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全国高中数学联合竞赛试题及解答加试


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1999 年全国高中数学联合竞赛试题及解答 加试 一、(满分 50 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC 平分∠ BAD 。在 CD 上 取一点 E , BE 与 AC 相交于 F ,延长 DF 交 BC 于 G 。 求证:∠ GAC =∠ EAC . 解 析 : 连 结 BD 交 AC 于

H. 对 △ BCD 用 塞 瓦 定 理 , 可得 因 为 AH 是 ∠ BAD 的 平 分 线 , 角 平 分 线 定 理 , 由 可得 故 . .

过 点 C 作 AB 的 平 行 线 AG 的 延 长 线 于 I, 过 点 C 作 AD 的 平 行 线 交 AE 的 延 长 线 于 J. 则 . 所以, 从 而 , CI=CJ. 又 因 为 CI∥ AB, CJ∥ AD, 故 ∠ACI=π -∠ ABC=π -∠ DAC=∠ ACJ. 因 此 , △ACI≌ △ ACJ. 从 而 , ∠IAC=∠ JAC, 即 ∠ GAC=∠ EAC. , z , z 满足:

二、(满分 50 分)给定实数 a , b , c ,已知复数 z

1

2

3

z1 z 2 z 3 ? ? ? 1 ,求| az 1 + bz 2 + cz 3 |的值。 z 2 z 3 z1
解析:记 可设

e



=cosθ +isinθ . ,则

, 由题设,有

z1 ? e i (? ?? ) . z3

e



+e



+e

-i(θ +φ )

=1 .φ

两边取虚部,有 0=sinθ +sinφ -sin(θ +φ )

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故 θ =2kπ 或 φ =2kπ 或 θ +φ =2kπ , k∈ Z. 因 而 , z1=z2 或 z2=z3 或 z3=z1. 如 果 z1=z2, 代 入 原 式 即 故 . 这 时 , |az1+bz2+cz3|=|z1||a+b±ci| = . ; .

类 似 地 , 如 果 z2=z3,则 |az1+bz2+cz3|= 如 果 z3=z1,则 |az1+bz2+cz3|= 所 以 , |az1+bz2+cz3|的 值 为 . . 或



三、(满分 50 分)给定正整数 n ,已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天 平可以称出质量为 1,2,3,…, n 克的所有物品。 (1)求 k 的最小值 f ( n ); (2)当且仅当 n 取什么值时,上述 f ( n )块砝码的组成方式是唯一确定的? 并证明你的结论。 解 析 : (1)设 这 k 块 砝 码 的 质 量 数 分 别 为 a1,a2,… ,ak, 且 1≤ a1 ≤ a2≤ … ≤ ak, ai∈ Z, 1≤ i≤ k. 因 为 天 平 两 端 都 可 以 放 砝 码 , 故可称质量为 xiai,xi∈ { -1, 0, 1} . 若 利 用 这 k 块 砝 码 可

以 称 出 质 量 为 1, 2, 3, … ,n 的 物 品 , 则 上 述 表 示 式 中 含 有 1, 2, … , n, 由 对 称 性 易 知 也 含 有 0, -1, -2, … , -n, 即 { xiai|xi∈ { -1, 0, 1} } { 0,±1, … , ±n} .

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所 以 , 2 n + 1 = |{ 0 , ± 1 , … , ± n } | ≤ | { 0, 1} } |≤ 3k, 即 n≤

xiai|xi∈ { -1,

设 <n≤ (m≥ 1,m∈ Z), 则 k≥ m. 且 k=m 时 , 可 取 a1=1,a2=3,… ,am=3m-1 . 由 数 的 三 进 制 表 示 可 知 ,对 任 意 0≤ p≤ 3m-1,都 有 p= 中 yi∈ { 0, 1, 2} . 则 p= yi3i-1- 3i-1= (yi-1)3i-1 . 令 xi=yi-1, 则 xi∈ { -1, 0, 1} . 的 整 数 l, 都 有 l= xi3
i-1

yi3i-1,其

故对一切≤ l≤ xi∈ { -1, 0, 1} .

,其 中

由 于 n≤ , 因 此 , 对 一 切 -n≤ l≤ n 的 整 数 l, 也 有 上 述 表示. 综上,可知 k 的最小值 f(n)=m·( <n≤ ) .

(2)Ⅰ .当 <n<3 时 , 由 (1)可 知 1, 3, … , 3m-1, 3m 就 是 一 种 砝 码 的 组 成 方 式 . 下 面 我 们 证 明 1, 3, … , 3m-1,3m-1 也是一种方式 若 1≤ l≤ 则 若 则 ,由 ( 1 ) 可 知

l=

x i 3 i - 1 ,x i ∈{ - 1 ,0 ,1 }.

l=

xi3i-1+0·(3m-1); <l≤ n<3 . ,

<l+1≤ 由 (1)可 知

l+1=

, 其 中 xi∈ { -1, 0, 1} . 3i-1-1= -1,矛 盾 )则

易 知 xm+1=1. (否 则 l≤

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l=

·(3m-1). 所 以 , 当 n≠ 时 , f(n)块 砝 码 的 组 成 方 式 不 惟 一 .

Ⅱ . 下 面 我 们 证 明 :当 n = 时 ,f ( n ) = m 块 砝 码 的 组 成 方 式 i-1 是 惟 一 的 , 即 ai=3 (1≤ i≤ m). 若对每个≤ l≤ ,都 有 l= x i a i ,x i ∈{ - 1 ,0 ,1 }. }.

即 { xiai|xi∈ { -1, 0, 1} } { 0,±1, … , ± 注 意 左 边 集 合 中 至 多 有 3m 个 元 素 . 故 必 有 { x i a i | x i ∈ { - 1 , 0 , 1 } } ={ 0 , ± 1 , … , ± ≤ l≤ ,都 可 以 惟 一 地 表 示 为

}.

从 而 , 对 每 个 l, -

l=
因而, ai= .则

xiai, 其 中 xi∈ { -1,0,1} .

(xi+1)ai= xiai+ ai= xiai+ . 令 yi=xi+1,则 yi∈ { 0, 1, 2} . 由 上 可 知 , 对 每 个 0≤ l≤ 3m-1, 都 可 以 惟 一 地 表 示 为 yiai, 其 中 yi∈ { 0, 1, 2} . 特 别 地 , 易 知 1≤ a1<a2<… <am. 下 面 用 归 纳 法 证 明 ai=3i-1 ? (1≤ i≤ m). 当 i=1 时 , 易 知 yiai 中 最 小 的 正 整 数 是 a1,故 a1=1. 假 设 当 1≤ i≤ p 时 , ai=3i-1 . 由于 yiai= yi3i-1, yi∈ { 0, 1, 2} 就 是 数 的 三 进 制 表 示 ,

l=

易 知 它 们 正 好 是 0 ,1 ,2 ,… , 3 p - 1 ,故 a p + 1 应 是 除 上 述 表 示 外{ yiai|yi∈ { 0,1,2} } 中 最 小 的 数 , 因 此 , ap+1=3p. 由 归 纳 法 可 知 , ai=3i-1(1≤ i≤ m).

综 合 Ⅰ , Ⅱ 可 知 , 当 且 仅 当 n= 方式是惟一确定的.

时 , 上 述 f(n)块 砝 码 的 组 成


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