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更高更妙的物理:专题16 热力学基础


专题 16 热力学基础 一、知识概要 1、热力学第一定律对于理想气体等值过程的应用 等容过程 等容过程的特征是气体体积保持不变, ?V ? 0 ,故 W ? 0 ,由热力学第一 定律可知,在等容过程中,气体与外界交换的热量等于气体内能的增量:

Q ? ?E ?

m i m ? R?T ? CV ?T 。 M 2 M

>i R , i 为分子的自由度,对于单原子分子气体, i ? 3 ;对 2 于双原子分子气体, i ? 5 ;而对于多原子分子气体 i ? 6 。 R 为摩尔气体常数, R ? 8.31J /(mol ? K ) 。 m R?T , 等压过程 等压过程的特征是气体压强保持不变,?p ? 0 ,?W ? p ? ?V ? M

CV 称做定容摩尔比热容, CV ?

由热力学第一定律可得,在等压变化过程中气体与外界交换的热量为

m i m m i?2 m ? R?T ? R?T ? ? R?T ? C p ?T 。 M 2 M M 2 M C i?2 ? ? 称为比热容比。对于单原子分 C p 称做定压摩尔比热容, C p ? CV ? R ,而 p ? CV i 5 7 8 子气体,? ? ;而双原子分子气体,? ? ;多原子分子气体则有 ? ? 。CV 、C p 及 ? 均 3 5 6 Q ? ?E ? p ? ?V ?
只与气体分子的自由度有关而与气体温度无关。 等温过程 等温过程的特征是气体温度保持不变, ?T ? 0 ,由于理想气体的内能取决 于温度,故 ?E ? 0 ,由热力学第一定律可知在等温变化过程中气体与外界交换的热量为

?Q ? ?W 。理想气体在等温变化中, pV ? CT ?

m RT ,设气体体积从 V1 膨胀到 V2 ,压 M

强 从 p1 减 小 到 p2 , 所 做 的 功 为 W , 将 这 个 功 n ( n ?? ) 等 分 , 每 份 元 功

V W CT W ,两边取 n 次方得 ? (Vi ?1 ? Vi ) ,即 i ?1 ? 1 ? n Vi Vi nCT

V2 W n W WT ?CT 。 ? (1 ? ) ? (1 ? ) V1 nCT nCT
W WT ? CT 当 n ?? 时, lim (1 ? ) ? e CT , W nCT ?0
nCT nC W W

nC

W



V2 m V p m ? RT ln 2 ? RT ln 1 , V1 M V1 M p2 V p m m Q? RT ln 2 ? RT ln 1 。 M V1 M p2 W ? CT ln
绝热过程 气体在不与外界发生热交换的条件下所发生的状态变化称做绝热过程, 其特

点是 Q ? 0 ,由热力学第一定律可得 W ? ?E ? 绝热过程中气体方程为 pV ?

m CV ?T 。 M

m RT ,则对某一元过程有 M

pVi nVi ?1 ? piVi ? pVi n (Vi ?1 ? Vi ) ? Vi ( pVi n ? pVi) ?
而此元过程气体做元功为

m R (Ti ?1 ? Ti ) ; M

m CV (Ti ? Ti ?1 ) , M p (V ? Vi ) 则有 pVi n (Vi ?1 ? Vi ) ? Vi ( pVi n ? pVi) ? ? i ?1 i ?1 R ? (1 ? ? ) pVi n (Vi ?1 ? Vi ) , CV V ?V p ? p 即有 ? i ?1 i ? i ?1 i ? 0 。 Vi pViV ? Vi A 若令 ? i ?1 ( n ?? , A 为一定值)则有 ? , Vi n ?W ? pVi n (Vi ?1 ? Vi ) ?

Vi ?1 V A V A ? ? (1 ? ) , ( i ?1 )n ? (1 ? ) A ? , A ? ? ln 2 。 Vi ?n V1 Vi ?n p 同理可得 A ? ln 1 , 可知在绝热过程中气体的压强与体积有关系 p1V1? ? p2V2? , pV ? ? 常 p2
量, 此称泊松方程。 通过 pV ?

