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回归课本-----概率


回归课本-----概率
一.考试内容及要求
要求层次 考试内容(负责人----姜国) A 随机事件的概率 事件与概率 随机事件的运算 两个互斥事件的概率加法公式 古典概型 几何概型 概率 超几何分布 条件概率 概率 事件的独立性 √ √ √ √ √ √ 古典概型 几何概型 取有限值的离散型随机变量及其分布列 √ √ √ √ √ √ B C

>n 次独立重复试验与二项分布
取有限值的离散型随机变量的均值、方差 正态分布

二.基础知识:
1.古典概率模型的特点(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能 性相等。古典概率模型的概率公式: P ( A ) ?
A 事件包含的基本事件的 基本事件的总数 个数



2. 几何概率模型:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这 样 的 概 率 模 型 为 几 何 概 率 模 型 。 几 何 概 率 模 型 的 概 率 公 式 :
P ( A) ?
构成事件 A 的区域长度(面积或体 积) 积) 试验的全部结果所构成 的区域长度(面积或体

3.(1)互斥事件有一个发生的概率公式为: P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) ; 注:如果事件 A 与 B 互斥,那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是互斥事件 (2)相互独立事件同时发生的概率公式为 P ( A B ) ? P ( A ) P ( B ) ; 注:如果事件 A 、 B 相互独立,那么 事件 A 、 B 至少有一个不发生的概率是 1 ? P ( A B ) ? 1 ? P ( A ) P ( B ) , 事件 A 与 B 至少有一个发生的概率是 1 ? P ( A ? B ) ? 1 ? P ( A ) P ( B ) . 4.条件概率:一般地,设 A, B 为两个事件,且 P ( A ) ? 0 ,称 P ( B / A ) ? 下,事件 B 发生的条件概率。 注:如果事件 B 与 C 互斥,则 P ( B ? C / A ) ? P ( B / A ) ? P ( C / A )
P ( AB ) P ( A)

为在事件 A 发生的条件

5.独立重复试验概率公式 Pn ( k ) ? C n p (1 ? p ) ; 6.理解随机变量,离散型随机变量的定义,能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知,任意离 散型随机变量的分布列都具有下述两个性质: ⑴ Pi ? 0, i ? 1, 2, ? ;⑵ P1 ? P2 ? ? ? 1 . 7. 几个基本概念:两点分布、超几何分布、二项分布
k k

n?k

8.二项分布记作 ? ~ B ( n , p ) ( n , p 为参数), P (? ? k ) ? C nk p k q n ? k ,记 C n p q
k k

n?k

? b(k ; n, p )

9.记住以下重要公式和结论: (1)期望值 E ? ? x1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ? ? . (2)方差 D ? ? ( x1 ? E ? ) 2 p1 ? ( x 2 ? E ? ) 2 p 2 ? ? ? ? ? ( x n ? E ? ) 2 p n ? ? ? ? . (3)标准差 ??
?
D?

; E ( a? ? b ) ? a E ? ? b ; D ( a? ? b ) ? a 2 D ? .

(4)若 ? ~ B ( n , p ) (二项分布),则 E ? ? n p , D ? ? n p q ( q ? 1 ? p ) . (5)若 X 服从两点分布,则 E ( X ) ? p , D ( X ) ? p (1 ? p ) . (6) E ( aX ? b ) ? aE ( X ) ? b , D ( aX ? b ) ? a D ( X )
2

正的样本方差 S * 2 ?

1 n ?1

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ? ? ( x n ? x ) ] 去估计总体方差 ?
2 2 2

2

,会用 S * 去估计 ? .

10.正态总体的概率密度函数: f ( x ) ?

1 2? ?

?

(x?? ) 2?
2

2

e

,x? R

,式中 ? , ? 是参数,分别表示总体的平均数与标准

差; 11.正态曲线的性质:⑴曲线在 x ? ? 时处于最高点,由这一点向左、向右两边延伸时,曲线逐渐降低; ⑵曲线的对称轴位置由确定;曲线的形状由确定, ? 越大,曲线越矮胖;反过来曲线越高瘦. ⑶曲线在 x 轴上方,并且关于直线 x= ? 对称; 12.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布 N ( ? ,? 2 ) 的概率 P ( x1 ? ? ? x 2 ) ,可由变换
x ? ? x ? ? x2 ? ? x1 ? ?

?

?t

而得 F ( x ) ? ? (

?

),

于是有 P ( x1 ? ? ? x 2 ) ? ? (

?

) ? ?(

?

)

.

