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坐标系与参数方程专题2016

时间:2016-03-02


2016 年文科数学二轮专题复习

坐标系与参数方程(1)
? x ? cos ? 1.(2008 新课标)已知曲线 C1: ? (? 为参数) ,曲线 C2: ? ? ? ? y ? sin ? ? 2 t? 2 2 (t为参数) ?y ? 2 t ? ? 2 x?



(1)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (2)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1 ' ,C2 ' 。写出 C1 ' ,C2 ' 的参数方程。

C1 ' 与 C2 ' 公共点的个数和 C1 与 C2 公共点的个数是否相同?说明你的理由。

x ? ?4 ? cos t , x ? 8cos ? , ( 为参数) 2.(2009 新课标) 已知曲线 C 1 : ? (t 为参数) , C2 :? 。 ? ? ? ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,
(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? 为参数)距离的最小值。

?

x ? 3 ? 2t , ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ? ? 2 ? y ? ?2 ? t

(t

? ? ?x=1+tcosα, ?x=cosθ 3.(2010 新课标)已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2:? (θ 为参数). ?y=tsinα, ?y=sinθ, ? ?

π (1)当 α= 时,求 C1 与 C2 的交点坐标;(2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 3 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.

2016 年文科数学二轮专题复习

4.(2011 高考新课标)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? x ? 2cos ? 的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2(Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 异于极点的交点为 B,求 AB .
??? ? ???? ?

? ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数) ,M 是 C1 上

?
3

与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的

5. ( 2013 课 标 Ⅱ ) 已 知动 点 P, Q 都 在 曲 线 C : ?

? x ? 2cos ? (? 为 参 数 ) 上 , 对 应 参 数 分 别 为 ? ? ? 与 ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标 原点.

6.【2014 全国 2】在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方 程为 ? ? 2cos ? , ? ? ?0, ? ? .(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线

? ?

2? ?

l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐标.

7.(2015 全国Ⅰ文 23)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐
2 2

标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1 , C2 的极坐标方程. (2)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 △C2 MN 的面积. 4

2016 年文科数学二轮专题复习

坐标系与参数方程(2)
1.【2012 江苏】在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交点, 3? 2 4 ?

?

2. (2013 年课标Ⅰ) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正 ? y ? 5 ? 5sin t

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0, 0 ? ? ? 2? )

3.已知曲线 C 的参数方程是 ? 直角坐标方程。

?x ? 2 cos? (φ 为参数), M 是圆上的动点, 求线段 OM 的中点 P 的轨迹的 ?y ? -1 ? 2 sin?

4.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的及坐标方程为 ? ? 2cos? ,点 Q 在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且满足 O Q : Q P ? 3: 2 ,求动点 P 的轨迹方程

5.已知圆 C: x ? y ? 4 ,直线 L: x ? y ? 2, 以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立
2 2

极坐标系。 (1)将圆 C 和直线 L 的方程化为极坐标; (2)P 是 L 上的点,射线 OP 交圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上,且满足 OQ ? OP ? OR , 当点 P 在 L 上移 动时,求点 Q 的轨迹方程。
2

2016 年文科数学二轮专题复习

6.知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? a cos?(a ? 0).以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 立平面直角坐标系,直线 L 的参数方程为 ? (t 为参数) ?y ? 2 t ? 2 ?
(1) 若直线 L 为曲线 C 相切,求 a 的值; (2) 若直线 L 与曲线 C 相交与 A,B 两点,且 AB ?

2 求 a 的取值范围。 , 2

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 7. (2010 福建)在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 2 5 sin ? 。
(Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。

8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 以 坐 标 原 点 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 已 知 曲 线

? ?x ? ?2 ? ? 2 C: ? sin ? ? 2a cos?(a ? 0), 过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ?
线 C 分别交于 M,N 两点。 (1) 写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2) 若 PM, MN , PN 成等比数列,求 a 的值。

2 t 2 (t 的参数) ,直线 l 与曲 2 t 2

2016 年文科数学二轮专题复习

坐标系与参数方程(3)
1.点 P 是曲线 y ? x 2 ? lnx 上的任一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是______ 2.P 是曲线 y ? x 2 上的任一点,则点 P 到直线 y=x-2 的距离的最小值是___________ 3.P 是曲线 y 2 ? x 上的任一点,则点 P 到直线 y=x+2 的距离的最小值是____________ 4.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程是 ?

?x ? 1 ? 2 cos? (φ ?y ? -1 ? 2 sin?

(2, ) 为参数), 点 Q 的极坐标为 .
(1) 化圆 C 的参数方程为极坐标方程 (2) 若点 P 是圆 C 上的任意一点,求 P,Q 两点间的距离的最小值与最大值

7? 4

1 ? x ? 3? t ? 2 ? 5.(2015 陕西)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).以原点为极点, x 轴 3 ? y? t ? ? 2
正半轴为极轴建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 3 sin ? . (1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2) P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求 P 的直角坐标.

6.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的参数方程是 ?

?x ? 2 cos? (φ ?y ? -1 ? 2 sin?

为参数),直线 L 的极坐标方程为 ?cos? ? ? sin? ? 2 ? 0 ,在曲线 C 上求一点 Q,使的它到直线 l 的距离 的最小,并求出最小距离。

2016 年文科数学二轮专题复习

7.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 3 cos ? ? y ? si n?

(φ 为

参数),直线 l 的极坐标方程为 ?cos? ? ? sin? ? 4 ? 0 ,设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距 离的最小值。

8.【2014 全国 1】已知曲线 C1 :

? x ? 2 ? t, x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t ,

(I)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (II)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 ? 的直线,交 l 于点 A , PA 的最大值与最小值.

9.(2012 新课标文)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? 2 cos? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ? y ? 3 sin ?

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=2.正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A、B、C、D 以逆时 π 针次序排列,点 A 的极坐标为(2,3) (Ⅰ)求点 A、B、C、D 的直角坐标;(Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2 的取值范围.

10.(2015 全国Ⅱ)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C1 :

?

x ? t cos ? t y ? t sin ? ( 为参数, t ? 0 )

其中 0 ? ? ? ? .在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? ,

C3 : ? ? 2 3 cos? .
(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标;(2)若 C1 与 C2 相交于点 A , C1 与 C3 相交于点 B ,求 AB 的最大值.


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