?n A

m p ? ?1 ? ?1 RT 消去泊松方程中的 p 或 V , 可得 V T ? 恒量; ? ? M T

常量。绝热过程的这三个方程中,常量各不相同,大小与气体的质量及初始状态相关,绝热 过程中 p 、 V 、 T 均改变,我们可按照问题的性质,适当地选取较方便的来应用。

多方过程 我们可用 pV ? 常量( n 为一常量,称多方指数)来表示气体发生状态变 化的实际过程, n ? 1 时为等温过程; n ? ? 时为绝热过程; n ? 0 时为等压过程;当 n ? ?
n

时为等容过程。凡可满足 pV ? 常量关系的过程均称为多方过程。通常的气体变化过程均 为多方过程,而等值过程只是多方过程的特例。
n

在多方过程中气体从状态 p1 、V1 进入状态 p2 、V2 ,所做的功为 W ?

p1V1 ? p2V2 。气 n ?1

m CV (T2 ? T1 ) ,由热力学第一定律知 M p V ? p2V2 m m m R(T1 ? T2 ) Q ? ?E ? W ? CV (T2 ? T1 ) ? 1 1 ? CV (T2 ? T1 ) ? ? ; M n ?1 M M n ?1 m C (T2 ? T1 ) , 由 上 两 式 并 注 意 到 若以 C 表示多方过程的摩尔比热容,则有 Q ? M R ? (? ?1)CV ,可得 R (n ? ? ) R C ? CV ? ? 。 n ? 1 (n ? 1)(? ? 1)
体内能的增量为 ?E ? 2、热力学第二定律 循环过程 若一系统由某一状态出发, 经过任意的一系列的过程, 最后又回到原来的状 态,这样的过程称为循环过程。 循环过程中系统对外所做的功 如图所示为某一系统的准静 态循环过程。在膨胀过程 AC1B 段,系统对外所做的功( W1 )是 正的,其数值与面积 AC1BNMA 相等;在压缩过程 BC2 A 段,系 统对外做功( W2 )为负,其数值与面积 BC2 AMNB 相等。在一 循环中系统对外所做的功 W 就是这两段功的代数和(上述两个 “面积”的差) ,即 W ? W1 ? W2 ? 面积 AC1BNMA ? 面积 BC2 AMNB ? 面积 AC1BC2 A 。 可见,在一循环中系统对外所做的功,数值上等于图所示 p ? V 图中闭合曲线的“面积” 。 若循环沿顺时针方向进行,这个功是正的,相应的循环称为正循环;若循环沿逆时针方 向进行,一个循环中系统对外所做的功为负,数值仍等于闭合曲线所包围的面积,相应的循 环称为负循环。 设 E1 表示在状态 A 时系统的内能,E2 表示在状态 B 时系统的内能, 并设在 AC1B 膨胀 过程中吸收了 Q1 的热量,由热力学第一定律可知:E2 ? E1 ? Q1 ? W1 ;同理,设在 BC2 A 段 压缩过程,系统放出了 Q2 热量,由热力学第一定律可知: E1 ? E2 ? ?Q2 ? W2,可知

Q1 ? Q2 ? W1 ? W2 ? W。此式表示,一循环中系统对外所做的功,等于一循环中系统吸收 的净热量—即吸收热量 Q1 与放出热量 Q2 的差。 热机及其效率 设一系统做正循环,那么,系统在膨胀阶段所吸收的热量 Q1 大于在压 缩阶段放出热量 Q2 ,其差值 Q1 ? Q2 转变为一循环中系统对外所做的功 W ,能完成这种转
变的机械称为热机,热机的物理本质就是系统做正循环。热机的主要部分是:一个高温热源 (发热器) ,用来供给 Q1 的热量;一个低温热源(冷却器) ,用来吸取 Q2 的热量;一种工作 物质(如水、空气或水蒸气等) ,以及盛工作物质的气缸、活塞等。 对于热机,最重要的问题在于由高温热源吸取的热量 Q1 中,究竟有多少可以转变为功

W ,至于低温热源所吸收的热量 Q2 的多少,并不重要。因此定义了热机的效率? 为:一循 Q W Q ? Q2 环中系统对外所做的功 W 与由高温热源吸取的热量 Q1 的比值, ?? ? 1 ? 1? 2 。 Q1 Q1 Q1
热机效率的大小,由循环的具体结构、性质而定。 制冷机及其效率 设一系统做负循环, 则 W1 为负, 且 W1 ? W2 , W2 为正, W ? W1 ? W2 为负,即一循环中系统对外做了 W 的负功;又系统从低温热源吸收了较少的热量 Q2 ,而 在高温热源放出了较多的热量 Q1 ,因而一循环中放出的净热量为 Q1 ? Q2 ? W 。所以系

统在一负循环中,外界对系统做了 W 功的结果为:系统在低温热源吸入热量 Q2 连同转变 而成的热量,一并成为 Q1 的热量放入高温热源,结果将热量 Q2 由低温热源输送到高温热 源,这就是制冷机(也叫热泵)的原理。 对制冷机,要关心的问题是:一循环中系统做了 W 功后,有多少热量 Q2 由低温热源 输送到高温热源去了,因此把

??

