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广西来宾高级中学2016届高三数学适应性考试试题 文


来宾高级中学 2016 届高三数学高考前适应性考试 (文科)数学试卷
第Ⅰ卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1..若集合 A ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0} , B ? {?2, 0,1}, 则 A ? B 等于( A. ?2? B. {0,1} C. {?1, 0} D. {?1, 0,1} ) D.
2

?1 2



2.若复数 z 满足 z ?1 ? i ? ? 1 ? i ? i ,则 z 的实部为( A.
2 ?1 2

B.

2 ?1

C. 1

3.下列函数中,既是奇函数又在区间 (0, A. y ? x
3

?
2

) 上是减函数的是(



B. y ? ? sin x

C. y ? 2 x ? 1 )

D. y ? cos x

4.以下四个命题中,真命题的是( A. ?x ? (0,? ) ,使 sin x ? tan x

B. “对任意的 x ? R , x2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“存在 x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ” C . ?? ? R ,函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 都不是偶函数 D. ?ABC 中, “ sin A ? sin B ? cos A ? cos B ”是“ C ?

?
2

”的充要条件 )

5.若点 P ?cos ? , sin ? ? 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? 的值等于(
3 4 3 4 B. C. ? D. 5 5 5 5 6.执行如图所示的程序框图,输出的结果 S 的值是( )

A. ?

A.2

B. ?

1 2

C.-3

D.

1 3

7.若向量 a , b 满足 | a |?| b |? 2 , a与b 的夹角为 60?, a 在 a +b 上的 投影等于 ( )
主视图 左视图

A. 2 B.2 C. 3 D.4+2 3 8.如图所示,网格纸表示边长为 1 的正方形,粗实线画出的是 某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( ) A. 6 10 + 3 5 +15 B . 6 10 +3 5 +14 C. 6 10 + 3 5 +15

俯视图

D. 4 10 + 3 5 +15 )

9.已知函 数 f ( x) ? sin x ? 2 x ,且 a ? f (ln 3 ), b ? f (log 2 1 ), c ? f ( 2 0.3 ) ,则( 2 3 A. c ? a ? b B. a ? c ? b C. a ? b ? c D. b ? a ? c

-1-

10.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,则把函数 f ( x ) 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 2 倍,再向右 平移

? ,得到函数 g ( x) 的图象,则函数 g ( x) 的一条对称轴方程为( ) 3 11? ? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? D. x ? 6 3 4 6

11.设点

A 、 F ? c,0? 分别是双曲线

a2 x2 y 2 x ? 的右顶点、右焦点 , 直线 交该双曲线 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) c a 2 b2


的一条渐近线于点 P .若 ?PAF 是等腰三角形,则此双曲线的离心率为( A. 3 B. 3 C.
2

D. 2

12.定义在 R 上的函数

f ? x ? 对任意 x1, x2 ? x1 ? x2 ? 都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 ,且函数 y ? f ? x ? 1? 的图
x1 ? x2

象关于(1,0)成中心对称,若 s , t 满足不等式 f s 2 ? 2s ? ? f 2t ? t 2 ,则当 1 ? s ? 4 时, 的取值范围是( ) A. ? ?3, ?

?

?

?

?

t ? 2s s?t

? ?

1? ? 2?

B. ? ?3, ?

? ?

1? 2? ?

C. ? ?5, ?

? ?

1? ? 2?

1? ? D. ?5, ? ? 2? ? ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分,把答案 填在答题卡的横线上。 13.已知向量 m ? (t ? 1,1), n ? (t ? 2, 2), 若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 t ? ________.
? x ? y ?1 ? 0 ? 14.已知实数 x , y 满足 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为_______. ? x?0 ? ? y?0 ?

15.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,若 c ? cos B ? a ? b , ?ABC 的面积 S ? 则边 c 的最小值为_______.

1 2

3 c, 12

16 .已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? m ,其前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ,若对 ?n ? N ? ,

an ? an?1 恒成立,则 m 的取值范围是_______.
三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 n ? N * ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn?1 ? Sn ? an ? 2 , a1 , a2 , a5 成等 比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列

?bn ? 满足 b

n

an

? ( 2)1? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

-2-

18. (本小题满分 12 分).某市组织高一全体学生参加计算机操作比赛,等级分为 1 至 10 分,随机调阅了 A、B 两所学校各 60 名学生的成绩,得到样本数据如下:

(1)计算两校样本数据的均值和方差,并根据所得数据进行比较. (2)从 A 校样本数据成绩分别为 7 分、8 分和 9 分的学生中按分层抽样方法抽取 6 人,若从抽取的 6 人中 任选 2 人参加更高一级的比赛,求这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率.

