率为1/2,乙每次击中目 标的概率为2/3,求:

(1)甲恰好击中目标两次的概率;

(2)乙至少击中目标2次的概率;

(3)乙恰好比甲多击中目标2次的概率。

1 2 1 3 (1) P 解: 1 ?C ( ) ( )? 2 2 8 20 2 2 2 1 3 2 3 (2) P2 ? C3 ( ) ? C3 ( ) ? 3 3 3 27
2 3
2 3

2 21 0 1 3 1 1 1 3 2 3 1 1 3 (3) P3 ? C ( ) C3 ( ) ? C3 ( ) C3 ( ) ? ? ? 3 3 2 3 2 18 9 6

小结
1、Pn (k ) ? C p (1 ? p)
k n k n?k

(k ? 0,1, 2,?, n)

2、X ? B(n, p)
X 0 1 … k …
n n

n

P C 0 p 0 q n C1 p1q n ?1 … C k p k q n ?k … n n n

C p q

n

0


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