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2014届高三数学(文)一轮总复习平面向量的概念及线性运算




节 平面向量的概念及线 性运算
基础自主梳理

考向互动探究

最新考纲 1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量相等的 含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几 何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解 两个向量共

线的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

1.如图所示,在正六边形 ABCDEF 中,

BA + CD + EF 等于(
(A)0 (B) BE

D

)

(C) AD (D) CF

解析:由于 BA = DE ,
?

故 BA + CD + EF = CD + DE + EF = CF . 故选 D.

2.如图,e1,e2 为互相垂直的单位向量,则向量 a-b 可表示为( C ) (A)3e2-e1 (B)-2e1-4e2 (C)e1-3e2 (D)3e1-e2

解析:由题图可知 a=-4e2,b=-e1-e2, 则 a-b=e1-3e2, 故选 C.

3.给出下列命题: ①向量 AB 与向量 BA 的长度相等,方向相反; ② AB + BA =0; ③a 与 b 平行,则 a 与 b 的方向相同或相反; ④两个相等向量的起点相同,则其终点必相同; ⑤ AB 与 CD 是共线向量,则 A、 C、 四点共线. B、 D

其中不正确的命题的个数是( B ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:①正确;②中 AB + BA =0,而不等于 0; ③中 a 或 b 为零向量满足 a 与 b 平行,不能说 a 与 b 的方向相同或相反,因为零向量的方向是任意的; ④正确;⑤中 AB 与 CD 所在直线还可能平行, 综上可知②③⑤错.故选 B.

4.若 e1,e2 是不共线的两个向量,则下列各组中 的向量 a,b 共线的有 (填序号).

①a=2e,b=-2e;②a=e1 -e2,b=-2e1+2e2;

2 ③a=4e 5
1

1 e ,b=e e; 10
2 1 2

④a=e1+e2,b=2e1-2e2.

解析:①由 b=-2e=-a,所以 a 与 b 共线, ②由 b=-2e1+2e2=-2(e1-e2)=-2a,故 a 与 b 共线,

2 ③由 a=4e 5
1

1 e =4(e e )=4b,故 a 与 b 共线, 10
2 1 2

④因为 b=2(e1-e2),显然 a 与 b 不共线,故填①②③. 答案:①②③

(3)模向量的大小叫做向量的模,记作|a|,|b|或 ( 模 3) | AB |,| CD |. 向量的大小叫做向量的模, 记作| ,b| a|| 或 2.特殊向量 . |AB ||CD | , 见附表 2. 特殊向量 3.向量的线性运算 见附表 见附表 3. 向量的线性运算 见附表

质疑探究 1:你能给出 |a+b| +|a-b| =2(|a| +|b| )(a,b 不共线)的几何 意义吗? 提示:几何意义是“平行四边形两条对角线的平 方和等于它的四条边的平方和”.
2 2 2 2

4.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使得 b=λ a. 质疑探究 2:λ=0 与 a=0 时,λa 的值是否相等? 提示:相等且为零向量.

平面向量的基本概念

【例 1】 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB = DC 是 四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c.

其中正确命题的序号是( (A)②③ (B)①②

) (D)④

(C)③④

解析:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的 方向不一定相同.

②正确.∵ AB = DC , ∴|

AB |=| DC |且 AB ∥ DC ,

又 A,B,C,D 是不共线的四点, ∴四边形 ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形 ABCD 为平行四边形,

AB ∥ DC 且| AB |=| DC |, 因此, AB = DC .


③正确,∵a=b,∴a,b 的长度相等且方向相同, 又 b=c,∴b,c 的长度相等且方向相同, ∴a,c 的长度相等且方向相同,故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时,即使|a|=|b|, 也不能得到 a=b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充 要条件,而是必要不充分条件. ⑤不正确.考虑 b=0 这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是②③.故选 A.

(1)解决平面向量概念辨析题的关键 是准确理解向量的基本概念,尤其是对相等向 量、共线向量、零向量等特殊向量概念的理解 要到位. (2)解决该类题目常用的方法:①利用反例进行 否定; ②特殊向量验证法.

变式训练 1 1:给出下列四个命题,其中所有正 确命题的序号是 . (1)a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线; (2)任意两个相等的非零向量的始点与终点是 一个平行四边形的四顶点; (3)向量 a 与 b 不共线,则 a 与 b 都是非零向量; (4)有相同起点的两个非零向量不平行.

解析:由于零向量与任一向量都共线,所以命题(1) 中的 b 可能为零向量,从而不正确;由于数学中研 究的向量是自由向量,所以两个相等的非零向量可 以在同一直线上,而此时就构不成四边形,更不可 能是一个平行四边形的四个顶点,所以命题(2)不 正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起 点是否相同无关,所以命题(4)不正确;对于命题 (3),其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命 题入手考虑,假若 a 与 b 不都是非零向量,

即 a 与 b 至少有一个是零向量,而由零向量与任 一向量都共线,可有 a 与 b 共线,其逆否命题正 确,故命题(3)正确,综上所述,正确命题的序号 是(3). 答案:(3)

平面向量的线性运算
【例 2】 在△ABC 中,D、E 分别为 BC、AC 边上的 中点,G 为 BE 上一点,且 GB=2GE,设 AB =a,

AC

=b,试用 a,b 表示 AD ,

AG .

