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西安市五大名校2013届第五次联考数学(理)试题


西安市五大名校 2013 届第五次联考数学(理)试题
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分。考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1.下列说法中,正确的是( ) 2

2 A.命题“若 am < bm ,则 a < b ”的逆命题是真命题 2 2 B.命题“ ?x ∈ R , x ? x > 0 ”的否定是:“ ?x ∈ R , x ? x ≤ 0 ”

C.命题“p 或 q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 D.已知 x ∈ R ,则“ x > 1 ”是“ x > 2 ”的充分不必要条件 2.点 ( a, b ) 在直线 x + 2 y = 3 上移动,则 2a + 4b 的最小值
是( ) D. 3 2 A.8 B. 6 C. 4 2 3. 已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离之差为 6,则曲线方程为( ) x2 y2 y2 x2 ? =1 B. ? = 1( y > 0) A. 9 7 9 7 x2 y2 y2 x2 x2 y2 C. ? = 1或 ? =1 D. ? = 1( x > 0) 9 7 9 7 9 7 4. 运行右图所示框图的相应程序,若输入 a, b 的值分别为 log 2 3 和 log 3 2 ,则 输出 M 的值是( ) A.0 B.1 C. 2 D. -1 n +1 5.令 a n为(1 + x) 的展开式中含 x n ?1 项的系数,则 1 数列 { } 的前 n 项和为( ) an n(n + 3) n(n + 1) 2n n B. C. D. A. 2 2 n +1 n +1 6.某几何体的三视图如右图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积 为( ) A.12 B . 12 3 C. 4 3 D . 16 3 7.如图,矩形 OABC 内的阴影部分是由曲线 f ( x ) = sin x ( x ∈ ( 0, π ) ) 及直线 x = a ( a ∈ ( 0, π ) ) 与 x 轴围成, 向

1 矩形 OABC 内随机投掷一点,若落在阴影部分的概率为 , 4 a 的值是( ) 7π 2π 3π 5π B. C. D. A. 12 3 4 6 1+ i n 8. 已知集合 A = {z1 | z1 = ( ) , n ∈ Z }, 集合 B = { z2 z2 = x + y, 1? i
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x, y ∈ A, 且x ≠ y} ,则 A I B =( ).
A. {1 ± i, ?1 ± i} B. {1, 0, ?1}

C. {1 ± i, 0, ?1 ± i}

D. Φ (空集)

9.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛,老师将二人最近 6 次数学测试 的分数进行统计, 甲乙两人的平均成绩分别是 x甲 、 乙 , x 则下列说法正确的是 ( )
A. x甲 > x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 B. x甲 > x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 C. x甲 < x乙 ,甲比乙成绩稳定,应选甲参加比赛 D. x甲 < x乙 ,乙比甲成绩稳定,应选乙参加比赛 10.已知 f ( x ) 是奇函数,且 f ( 2 ? x ) = f ( x) ,当
x ∈ [ 2,3] 时, f ( x ) = log 2 ( x ? 1) ,则当 x ∈ [1, 2] 时, f ( x ) =(



A. ? log 2 ( 3 ? x ) B. log 2 ( 4 ? x ) C. ? log 2 ( 4 ? x )

D. log 2 ( 3 ? x )

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.将答案填写在题中的横 线上. 11.从 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广 到第 n 个等式为_____________________________________. ? ? x≥0 ? y +1 1 的最小值为 ,则 a 的值 12.设 x, y 满足约束条件 ? y ≥ 0 ,若 z = x +1 4 ?x y ? + ≤1 ? 3a 4a 为__________; x ≤1 ?2 x ? 2, 13.函数 f ( x) = ? 2 的图象和函数 g ( x) = ln ( x ? 1) 的图象的交 ? x ? 4 x + 3,x > 1 。 点个数是 14.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则下列说法错误的是 .. ①若 {an } 是等差数列,则 {3an +1 ? 2an } 是等差数列; ②若 {an } 是等差数列,则 { an } 是等差数列; ③若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 {an +1 ? an } 也是等比数列且公比为 q ; ④若 {an } 是公比为 q 的等比数列,则 S k , S 2 k ? Sk , S3k ? S2 k (k为常数
且k ∈ N ) 也是等比数列且公比为 q k 。 15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题评阅记分) (A)(几何证明选做题)如图, CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上, BC = 2, ∠BCD = 30° , ; 则圆 O 的面积为 (B)(极坐标系与参数方程选做题)极坐标方程



ρ = 2 sin θ + 4 cosθ 表示的曲线截 θ =

π
4

( ρ ∈ R) 所得的弦长为



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(C) (不等式选做题) 不等式|2x-1|<|x|+1 解集是 . 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本题满分 13 分)在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ⊥ 底面 ABCD , PD ⊥ CD , E 为 PC 中点,底面 ABCD 是直角梯形。 AB / / CD, ∠ADC = 900 , AB = AD = PD = 1, CD = 2 P (Ⅰ) 求证:BE / / 平面 APD ; (Ⅱ) 求证:BC ⊥ 平面 PBD ; E (Ⅲ)设 Q 为侧棱 PC 上一点, uuu v uuu v PQ = λ PC ,试确定 λ 的值,使得 二面角 D C o Q ? BD ? P 为 45 。 17. (本题满分 12 分)
→ → →

A


B

已知S n 为数列{an } 的前n项和

a = (S n ,1) , b = (? 1,2a n + 2 n +1 ), a ⊥ b

?a ? (Ⅰ)求证: ? n ? 为等差数列; n ?2 ? n ? 2013 an ,问是否存在 n0 , 对于任意 k ( k ∈ N ? ) (Ⅱ) 若 bn = , n +1 不等式 bk ≤ bn0 成立. 18. (本题满分 12 分)设 f ( x ) = 6 cos 2 x ? 3 sin 2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)△ABC 中锐角 A 满足 f ( A ) = 3 ? 2 3 , B = ,角 A、B、C 的对边分 12
2 ?a b? c a, b, c, 求 ? + ? ? 的值。 别为 ? b a ? ab

π

x2 y 2 19. (本题满分 12 分) 已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点 F 与抛物线 a b 2 y = 4 x 的焦点重合, 且截抛物线的准线所得弦长为 2 , 倾斜角为 45o 的直线 l 过 点F . (Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)设椭圆的另一个焦点为 F1 ,问抛物线 y 2 = 4 x 上是否存在一点 M ,使
得 M 与 F1 关于直线 l 对称,若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. 20. (本题满分 12 分)某同学参加某高校自主招生 3 门课程的考试。假设该 4 同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概 5 率分别为 p , q ( p < q ),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生 取得优秀成绩的课程数,其分布列为 ξ 0 1 2 3

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6 24 y x 125 125 (Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率及求 p , q 的值; (Ⅱ) 求数学期望 E ξ。 pi
21. (本题满分 14 分) ln x + a 已知函数 f ( x ) = (a ∈ R) x (Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的图象与函数 g ( x ) =1 的图象在区间 (0, e 2 ] 上有公共点, 求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 = 1, an +1 = ln an + an + 2, n ∈ N * , 求证: an ≤ 2n ? 1 .

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