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2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛



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中等数学

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2016)01—0028—04

一、选择题(每小题6分,共36分) 1.设A、B、C为三个集合.则“日、C均为 A的子集”是“(A n B)u(A n C)=B

U C成 立”的( )条件. (A)充分不必要(B)必要不充分 (C)充分必要


2.设A¨B。分别为等差数列{口。}、{6。}

的前n项之和.箍=等测嚣=一. 3.设0为原点,A为抛物线菇=影+1上
的动点,曰为抛物线Y=戈2+4上的动点.则 A

(D)既不充分也不必要

2.方程I Y l=1+√2戈一戈2表示的曲线为 ). (A)一个圆 (C)一个椭圆 (B)两个半圆 (D)以上结论均不对 )个不

OAB面积的最小值为——.

4.设s=∑k2‘.则s除以100的余数为

3.用[戈]表示不超过实数戈的最大整 数.则方程戈2一[戈]一2=0共有( 同的实根.

5.设复数z:c。s譬+i sin 4iT‘.则 的值为——(用数字作答).
6.设Ⅱ、b、c,d均为实数,满足 o+26+3c+4d=√气百. 则tTt2+62+c2+d2+(Ct+b+c+d)2的

1甭+雨+雨I
z z3



(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 4.方程3。+5。+7。=1 1 5共有( )个 不同的实根. (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 5.在正方体的十二条面对角线和四条 体对角线中随机地选取两条对角线.则这 两条对角线所在的直线为异面直线的概 率等于( ).
7 o 7

最小值为——.
三、解答题(每小题20分,共60分)

1.设八戈)=戈+三一拉.证明:对任意的

(A)嘉

(B)孟(C)15一

(D)以上结果均不对 6.设△ABC的周长为12,内切圆半径为 1.则( ). (A)AABC必为直角三角形 (B)AABC必为锐角三角形 (C)△ABC必为直角三角形或锐角三角形 (D)以上结论均不对 二、填空题(每小题9分,共54分) 1.在正四棱锥P—ABCD中,四个侧面均 为等边三角形,设该四棱锥的侧面与底面所 成的二面角的大小为口,则tan

名∈降1]'有芋<似圳<菇.
2.已知正A ABC内接于抛物线石=y2, △ABC的重心P落在双曲线xy=1上.求点 P的坐标. 3.设口1=1,02=8,

n川=n川+≯q-。(n=2,3,…).
证明:(1)存在常数C>0,使得对任意正 整数n,有口。≤Cn2. (2)对任意正整数n,有

0=一

万方数据

2016年第1期

29

参考答案
——、1.C.

任取一条面对角线,在四条体对角线中, 有两条体对角线与该对角线异面.于是,这种 情形下共有12×2=24对异面直线. 因此,随机选取的两条对角线所在的直

若B、C均为A的子集,则 (A nB)u(A n C)=B u C. ① n 反之,若式①成立,则由A n B、A C均 为A的子集,知B u C为A的子集,即B、C均 为A的子集.
2.B.

线为异面直线的概率为等等=丽9.
6.D.

因为△ABC的周长为12,所以,△ABC 的内切圆半径为1当且仅当△ABC的面积

由已知方程得

为等×1=6.
则labsin 由式②得
n2+b2—2abcos C :n2+b2+144+2ab一24n一24b c=6,

Y=1+√乞戈一戈2及Y=一1一√2z—z2,
分别表示以(1,1)为圆心、1为半径的介于点 (0,1)与(2,1)之间的上半圆周及以(1,一1)为 圆心、1为半径的介于点(0,一1)与(2,一1) 之间的下半圆周.
3.C.



a+b+、石‘i【瓦赢五万:12.②

由[戈]≤戈,戈2一[z]一2=0 j戈2一戈一2≤O j戈∈[一1,2] j[戈]只能为一1、0、1、2 j戈=一1,√3,2.
4.B.

=亭口+b=6+≠;06(1+cos c).

。+b:6+掣.
S1n乙

由式①得ab=÷%,代入上式得

令八戈,=(音)。+(吾)。+(吾)。一-.
贝4
3。+5。+7。=1

于是,a、b为方程

1。车亨.厂(戈)=0.

戈2一(6+%学卜盏=o
的两个根.
△=72—4×12=1.



注意到,八o):2>o,f12):一篑<o.
于是,八z)=0在区间(0,2)内有一个 实根. 因为A石)在(一∞,+∞)上严格单调递 减,所以,方程.厂(戈)=0恰有唯一实根.
5.B.

特别地,当么C=90。时,解得{a,b;= {3,4}.此时,c=5,方程③的判别式 又么C由90。增加一个非常小的角度, 可使方程的判别式△仍大于0,此时,仍可由 方程组解出a、b,再得到c,这时,三边长与3、 4、5也相差很小. 因此,有钝角三角形满足周长为12,内 切圆半径为1.

在正方体的十二条面对角线和四条体 对角线中选取两条对角线的取法数为

c;。:瞿竽:120.
当两条对角线所在的直线为异面直线 时,这两条对角线至少有一条为面对角线. 任取一条面对角线,在其余十一条面对 角线中,有五条面对角线与该对角线异面.又 因为是成对计算数目,所以,这种情形下共有

二、1.厄.
不妨设PA=1,M为AB的中点,0为正方

形ABCD的中心.联结肼、MO、DP.
因为PM上AB,OM上AB,所以,么PMO 即为侧面PAB与底面ABCD所成的二面角.

丝芒:30对异面直线.
万方数据

由OM=告,肼=譬,知

中等数学

。P=、厢研=焦2.
故tan口=tan
2.3.

z6+,+/+z3+z2+三+1:0.