Q W Q1 ? Q2 ? ? 1 ? 2 叫做制冷机的效率,可以看出,制冷机的效率越高,制冷系数越 Q1 Q1 Q1

Q2 定义为制冷机的制冷系数。有时也把 W

小,经济效能越低。 在技术上使用热机的种类很多,有蒸汽机、内燃机和制冷机等,图分别表示蒸汽机和制 冷机的工作过程框图。

卡诺循环 为方便研究热机效率问题, 19 世纪 20 年代,法国工 程师卡诺设计了一个理想循环,即只在两个有恒定温度的高、低温热 源吸、放热,此即卡诺循环,按此种方式工作的热机称为卡诺机。 图给出了卡诺机模型。卡诺机中的工作物质是理想气体,被一个 绝热活塞封闭在气缸中,缸的四壁是完全绝热和光滑的,缸底则是理 想导热的;绝热台 H ;一个温度为 T1 的高温热源;一个温度为 T2 的 低温热源,两个热源的热容量极大,温度几乎不变。 卡诺循环的过程可用图状态图线表示,气体从初始状态 A ( p1 , V1 , T1 )开始,沿箭 头方向经历下列过程: A ? B :将气缸移到高温热源上,让它缓慢地做等温膨胀, 体积由 V1 膨胀到 V2 , 在等温过程中, 温度恒为 T1 , 共吸收 Q1 热量, 过程沿等温线 AB 进行; B ? C :将气缸移到绝热台 H 上,让它做绝热膨胀,气体 温度逐渐下降,到达状态 C 时,温度已降为 T2 ,体积膨胀到 V3 , 过程沿绝热线 BC 进行; C ?D: 将气缸移到低温热源上, 将气体压缩, 温度保持在 T2 , 压缩中不断放出热量,一直压缩到状态 D ,共放出热量 Q2 , D 状 态的体积为 V4 ,它是过 C 点的等温线和过 A 点的绝热线的交点, 过 程沿等温线 CD 进行; D ? A :将气缸移到绝热台,经过绝热压缩,气体温度逐渐升 高,直到返回原来状态 A ,过程沿绝热线 DA 进行。 CD 这样完成了一个卡诺循环过程, 它是由两个等温过程 AB 、 和两个绝热过程 BC 、 DA 组成。 卡诺循环中的能量转化过程可用图表示。 卡诺循环的效率 为使对卡诺循环的讨论具有确切的意义,上面四个过程都必须是准 静态过程,一卡诺循环的结果是:工作物质恢复到原来状态,高温热源失去了 Q1 ? W1 的热

量,W1 表示等温膨胀过程中系统对外所做的功;低温热源获得了 Q2 ? W2 的热量, W2 是 等温压缩过程中系统对外所做的功,一循环中系统对外所做的总功为:

W ? Q1 ? Q2 ? W1 ? W2 ,其数值等于闭合曲线 ABCDA 所包围的面积,是正值。
根据热机效率的定义,卡诺循环的效率为

Q W ? 1? 2 Q1 Q1 V m 在 AB 过程中吸收的热量 Q1 为 Q1 ? RT1 ln 2 , M V1 V m 在 CD 过程中放出的热量 Q2 为 Q2 ? RT2 ln 3 。 M V4

??

? 常量,即 ? ?1 TV ? T2V3? ?1 , T2V4? ?1 ? TV 1 2 1 1 V ? ?1 V ? ?1 V V V V 有 ( 3 ) ? ( 4 ) ,所以 3 ? 4 , 1 ? 4 。 V2 V1 V2 V1 V2 V3
又 BC 、 DA 为绝热过程,有 TV
? ?1

