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④竞赛中的数列问题


Y.P.M 数学竞赛讲座

1

竞赛中的数列问题
数列问题是高中联赛的一个考点,涉及数列的各方面和各层次问题.

1.等差数列 [例 1]:(1988 年全国高中数学联赛试题)设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4,均为等差数列,那么
b4 ? b3 =_

_____. a2 ? a1

[解析]: [类题]:
1.①(2011 年全国高中数学联赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2010-S1=1,则 S2011= ②(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则 2a9-a10= ④(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知等差数列{an}前 15 项的和 S15=30,则 a1+a8+a15=
? a11 ? a12 a32 a13 ? ?

. . . .

③(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12=21,则 a3+a4+a9+a10=

⑤(2011 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图所示: ? a21 a22 a23 ? 的数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列
?a ? 31 a33 ? ?

的三个数也依次成等差数列.若 a22=2,则所有这 9 个数的和等于

.
n+1

2.①(1997 年第 8 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等差数列{an}中,a5=9,a10=19,则 2 –3 是这个数列中的第 均值为 4.若 a1=-5.则 k= . .

项.

②(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平 ③(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在公差为 4 的正项等差数列中,a3 与 2 的算术平均值等于 S3 与 2 的几何平 均值,其中 S3 表示数列的前三项和,则 a10 为 ④(1997 年第 8 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1=1,点(n,Sn )在曲线 C 上,C 和 直线 x-y+1=0 交于 A、B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是 为( (A)p+q ) (B)p-q (C)-p+q (D)-p-q . . . 3.①(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)等差数列前 p 项的和为 q,前 q 项的和为 p(p≠q),则前 p+q 项的和

②(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设S呢为等差数列{an}的前n项和,若S5=10,S10=-5,则公差为d= ③(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知数列{an}为等差数列,且 S5=28,S10=36,则 S15 等于

④(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)等差数列{an}的前 m 项和为 90,前 2m 项和为 360,则前 4m 项和为_____. 4.①(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知等差数列{an}的首项为 a1,前 n 项的和为 Sn 使等式 成立,则 an= .
2n Sn = , Tn 3n ? 1

Sn ?1 n ? 2 = n Sn

②(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)等差数列{an}、 {bn}的前n项和分别为Sn、 Tn,对一切正整数n,都有 则
a7 等于 b9

.
2n ? 1 Sn a = ,则 10 + Tn 4 n ? 2 b3 ? b18

③(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设 Sn、 Tn 分别为等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和,且
a11 = b6 ? b15

.

5.①(2001 年第 12 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大 值的 n 的值是 . ②(1995 年全国高中数学联赛试题)(2004 年全国高中数学联赛河南初赛试题)设等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0,Sn

2
为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A)S10 ) (C)S20 (B)S12

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(D)S21

③(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在等差数列{an}中,若 小正数时,n= . .

a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 S 取最 a10

④(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知公差大于零的等差数列的第 5 项与第 13 项的绝对值相等,则 当前 n 项和最小时,n=

⑤(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知 Sn 是公差为正数 q 的等差数列的前 n 项之和,如果 取到最小值,则 q 的取值范围是 .

S n ? 210 在 n=6 时 n

⑥(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S15>0,S16<0,则 的是 . .

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a 2 a15

6.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)设{an}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之 和等于 2004,则该数列的第 2 项 a2 的值等于 数列共有( (A)2 个 为2006.则这样的数列共有 的数列至多有___________项. ) (B)3 个 个. (C)4 个 (D)5 个 ②(1997 年全国高中数学联赛试题)设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样的
2

③(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设等差数列的首项和公差均为正整数,项数为不小于3的质数,且各项之和 ④(1998 年全国高中数学联赛试题)各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样

2.等比数列 [例 2]:(2000 年全国高中数学联赛试题)等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. [解析]: [类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若三个非零实数 x(y-z),y(z-x),z(y-x)成等比数列,则其公比 q= ②(1989 年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为________. 2.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项的和,若 a3+2a6=0,则 ②(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)九个正实数a1,a2,?,a9构成等比数列,且a1+a2= a7+a8+a9等于 . .
S6 的值是 S3

.

.

