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1集合的概念与运算 2


集合的概念与运算
知识要点:
1.1 集合的有关概念 (1)定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 (2)元素的三要素:集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。 (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法; (4)集合的分类:有限集、无限集和空集,空集记作 ? ; (5)元素 a 和集合 A 之间的关系:a∈

A,或 a ? A; (6)常用数集:自然数集:N ;正整数集: N * 或 N ? ;整数集:Z;有理数集:Q;实数集:R
N* ? N ? Z ? Q ? R

1.2

子集

(1)定义:A 中的任何元素都属于 B,则 A 叫 B 的子集 ;记作:A ? B, 注意:A ? B 时,A 有两种情况:A=φ 与 A≠φ (2)性质:① A ? A, ? ? A ;②若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ;③若 A ? B, B ? A 则 A=B ; 1.3 真子集 (1)定义:A 是 B 的子集 ,且 B 中至少有一个元素不属于 A;记作: A ? B ; (2)性质:① A ? ? , ? ? A ;②若 A ? B, B ? C ,则 A ? C ; 1.4 补集:

(1)定义:记作: CU A ? {x | x ?U , 且x ? A}; (2)性质: A ? CU A ? ?,A ? CU A ? U,CU (CU A) ? A; 1.5 交集与并集

(1)交集: A B ? { x | x ? A, 且 x ? B} 性质:① A ? A ? A, A ? ? ? ? ②若 A ? B ? B 则 B ? A (2) 并集:A B ? { x | x ? A, 或 x ? B} 性质: ① A ? A ? A, A ? ? ? A ②若 A ? B ? B , 则A? B 1.6 区分集合中元素的形式: 如 A ? {x | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; C ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; B ? { y | y ? x 2 ? 2x ? 1} ; D ? {x | x ? x 2 ? 2x ? 1} ;
2 E ? {( x, y) | y ? x 2 ? 2x ? 1, x ? Z , y ? Z} ; G ? {z | y ? x ? 2 x ? 1, z ?

y } x

1.7 子集个数: n 元集(例如 A ? {a1 , a2 ,?an })有 2n 个子集; 有 2 n ? 1个真子集;有 2 n ? 1个非空子集; 有
2n ? 2 个非空真子集. 满足 ? 1,2,3? ? A ? ? 1,2,3,?, n? 的集合 A 的个数为 2 n?3 ;

典型例题: 例 1、已知 A ? {1,1 ? d ,1 ? 2d}, B ? {1, q, q 2 }, 若 A ? B, 球 d , q 的值。

例2、已知 M ? {a, b, c, d} ,且 {a} ? N ? M ,求集合N的个数,并分别表示出来。

-

例 3、若集合 A ? ? x | x 2 ? ax ? 1 ? 0, x ? R? ,集合 B ? ?1,2? ,且 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

例 4、集合 A={x|x2-3x+2=0}, B={x|x2-ax+a-1=0} ,C={x|x2-mx+2=0},若 A∪B=A, A∩C=C,求实数 a、m 之值.

例 5、已知集合 A= {x | x2 ? 3x ?10 ? 0},B= {x | m ? 1 ? x ? 2m ?1} ,若 A∪B=A,求实数 m 的取 值范围。

例 6、已知集合 {x | ax2 ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R, x ? R} (1) 若 A 中只有一个元素,求 a 的值; (2)若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围。

例 7、记关于 x 的不等式 (1) 若 a ? 3 ,求 P

x?a ? 0 的解集 P,不等式 | x ? 1 |? 1 的解集为 Q。 x ?1

(2) 若 Q ? P, 求正数 a 的取值范围。

课堂练习:一、选择题 1.若 U={1,2,3,4}, M={1,2},N={2,3}, 则 CU ? M (A) {1,2,3} (B) {4} (C) {1,3,4}

N?= (



(D) {2} )

2.设集合 U={0,1,2,3,4,5},集合 M={0,3,5},N={1,4,5}则 M∩( CU N )=( (A){5} (B){0,3} (C){0,2,3,5} (D) {0,1,3,4,5}


3.已知 P={0,1},M={x∣x ? P},则 P 与 M 的关系为(

( A) P ? M

( B) P ? M

(C) P ? M

( D) P ? M


4.设集合 P ?? 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6? , Q ? ?x ? R 2 ? x ? 6? 那 么 下 列 结 论 正 确 的 是 ( (A) P ? Q ? P (C)
P?Q ? Q

(B) P ? Q ? ?Q (D) P ? Q ? ?P

5.设集合 M ? x x 2 ? x ? 0 , N ? x x ? 2 ,则

?

?

?

?





(A) M N ? ? (B) M N ? M (C) M N ? M (D) M N ? R 6.已知全集 U ? R, 且 A ? ? x | x ? 1 ? 2? , B ? ? x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0? , 则 (CU A) B 等于( (A) [?1, 4) 7.已知集合 A ? x x 2 ? 5 x ? 6 ? 0 ,集合 B ? x 2 x ? 1 ? 3 ,则集合 A B ? (



?

(B) (2,3)

?

(C) (2,3]

?

?

(D) (?1, 4) )

(A) ? x 2 ? x ? 3?

(B) ? x 2 ? x ? 3?

(C) ? x 2 ? x ? 3?

(D) ? x ?1 ? x ? 3? )

5 ? ? 8 . 已 知 集 合 M ? ?x || x ? 1 |? 2, x ? R? , P ? ? x | ? 1, x ? Z ? 则 M ? P 等 于 ( ? x ?1 ?

(A) ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? (C)

(B) ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? (D) ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

9.设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , B ? ? y | y ? ? x 2 , ?1 ? x ? 2? ,则 CR ? A B? 等于( (A) R (B) ? x x ? R, x ? 0? (C)

?

?



?0?

(D) ?

10.设集合 P ? ?m | ?1 ? m ? 0?, Q ? m ? R | mx2 ? 4mx ? 4 ? 0对任意实数 x恒成立 ,则下列关系中
成立的是( A. P Q ) B.Q P C.P=Q D. P ? Q ? Q

?

?

二、填空题:

1 . 已 知集 合 A ? x x ? a ? 1 , B ? x x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 ,若 A ? B ? ? ,则实 数 a 的取值范 围 是 . ,B ? 2.设全集 U ? ? x | 0 ? x ? 10, x ? N ? ? ,若 A B ? ?3? , A CU B ? ?1,5,7? ,

?

?

?

?

CU A CU B ? ?9? ,则 A ?
三、解答题



1、已知集合 A ? ? x x ? 1? ,集合 B= ? x m ? x ? m ? 3? ; (1)当 m ? ?1 时,求 A ? B, A ? B ; (2) 若 B ? A ,求 m 的取值范围.

2. 已知 A={x|x3+3x2+2x>0}, B={x|x2+ax+b≤0}且 A∩B={x|0<x≤2}, A∪B= {x|x>—2} , 求 a、b 的值.


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