? ?1

因此卡诺循环的效率为

V m RT2 ln 3 Q M V4 T ? ? 1? 2 ? 1? ? 1? 2 。 V m Q1 T1 RT1 ln 2 M V1 Q T Q Q 同时也可推导出 1 ? 2 ? 1 ? 2 ,即 1 ? 2 。 Q1 T1 T1 T2 从结果可看出,卡诺循环的效率只由两个热源的温度而定, T1 越高, T2 越低,效率越
高。 热力学第二定律 热力学第二定律的克劳修斯表述:在低温热源吸取热量,把它全部放人高温热源,而不 引起其他变化是不可能的。这是从热传导的方向性来表述的,也就是说,热传导只能是从高 温热源向低温热源方向进行的。 热力学第二定律的开尔文表述: 从单一热源吸取热量, 把它完全转变为功而不引起其他 变化是不可能的。这是从机械能与内能转化过程的方向来表述的,也就是说,当将内能转变 为机械能时,若不辅以其他手段是不可能的。 上述两种表述是完全等效的,若承认其中一种表述,可以推出另一种表述。热力学第二 定律也使人们认识到,自然界中进行的涉及热现象的宏观过程都具有方向。 热力学第二定律与热力学第一定律相比,后者表明能量在转换中所遵从的数量守恒关 系,指出第一类永动机是不可能造成的;而前者则指明了能量转换过程进行的方向,指出了 第二类永动机是不能制成的。二者是不抵触的,也不互相包容,是两条独立的定律。 热力学第二定律的适用对象是与周围环境没有任何相互作用的、 大量粒子组成的孤立系 统, 研究孤立系统中大量微观粒子运动过程中总体所反映出采的物理性质及各种宏观物理过 程。 3、可逆过程与不可逆过程 可逆过程与不可逆过程 如图所示,若一系统的状态由 A 起, 经 B 、 C 、??? M 等到达状态 N ,就说系统经历了过程 AN 。若系 统能沿相反方向、经相反次序,由 N 起,经 M ??? C 、 B 而返回状 态 A ,且返回 A 后,四周物质并无任何变化(如做多少功,吸放多 少热等)就说过程 AN (或 NA )是一个可逆过程。凡不满足上述 要求的过程,称为不可逆过程。 如设图的气缸中有一定量的理想气体,把它放在温度为 T 的热源上。设活塞是光滑的,

在它的上面放有很多个质量极小的砝码,由于它们的重力,使气体受 到一定的压力。若将这些小砝码一个一个地依次横移到一系列与砝码 等高的平台上,则气体将逐渐膨胀,一点一点地从热源吸收热量,转 变为抵抗砝码重力所做的功,这些功又转变为各砝码的重力势能。这 个过程一直进行到活塞达到一定的位置,这就是一个等温膨胀过程。 然后将平台上的砝码一个一个横移回到活塞上,气体将逐渐地压缩, 砝码的重力势能减少,转变为压缩气体所做的功,这些功又转变为热量,一点一点地传回到 热源中去,砝码全部放回,活塞回到了原位,这样就说明了无摩擦的等温膨胀过程是一个可 逆过程。 可以说, 无摩擦的准静态过程都是可逆的, 严格地说, 只有可逆过程才能画在 p ? V 图上。 如膨胀过程是迅速的,气缸中的气体上疏下密,但反向进行,即迅速压缩时上密下疏, 过程就不能沿相同状态依相反次序进行,所以是不可逆的,这种过程由非平衡态组成,是不 平衡地进行的。可以说,一切不平衡地进行的过程都是不可逆的。 一切实际过程都是不可逆的,可逆过程只是为了简化问题设想的理想情况。 对于循环过程,如果循环过程中的每一步都是可逆的,则循环过程称为可逆循环。如果 循环过程中有一步是不可逆的,便是不可逆循环。 从可逆与不可逆过程的角度来说, 热力学第二定律的开尔文表述说明功变热是一个不可 逆的过程;克劳修斯表述说明热传导也是一个不可逆过程。 热力学第二定律的统计意义 对大数事件,如在 N 次实验中,某一事件出现的次数设 为 m ,则该事件的几率可定义为 p ? lim

m 。几率只能近似地预言实验结果,不能十分精 N ?? N

确地和实验结果一致。 为了更好地理解热力学现象中的几率问题, 下面以气体在真空中的膨 胀来说明。 如图所示,设一隔板将容器分成体积相等的 A 、 B 两部分, 最初 A 部分中有 4 个分子,设为 a 、 b 、 c 、 d ; B 部分真空。 抽去隔板后,有的分子就可能进入 B 中,从宏观角度说,就是 气体膨胀进入真空。由于分子运动的杂乱性,某一时刻可能 A 、 B 中各有 2 个分子;也有可能 A 中有 3 个, B 中有 1 个;也可能 A 中 1 个, B 中有 3 个分子;也有可能四个分子同时回到了 A 中,如果这时把隔板加上,系 统就回到了原来的状态了,此时外界也没有发生什么变化,所以对 4 个分子来说,气体在真 空中的膨胀现象是可逆的。那么这 4 个分子同时回到 A 部分的几率是多大呢?即这种可逆

1 1 ? 。 那么当 A 中气体的分子个数很多时 4 2 16 1 23 (事实也往往如此) ,设为 n 个,那么如上所述的几率应为 p ? n 。若 n 以 10 个计的话, 2
过程的存在几率有多大呢?不难理解应为 p ? 可见其几率是非常小的,小到了已没有实际意义。即事实上,这种可逆过程的存在的几率是 极小的,所以该过程实为一不可逆过程。 又如摩擦生热现象,根据热力学第二定律,也是不可逆的,从统计的角度来看,就是要 将摩擦所产生的热全部自动收集起来, 全部转化为机械功, 这种自发现象的存在几率也是极 小的,因此是一不可逆过程。 二、热力学典型问题例析 【例 1】 定容摩尔热容量 CV 为常量的某理想气体, 经历如图所示的 p ? V 平面上的两个循环过程 A1B1C1 A1 和 A2 B2C2 A2 ,相应的效率分别为 ?1 和