3 ,a3+a4+a5+a6=15.则 4

3.①(1996 年第 7 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn =A,则前 3n 项的和 S3n = 为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于 .

②(1998 年全国高中数学联赛试题)(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记

4.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正数 a1,a2,?,a7 构成等比数列.若前五项的和为 7 2 +6,后五项的和 为 14 2 +12,则 a6 等于 则该数列有( (A)10 项 ) (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项 . ②(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)一个等比数列的前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64.

5.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{an}是等比数列,bn=1+a1+a2+?+an,cn=2+b1+b2+?+bn,若已知数列 {cn}是等比数列,则它的通项公式cn= _____. ②(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数

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列{an }的前 n 项和等于
3

3
.
1 ,用π n 表示它的前 n 项之积.则π n(n∈N) 2

6.①(1996 年全国高中数学联赛试题)等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=最大的是( (A)π 9 ) (B)π 11 (C)π 12

(D)π

13

1 ②(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- .设 f(n)表示该数列的前 n 项 2

的积,则当 n=

时,f(n)有最大值.

③(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知等比数列{an}中,a3=2,当此数列的前 5 项和取得最小值时,前 5 项依次为 .

3.差比综合 [例 3]:(2010 年全国高中数学联赛试题)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,
且存在常数α ,β 使得每一个正整数 n 都有 an=logα bn+β ,则α +β = .

[解析]: [类题]:
1.(1992 年全国高中数学联赛试题)设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且
1 1 1 x z , , 成等差数列,则 + 的值是___. x y z z x

2.(2003 年第 14 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)锐角 α ,β ,γ 成等差数列,公差为 α = ,β = ,γ = . 1 0.5 2 1 x

? ,它们的正切成等比数列,则 12

3.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在如图的表格中, 如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等 比数列,那么 x+y+z 的值为 . 4.(2000 年全国高中数学联赛试题)给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方 程 bx ?2ax+c=0(
2

y z (D)有两个异号实根

) (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根

(A)无实根 的是( (A)a2>b2 )

5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确 (B)a3<b3 . (C)a5>b5 (D)a6>b6

6.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b,c,d都是偶数,且0<a<b<c<d,d-a=90,若a,b,c成等差数列,b,c,d成 等比数列,则a+b+c+d的值等于 ②(2007 年全国高中数学联赛试题)已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1=d,b1=d ,且
2

2 2 2 a1 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于__________. b1 ? b2 ? b3

4.求和问题 [例 4]:(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在双曲线 xy=1 上,横坐标为
∈N+).记坐标为(1,1)的点为 M,Pn(xn,yn)是三角形 AnBnM 的外心,则 x1+x2+?+x100=
n n ?1 的点为 An,横坐标为 的点为 Bn(n n ?1 n

.

[解析]: [类题]:
1.①(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设数列{an}的通项公式为 an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+?+|an|= ②(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设数列{8(- ) }的前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-6|<
1 3
n-1

.

1 的最小整数 n 125

4
是 . ③(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)对每一个正整数 k,设 ak=1+ 于 .
2 2

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1 1 +?+ ,则(3a1+5a2+7a3+?+99a49)-2500a49 等 2 k

2.①(1992 年全国高中数学联赛试题)对于每个自然数 n,抛物线 y ? (n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是 .
2

②(2009 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知二次函数 y=x 100

n ?1 2n ? 1 x+ 在 x 轴上截得的线段长为 dn,则 n(n ? 2) n(n ? 2)2

n ?1

? dn =

.

③(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{ ④(2006 年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知数列 a1=
1 1 +?+ 则 S2006 最接近的整数是 a2 a3 an an ?1

1 }的前 n 项的和是 n(n ? 1)(n ? 2)

.

1 2 1 1 2 n 1 ,a2= ? ,?,an= + +?+ ,设 Sn= + 3 3 2 n ?1 n ?1 n ?1 a1a2

.
1 (n ? 1) n ? n n ? 1

3.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知数列{an}的通项公式为an= 则在数列S1,S2,?,S2008中,有理数项共有( (A)43 (B)44 )项. (C)45

(n∈N+),其前n项和为Sn.

