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【解析】陕西省西工大附中2014届高三上学期第一次适应性训练数学(理)试题


【解析】陕西省西工大附中 2014 届高三上学期第一次适应性训练数 学(理)试题
第Ⅰ卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 1+ 3i A. ?8

?

?

3

?


B. 8

) C. ?8i D. 8i

2.若向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a ? (a ? b) ,则 a 与 b 的夹角为( A.



? 2

B.

2? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

? 1 ? 3. ? ) ? 2 x 2 ? 的展开式中常数项是( ? x ? A.5 B. ?5 C.10 D. ?10
【答案】D 【解析】

5

1 ? 1 ? 2 1 2 试题分析:常数项为: C ? ? ? ? ?2 x ? ? 5 ? x 2 ? ? ?2 x ? ? ?10 . ? x?
1 5

4

考点:二项式定理

4.把函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度, 所得图象恰与函数 y ? e x 的反函数图像重合, 则 f(x)=( A. ln x ? 1 ) B. ln x ? 1 C. ln( x ? 1) D. ln( x ? 1)

5.已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

9 ,底面是边长为 3 的正三角形,若 4
)

P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为( A.

5? 12

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

【答案】B 【解析】 试题分析: 设点 P 在平面 ABC 内的投影是点 O ,连接 PA ,OA ,?OAP 即是所求, 如图:

底面积为

1 3 3 9 3 3 ? 3 ? 3 ? sin 60? ? ,所以三棱柱的高是 ? ? 3 ,则 PO ? 3 , 2 4 4 4

点 O 是 ABC 的中心,分 ABC 的高为 2 :1 ,所以 AO ?

tan ?OAP ?

PO ? ? 3 ,故 ?OAP ? . AO 3

2 ? 3 ? sin 60? ? 1 ,则 3

考点:1.三棱柱的体积;2.直线与平面所成的角

6.已知抛物线 y 2 ? 8x 的焦点与双曲线 为( A. ) B.

x2 ? y 2 ? 1 的一个焦点重合,则该双曲线的离心率 a2
D. 3

2 5 5

4 15 15

C.

2 3 3

7.在 1, 2,3, 4,5 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有 ( ) A.36 个 B.24 个 C.18 个 D.6 个

8.已知等差数列 ?an ? 中, Sn 为其前 n 项和,若 a1 ? ?3 , S5 ? S10 ,则当 Sn 取到最小值时 n 的值为( ) A.5 B.7 C.8 D.7 或 8

9.定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 s 值, 则 ? 2cos

? ?

5? ? ? 5? ? ? ? ? 2 tan ? 的值 3 ? ? 4 ?

为(



A.4

B.3

C.2

D.―1

10.下图是两组各 7 名同学体重(单位: kg )数据的茎叶图.设 1 , 2 两组数据的平均数依 次为 x1 和 x2 ,标准差依次为 s1 和 s 2 ,那么( (注:标准差 s ?
1 [( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? n


, xn 的平均数)

? ( xn ? x ) 2 ] ,其中 x 为 x1 , x2 ,

A. x1 ? x2 , s1 ? s2 C. x1 ? x2 , s1 ? s2 【答案】C 【解析】 试题分析: x1 ?

B. x1 ? x2 , s1 ? s2 D. x1 ? x2 , s1 ? s2

53 ? 56 ? 57 ? 58 ? 61 ? 70 ? 72 ? 61 , 7 54 ? 56 ? 58 ? 60 ? 61 ? 72 ? 73 x2 ? ? 62 , 7

s1 ?


1? 2 2 2 2 2 2 2 ? 6.72 ? 53 ? 61? ? ? 56 ? 61? ? ? 57 ? 61? ? ?58 ? 61? ? ? 61 ? 61? ? ? 70 ? 61? ? ? 72 ? 61? ? ? ? 7

s2 ?

1? 2 2 2 2 2 2 2 54 ? 62 ? ? ? 56 ? 62 ? ? ? 58 ? 62 ? ? ? 60 ? 62 ? ? ? 61 ? 62 ? ? ? 72 ? 62 ? ? ? 73 ? 62 ? ? ? 6.99 ? ? 7?

所以 x1 ? x2 , s1 ? s2 . 考点:1.茎叶图;2.平均数与标准差

第Ⅱ卷(共 100 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上)
11.若

?

T

0

x 2 dx ? 9 ,则常数 T 的值为

.

12.将全体正整数排成一个三角形数阵:

按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为



考点:等差数列的前 n 项和

13.在△ ABC 中, BC ? 3 , AC ? 2 , A ?

π ,则 B ? 3

.

14.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C: x ? y ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则 k=
2 2

.

15.选做题(请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分) A(极坐标系与参数方程)极坐标系下曲线 ? ? 4 sin ? 表示圆,则点 A(4,

?
6

) 到圆心的距离

为 【答案】 2 3 【解析】

.

试题分析:点 A 对应的直角坐标为: x ? 4 cos

?
6

? 2 3 , y ? 4sin

?
6

? 2 ,所以点

A 2 3, 2 .因为 ? ? 4 sin ? ,所以 ? 2 ? 4? sin ? ,即 x2 ? y 2 ? 4 y ,圆的标准方程为:
x 2 ? ? y ? 2 ? ? 4 ,圆心 ? 0, 2 ? ,点到圆心的距离为:
2

?

?

?2

3 ? 0 ? ? 2 ? 2? ? 2 3 .
2

?