?2 ,试比较?1 和?2 的大小。
W ,其中 W 是气体经循环过程对外 Q 所做的功,Q 为气体从外界吸收的热量。本题 A1B1C1 A1 与 A2 B2C2 A2 两个循环过程的功,可
【分析与解】循环过程的效率为? ? 从图中的直角三角形面积所得。在 A1B1C1 A1 循环过程中, A1B1 阶段气体对外做功,内能增

大,吸收热量; B1C1 为等容降压过程,温度降低,放出的热量为 nCV ?T ( n 为气体的摩尔 数) ; C1 A1 为等压过程,温度降低,放出的热量为 nC p ?T ? 。因此循环过程中的吸热量就是

A1B1 过程的吸热量。循环过程 A2 B2C2 A2 的情形也类似。 先计算循环过程 A1B1C1 A1 效率,设气体的摩尔数为 n 。循环过程 A1B1C1 A1 对外所做的 功即为图中三角形 A1B1C1 的面积,为 1 1 W1 ? ( pB1 ? pC1 )(V2 ? V1 ) ? ( pB1 ? p A1 )(V2 ? V1 ) 。 2 2 式中 pB1 和 pC1 分别是理想气体在状态 B1 和 C1 时的压强。
又 A1B1 过 程 是 通 过 原 点 的 直 线 , 过 程 的 方 程 可 写 为 p ? kV 。 因 此

1 k (V2 ? V1 ) 2 。又直线 A1B1 过程是多方过 2 ? ?n CV 程,指数为 n ? ?1 ,过程方程式为 pV ?1 ? 常数,此多方过程的摩尔热容量为 C ? 1? n 1 ? (? ? 1)CV ,式中 ? 是气体的绝热指数。 2 设A 1和 B 1 状态的温度分别为 T1 和 T2 ,则有

pB1 ? pA1 ? k (V2 ?V1 ) ,代入 W1 表达式,得 W1 ?

pA1V1 ? nRT1 ; pB1V2 ? nRT2 ,
相减得

T2 ? T1 ?

1 k ( pB1V2 ? p A1V1 ) ? (V22 ? V12 ) , nR nR

所以 A1B1C1 A1 循环过程中所吸收的热量为

Q1 ? nC (T2 ? T1 ) ?
可知, A1B1C1 A1 循环过程的效率为

k (V22 ? V12 ) 。 nR

1 k (V2 ? V1 )2 W1 R(V2 ? V1 ) ; ?1 ? ? 2 ? Q1 k C (V 2 ? V 2 ) 2C (V2 ? V1 ) 2 1 R
同理, A2 B2C2 A2 循环过程的效率为

R(V2 ? V1 ) 。 2C (V2 ? V1 ) 以上两式表明, 两循环过程的效率与直线 A1B1 或 A2 B2 的斜率大小无关, 而只与 C 及 V1 、 V2 有关,其中 C 也与直线的斜率无关,因此只要相应的 V1 和 V2 相同,效率就相同,所以,

?2 ?

两循环过程的效率相同,即

?1 ? ?2 。
【例 2】 在两端开口的竖直 U 形管中注入水银, 水银柱的全长为 h 。 将一边管中的水银下压, 静止后撒去所加压力, 水银便会振荡起来, 其振动周期为 T1 ? 2?

h ; 若把管的右端封闭, 2g

被封闭的空气柱长 L ,然后使水银柱做微小的振荡,设空气为理想气体,且认为水银振荡时 右管内封闭气体经历的是准静态绝热过程,大气压强相当 h0 水银柱产生的压强。空气的绝 热指数为 ? 。⑴试求水银振动的周期 T2 ;⑵求出 ? 与 T1 、 T2 的关系式。 【分析与解】 右端封闭后, 随着水银柱的振荡, 被封闭的空气经历绝热膨胀或绝热压缩过程;

封闭端的空气与外界空气对水银柱压力差提供水银柱做 微小振动的回复力,本题关注回复力的构成及所循规律。 ⑴如图所示, A 、 B 、 C 分别表示水银柱处于平衡 位置、达到振幅位置时和有一任意小位移 y 时的三个状 态。建立如图坐标,设水银柱位移为 y 时,封闭气体的压 强为 py , U 形管横截面积为 S ,水银柱总质量为 m ,水 银密度为 ? 。 对被封闭气体的 A 、 C 状态由泊松方程可知

p0 ( LS )? ? p y ? ( L ? y ) S ? ,
?