(D)46
1 (n ? 1) n ? n n ? 1

②(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知数列{an}的通项公式为 an= 则在数列 S1,S2,?,S2009 中,有理数项共有 项.
1 n2 ? 1

(n∈N+),其前 n 项和为 Sn,

③(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)数列{an}满足 an = 1 ?

(n ? 1) 2

-1.则 a1+a2+a3+?+an=_____.
500

④(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)对每个 n∈N+,设 an= 3 n 2 ? 2n ? 1 + 3 n 2 ? 1 + 3 n 2 ? 2n ? 1 则 ?

1

n ?1 a2n ?1

的值是__.

4.①(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn,记 cn=anBn+bnAn-anbn(n>1).则数 列{cn}的前 10 项和为( (A)A10+B10 ) (B)
1 (A10+B10) 2
n

(C)A10B10

(D) A10 B10

②(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设 an=2 ,bn=n(n=1,2,3,?),An、Bn 分别为数列{an}、{bn}的前 n 项和.记 cn= anBn+bnAn-anbn,则数列{cn}的前 10 项和为 .
2n (n=1,2,3,?), an ? an ?1

③(2001年第12届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{an}的通项公式是an= 2n ? 1 ,bn= 则数列{bn}的前n项和Sn= .
4012

④(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 N=2 ,则不超过 ? 5.①(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)计算:
1 sin 45 0 sin 46 0

N

1 n

的最大整数为
1

.
1

n ?1

+

sin 46 0 sin 47 0

+?+

sin 89 0 sin 90 0

=

.

②(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)若 x∈R,则数列{cos[x+

2 (n–1)π ]}的前 7 项和( 7

)

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(A)比 1 大 (B)比 1 小 (C)等于 1
2 0 2 0

5
(D)是零
2 0 2 0

③(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)sin 1 +sin 2 +sin 3 +?+sin 179 的值是_____. ④(2008 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)把分母为 24 的所有最简真分数按从小到大的顺序排列,依次为 a1,a2,?,an. 则 ? cosai? 的值是(
i ?1 n

)
n , n ?1

6.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{an},{bn}满足:akbk=1,k=1,2,?,已知数列{an}的前 n 项和为 An= 则数列{bn}的前 n 项和 Bn= .

②(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)数列{an}满足:a1=1,

a2 k a =2, 2 k ?1 =3,k≥1.则其前 100 项的和 S100 为 a2 k ?1 a2 k
* 2

.

③(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{an}满足:a1=1,且对每个 n∈N ,an,an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根,则

k ?1

? bk =

20

.
1 = a i ?1 i
n

④(2011 年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,3Sn=(n+2)an,则 ?

.

7.①(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知数列 2004,2005,1,-2004,-2005,?,这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2004 项之和 S2004 等于 么,S2003-2S2004+S2005的值是 .
2011 1 1 2 ,及对于自然数n,an+1=an +an,则 ? 的整数部分 4 i ?1 ai ? 1

.

②(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在数列{an}中,已知a1=2,an+an+1=1(n∈N+).若Sn为数列{an}的前n项和,那

③(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)数列满足a0= 是 .

④(2004 年第 15 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=2,an+1= 的前 n 项和,则下列不等式中一定成立的是( (A)0.3<Sn<0.4 )

3 ? an ,且 bn=|an+1-an|(n∈N*),设 Sn 是{bn} 2

(B)0.4<Sn<0.5

(C)0.5<Sn<0.8

(D)0.5<Sn<0.9

5.数列判定 [例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正项非常值数列{an},{bn}满足:an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成
等比数列.令cn= bn ,则下列关于数列{cn}的说法正确的是( (A){cn}为等差数列 (B){cn}为等比数列 ) (D){cn}的每一项为偶数

(C){cn}的每一项为奇数

[解析]: [类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知 a,b,c,d 成等比数列,则下列三个数:①a+b.b+c,c+d;②ab,bc,ca;③ a-b,b-c,c-d 中,必成等比数列的个数为 则数列{bn}( (A)是等差数列 列的( ) (B)必要不充分条件 (C)充要条件
*

.