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形,

?BAD ? 60? , AB ? PD ? 2 , O 为 AC 与 BD 的交点,
E 为棱 PB 上一点.
(1)证明:平面 EAC ⊥平面 PBD ; (2)若 E 是 PB 中点,求点 B 平面 EDC 的距离.

P

E

D O B

C

A

20. (本小题满分 12 分)以椭圆 C : 积等于 2 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 6 ,以其四个顶点为顶点的四边形的面 a 2 b2 3

(2)过原点且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆 C 交于 P, Q 两点, A 是椭圆 C 的右顶点,直线 AP、AQ 分别 与 y 轴交于点 M、N ,问:以 MN 为直径的圆是否恒过 x 轴上的定点?若恒过 x 轴上的定点,请求出该定 点的坐标;若不恒过 x 轴上的定点,请说明理由.

-3-

21. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)当 a ? 3 时,求 f ( x ) 的单调区间;

1 ? a ln x(a ? R) . x

(Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2a ln x ,且 g ( x) 有两个极值点,其中 x1 ? [0,1] ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值.

四、选做题(本大题共 10 分)请考生在第(22) 、 (23) (24)三题中任选一题 作答,如果多做,则按所做 的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分) 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点, 弦 CD // AP , AD, BC 相交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: ?EDF ? ?P ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

23. (本小题满分 10 分)已知曲线 C 的 极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴 为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值.

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) . ? y ? t sin ?

24. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 . (I)若 ?x0 ? R ,使得不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求实数 m 的最小值 M ; (Ⅱ)在(I)的条件下,若正数 a , b 满足 3a ? b ? M ,证明:

3 1 ? ? 3. b a

-4-

来宾高级中学 2016 届高三数学高考前适应性考试 ( 文科)参考答案 一、 选择题(每题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 D 5 A 6 A 7 C 8 C 9 D 10 B 11 D 12 D
2 ?1 ? 2 2 ? 1 ,所以 z 的实 i 2

2、 【解析】由 z 部为 4

?1? i? ? 1? i ? i =

2 ? i ,得 z ?

2 ? i ( 2 ? i)(1 ? i) = ? 1? i (1 ? i)(1 ? i)

2 ? 1 ,故选 A. 2

5、 【答案】 A 【解析】∵点 P(cos 在直线 y ? ?2 x 上,∴ sin ? ? ?2cos? ,∴ tan? ? , sin ? )

? ? 2,

2 tan ? 4 4 2sin ? cos ? ?? ?? ? 2 2 2 tan ? ? 1 4 ?1 5 sin ? ? cos ? 1? 2 1? 3 1 6、 【答案】A 由程序框图知: s ? 2, i ? 1; s ? ? ?3, i ? 2 ; s ? ? ? ,i ? 3; 1? 2 1? 3 2

sin 2? ?

1 1 1? 1 ? (? ) 1 ; 3 ? 2, i ? 5 ??,可知 S 出现周期为 4, 2 s? ? ,i ? 4 s ? 1 1 3 1 ? (? ) 1? ) 2 3

当 i ? 2017 ? 4 ? 504 ? 1 时,结束循环输出 S,即输出的 s ? 2 .
2 7、 【答案】 :C【解析】 : a 在 a +b 上的投 影为 a ? (a ? b) ? a ? a ? b ? 2

4?2 a ? 2a ? b ? b
2 2

|a?b|

(a ? b )

?

6 2 3

?

3.

8、

9、 【答案】D【解析】? f ?( x) ? cos x ? 2 ? 0 在 R 上恒成立 ,即 f ( x) ? sin x ? 2 x 是 R 上的减函数,而

0 ? ln

3 1 ? 1, log 2 ? 0, 20.3 ? 1 ,故 b ? a ? c ,故选 D . 2 3

10、 【答案】B【解析】 f ( x) ? sin x ? cos x ?