其中 得 由于 y

p0 ? ? gh0 ,

? L ? ? p y ? p0 ? ?( ) ? 1? p0 。 ? L? y ?

h y y ? ? L ,上式可近似为 p y ? p0 ? ?(1 ? )? ? 1? p0 ? (1 ? ? ? 1) p0 ? ?? 0 ? gy 。对 L L L ? ? C 状态,研究水银柱受到的回复力,回复力 F 即由高度差为 2 y 的水银柱的重力、内外气体 压力的合力提供,以位移 y 方向为正,即为
F ? p y S ? p0 S ? 2(?m) g ? ( p y ? p0 )S ? 2 ? ySg ? ??


h0 h ? gyS ? 2 ? ySg ? ?(? 0 ? gS ? 2 ? Sg ) y L L

k ??

得 可知水银柱的微小振荡为一简谐运动,其周期为

h0 ? g S? 2 ? S g L F ??ky 。

T2 ? 2?

m ? hS h ? 2? ? 2? 。 h h k ? 0 ? gS ? 2 ? Sg (2 ? ? 0 ) g L L

⑵由上述 T1 和 T2 ,得

h ?h T 2g ( 1 )2 ? ? 1? 0 , h T2 2L h (2 ? ? 0 ) g L


??

2 L ? T1 2 ? ?( ) ? 1? 。 h0 ? T2 ?

【例 3 】一热机工作于两个相同材料的物体 A 和 B 之间,两物体的温度分别为 TA 和 TB ( TA ? TB ) ,每个物体的质量为 m 、比热容恒定,均为 s 。设两个物体的压强保持不变, 且不发生相变。 ⑴假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能,求出两物体 A 和 B 最终达到的温 度 T0 的表达式,给出解题的全部过程。 ⑵由此得出允许获得的最大功的表达式。 ⑶假定热机工作于两箱水之间,每箱水的体积为 2.50m ,一箱水的温度为 350 K ,另 一箱水的温度为 300 K 。计算可获得的最大机械能。 已知水的比热容 ? 4.19 ?10 J ? kg ? K ,水的密度 ? 1.00 ?10 kg ? m 。 【分析与解】⑴为获得最大的机械能,可设热机工作的全过程由 n ( n ?? )个元卡诺循
3 3 ?1 ?1 ?3
3

环组成,第 i 次卡诺循环中,卡诺热机从高温热源(温度设为 Ti )处吸收的热量为 ?Q1 ,后, 温度降为 Ti ?1 ;在低温热源(温度设为 Tj )处放出的热量为 ?Q2 后,温度升高为 T j ?1 满足

?Q1 ?Q2 。 ? Ti Tj
又 可知

?Q1 ? ms(Ti ? Ti ?1 ) , ?Q2 ? ms(Tj ?1 ? Tj ) ,

Ti ? Ti ?1 Tj ?1 ? Tj , ? Ti Tj



Ti ? Ti ?1 T j ?1 ? T j A ( n ?? , A 为常数) ? ? , Ti Tj n
Ti ?1 A T A ? 1 ? , j ?1 ? 1 ? , Ti n Tj n



即 得 所以

(

T Ti ?1 n A n ?A A n ?A ) ? (? 1 A ) ; ( j ?1 )n ? (1 ? ) A , Ti n Tj n T T A ? ln A , A ? ln 0 T0 TB

T0 ? TATB 。
⑵由卡诺热机的循环过程可知:

W ? Q1 ? Q2 ? ms(TA ? T0 ) ? ms(T0 ? TB ) ? ms(TA ? TB ? 2 TATB ) ? ms( TA ? TB )2 。
⑶根据题意代入数据即可得:

W ? 2.0 ?107 J 。 【例 4】已知 n ( mol )的某理想气体在 T ? 2T0 时的定容热
容 CV1 ? ? nR , 在 T ? 2T0 时的定容热容 CV2 ? ? CV1 , 其中 ? 、

? 均为大于 1 的常量, 该气体经历的循环过程 ABCDA 是如图 所示的矩形。⑴试求状态 D 的温度 TD ,并画出循环过程中系 统内能随温度丁变化的图线;⑵试计算循环过程的效率? 。

【分析与解】本题中理想气体所经历的循环过程曲线呈矩形, 其中: A ? B 为等容升压; B ? C 为等压膨胀; C ? D 为 等容降压;D ? A 为等压压缩。 设 A 状态参量为 p1 、 V1 、T0 ;B 状态参量为 p2 、V1 、2T0 ;