2.(1999 年全国高中数学联赛试题)给定公比为 q(q?1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?,bn=a3n?2+a3n?1+a3n,?, ) (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q 的等比数列
3

(D)既非等差数列也非等比数列

3.(1990 年第 1 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}:a1=p,an+1=qan+r(p,q,r 是常数),则 r=0 是数列{an}成等比数 (A)充分不必要条件 (D)不充分也不必要条件 )

4.(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)若数列(n+1)an=nan+1(n∈N ),a1≠0,则{an}( (A)是等比数列但不是等差数列 (B)是等差数列但不是等比数列

6
(C)是等差数列也是等比数列
n

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(D)不是等差数列也不是等比数列
+

5.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2 -1(n∈N ),且{ 则λ 的取值是 .

an ? ? 2n

}为等差数列,

6.(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题 ) 设数列 {an} 满足 :a1=1,a2=2,an= an= .

( n ? 1) an ?1 ? ( n ? 1) an ?1 + ,n ≥ 2,n ∈ N , 则通项 2n

6.递推数列 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则 ? 1 的值
i ? 0 ai n

是________.

[解析]: [类题]:
1.①(2009 年全国高中数学联赛青海初赛试题)已知数列{an}中,a1=-1,an+1an=an+1-an,则数列通项公式 an= . ②(1994 年全国高中数学联赛试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n -6|<
1 的最小整数 n 是 125

.
n+1

③(2000 年第 11 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}满足:an+1=(-1) n–2an,n≥1,并且 a1=a2001,则 a1+a2+? +a2000= .
1 (xn-1+xn-2)(n≥3),则数列{xn}的通项公 2

2.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn= 式 xn=______.

② (2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题 ) 设数列 {an}:a0=2,a1=16,an+2=16an+1-63an,n ∈ N+, 则 a2005 被 64 除的余数 为 为 . ③(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)数列{an}定义如下:a1=1,a2=3,an+2=2an+1-an+2,n=1,2,3,?,则它的前n项和 .
2 3

3.①(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正数列满足a1=1,a2=10,an an-2=10an-1 (n≥3).则a100的值为
2 2

.

②(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设{an}为 a1=4 的单调递增数列,且满足:an+1 +an +16=8(an+1+an)+2an+1an,则 an= .
2

③(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2an-an+1 -an+1an=0.则a2008= 4.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若数列{an}满足:a1=
2 ,an+1-an= 3

. . . . .

2 (an ?1 ? an ) ,则 a2007= 3

②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{an}满足:a1=0,an+1=an+1+2 1 ? an (n=1,2,?),则 an=___
* ③(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an+1+ 1 ? 4an (n∈N ),则数列的通项 an=

5.①(2008 年全国高中数学联赛试题)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+an=

n ?1 ,n=1,2,?,则通项 an= n(n ? 1)

②(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设无穷数列{an}的各项都是正数,Sn 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为: (n∈N*).
2

③(1998 年第 9 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn=n an,则通项公式 an = 列{an}的和为 .
2

,数

④(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)数列{an}满足Sn=n an,若有a1=1003,则a2005的值为________.

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6.①(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知函数 f(x)=
2x ,当 x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N)时,x1999= x?2

7
.

②(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知数列 xn,满足(n+1)xn+1=xn+n,且 x1=2,则 x2005=

.

7.递推思想 [例 7]:(1994 年第 5 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=a(0<a<1),an+1=
个通项公式是 an= .
2 1 ? 1 ? an

2

(n∈N*),则{an}的一

[解析]: [类题]:
1.①(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知数列{an}满足:a1=3,an+1=an -(n+1)an+1.则数列{an}的前n项和等 于 的值等于 . ②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{an}中,相邻两项an、an+1是方程x +3nx+bn=0的两根,已知a10=-17.则b51 . . ③(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设数列{an}满足;a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3,n=4,5,?,则 a2011= 2.①(2006 年全国高中数学联赛北京初赛试题)递增数列{an}有 a1=6,当 n∈N+,n≥2 时,an+an-1=
2 2

9 +8,则 a70=_____. an ? an ?1

② (2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题 ) 实数列 {an} 定义为 an+1= 为 .