解:

1 AD = 2

1 ( AB + AC )= 2

1 a+ 2

b;

2 AG = AB + BG = AB + BE 3

1 = AB + ( BA + BC ) 3

2 1 = AB + ( AC - AB ) 3 3

1 1 = AB + AC 3 3
1 1 = a+ b. 3 3

(1)向量线性运算的解题方法: ①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则, 一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求 差用三角形法则,求首尾相连向量的和用三角形 法则. ②找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧: ①观察各向量的位臵;②寻找相应的三角形或四边形; ③运用法则找关系;④化简结果.

变式训练 2 1:在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分 ∠ACB,若 CB =a, 于( ) b b

CA =b,|a|=1,|b|=2,则 CD 等
1 a+ b 3 3 a+ b 5

1 2 (A) a+ 3 3 3 4 (C) a+ 5 5

2 (B) 3 4 (D) 5

解析:如图所示,CD 平分∠ACB, 由角平分线定理得

AD DE

AC = BC

=

b a

=2,

2 AB , 所以 AD =2 DB = 3
所以 CD = CA +

AD

2 = CA + AB 3 2 = CA + ( CB - CA ) 3 1 2 CB + CA = 3 3 2 1 = a+ b. 3 3
故选 B.

共线向量定理的应用
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线, (1)若 AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), 求证:A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

思维导引:解决向量共线或点共线问题的理论依 据是什么? (共线向量定理)

(1)证明:∵ AB =a+b, BC =2a+8b, CD =3(a-b), ∴ BD = BC + CD =2a+8b+3(a-b)= 2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5 AB . ∴

AB 、 BD 共线,

又∵它们有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线.

(2)解:∵ka+b 与 a+kb 共线, ∴存在实数λ ,使 ka+b=λ (a+kb), 即 ka+b=λ a+λ kb. ∴(k-λ )a=(λ k-1)b. ∵a、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ =λ k-1=0,∴k -1=0.∴k=±1.
2

(1)共线向量定理及其应用: ①可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以 由向量共线求参数的值; ②若 a,b 不共线,则λa+μb=0 的充要条件是λ= μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛. (2)证明三点共线的方法: 若 AB =λ AC ,则 A、B、C 三点共线.

变式训练 3 1:设 e1,e2 是两个不共线向量,已知

AB =2e -8e , CB
1 2

=e1+3e2, CD =2e1-e2.

(1)求证:A、B、D 三点共线. (2)若 BF =3e1-ke2,且 B、 F 三点共线,求 k 的值. D、

(1)证明:由已知得

BD = CD - CB =(2e -e )-(e +3e )=e -4e ,
1 2 1 2 1 2

∵ 又

AB =2e -8e ,∴ AB =2 BD .
1 2

AB 与 BD 有公共点 B,∴A、B、D 三点共线.

(2)解:由(1)可知 BD =e1-4e2, ∵ BF =3e1-ke2,且 B、D、F 三点共线, ∴ BF =λ

BD ,

即 3e1-ke2=λ e1-4λ e2,

?? ? 3, 得? 解得 k=12. ?? k ? ?4? ,

【例 1】 在△ABC 中,

CA =a, CB =b,M 是

CB 的中点,N 是 AB 的中点,且 CN、AM 交于点 P,则

AP 可用 a,b 表示为

.

解析:如图所示,

AP =

AC + CP
2 =- CA + CN 3 2 1 =- CA + × ( CA + CB ) 3 2

1 =- CA + CA + CB 3 1 =- CA + CB 3 2 1 =- a+ b. 3 3 2 1 答案:- a+ b 3 3

【例 2】如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点, 点 N 在边 AC 上,且 AN =2 NC ,AM 与 BN 相交于 点 P,求 AP∶PM 的值.

解:设 AP =λ

AM ,

又 M 是 BC 的中点,且 AN=2NC,

3 ∴ AC = AN , 2 1 ∴ AP =λ · ( AB + AC )= 2

? ? ? 3 AB + AC = AB + 4 2 2 2
∵B 、P 、N 三点共线,

λ

AN ,

? 3 4 ∴ + λ=1, ∴λ= , 5 2 4
∴AP ∶P M =4∶1.

忽略 0 的特殊性致误 【典例】(2012 临沂模拟)下列命题中正确的是( 使 b=λ a (B)在△ABC 中, AB + BC + CA =0 (C)不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中两个等号不 可能同时成立 (D)向量 a、 不共线,则向量 a+b 与向量 a-b 必不共线 b ) (A)向量 a、 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ , b

正确解析:若 a=0,b≠0,此时 a,b 共线,但对任意实 数λ都不满足 b=λa,故选项 A 不正确; AB + BC + CA =0 而不是 0,故选项 B 不正确;当 a,b 中至少 有一个为 0 时,两个等号同时成立,故选项 C 不正确; ∵向量 a 与 b 不共线, ∴a,b,a+b 与 a-b 均不为零向量.

若 a+b 与 a-b 共线,则存在实数λ,使 a+b=λ(a-b), 即(λ-1)a=(1+λ)b,

?? ? 1 ? 0, ∴? 方程组无解,故假设不成立, ?1 ? ? ? 0,
即 a+b 与 a-b 不共线, 故选 D.

涉及零向量的问题时容易出现两种 失误: (1)0 是长度为 0,方向任意的向量,规定 0 与任意 向量平行,0 与任意向量的数量积为 0,因此在涉及 向量共线或垂直位臵时要注意 0 的特殊性. (2)0 与 0 的区别:前者是一向量,后者是一数量, 书写时差别较小,因此解题时很容易忽视零向量 的写法而致误.

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