? ? 2 sin( x ? ) ,横坐标扩大到原来的 2 倍,再向右平移 , 3 4
-5-

1 ? ? 1 5? 2 sin[ ( x ? ) ? ] ? 2 sin( x ? ) ,所以函数 g ( x) 的对称轴的方 2 3 4 2 12 1 5? ? 11? 11? ? k? ? , x ? 2k? ? , k ? Z .当 k ? 0 时,对称轴的方程为 x ? 程为 x ? . 2 12 2 6 6
得到函数 g ( x) 的图象, g ( x) ? 11、 【答案】D【解析】显然

PF ? PA , PF ? AF ,所以由 ?PAF 是等腰三角形得 PA ? AF .易知

A

(a , 0) , P

(

a 2 ab a2 ab , ) ,所以 ( ? a) 2 ? ( ) 2 ? ( c ? a) 2 , c c c c

1 1 e ?1 a a a a c?a ? 1. ? ( ) 2 ( a ? c) 2 ? ( ) 2 (c 2 ? a 2 ) ? (c ? a) 2 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? ?1? 2 ? 2 ? e e e ?1 c c c c c?a 解得 e ? 2 .故选 D.
12、 【答案】D【解析】不妨设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 .由

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) 为减函数.因为函数 y ? f ( x ?1) 的图象关于 (1, 0) 成中心对称,所以
2 2 y ? f ( x) 为 奇 函 数 , 所 以 f ( s ? 2 s) ? ? f ( 2t ? t )? 2

2 2 f ( t?,2所 t ) 以 s ? 2s ? t ? 2t , 即

(s ? t ) (s ? t? 2 ) ?. 因 0 为 t ? 2 s ? 1 ? 3s ? 1 ?
s?t s?t

s ? t ? 2) ? 0 3 , 而 在 条 件 ?( s ? t ) ( 下,易 求得 ? 1? s ? 4 t ? 1? s

t ? 2s 1 t 1 t 1 所以 1 ? ? [ , 2] ,所以 3 ? [ 3 , 6] ,所以 1 ? 3 ? [ ?5, ? 1 ] ,即 ? [?5, ? ] ,故 ? [? , 1] s 2 s ?t 2 s 2 t t 2 2 1? 1?
s
s

选 D. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. 【答案】 ?3 【解析】 m ? n ? (2t ? 3,3), m ? n ? (?1, ?1), ? (m ? n) ? (m ? n),??(2t ? 3) ? 3 ? 0, 解得 t ? ?3

3 z 14. 【解析】将 z ? 3x ? 2 y 变形为 y ? ? x ? , 2 2 3 z 当目标函数 y ? ? x ? 过点 A 时,取最大值, 2 2

y x-y+1=0 A 3x-y-3=0 x

O

? x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 2, 即 A(2,3) , ?? ? ?3x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 3,
代入可得 zmax ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 12. 15. 【解析】由正弦定理得 sin C ? cos B ? sin A ?

1 1 sin B ? sin( B ? C ) ? sin B ,所以 2 2

1 3 2p 1 1 sin B cos C ? sin B ? 0 , cos C = - ,故 C = ,又 S = ab sin C = c ,所以 c = 3ab ,由余弦 3 2 2 2 12
定理得 c2 = 9a 2b2 = a 2 + b2 + ab ? 3ab ,所以 ab ?

1 ,所以 c ? 1 . 3
-6-

16.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.解: 【答案】 (1) an 【解析】(1)由

? 2n ?1 ; (2) T

n

? (2n ? 3)2n ?1 ? 6 .

Sn?1 ? Sn ? an ? 2 得: an?1 ? an ? 2(n ? N * ) ,

∴数列 ?an ? 是以 a1 为首项,2 为公差的等差数列,由 a1 , a2 , a5 成等比数列得 (a1 ? 2) ? = a1 ( a1 +8),解得
a1 =1,∴ an

? 2n ?1(n ? N * ) .
? (2n ?1) ? ( 2)2n ? (2n ?1)2n ,∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ... ? bn?1 ? bn ,

(2)由(1)可得 bn 即 Tn

? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ?1) ? 2n ①, 2Tn ? 1? 22 ? 3 ? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ②,

①-②可得

?Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ... ? 2n ) ? (2n ?1)2n?1, ∴ T ? (2n ? 3)2n?1 ? 6 . n

2 2 18.解: 【答案】 (1) xA ? xB ? 1.5, S A ? 1.5, SB ? 1.8; (2) P(C ) ? 0.02 .

【解析】 : (1)从 A 校样本数据的条形图可知:成绩分别为 4 分、5 分、6 分、7 分、8 分、9 分的学生分 别有:6 人、15 人、21 人、12 人、3 人、3 人. A 校样本的平均成绩为 x A ?

4 ? 6 ? 5 ?15 ? 6 ? 21 ? 7 ?12 ? 8 ? 3 ? 9 ? 3 ? 6 (分) , 60

A 校样本的方差为 S A ?
2

1 ? 6 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? ? 1.5 . 60

从 B 校样本数据统计表可知: B 校样本的平均成绩为 xB ?