2 an ? an ?1 ? 2an ,n=2,3, ? ,a1=1,a9=7, 则 a5 的值 an ?1 ? 1

3.①(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知定义在正整数集上的函数 f(n)满足以下条件:①f(m+n)=f(m)+f(n)+ mn,其中 m,n 为正整数;②f(3)=6.则 f(2011)= .
* * *

②(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N (m,n∈N ),且对任意 m,n∈N 都有:①f(m,n+1) =f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).则 f(2010,2008)的值为 .
0

4.①(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在直角△ABC 中,∠C=90 ,CD 为斜边上的高,D 为垂足,AD=a,BD=b,CD=a-b=1, 设数列{uk}的通项为 uk=a -a b+a b-?+(-1) b ,k=1,2,3,?,则( (A)u2008=u2007+u2006 (B)u2005=u2007-u2006
k k-1 k-2 k k

) (D)2008u2008=2007u2007 y P1 C B P4 P2 P3

(C)2007u2008=2008u2007

②(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,以 O(0,0),A(1,0)为顶点 作正△OAP1,再以 P1 和 P1A 的中点 B 为顶点作正△P1BP2,再以 P2 和 P2B 的中点 C 为顶点作正△P2CP3,?,如此继续下去.有如下结论: ①所作的正三角形的边长构成公比为
1 的等比数列; 2

②每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP2(x=1)上; ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点 P6 的坐标是( 三角形边上的顶点 P2004 的横坐标是 x2004=11 2 2004

O

A

x

63 21 3 );④第 2004 个正三角形的不在第 2003 个正 , 64 64

.其中正确结论的序号是

(把你认为正确结论的序号都填上).

5.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、 黄色或者蓝色的帽子,要求每 种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有 有 an 种不同的传球方法,则数列{an}的通项公式为 . 种. 6.(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)甲、乙、丙三人练习传球,设传球 n 次,球从甲手中传出,第 n 次仍传给甲,共

8.周期数列

8
又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是 .

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[例 8]:(1992 年全国高中数学联赛试题)设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3 ? 2,且对任何自然数 n,都有 anan+1an+2?1, [解析]: [类题]:
1.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{an}对任意正整数 n 都有 an+1=an+an+2,若 a2=-1,a3=1,则 a2011=_________. 2.①(1997 年全国高中数学联赛试题)已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1 ? a,x2 ? b,记 Sn ? x1+x2+?+xn,则下列结论正 确的是( ) (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a . (D)x100??a,S100?b?a (A)x100??a,S100=2b?a

②(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{an}中,an为实数,且对n≥3,n∈N,都有an=an-1-an-2.若该数列前 1985项之和为1000,前1995项和为4000,那么,该数列前2002项之和为 则前2006项的和等于 则 S100= 2009 项的和为 ( )
2 2

③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)已知数列{an}(n≥1)满足an+2=an+1-an,且a2=1,若数列的前2005项之和为2006, . 3.①(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)数列{an}满足:a1=1,a2=3,且 an+2=|an+1|-an(n∈N*).记{an}的前 n 项和为 Sn, .89 .

②(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2 ,则此数列的前 ③(2003 年第 14 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}定义为:a1=cosθ ,an+an+1=nsinθ +cosθ ,n≥1,则 S2n+1 等于 (A)ncos θ +n(n+1)sin θ (B)(n+1)cos θ +n(n+1)sin θ (C)(n+1)cos θ +(n +n-1)sin θ (D)ncosθ +(n +n-1)sinθ 4.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=②(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{an}中,a1=2,an+1= ③(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设数列{an}满足:a1=
1 ,则 a2010 的值为______. an ? 1

1 ? an ,则 a2005 的值为____________. 1 ? an

1 1 ? an ,an+1= (n≥1),则 a2008= 2 1 ? an

.

④(2004 年第 15 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=1,an+1=

3an ? 1 an ? 3

(其中 n∈N*),a2004=
+

.

5.①(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{an}满足:a1=2,a2=1,anan+1an+2=an+an+1+an+2(n∈N ),则 a1+a2+? +a20011= .
1 .记数列{an}的前 n 项之积为 Pn,则 P2009 的 an

②(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1值为 .