2

考点:极坐标与参数方程

B(几何证明选讲)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A , PA ? 2 . AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B , PB ? 1 ,则圆 O 的半径 R ? . 【答案】 3 【解析】
2 2 试题分析:如图所示,有切割线定理可知, PA ? PB ? PC ,即 2 ? 1? 2 ? ? 2R ? ,解
2

2

得R? 3.

考点:切割线定理

C(不等式选讲)若关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 a 存在实数解,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
16.(本小题共 12 分)已知在等比数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 a 2 是 a1 和 a3 ? 1 的等差中项. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2n ? 1 ? an (n ? N * ) ,求 {bn } 的前 n 项和 Sn .

17.(本小题 12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c . (Ⅰ)叙述并证明正弦定理; (Ⅱ)设 a ? c ? 2b , A ? C ?

?
3

,求 sin B 的值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) sin B ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)正弦定理:

39 . 8

a b c ? ? ,利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设 sin A sin B sin C

?ABC 的外接圆的半径为 R ,连接 BO 并延长交圆 O 于点 C ? ,则 ?C ? ? ?C ,直径所对的
圆周角 ?BAC? ? 90 ,在直
?

? 则 ?C ? ? ?C , ?BAC? ? 90 ,在 ABC ? 中, BC ? sin C ? ? AB ,即 2 R sin C ? c ,则有

c b a a b c ? 2 R ,同理可得 ? 2R , ? 2 R ,所以 ? ? ? 2R . sin C sin B sin A sin A sin B sin C (Ⅱ)∵ a ? c ? 2b ,由正弦定理得, sin A ? sin C ? 2sin B , A?C A?C ? 2sin cos ? 2sin B , 2 2 ? ?? B ? ? 2sin ? ? ? cos ? 2sin B , 6 ?2 2? B B B B ? 3 cos ? 4sin cos , cos ? 0 , 2 2 2 2 B 3 B B 13 解得 sin ? , cos ? 1 ? sin 2 , ? 2 4 2 2 4
∴ sin B ? 2sin

B B 3 13 39 . cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4 8

考点:1.正弦定理;2.解三角形;3.同角三角函数间的关系;4.和差化积公式;5.二倍角公



18.(本小题 12 分)现有 10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,张同学从中任取 3 道题 解答. (I)求张同学至少取到 1 道乙类题的概率; (II)已知所取的 3 道题中有 2 道甲类题,1 道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是 答对每道乙类题的概率都是 求 X 的分布列和数学期望.

3 , 5

4 ,且各题答对与否相互独立.用 X 表示张同学答对题的个数, 5

(Ⅱ) X 的所有可能的取值为: 0,1, 2,3 ,

4 ?2? 1 , P( X ? 0) ? ? ? ? ? ? 5 ? 5 125 3 2 1 ? 2 ? 4 28 , P( X ? 1) ? C ? ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 ? 5 ? 5 125 3 3 1 3 2 4 57 2 1 P( X ? 2) ? C2 ? ? ? ? C2 ? ? ? ? , 5 5 5 5 5 5 125 3 3 4 36 P ( X ? 3) ? ? ? ? . 5 5 5 125
1 2 2

2

∴X 的分布列为:

∴ EX ? 0 ?

4 28 57 36 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2. 125 125 125 125

考点:1.相互独立事件的概率;2.离散型随机变量的及其应用;3.古典概型;4.分布列和期 望

19. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1, DC=SD=2,E 为棱 SB 上任一点.

(Ⅰ)求证:无论 E 点取在何处恒有 BC ? DE ; (Ⅱ)设 SE ? ?EB ,当平面 EDC ? 平面 SBC 时,求 ? 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下求二面角 A ? DE ? C 的大小.
? 【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ? ? 2 ;(Ⅲ) 120 .

【解析】

∵ AB ? AD ? 1 ,∴ BF ? DF ? 1 , 1 又∵ CD ? 2 ,∴ BF ? CD , 2
∴ BC ? BD ,又 SD ? 底面ABCD ,∴ SD ? BC , ∵ BD

SD ? D ,∴ BC ? 平面SBD ,

∵ DE ? 平面SBD ,∴ BC ? DE . (Ⅱ)分别以 DA , DC , DS 所在直线为 x 轴, y 轴, z 建立空间直角坐标系,如图:

20.(满分 13 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,短轴长为 4,且有一个焦点与抛物线

y 2 ? 4 5x 的焦点重合.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知经过定点 M(2,0)且斜率不为 0 的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,试问在 x 轴上 是否另存在一个定点 P 使得 PM 始终平分 ?APB ?若存在求出 P 点坐标;若不存在请说明 理由. 【答案】(Ⅰ) 【解析】

x2 y 2 ?9 ? ? ? 1 ;(Ⅱ) ? , 0 ? . 9 4 ?2 ?

21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x . 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? 1 与 x ?

1 处的切线相互平行,求 a 的值及切线斜率; 2

?1 ? ?3 ? (Ⅲ)设函数 f ( x ) 的图像 C1 与函数 g ( x) 的图像 C2 交于 P、Q 两点,过线段 PQ 的中点作 x
(Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ,1? 上单调递减,求 a 的取值范围;

轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、 N, 证明: C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不可能平行.

1 ? ax ? 2 , x 1 ∵在 x ? 1 与 x ? 处的切线相互平行, 2 a 1 ∴ h?(1) ? h?( ) ,即 ? a ? 3 ? ? ? 4 ,解得 a ? ?2 , 2 2 k ? h?(1) ? 5 .
则 h?( x ) ?


2014届陕西西工大附中高三上学期第一次适应性训练理数学卷(带解析)

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