13.假设检验的基本思想:⑴提出统计假设,确定随机变量服从正态分布 N ( ? , ? 2 ) ;⑵确定一次试验中的 取值 a 是否落入范围 ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ;⑶作出推断:如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,接受统计假设;如果 a ? ( ? ? 3? , ? ? 3? ) ,由于这是小概率事件,就拒绝假设.

三.基本方法和数学思想
分类讨论思想、先特殊后一般思想、数形结合思想

四.高考题回顾(参考近两年北京市高考题及近四年外省新课程高考题)
1.(08 广东理 3) 某校共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如表 1.已知在全校学生中随机抽取 1 名, 抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生,则应在三年级抽取的学生人 数为 ( ) A.24 B.18 C.16 D.12 表1 一年级 二年级 三年级 女生 男生 373 377
x
y

370

z

23 ? 1 2.(08 山东理 7)在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,,, ,8 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人, 则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为 ( )

A.

1 51

B.

1 68

C.

1 306

D.

1 408

3.(09 安徽理 10)考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中 任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ( )
高.考.资.源. 网

A.

1 75

B.

2 75

C.

3 75

D.

4 75

4.(10 江西理 11)一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各参入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊, 他用两种方法来检测.方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚.国王用 方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为 p 1 和 p 2 .则 A. p 1 ? p 2 B. p 1 ? p 2 C. p 1 ? p 2 D.以上三种情况都有可能 ( )
高.考.资.源.

5.(10 安徽理 15) 甲罐中有 5 个红球,2 个白球和 3 个黑球。乙罐中有 4 个红球,3 个白球和 3 个黑球.先 从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以 A1 , A 2 和 A 3 ,表示由甲罐取出的球是红球.白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球,以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是____(写出所 有正确结论的编号). ① p(B) ?
2 5



②P(B| A1 )=

5 11



③事件 B 与事件 A1 相互独立;

④ A1 , A 2 , A3 两两互斥的搴件;

⑤P(B)的值不能确定,因为它与 A1 , A 2 , A3 中究竟哪一个发生有关.

6.(07 广东理 9) 甲、乙两个袋中装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装 有 4 个红球,2 个白球,乙袋装有 1 个红球,5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取 出的两球是红球的概率为 . (答案用分数表示) 7.(10 广东理 7)已知随机量 X 服从正态分布 N(3,1) ,且 P(2≤X≤4)=0.6826, 则 P(X>4)=( ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

8.(09 安徽理 11)若随机变量 X ~ N ( ? , ? ) ,则 P ( X ? ? ) =________.
2

9.(08 江苏理 6) 在平面直角坐标系 xoy 中,设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区 域, E 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区域,向 D 中随机投一点,则落入 E 中的概率

10.(10 海南理 6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每 粒需 再补种 2 粒 ,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 ( )

A.100

B.200

C.300

D.400

11.(07 山东理 12)位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位;移动的方向为 向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是
?1? A. ? ? ?2?
2

1 2

,质点 P 移动五次后位`于点 ( 2, 的概率是 ( 3)
2



?1? B. C 3 ? ? ?2?
2

3

?1? C. C 3 ? ? ?2?
2

?1? D. C 2 C 3 ? ? ?2?
1 2

3

12.(09 福建 8)已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1,2,3,4 表示命中,5,6, ,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的 结果。经随机模拟产生了 20 组随机数: 907 431 966 257 191 393 925 027 271 556 932 488 812 730 458 113 569 537 683 989 ( D .0.15 )

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A.0.35 B .0.25 C .0.20

13.(2010 北京理 17) 某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为

4 5

,第二、

第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记 ξ 为该 生取得优秀成绩 的课程数,其分布列为 ξ
p

0
6 125

1

[来源:学科网 ZXXK]

2
d

3
24

a

[来源:学科网]

125

(Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , q 的 值; (Ⅲ)求数学期望 E ξ。

14.(09 北京理 17) 某学生在上学路上要经过 4 个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红 灯的概率都是
1 3

,遇到红灯时停留的时间都是 2min.
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(Ⅰ)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;

(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间 ? 的分布列及期望.

15.(10 广东理 17)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量(单位:克) ,重量的分组区间为(490,495】(495,500】 , ,??, (510,515】 ,由 此得到样本的频率分布直方图,如图 4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件,设 Y 为重量超过 505 克 的产品数量,求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。
[来源:Z#xx#k.Com]

16.(08 山东理 18)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一 分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为
2 3

,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回
3 3 2

2 2 1

答正确与否相互之间没有影响.用 ? 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队总得分” 这一事件,求 P ( A B ) .