4 ? 9 ? 5 ? 12 ? 6 ? 21 ? 7 ? 9 ? 8 ? 6 ? 9 ? 3 ? 6 (分) , 60

B 校样本的方差为 S B ?
2

1 ? 9 ? (4 ? 6) 2 ? ? ? 3 ? (9 ? 6) 2 ? ? ? ? 1.8 . 60

2 2 因为 xA ? xB , 所以两校学生的计算机成绩平均分相同,又因为 S A ,所以 A 校的学生的计算机成绩比 ? SB

较 稳定,总体得分情况比 B 校好. (2) 依题意,A 校成绩为 7 分的学生应抽取的人数为: 设为 a, b, c, d ; 成绩为 8 分的学生应抽取的人数为: 成绩为 9 分的学生应抽取的人数为:

6 ? 12 ? 4 人, 12 ? 3 ? 3

6 ? 3 ? 1 人,设为 e ; 12 ? 3 ? 3

6 ? 3 ? 1 人,设为 12 ? 3 ? 3

f ;

所以,所有基本事件有: ab, ac, ad , ae, af , bc, bd , be, bf , cd , ce, cf , de, df , ef 共 15 个,
-7-

其中,满足条件的基本事件有: ae, af , be, bf , ce, cf , de, df , ef 共 9 个, 所以从抽取的 6 人中任选 2 人参加更高一级的比赛, 这 2 人成绩之和大于或等于 15 的概率为 P ? 9 ? 3 .
15 5

19. 解: 【答案】 (1)证明见解析; (2)

2 21 7

【解析】证明:(1)?PD ? 平面 ABCD , AC ? 平面 ABCD ,? AC ? PD . ? 四边形 ABCD 是菱形, ? AC ? BD ,又? PD ? BD ? D , AC ? 平面 PBD . 而 AC ? 平面 EAC ,? 平面 EAC ⊥平面 PBD . (2)? E 是 PB 中点,连结 EO ,则 EO // PD , EO ? 平面 ABCD ,且 EO ? 1 .

1 14 7 ?OD ? 1, OC ? 3,? DE ? 2, EC ? 2, ? S ?CDE ? ? 2 ? ? . 2 2 2
1 1 1 ?VB ? EDC ? VE ? BDC ? VP ? BDC ? ? ? S△BDC ? PD ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 , 2 2 3 6 2 3
设点 B 平面 EDC 的距离为 d ,

1 3 3 2 2 21 ?VB? EDC ? ? S?CDE ? d ? ,? d ? ? 3? ? . 3 3 S?CDE 7 7

x2 ? y 2 ? 1; 20.解: 【答案】 (1) (2)以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 3
【解析】 (1)依题意,得

c 6 ? , ab ? 3, 又a 2 ? b2 ? c 2 , a 3

?a ? 3, 解得 ? 故椭圆 C 的标准方程为 ? b ? 1, ? ?

x2 ? y2 ? 1. 3

x02 ? y02 ? 1 (1) (2) A( 3,0) ,设 M (0, m) , N (0, n) , P( x0 , y0 ) ,则由题意,可得 , 3 ???? ? ??? ? 且 Q(? x0 , ? y0 ) , AP ? ( x0 ? 3, y0 ) , AM ? (? 3, m) .
因为 A, P, M 三点共线,所以 AP ?

??? ? ???? ? AM ,故有 ( x0 ? 3)m ? ? 3y0 ,解得 m ? ? 3 y0
???? ? ??? ?
???? ? ??? ?

x0 ? 3

;同理,可得

n?

? 3 y0 x0 ? 3

.假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,即 RM ? RN ? 0 .因为

???? ? ???? 2 RM ? (?t, m) ,RN ? (?t , n) ,所以 t 2 ? mn ? 0 ,即 t 2 ? ? 3 y0 ? ? 3 y0 ? 0 ,整理得 t 2 ? ? 32y0
x0 ? 3 x0 ? 3

x0 ? 3



-8-

又由(1) ,得 3 y0 方法二: (1)同方法一;

2

? 3 ? x02 ,所以 t 2 ? 1 ,解得 t ? 1或 t ? ?1.

故以 MN 为直径的圆恒过 x 轴上的定

点 (?1, 0) , (1, 0) .