C 状态参量为 p2 、 V2 、 3T0 ; D 状态参量为 p1 、 V2 、 TD 。
⑴由理想气体状态方程,可知

p2 2T0 p 3T , 2 ? 0 , ? p1 TD p1 T0


3 TD ? T0 。 2
由此也可知,在 C ? D 过程中存在状态 F ,该状态时的温度为 2T0 。 ⑵本题中理想气体内能为 U ? CV T , A 状态内能 U A ? CV 1T0 ? ? nRT0 ;其他状态内能

依次为 U B ? CV1 ? 2T0 ? 2? nRT0 , UC ? CV2 ? 3T0 ? 3?? nRT0 , UF ? CV2 ? 2T0 ? 2?? nRT0 , 又在 B 、 F (温度均为 2T0 )状态时,定容热容量发生了突变,这意味着该理想气体分子 的某一运动自由度刚好在 2T0 时被激发,因此,系统在 B 状态时会出现不升温的吸热,内能 变 为 U B ? CV2 ? 2T0 ? 2?? nRT0 ; 在 F 状 态 时 , 会 出 现 不 降 温 的 放 热 , 内 能 变 为

UF ? CV1 ? 2T0 ? 2? nRT0 。所以 U 和 T 的关系应完整地表达为
?U ? CV1T ? ? nRT,(T ? 2T0), ? ?U ? CV2 T ? ?? nRT,(T ? 2T0), ? ?? nRT ? U ? ?? nRT。(T ? 2T0)。 循环过程中系统内能 U 随温度 T 变化的图线如图所示。 注意,图线中从 A 状态到 B 状态的等容过程并不经过 D 状 态,从 B 态到 C 态的等压过程并不经过 F 状态,同样从 C 态到 D 态的等容过程中不经过 B 态,但经过 F 状态。又 B 、 F 状 态因为温度相同, 所以内能也相同, 图中用同一点表示, 另外 B 、 F 状态的温度 2T0 刚好是定容热容量发生突变的温度,出现
了不升温的吸热或放热,导致内能变化,所以,两者在图中是 一段等温线。 同样 D 状态也不是 AB 过程中的状态, 但与 AB 过 程中某状态具有相同的内能和温度。 ⑶一个循环过程中,气体对外所做功的大小为图中矩形面积,即为 W ? ( p2 ? p1 )(V2 ? V1 ) 。

p2 2T0 2 V2 3T0 3 ? ? , ? ? , p1 T0 1 V1 2T0 2 1 1 W ? p1V 1 ? nRT 0 所以有 。 2 2 循环过程中属吸热过程的是 A ? B 、 B ? C 和在 B 状态时因定容热容量发生突变而 造成的吸热 QB ,吸收的热量分别为 QAB 、 QBC 、 QB :


QBC ? (CV2 ? nR)(3T0 ? 2T0 ) ? n(?? ?1)RT0 ; QB ? (CV2 ? CV1 )2T0 ? 2(? ?1)? nRT0 。
则一循环中吸收的总热量为;

QAB ? CV1 (2T0 ? T0 ) ? ? nRT0 ;

Q ? QAB ? QBC ? QB ? ? nRT0 ? n(?? ? 1) RT0 ? 2(? ?1)? nRT0 ? n(3?? ? ? ? 1) RT0 , 所以循环过程的效率? 为 1 nRT0 W 1 2 ?? ? ? 。 Q n(3?? ? ? ? 1) RT0 2(3?? ? ? ? 1)
1、理想气体做绝热膨胀,由初状态( p0 ,V0 )至末状态( p ,V ) ,试证明在此过程中气 体所做的功为

W?

p0V0 ? pV 。 ? ?1

2、为了测定气体的 ? ( ?

Cp CV

) ,有时用下列方法:一定量的气体的初始温度、压强和体积

分别为 T0 、 p0 、 V0 。用一根通有电流的铂丝对它加热。设两次加热的电流和时间都相同。 第一次保持气体体积 V0 不变,温度和压强各变为 T1 和 p1 :第二次保持压强 p0 不变,而温度 和体积各变为 T2 和 V1 。试证明 ? ?

( p1 ? p0 )V0 。 (V1 ? V0 ) p0

V1 ) ?1 V2 3、 设有一以理想气体为工作物质的热机循环, 如图所示, 试证明其效率为? ? 1 ? ? 。 p1 ( ) ?1 p2 (

4、1mol 理想气体在 400 K ~ 300 K 之间完成一卡诺循环。在 400 K 等温线上,起始体积为

0.0010m3 ,最后体积为 0.0050m3 ,计算气体在此过程中所做的功,以及从高温热源吸收
的热量和传给低温热源的热量。

5、如图所示为单原于理想气体的两个封闭热循环: 1234 和 1564 ,比较这两个热循环过程 的效率哪个高?高多少倍?

