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广东省2011届高三全真高考模拟试卷(二)(数学文)

时间:2013-07-24


2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(二)
本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分. 考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式V ?

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, P ? {1, 2,3, 4,5}, Q ? {3, 4,5,6,7}, 则P ? (CU Q) =( A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,6,7} D.{1,2,3,4,5} 2.下表表示 y 是 x 的函数,则函数的值域是( ) )

x
y
A. [2,5]

0? x?5
2 B. {2,3,4,5}

5 ? x ? 10
3 C. (0,20] )w.

10 ? x ? 15
4 D. N

15 ? x ? 20
5

3. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的零点所在的区间为 (
.

A. (-1,0)

B. (

1 ,1) e

C. (1,2)

D. (1, e ) ( )

4. 已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列, a1 , a2 , a5 成等比数列, a2 = 且 则 A. -2 B. -3 C. 2 D. 3 )

5. 平面向量 a与b 的夹角为 ?, a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | =( 120 A.4 程是( )
2

B.3

C.2

D. 3

6. 若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方 A. ( x ? 3) ? ( y ?

7 2 ) ?1 3

B. ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D. ( x ?

C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1

3 2 ) ? ( y ? 1) 2 ? 1 2

7.设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? x2011 1) 的值为( A. ) B.

1 2010

2009 2010

C.

1 2012

D.

2010 2011


8. 一只小蜜蜂在一个棱长为 4 的正方体内自由飞行, 若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全飞行” ,则蜜蜂“安全飞行”的概率为( A.

1 8

B.

1 16

C.

1 27

D.

27 64


9. 右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是(

-1-

A. 9π C. 11π

B. 10π D. 12π

2 3 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图

10. 设集合 M ? {1 2,4,6} , ,3,5,

且满足: 对任意的 Si ? {ai,bi } ,S j ? {a j,bj } S1,S2, ,Sk 都是 M 的含两个元素的子集, ? ( i ? j , i、j ?{1 2,?,k} ) ,都有 min ? ,3, 个数 x, y 中的较小者) ,则 k 的最大值是( A.10 B.11 C.12

? a j bj ? ? ai bi ? ? ? , ? ? min ? , ? ? bj a j ? ? bi ai ? ? ?
) D.13

( min{x,y} 表示两

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11 ? 13 题)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 11. 实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,那么目标函数 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是______. ?x ? 3 ?
12.已知总体的各个体的值由小到大依次为 2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体 的中位数为 10.5. 若要使该总体的方差最小, a、 的取值分别是 a ? 则 b , b ? _______

13.已知 A 船在灯塔 C 东偏北 10°处,且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°, A、B 两船的距离为 3 km,则 B 到 C 的距离为 _______km. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于 点 P. 若 PB=2,PD=6,则

BC 的值为 AD

。 圆 ? ?2 上 小 值

15. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中, 的点到直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 的距离的最 是 .

?

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) y

) 2 的部分图象如图所示.(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式;
(Ⅱ) 如何由函数 y ? 2sin x 的图象通过适当的 变换得到函数 f ( x ) 的图象, 写出变换过程. 17.(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?

2 O
π 6
5π 12

x

随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据

-2-

的茎叶图如图所示。 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率。

18. ( 本 小 题 满 分 14 分 ) 直 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 底 面 A B C D 直 角 梯 形 , 是

?B A D ? ? A D C? , A B2 A D ? ? 2 2 (Ⅰ)求证: AC ? 平面BB1C1C

?

CD ? 2

(Ⅱ)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面

BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论.
19. (本小题满分 14 分)某商店经销一种广州亚运会纪念品,每件产品成本为 30 元,且每卖 出一件产品,需向税务部门上交 a 元( a 为常数, 2 ? a ? 5 )的税收,设每件产品的日售价 为 x 元( 35 ? x ? 41 ) ,根据市场调查,日销售量与 e x ( e 为自然对数的底数)成反比,已知 每件产品的日售价为 40 元,日销售量为 10 件。
w w . co ..w.. m

(1)求商店的日利润 L ? x ? 元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少时该商店的日利润 L ? x ? 最大,说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 如图, 直线 y ? kx ? b 与椭圆 的面积为 S . (I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程.