(2)①当直线 l 的斜率不存在时,有 P(0,1) , Q(0, ?1) , M (0,1) , N (0, ?1) ,此时以 MN 为直径的圆经 过 x 轴上的点 (?1, 0) 和 (1, 0) ; ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,

? x2 2 3 3k 3 3k ? ? y ? 1, ,解得 P( , ) , Q(? 联立方程组 ? 3 ,? ). 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1 ? y ? kx, ?
设 M (0, m) , N (0, n) 又直线 AP 的斜率 k1 ?

k 1 ? 3k 2 ? 1

,直线 AM 的斜率 k2

??
3k

m , 3


因为 A, P, M 三点共线,所以 k1 ? k2 ,解得得 m ?

3k ? 1 ? 1
2

同理,可得 n ? ?

3k 3k 2 ? 1 ? 1

, 假设存在满足题意的 x 轴上的定点 R(t , 0) ,则有 RM ? RN ,

直线 RM 的斜率 k3 ? ?

m n ,直线 RN 的斜率 k 4 ? ? , t t

所以 k3k4 ? ?1 ,故有 t 2 ? ?mn ,即 t 2 ? 整理,得 t 2 ? 1 ,解得 t ? 1或 t ? ?1,

3k 3k ? 1 ? 1
2

?

3k 3k ? 1 ? 1
2



综合①②,可知以 MN 为直 径的圆恒过 x 轴上的定点 (?1, 0) , (1, 0) . 21.解: 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域 (0,??) , 当 a ? 3 时, f ( x) ? 2 x ? 令 f ( x) ? 0 得, 0 ? x ?
'

1 3 2 x 2 ? 3x ? 1 1 ? 3ln x , f ' ( x) ? 2 ? 2 ? ? x x x x2

1 1 ' 或 x ? 1 ;令 f ( x) ? 0 得, ? x ? 1 , 2 2 1 1 故 f ( x ) 的递增区间是 (0, ) 和 (1, ??) ; f ( x ) 的递减区间是 ( ,1) . 2 2 1 (Ⅱ)由已知得 g ( x) ? x ? ? a ln x ,定义域为 (0,??) , x

g ?( x) ? 1 ?

1 a x 2 ? ax ? 1 ,令 g ?( x) ? 0 得 x 2 ? ax ? 1 ? 0 ,其两根为 x1 , x2 , ? ? 2 2 x x x
-9-

?a 2 ? 4 ? 0 ? 且 ? x1 ? x2 ? ? a ? 0 , ?x ? x ? 1 ? 0 ? 1 2

22.解: 【解析】 (Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ????????2 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?EDF ? ?P ,又 ?DEF ? ?PEA ,∴ ?EDF ∽ ?EPA ,

EA EP ? ,∴ EA ? ED ? EF ? EP ,又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . EF ED 9 27 ∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ,∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ,∴ BE ? 3 ,解得 EP ? .∴ 4 2 15 BP ? EP ? EB ? .∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4

2 ∴ PA ?

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? . 4 4 2 4
2

23.解: 【 答案】 (1) ? x ? 2? ? y2 ? 4 ; (2) ? ? 【解析】 (1)由 ? ? 4cos ? 得 ? ? 4? cos? . 2 ∵ x ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,
2

?
4



3? . 4

∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 即 ? x ? 2? ? y2 ? 4 .
2

(2)将 ?

? x ? 1 ? t cos ? , 2 2 代入圆的方程得 ? t cos ? ? 1? ? ? t sin ? ? ? 4 , ? y ? t sin ?
?t ? t2 ? 2cos ? , ?t1t2 ? ?3.
- 10 -

化简得 t 2 ? 2t cos ? ? 3 ? 0 . 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? 1



AB ? t1 ? t2 ?

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4cos2 ? ? 12 ? 14 .

∴ 4cos 2 ? ? 2 , cos ? ? ?

2 ? 3? ,? ? 或 . 2 4 4

24.解: 【解析】 (Ⅰ)由题意,不等式 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? m 有解, 又因为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? 2x ? 1( - 2x ? 3) ? 4 ,由题意只需 m ? ( 2x ?1 ? 2x ? 3 )min ? 4 ,所以实数 m 的 最小值 M = 4 .(Ⅱ)由(Ⅰ)得 3a ? b ? 4 所以

? 9a b 3 1 1 b ? 1 ? 9a b ? 3 1 ? 1 ? 9a ,当且仅当 ? 即 2 ? ? 6 ? 3 ? ? ? ? 3a ? b ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? ? b a b a b a 4 a? 4? ?b a? 4 ? b ? ?

3a ? b ? 2 时等号成立

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