6、用 N ( mol )的理想气体作为热机的工作物质,随着热机做功,气体的状态变化,完成 一个循环 1 ? 2 ? 3 ? 1 ,如图所示,过程 1 ? 2 和 2 ? 3 在图象中是直线段,而过程 3 ? 1 可表达 为 T ? 0.5T1 (3 ? BV ) BV ,式中 B 是一个未知常量, T1 是图示坐标轴上标出的给定绝对温 度。求气体在一个循环中做的功。

7、两个相同的绝热容器用带有活栓的绝热细管相连,开始时活栓是关闭的,如图,容器 1 里 在质量为 m 的活塞下方有温度 T0 、 摩尔质量 M 的单原子理想气体: 容器 2 里质量为 m / 2 的 活塞位于容器底且没有气体。 每个容器里活塞与上顶之间是抽成真空的。 当打开活栓时容器 1 里的气体冲向容器 2 活塞下方,于是此活塞开始上升(平衡时未及上顶) ,不计摩擦,计 算当活栓打开且建立平衡后气体的温度 T ,取

m ?5。 nM

8、一反复循环运转的装置在水流速度为 u ? 0.1m / s 的海洋上将大海的热能转化为机械能。 考 虑 深 度 h ? 1km 的 海 水 最 上 层 的 温 度 T1 ? 300K , 而 与 水 面 相 邻 的 空 气 温 度 为 装置在垂直于水流方向上的宽度为 L ? 1km 。 估计该装置所能提供的最大功率, T2 ? 280 K 。 已知水的比热容为 c ? 4200 J /(kg ? K ) ,水的密度 ? ? 10 kg / m 。
3 3

9、在大气压下用电流加热一个绝热金属片,使其在恒定的功率 P 下获得电热能,由此而导 致的金属片绝对温度 T 随时间 t 的增长关系为 T (t ) ? T0 ?1 ? ? (t ? t0 ) ?
1/ 4

。 其中 T0 、? ,t 0 均

为常量。求金属片热容量 C p (T ) 。 (本题讨论内容,自然只在一定的温度范围内适用)

10、某空调器按卡诺循环运转,其中的做功装置连续工作时所提供的功率为 P 0。 ⑴夏天,室外温度恒为 T1 ,启动空调器连续工作,最后可将室温降至恒定的 T2 。室外 通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于( T1 ? T2 ) (牛顿冷却定律) ,比例系数为

A 。试用 T1 、 P A 来表示 T2 。 0和
⑵当室外温度为 30 C 时,若这台空调器只有 30% 的时间处于工作状态,则室温可维 持在 20 C 。试问室外温度最高为多少时,用此空调器仍可使室沮维持在 20 C ? ⑶冬天,可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时,用此空调器可使室 温在 20 C ?
0
0 0

0

11、由 v1 摩尔的单原子分子理想气体与 v 2 摩尔双原子分子理想气体混合组成某种理想气体, 已知该混合理想气体在常温下的绝热方程为 pV
11 7

? 常量。试求 v1 与 v2 的比值 ? 。

12、一个高为 152cm 的底部封闭的直玻璃管中下半部充满双原于分子理想气体,上半部是 水银且玻璃管顶部开口,对气体缓慢加热,到所有的水银被捶出管外时,封闭气体的摩尔热 容随体积如何变化?传递给气体的总热量是多少?(大气压强 p0 ? 76cmHg )

13、设热气球具有不变的容积 VB ? 1.1m3 ,气球蒙皮体积与 VB 相比可忽略不计,蒙皮的质 量为 mH ? 0.187kg , 在外界气温 t1 ? 20 0C , 正常外界大气压 p1 ? 1.013?105 Pa 的条件下, 气球开始升空,此时外界大气的密度是 ?1 ? 1.2kg / m3 。 ⑴试问气球内部的热空气的温度 t 2 应为多少,才能使气球刚好浮起? ⑵先把气球系在地面上,并把其内部的空气加热到稳定温度 t3 ? 110 0C ,试问气球释 放升空时的初始加速度 a 等于多少?(不计空气阻力) ⑶将气球下端通气口扎紧, 使气球内部的空气密度保持恒定。 在内部空气保持稳定温度

t3 ? 110 0C 的情况下,气球升离地面,进入温度恒为 20 0C 的等温大气层中。试问,在这些 条件下,气球上升到多少高度 h 能处于力学平衡状态?(空气密度随高度按玻尔兹曼规律 ?h ? ?1e?mgh/ kT1 分布,式中 m 为空气分子质量, k 为玻耳兹曼常数, T 为绝对温度) ⑷在上升到第 3 问的高度 h 时,将气球在竖直方向上拉离平衡位置 10cm ,然后再予以
释放,试述气球将做何种运动。


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