③(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列{xn}满足 xn≠a-1,0,且 xn+1= 值是
2 2 2

axn .若对任意 n∈N+都有 xn+3=xn,则 a 的 xn ? 1

. .
2nn -2n

6. ① (2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题 ) 设 f(n) 为正整数 n( 十进制 ) 的各数位上的数字的平方之和 , 比如 f(123)=1 +2 +3 =14.记 f1(n)=f(n),fk+1(n)=f(fk(n)),k=1,2,3,?,则 f2006(2006)=
2

②(1987 年全国高中数学联赛试题)若 k 是大于 1 的整数,a 是 x -kx+1=0 的根,对于大于 10 的任意自然数 n,a +a 的 个位数字总是 7,则 k 的个位数字是____________.

9.生成数列 [例 9]:(2005 年全国高中数学联赛试题)记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M={
元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是 .
a a1 a 2 a3 + 2 + 3 + 4 |ai∈T,i=1,2,3,4},将 M 中的 7 7 7 74

Y.P.M 数学竞赛讲座 [解析]: [类题]:
(第二组){3,5,7},(第三组){9,11,13,15,17},?.则 1991 位于第_______________组中.

9

1.①(1991 年全国高中数学联赛试题)将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:(第一组){1}, ②(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:(第 一组){1}, (第二组){3,5,7},(第三组){9,11,13,15,17},?.则 2007 位于第_______________组中. 2.①(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一个正整数数 表如下 (表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍),则 第 8 行中的第五个数是 . ②(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)将一个等差 数列依次写成第1行:2;第2行:5,8;第3行:11,14,17;第4行:20,23,26,29??第m行:am1,am2,am3,?,ammami表示第m行第i个 数,i=1,2,3,?,m.那么,第m行的m个数的和是 .
1 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , ,?,依它的前 10 项的规律, 1 2 1 2 3 1 2 3 4

第一行 第二行 第三行 第四行

1 2 4 3 5 6 7

……………

3.①(2005 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列: , 这个数列的第 2005 项 a2005= .

②(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个数列的各项均为3或5,首项为3,且在第k个3和第k+1个3之间有2 个5, 即3,5,3,5,5,3,5,5,5,5,3,?.则此数列的前2004项的和S2004= . . ③(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)将正整数从1开始不间断地写成一行,第2006个数码是 则a2007= .

k-1

④(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列{an}, 4.①(2003 年全国高中数学联赛试题)删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的 第 2003 项是 . ②(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在正整数构成的等差数列 1,3,5,7,?中删去所有和 55 互质的项之后,把余 下的各项按从小至大的顺序构成一个数列{an},易见 a1=1,a2=3,a3=7,a4=9,a5=13,?.那么 a2007= f[f(2001)]= . .
2

5. ① (2011 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 江 苏 初 赛 试 题 ) 设 f(m) 为 数 列 {an} 中 小 于 m 的 项 的个 数 , 其 中 an=n ,n ∈ N*. 则 ②(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知⊙O的半径为1,A1、A2、?、A8是该圆周的8个等分点,自A1作A1B2⊥OA2,垂 足为B2;自B2作B2B3⊥OA3,垂足为B3;?;自B8作B8B9⊥OA1,垂足为B9;这样可以无限作下去,则使|BnBn+1|<
1 的最小自然数n=_. 1990

6.①(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{an}是递增的正整数数列1,7,8,49,50,56,57,?,它们或者是7的幂,或者 是若干个7的不同的幂之和.则a1000= {an}:7,11,13,14,?.则a36= . .
r s t

②(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设r,s,t为整数,集合{a|a=2 +2 +2 ,0≤t<s<r}中的数由小到大组成数列

10.数列性质 [例10]:(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1.若x1=a,x2= a x1 ,x3= a x2 ,?,
xn= a xn ?1 ,?.则数列{xn}( (A)递增 ). (B)奇数项增,偶数项减 (C)递减 (D)偶数项增,奇数项减

[解析]: [类题]:
1.①(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知数列{an}的通项公式an=
2 n 2 ? 4n ? 5

,则{an}的最大项是

.

②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{an}的通项an=(

2 n-1 2 n-1 ) [( ) -1].则下列表述正确的是( 3 3

).

