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上海市各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(7)平面向量

时间:2011-05-11


上海市各地市 2011 年高考数学最新联考试题分类大汇编 部分:平面向量 第 7 部分 平面向量
一、选择题: 选择题:

2.(上海市十校 2010-2011 学年第二学期高三第二次联考理科)设 a = (2, 4), b = (1,1) , ( 2010学年第二学期高三第二次联考理科) 若 b ⊥ ( a + m ? b) ,则实数 m =

/>
r

r

r

r

r

-3



5、 上海市虹口区 2010-2011 学年第二学期高三教学质量测试理科)以 O 为起点作向量 a , , ( 2010学年第二学期高三教学质量测试理科) b 终点分别为 A 、 B .已知: a = 2 , b = 5 , a ? b = ?6 ,则 ?AOB 的面积等于 4 .

12. (上海市五校 2011 年联合教学调研理科 2011 年联合教学调研理科已知函数 y=f(x)的图像是开口向下的抛物线,且 对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1+x),若向量 a = (log 1 m, ? 1), b = (1,?2) ,则满足不等式
2

f (a ? b) < f (?1) 的实数 m 的取值范围是

1 。 (0, ) ∪ (8,+∞ ) 2

7.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)经过点 A(1, 0) 且法向量为 d = (2, ?1) 的 ( 届高三下学期质量调研文科) 直线 l 的方程为 . 2x ? y ? 2 = 0

u r

12.(上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ( 届高三下学期质量调研文科)

OABC 的边长为 1 , E 为 AB 的中点,若 F 为正方形内 uuu uuu r r ( 含 边 界 ) 任 意 一 点 , 则 OE ? OF 的 最 大 值
为 .

y C F E B

3 2
O

A x

6、(上海市奉贤区 2011 年 4 月高三调研测试)已知 | a |=| b |= 2, a与b 的夹角为 上海市奉贤区 月高三调研测试) 的投影为

r

r

r r

π
3

,则b 在a 上

1

8、(上海市徐汇区 2011 年 4 月高三学习诊断文科) 已知直线 l 经过点 ( ? 5, 0) 且方向向量为 、 上海市徐汇区 月高三学习诊断文科) 已知直线

(2, ?1) ,则原点 O 到直线 l 的距离为

1



10. (上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)一长方形的四个顶点在直角坐标平面内的射 月高考模拟理科) 影的坐标分别为 (?1, 2), (3,3), (?3,5), (1,6) ,则此长方形的中心在此坐标平面内的射影的 坐标是 . (0, 4)
[来源:Z,xx,k.Com]

13 .(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)已知向量 OA , OB 的夹角为 月高考模拟理科) (
uuu r uuu uuuu r r | OB |= 1 ,若点 M 在直线 OB 上,则 | OA ? OM | 的最小值为

uuu r

uuu r

uuu r π , | OA |= 4 , 3

. 2 3

三、解答题: 解答题: 21.(上海市十三校 2011 年高三第二次联考理科)(本小题满分 14 分,第 1 小题满分 6 分, 年高三第二次联考理科) ( 第 2 小题满分 8 分) 1 b 定义一种向量运算: ? b = ( a1b1 , a 2 b2 ) , a 已知 m = ( , 2a ) , 设 a = ( a1 , a 2 ) , = ( b1 , b2 ) , 2

, 0) , P ( x , y ) 在函数 g ( x) = sin x 的图象上运动, Q 在函数 y = f ( x) 的图象上运动, 点 点 4 且满足 OQ = m ? OP + n (其中 O 为坐标原点) 。 (1)求函数 f ( x) 的解析式;
(2)若函数 h( x) = 2a sin 2 x + 求 a , b 的值。
1 π 21. (1)设 Q ( x , y ) , P ( x0 , sin x0 ) ,则由 OQ = m ? OP + n 得 ( x , y ) = ( x0 + , 2a sin x0 ) 。…………… 2 4 (2 分) 1 π ? π π ? x = x0 + 即? 2 4 , 消去 x0 ,得 y = 2a sin ( 2 x ? ) ,即 f ( x) = 2a sin ( 2 x ? ) = ?2a cos 2 x 。……(6 2 2 ? y = 2a sin x0 ? 分)
[来源:Zxxk.Com]

n=(

π

π 3 π f ( x ? ) + b ,且 h(x) 的定义域为 [ , π ] ,值域为 [2 , 5] , 2 4 2

(2) h( x) = 2a sin 2 x + 分) 因为 x ∈ [ 分)