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点, △ AOB 记 4 y
A

O
21. (本小题满分 14 分)已知定义域为 ?0,1? 的 函数 f ?x ? 同时满足以下三个条件: ① 对任意的 x ? ?0,1?,总有 f ?x ? ≥0; ② f ?1? ? 1

x

B
(第 20 题)

③若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1,则有 f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? 成立,并且称 f ?x ? 为 “友谊函数” , 请解答下列各题: (1)若已知 f ?x ? 为“友谊函数” ,求 f ?0? 的值; (2)函数 g ?x? ? 2 ? 1 在区间 ?0,1? 上是否为“友谊函数”?并给出理由.
x

-3-

(3)已知 f ?x ? 为“友谊函数”,且 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,求证: f ?x1 ? ? f ( x2 )

2011 年广东高考全真模拟试卷文科数学(二)答案

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 B 7 C 8 A 9 D 10 B

选择题参考: 1. U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, P ? {1, 2,3, 4,5}, Q ? {3, 4,5,6,7}, 则

CU Q ? ?1, 2? , 则P ? (CU Q) = ?1, 2? ,选 A
2. 由定义可知,函数的值域是指函数值 y 的取值构成的集合,本题中函数值只有几个,故采 用列举法,则选 B 3. 由 f ( x) ? x ? ln x , f ( ) ?

1 e

1 1 1 ? ln ? ? 1 ? 0 , f (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ? 0 选 B e e e

4. a1 , a2 , a5 成等比数列,则 a22 ? a1 ? a5 ? (a2 ? 2)(a2 ? 6) ,化简得 a2 ? 3 选D 5. a与b 的夹角为 ?, a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | 120

? ? ? ?? ? ? 2? (a ? 2b) 2 ? (a) 2 ? 4a?b ? 4(b) 2 ? 4 ? 4 ? 2 ? cos ?4 ? 2 , 3
选C

6.由圆和 x 轴相切,设圆心为 (a,1) ,则 7. y ? x
n?1

4a ? 3 16 ? 9

? 1, 解得a ? 2 , 选 B

, 故y' ? (n ? 1) xn , k ? n ? 1 ,则直线方程为 y ? 1 ? (n ? 1)( x ? 1) ,
1 n ? , n ?1 n ?1

令 y ? 0, 则x ? 1 ?

-4-

n ,0) n ?1 123 2011 1 则 x1 ? x2 ??? x2011 ? ,选 C ?? ? 234 2012 2012
故切线与 x 轴的交点为( 8.根据几何概型知识,概率为体积之比,即 P ?

? 4 ? 2?
4
3

3

1 ? ,选 A 8


9.该几何体的表面积为球体和圆柱体表面积之和,则 S ? 4? ?12 ? 2? ?12 ? ? ? 2 ? 3 ? 12? D 10. 含 2 个元素的子集有 15 个,但{1,2}、{2,4}、{3,6}只能取一个; {1,3}、{2,6}只能取一个;{2,3}、{4,6}只能取一个, 故满足条件的两个元素的集合有 11 个.选 B

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11. ?6 12. 作出线性规划图,代入点(3,-3)计算可得最小值为 ?6 ;
2

a ? 10.5, b ? 10.5
2

由 总 体 的 中 位 数 为 10.5 , 则 a ? b ? 21 , 又 方 差

? a ?10.5? ? ? b ?10.5? ??
10
符合题意 13.

? k (常数)

,显然 a ? 10.5, b ? 10.5

2? , AC ? 2, AB ? 3 3 2? BC 长度为 x ,由余弦定理有: x 2 ? 22 ? 2 ? 2 x ? cos ? 32 , 3

6 ?1

;根据图形可知, ?ACB ?

解得 x ? 6 ? 1

14.

1 3

;由平几知识可得: ?PAD ? ?PCB ,则
? 1 3

BC PB 2 ? ? AD PD 6

-5-

15.1

; 圆 ? ? 2 可化为 x2 ? y 2 ? 4 ,直线 ? cos? ? 3 sin ? ? 6 化为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,

?

?

圆心到直线的距离 d ?

0?0?6 1? 3

? 3 ? 2 ,最短距离为 3 ? 2 ? 1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤.
16. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 的部分图象如图所示.(Ⅰ) 解:(Ⅰ)由图象知 A ? 2

?
2

)

求函数 f ( x ) 的解析式;

f ( x) 的最小正周期 T ? 4 ? (
故? ?

5? ? ? )?? , 12 6

2? ?2 T

……3 分

将点 (

?
6

, 2) 代入 f ( x) 的解析式 ? ? ) ? 1 ,又 | ? |?