17.(08 宁夏理 19)(本小题满分 12 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2。根据市 、 场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 271 273 280 285 308 310 314 319 乙品种: 284 292 295 304 320 322 322 324
甲品种:

285 323 306 327

287 325 307 329

292 325 312 331

294 328 313 333

295 331 315 336

301 334 315 337

303 337 316 343

303 352 318 356

307 318

X1 P

5% 0.8

10% 0.2

X2 P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求方 差 DY1、DY2; (2)将 x(0≤x≤100)万元投资 A 项目,100-x 万元投资 B 项目,f(x)表示投资 A 项目所得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值,并指出 x 为何值时,f(x) 取到最小值。 (注:D(aX + b) = a2DX)

18.(09 安徽理 17)某地有 A、B、C、D 四人先后感染了甲型 H1N1 流感,其中只有 A 到过疫区.B 肯定是 受 A 感染的.对于 C, 因为难以断定他是受 A 还是受 B 感染的, 于是假定他受 A 和受 B 感染的概率都是 同样也假定 D 受 A、B 和 C 感染的概率都是
1 3 1 2

.

.在这种假定之下,B、C、D 中直接受 A 感染的人数 X 就是 ..

一个随机变量.写出 X 的分布列(不要求写出计算过程),并求 X 的均值(即数学期望).

19.(09 福建 16).从集合 ?1, 2, 3, 4, 5? 的所有非空子集中,等可能地取出一个。 .... (1) 记性质 r:集合中的所有元素之和为 10,求所取出的非空子集满足性质 r 的概率; (2) 记所取出的非空子集的元素个数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E ?

20.(09 湖南理 17) .为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和 产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的 选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (II)记 ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数, 求 ? 的分布列及数学期望。
1 2

, , .现在 3 名工人独立地从中任
3 6

1

1

21.(07 山东理 18)设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量 ? 表示方程 x ? b x ? c ? 0
2

实根的个数(重根按一个计) . (Ⅰ)求方程 x ? b x ? c ? 0 有实根的概率;
2

(Ⅱ)求 ? 的分布列和数学期望; (Ⅲ)求在先后两次出现的点数中有 5 的条件下,方程 x ? b x ? c ? 0 有实根的概率.
2

22.(08 广东理 17) .随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三 等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件 次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 ? . (1)求 ? 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ? 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1 % ,一等品率提高为 7 0 % .如果此时要求 1 件 产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

五.课本中例习题归纳
1.(必修 3 p137 例 2)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上 6:30~7:30 之间把报纸送到你家,你父 亲离开家去工作的时间在早上 7:00~8:00 之间,问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少?

2. (选修 2-3 p59 B 组 1)甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为 0 .6 ,乙胜的概率为 0 .4 ,那么 采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?你对对局制长短的设置有何认识/

3. (选修 2-3 p66-例 4)随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数 X 的均值、方差和标准差。

4. (选修 2-3 p63-例 3)
例3 根 据 气 象 预 报 , 某 地 区 近 期 有 小 洪 水 的 概 率 为 0 .2 5, 有 大 洪 水 的 概 率 为 0 .0 1 .该 地 区 某 工 地

上 有 一 台 大 型 设 备 , 遇 到 大 洪 水 时 要 损 失 6 0 0 0 0 元 , 遇 到 小 洪 水 时 要 损 失 1 0 0 0 0 元 .为 保 护 设 备 , 有 以下三种方案 : 方 案1 : 运 走 设 备 , 搬 运 费 为 3 800元 . 方 案 2 : 建 保 护 围 墙 , 建 设 费 为 2 0 0 0 元 .但 围 墙 只 能 防小洪水. 方 案3 :不 采 取 措 施,希 望 不 发 生 洪 水. 试 比 较 哪 种 方 案 好.

4. (选修 2-3 p69 B 组 1)抛掷两枚骰子,当至少有一枚 5 点或一枚 6 点出现时,就说这次试验成功,求在 30 次试验中成功次数 X 的均值。

5.一台机器在一天内发生故障的概率为 0 .1 .若这台机器一周 5 个工作日不发生故障,可获利 5 万元;发 生 1 次故障仍可获利 2 .5 万元;发生 2 次故障的利润为 0 万元;发生 3 次或 3 次以上故障要亏损 1 万元, 这台机器一周内可获利的均值是多少?

6.在一个盒中有 6 枝圆珠笔,其中 3 枝一等品,2 枝二等品和 1 枝三等品,从中任选 3 枝,问下列事件的 概率有多大? (1)恰有一枝一等品; (2)恰有两枝一等品; (3)没有三等品。


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