PMO=丽OP=厄.

r≥+i7+舌了通分后,分母为
(1+z2)(1+z4)(1+夕)
=1+Z2+Z4+Z6+Z6+Z8+Z10+Z12

设{o。}、{b。}的公差分别为d。、d:.则

=1+Z2+7+Z6+Z6+z+Z3+Z5=z6.

A。口t+寺(n一1)d-5n一3
Bn

61+i1(n一1)d2

n+9‘

设d2=d.则d1=5d. 从而,血l=d,b1=5d.

分子为 名(1+z4)(1+夕)+z2(1+z2)(1+Z6)+ z3(1+z2)(1+≯) =(1+≯)(z+1)+(1+z2)(z2+z)+ (1+z2)(Z3+1)
=1+z+0+害+z+0+0+0+、+詈+0+害 =2(1+z+夕+z3+7+Z5):一2夕. 2 3 Z Z 一2夕
1+Z2

故安=等等=篙最
3.2.



设A(s2+1,2s)。B(t。t2+4).贝II 10B:(t2+4)石一ty=0. 记点A到直线DB的距离为h,有

+鬲i





=2.

五:!』生掣垡±!)二!:纠.
故 =互1 1(£2+4)(s2+1)一2st

t(n+b+c+d)=湎.

由已知等式得 (1一t)a+(2一t)b+(3一£)c+(4-t)d+

再由柯西不等式得 [(1一£)2+(2一£)2+(3一f)2+(4一£)2+£2]? [口2+b2+c2+d2+(o+6+c+d)2]≥10 j 02+62+c2+d2+(o+6+C+d)2

=争(s2£2慨2+(8--t)2+41观
当s=t=0时,上式等号成立.
4.6.
2 015

当且仅当

≥焘=赤


由s=
j j

七=l 2 015

∑k2。
2 016 七=l 七=l 2 016 2 015

m,o一一鲁,6=O,c-~iO止孚
时,上式等号成立. 故所求的最小值为1. 三、1.因为当石∈(0,1)时,有

/,\ 龙 \,/ k=l t=1

2s=∑k2“1=∑(七一1)2‘ s=2s—s=∑(七一1)2‘一∑k2‘
2 015

●I



=2 015



22

016一∑2‘
矗=1

●了石

<0,

所以,八戈)在区间(0,1]上严格单调递减 于是,对任意的戈

:2 014 X22 016+2.

由210=1 024,知当正整数n>1时,
220+”一2“=2“×1 025×1 023

∈降1】,有

为100的倍数 从而,22 016除以100与216除以100有相 同的余数,均为36,知5除以100的余数为6.
5.2.

2一厄娟)锁小馏=譬.
再由/(戈)在区间(0,1]上严格单调递

由已知得z满足方程 Z7—1:0. 由
Z 7 一

●L


/f、\





.L \l/

。P留

z‘,及三≠1,得

减,知对任意的戈∈㈤】,有 舭炒俏=等.

万方数据

2016年第1期

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对任意的戈∈ fOc(戈))<戈 §土+



一2√2<0

因此,P(3,÷).
、 .,,



3.(1)记6。:%。则
6l=1,b2=2,

戈聋+土一厄 聋+——一√Z

§2在戈3—6x2+3皿一1>o.
令g(x)=2A-x3—6x2+3√虿名一1.

k。=搿虹,+南姒脚'3,…).
下面用数学归纳法证明:对任意的正整 数n,有b。≤2. 当n=1,2 时,6。≤2. 设bt≤2(七=1,2,…,n).则

对任意的戈∈(芋,1】,有
g’(z)=3厄(皿一1)2>o.

故g(加g㈢=。j似圳妣
2.设A(y2l,Y1),B(y22,Y2),C(y23,y3), A日、曰C的中点分别为F、D.则△ABC为正三 角形当且仅当Y。、Y2、Y3互不相等,且AD_L
BC,CF—J_一AB。

k。=涨址。+志6。 ≤群小志m2。
因此,结论成立。 于是,取C=2,对任意正整数n,有
n。≤Cn2.

于是,Df


y;+y;Y2


笋).

再由AD上BC,弘≠y3,得

(2)由(1)得 (n+1)2(6。+。一6。) =一(n一1)2(6。一b。一。)(n=2,3,…). 记c。=b。+l—b。(n=1,2,…).则
C1=1,

(扼一秀“字2 2一费心-y3)(半%).0
j(儿+弘)(业+碣一2衍)+(儿+儿一2y1)
=O.



类似地,由CF上AB,Y1≠y2,得

(Yl+儿)(井+扼一项)+(儿+笼一2:")=o.
② ①一②得

(y;一y31)+3y2(y;一y;)+
(弘-y1)(y22+2ylY3)+3(y3一y1)=0

j(井+隽+隽)+3(yly2+弛弘+y3y1)+3
=O.

丢一涨(n幺3,…). c。:}:甜 荨=斯去】
于是,对任意的正整数n,
2 cn

i 2斟

=(一1)”1




● ’

n2(n+I)2

设P(x,Y).则
听+虻+兵


因此,当n>1时,
Y1+%+弘

日。+l一口。=(忍+1)2b。+l—n26。 =(,z+1)2c。+[(n+1)2一,z2]b。 :(一1)n一?4+(2n+1)6。


戈2—●广一,y 2—]■一。
故由式③得

3戈+3×922-3x一十3:0



9y2-x+2=o.

≤1+(2n+1)X 2=4n+3. 又当乃=1时,n2一口l=7=4n+3,故对 任意的正整数n,有
o。+1一口。≤4n+3.

又由叫:1 j y:土,代入上式化简整理得
茗3—2x2—9=0

=今(石一3)(z2+名+3)=0=亨名=3.

(丁龙云提供)

万方数据

2015年全国高中数学联赛天津赛区预赛
刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 中等数学 High-School Mathematics 2016(1)

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