得 sin(

?
3

?
2

,

∴? ?

?
6

故函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

)

……6 分

(Ⅱ)

如何由函数 y ? 2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f ( x ) 的图象, 写出变换过程.

解:变换过程如下: 图象向左平移

y ? 2sin x

? 个单位 6

? y ? 2sin( x ? ) 6
-6-

所有点的横坐标缩短为原来的 纵坐标不变

1 2

y ? 2sin(2 x ? ) 6
所有点的横坐标缩短为原来的 另解: y ? 2sin x 纵坐标不变

?

? 1 图象向左平移 个单位 12 2 y ? 2sin 2 x

y ? 2sin(2 x ? ) …12 分 6

?

(以上每一个变换过程均为 3 分.)

17: (本小题共 12 分) 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据的茎 叶图如图所示。 (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; 解: (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160—179 之间, 而乙班身高集中于 170—180 之间 ,故乙班平均身高高于甲班; ???5 分

(2)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率 解:设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件为 A, 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173 cm 的同学有: (181,173)(181,176)(181,178)(181,179)(179,173)(179,176)(179,178) 、 、 、 、 、 、 、 (178,173)(178,176)(176,173) 、 、 共 10 个基本事件???10 分

-7-

而事件 A 含有 4 个基本事件: (181,176)(179,176)(178,176)(176,173) ? P ( A) ? 、 、 、 ;

4 2 ? ???12 分 10 5

18.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 直 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,

?BAD ? ?ADC ?

?
2

, AB ? 2 AD ? 2CD ? 2

(Ⅰ)求证: AC ? 平面BB1C1C 证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BB 1 ⊥平面 ABCD,

?BB1⊥AC. …2 分
又? ∠BAD=∠ADC=90°,
AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 ,

∴ AC ? 2 ,∠CAB=45°, ∴ BC ? 2 ,? BC⊥AC. ……5 分

又 BB1 ? BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1 C1 C,

? AC⊥平面 BB1C1C…7 分

(Ⅱ)在 A1B1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面

BCB1 与平面 ACB1 都平行?证明你的结论
解:存在点 P,P 为 A1B1 的中点. 证明:由 P 为 A1B1 的中点, ………………………8 分

-8-

有 PB1 ‖ AB,且 PB 1 = 又∵DC‖ AB,DC=

1 AB. …………9 分 2

1 AB, 2

?DC ∥PB1,且 DC= PB1,
∴DC B1 P 为平行四边形, 从而 CB 1 ∥DP. …………… ……11 分

又 CB 1 ? 面 ACB1 ,DP ? 面 ACB 1 ,

?DP∥面 ACB1.

…………12 分 ……………………………………13 分

同理, DP ∥面 BCB1 .

故 P 为 A1B1 的中点符合题意…………………………14 分

19. (本小题满分 14 分) 某商店经销一种广州亚运会纪念品,每件产品成本为 30 元,且每卖出一件产品,需向税 务部门上交 a 元 a 为常数, 2 ? a ? 5 ) ( 的税收, 设每件产品的日售价为 x 元 35 ? x ?41 ) ( , 根据市场调查,日销售量与 e ( e 为自然对数的底数)成反比,已知每件产品的日售价为 40 元,日销售量为 10 件。
x

ww..o ..w . c m

(1) 求商店的日利润 L ? x ? 元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; 解: (1)设日销量为

k k ,则 40 ? 10 , x e e
2分

? k ? 10 ? e40 .??????????????
10e40 则日销量为 x 件,每件利润为(x-30-a) e
则日利润 L(x) ? 10 ? e ?
40

x ? 30 ? a ?????????? 4 分 ex

-9-

(2)

当每件产品的日售价为多少时该商店的日利润 L ? x ? 最大,说明理由.

L?(x) ? 10 ? e 40 ?
解:由(1) :

31 ? a ? x ????????? 6 分 ex
'

①当 2 ? a ? 4 时, 33 ? 31 ? a ? 35 , L(x)<0 ,

L(x) 在 ?35,41? 上减函数.? 当 x=35 时,
5 L(x) 的最大值为 10 ? 5 ? a ? e .

??????? 8 分 ②当 4 ? a ? 5 时, 35 ? 31 ? a ? 3b ,由 L(x)=0 得 x=a+31
'



x ? ?35, a ? 31?