3 π π [?2a cos (2 x ? ) ] + b = ? a cos 2 x ? 3a sin 2 x + a + b = ?2a sin (2 x + ) + a + b , (9 2 2 6

π
2

, π ] ,所以 2 x +

π
6

∈[

7π 13π π 1 , ] ,所以 sin (2 x + ) ∈ [ ? 1 , ] 。………………………(10 6 6 6 2

?? a + a + b = 2 ?a = 1 ?? a + a + b = 5 ?a = ?1 当 a > 0 时, ? ,解得 ? 。当 a < 0 时, ? ,解得 ? 。………(14 分) 2a + a + b = 5 b=2 2a + a + b = 2 ? ? ? ?b=5

21.

届高三下学期质量调研文科) (上海市闵行区 2011 届高三下学期质量调研文科) 个小题, (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,

第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分.

已知 O 是线段 AB 外一点,若 OA = a , OB = b . (1)设点 P 、 Q 是线段 AB 的三等分点,试用向量 a 、 b 表示 OP + OQ ; (2)如果在线段 AB 上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论. 说明:第(2)题将根据结论的一般性程度给 予不同的评分. 21. 解: (1)如 图:点 P 、 Q 是 线段 AB 的三等分点 OP = OA + AP

uuu r

r

uuu r

r

r

r

uuu uuur r

uuu r

uuu uuu r r

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

uuu 1 uuu uuu r r r uuu 2 r 1 r r uuur 1 r 2 r = OA + (OB ? OA) ,则 OP = a + b ,同理 OQ = a + b , (2 分) 3 3 3 3 3 uuu uuur r r r 所以 OP + OQ = a + b (4 分)

r r a+b ; (2)层次 1:设 A1 是 AB 的二等点,则 OA1 = 2
设 A1、A2、A3 是 AB 的四等分点,则

O B Q A1 P A

r r uuur uuuu uuuu 3 ( a + b ) r r OA1 + OA2 + OA3 = 等等(结论 2 分,证明 2 分) 2
层次 2:设 A1 , A2 ,L , An ?1 是 AB 的 n 等分点,

uuur uuuuur uu uu r r
则 OAk + OAn ? k = OA + OB 等; (结论 2 分,证明 4 分) 层次 3:设 A1 , A2 ,L , An ?1 是 AB 的 n 等分点, 则∴ OA1 + OA2 + L + OAn ?1 =

uuur uuuu r

uuuuur

n ?1 r r ( a + b) ; 2

(结论 3 分,证明 7 分)

证: A1 , A2 ,L , An ?1 是线段 AB 的 n( n ≥ 3) 等分点,先证明这样一个基本结论:

uuuu uuuuuu uuu uuu r r r r OAk + OAn ? k = OA + OB (1 ≤ k ≤ n ? 1, n、k ∈ N* ) .
由 OAk =OA + AAk , OAn ? k =OB + BAn ? k ,因为 AAk 和 BAn ? k 是相反向量, 则 AAk + BAn ? k = 0 , 所以 OAk + OAn ? k = OA + OB . 记 S = OA1 + OA2 + OA3 + L + OAn ? 2 + OAn ?1 , S = OAn ?1 + OAn ? 2 + L + OA2 + OA1

uuuu uuu uuuu uuuuuu uuu uuuuur r r r r r uuuu uuuuur r

uuuu r

uuuuur

uuuu uuuuuu r r

uuu uuu r r

uuur uuuu uuuu r r

uuuuuu uuuuur r

uuuuur uuuuuu r

uuuu uuur r uuu uuu r r

相加得 2 S = (OA1 + OAn ?1 ) + (OA2 + OAn ? 2 ) + L + (OAn ?1 + OA1 ) = ( n ? 1)(OA + OB )

uuur uuuuur

uuuu uuuuuu r r

uuuuur uuur

uuur uuuu r uuuuur n ? 1 r r ∴ OA1 + OA2 + L + OAn ?1 = ( a + b) 2
20. 上海市杨浦区 月高三模拟理科) 个小题, 20.(上海市杨浦区 2011 年 4 月高三模拟理科) (本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1

小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知向量 a = (sin x, cos x ) , b = (sin x, sin x ) , c = ( ?1, 0) . (1)若 x =

r

r

r

π
3

,求向量 a 、 c 的夹角 θ ;

(2)若 x ∈ ? ?