?35, a ? 31 上是增函数. 时, L(x)>0 , L(x) 在
'

?

?????10 分 当

x ? ? a ? 31,41?

? a ? 31,41 上是减函数. 时, L(x)<0 , L(x) 在
'

?

?当 x=a+31 时,

L(x) 的最大值为 10e9? a . ???????? 12 分

?10 ? 5 ? a ? e5 , (2 ? a ? 4) ? L(x) max ? ? 9?a ?10e , (4 ? a ? 5) ? ‘综上所述 .???????? 14 分

20. (本小题满分 14 分) 如图,直线 y ? kx ? b 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1交于 A,B 两点,记 △ AOB 的面积为 S . 4
y A

I)求在 k ? 0 , 0 ? b ? 1 的条件下, S 的最大值; (Ⅰ)解:设点 A 的坐标为 ( x1,b) , 点 B 的坐标为 ( x2,b) ,???1 分

x

O
B
(第 20 题)
- 10 -

x



x2 ? b 2 ? 1,代入方程: 4

解得 x1, ? ?2 1 ? b 2 ,????? 3 分 2 所以 S ?

1 (基本不等式) b? x1 ? x2 ? 2b? 1 ? b2 ≤ b2 ? 1 ? b2 ? 1 . 2
????? 5 分

当且仅当 b ?

2 时, S 取到最大值 1 .?????6 分 2

(II)当 AB ? 2 , S ? 1 时,求直线 AB 的方程.

? y ? kx ? b, ? (Ⅱ)解:由 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4
得 ?k2 ?

? ?

1? 2 2 ? x ? 2kbx ? b ? 1 ? 0 , 4?


? ? 4k 2 ? b2 ? 1 ,??? 8 分
| AB |? 1 ? k 2 ? x1 ? x1 | |

? 1? k 2 ?

4k 2 ? b 2 ? 1 ? 2 . ?? 9 分 1 2 ?k 4



设 O 到 AB 的距离为 d , 则d ?

2S ? 1 ,????? 10 分 | AB |
|b| 1? k 2
2

又因为 d ?



所以 b ? k ? 1 ,代入②式并整理,得
2

k4 ? k2 ?

1 ?0, 4

????? 12 分

- 11 -

解得 k 2 ?

1 3 , b2 ? , 2 2

代入①式检验, ? ? 0 ,均符合题意 ????? 13 分 故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 或y? x? x? 2 2 2 2 2 6 2 6 ,或 y ? ? ????? 14 分 x? x? 2 2 2 2

或y??

21. (本小题满分 14 分) 已知定义域为 ?0,1? 的函数 f ?x ? 同时满足以下三个条件: ① 对任意的 x ? ?0,1?,总有 f ?x ? ≥0; ② f ?1? ? 1 ; ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1,则有 f ?x1 ? x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? 成立,并且称 f ?x ? 为 “友谊函数” , 请解答下列各题: (1)若已知 f ?x ? 为“友谊函数” ,求 f ?0? 的值; 解: (1)取 x1 ? x2 ? 0 得 f ?0? ? f ?0? ? f ?0? ,???? 2 分 又由 f ?0? ? 0 ,得 f ?0? ? 0 ????4 分

(2)函数 g ?x? ? 2 ? 1 在区间 ?0,1? 上是否为“友谊函数”?并给出理由.
x

解(2)显然 g ?x? ? 2 ? 1 在 ?0,1? 上满足① g ?x ? ? 0; ② g ?1? ? 1
x

???6 分

- 12 -

若 x1 ? 0, x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? 1,则有

g ? x1 ? x2 ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? 2 x1 ? x2 ? 1 ? ?? 2 x1 ? 1? ? ? 2 x2 ?1?? ? ? ? ?
? ? 2 x1 ? 1?? 2 x2 ?1? ? 0
故 g ?x? ? 2 x ? 1 满足条件①﹑②﹑③ 所以 g ?x? ? 2 x ? 1 为友谊函数. ???? 9 分

(3)已知 f ?x ? 为“友谊函数”,且 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,求证: f ?x1 ? ? f ( x2 ) 解: (3)因为 1 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 0< x 2 ? x1 <1,???? 11 分 所以 f ?x2 ? ? f ?x2 ? x1 ? x1 ? ? f ?x2 ? x1 ? ? f ?x1 ? ? f ?x1 ? ?? 14

- 13 -


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