1 ? 3π π ? , ? ,函数 f ( x) = λ a ? b 的最大值为 ,求实数 λ 的值. 2 ? 8 4?

20. 个小题, 20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1) 解: )当 x = (

π
3

时, a = ?

r

? 3 1? …………………………… ……………………1 ? 2 , 2 ? , …………………………… 分 ? ? ?

3 r r ? a?c 3 r r = 2 =? ……………………… 所以 cos θ = uu ……………………… 4 分 2 | a | ? | c | 1× 1
因而 θ =

5π ; 6
2

……………………………………6 …………………………………… 分

(2) f ( x ) = λ (sin x + sin x cos x ) = )

λ
2

(1 ? cos 2 x + sin 2 x) , ……………… 分 ……………… …………7

f ( x) =

λ?

π ? ?1 + 2 sin(2 x ? ) ? 2? 4 ?

……………………………………10 …………………………………… 分

因为 x ∈ ? ?

π ? π π? π ? π π? ? 3π π ? 2 , ? ,所以 2 x ? ∈ ? ? π ,, ? 4 ? 2 4? 4 ? 2 4? ? 8 4? ? ?
λ

………………………11 ……………………… 分

1 1 …………………………12 ,即 λ = , ………………………… 分 2 2 2 λ 1 1 ? 2 = ,即 λ = ?1 ? 2 .…………… 分 ……………13 当 λ < 0 时, f max ( x ) = …………… 2 2 1 ……………………………………………14 所以 λ = 或λ = ?1 ? 2 . …………………………………………… 分 2
当 λ > 0 时, f max ( x ) =

(1 + 1) =

(

)

[

21.(上海市卢湾区 2011 年 4 月高考模拟理科)(本题满分 13 分)本题共有 2 个小题,第 1 月高考模拟理科) 个小题, 小题满分 6 分,第 2 小题满分 7 分. x2 y2 已知椭圆 E : 2 + 2 = 1 ( a > b > 0 )过点 P (3, 1) ,其左、右焦点分别为 F1 , F2 ,且 a b
uuur uuuu r F1 P ? F2 P = ?6 .

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 M , N 是直线 x = 5 上的两个动点,且 F1 M ⊥ F2 N ,则以 MN 为直径的圆 C 是否过 定点?请说明理由.
21.解: (1)设点 F1 , F2 的坐标分别为 (?c,0),(c,0)(c > 0) ,

uuur uuuu r 则 F1 P = (3 + c,1), F2 P = (3 ? c,1), uuur uuuu r 故 F1 P ? F2 P = (3 + c)(3 ? c) + 1 = 10 ? c 2 = ?6 ,可得 c = 4 ,

…………………2 分

[来源:学科网 ZXXK]

所以 2a =| PF1 | + | PF2 |= (3 + 4)2 + 12 + (3 ? 4)2 + 12 = 6 2 ,…………………4 分 故 a = 3 2, b2 = a 2 ? c 2 = 18 ? 16 = 2 , 所以椭圆 E 的方程为

uuuur uuuu r (2)设 M , N 的坐标分别为 (5, m),(5, n) ,则 F1M = (9, m), F2 N = (1, n) , uuuur uuuu r uuuur uuuu r 又 F1M ⊥ F2 N ,可得 F1M ? F2 N = 9 + mn = 0 ,即 mn = ?9 , …………………8 分

x2 y 2 + = 1. 18 2

……………………………6 分

m+n |m?n| ), 半径为 , 2 2 m+ n 2 |m?n| 2 ) =( ) , 故圆 C 的方程为 ( x ? 5)2 + ( y ? 2 2
又圆 C 的圆心为 (5, 即 ( x ? 5) 2 + y 2 ? ( m + n) y + mn = 0 , 也就是 ( x ? 5)2 + y 2 ? (m + n) y ? 9 = 0 , 令 y = 0 ,可得 x = 8 或 2, 故圆 C 必过定点 (8,0) 和 (2,0) .

……………………11 分

……………………13 分

(2)中可利用圆 C 直 径的 (另法: 1)中也可以直接将点 P 坐标代入椭圆方程来进行求解; ( 两端点直接写出圆 C 的方程)

[来源:学§科§网]


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