10
(A)最大项为a1,最小项为a4 (B)最大项为a1,最小项不存在 数列{bn}的前 n 项和 Tn 取得最大值时,n 的值是 .

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(C)最大项不存在,最小项为a3 (D)最大项为a1,最小项为a3

2.①(2009 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1>0,S50=0.设 bn=anan+1an+2(n∈N+),则当

②(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等比数列{an}的首项 a1=logax,公比 q=arctan 个数列是( (A)递增数列 ) (B)递减数列 (C)递增数列或者递减数列
n

1 2 +arctan ,那么这 5 3

(D)以上都不对
1 )+3,若此数列的各项都是正数, 2n

3.(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}的通项是 an=(–1) (λ + 则 λ 的取值范围是 .

4.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)= ? 增数列.则实数a的取值范围是 .

?(3 ? a) x ? 3, x ? 7 ,数列{an}满足an=f(n)(n∈N+),且{an}是递 x ?6 ? a ,x ?7

②(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知函数f(x)= ? 且数列{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是 .
1
2 an

?(5 ? a) x ? a ? 6( x ? 4) 数列{an}满足an=f(n)(n∈N+), 2a x ?3 ( x ? 4) ?

5.(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)数列{an}满足 a1=1, N 恒成立,则正整数 t 的最小值为
*

?4 =

1 an ?1

,记 Sn= ? ai2 ,若 S2n+1-Sn≤
i ?1

n

t 对任意的 n∈ 30

.
2n+1

6.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 an=(2+ 7 ) (A)必为无理数 (B)必为偶数

,bn 是 an 的小数部分,则当 n∈N 时,anbn 的值( (C)必为奇数

*

)

(D)可为无理数或有理数

11.数列极限 [例 11]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0. a1a2 ? ? ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,?,n-1,an=
1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim
Sn =_______. Tn

n ??

[解析]: [类题]:
1.①(1999 年第 10 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)若无穷等比数列{an}满足 lim 的公比是 .
1 ,a1-a3+a5-a7+? 2
n ??

a1 ? a4 ? a7 ? ? ? ? ? a3n ? 2 3 = .则该数列 4 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

②(2005 年第 16 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知{an}为无穷递缩等比数列,且 a1+a2+a3+?= =
1 ,则 an= 4

.

2.①(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是 5,首项 a∈N,则公比 q 的最 小可能值为_____. ②(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1 ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1 的取值范围是 4

. =.

3.①(1999 年第 10 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知 n∈N,常数 p,q 均大于 1,且都不等于 2,则 lim
2n ?1 ? 2

p n ?1 ? q n p
n?2

n ??

? 2q n ?1

②(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知集合M={x|x= lim

n ??

?2 ? 2n

,λ 为常数,且λ +2≠0}.则M的所有元素的

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和为 .

11

4. ① (2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 设数列 {an} 为等差数列, 数列{bn} 满足:b1=a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5+a6, ?, 若
n ??

lim

bn n3

=2,则数列{an}的公差 d=

.
1 2 成等比数列,则 lim n an= n ?? 2

②(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an,Sn,Sn-

.

5.①(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知数列{an}满足 a1=3,an+1=9 3 an (n≥1),则 lim an=_________.
n ??

②(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知(1+ 3 ) =an+bn 3 ,其中 an,bn 为整数,则 lim ③(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)数列{an},{bn}满足:a1=1,b1=7,且 ?

n

n ??

an = bn

.

? an ?1 ? bn ? 2an a ,则 lim n =_________. n ? ? bn b ? 3 b ? 4 a n n ? n ?1
n ?? n ??

6.①(1990 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{xn}、 {yn}满足 lim (2xn+yn)=1, lim (xn-2yn)=1,则 lim (xnyn)= .
n ??
2n

② (2009 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 四 川 初 赛 试 题 ) 设 二 项 式 (3x-1) =a2nx +a2n-1x + ? +a2x +a1x+a0, 记 Tn=a0+a2+ ? +a2n,Rn=a1+a3+?+a2n-1,则 lim
n ??

2n

2n-1

2

Tn = Rn

.
n

③(2000 年全国高中数学联赛试题)设 an 是(3? x ) 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?),则 lim (
n ??
2 2

32 33 3n )= . ? ? ??? ? a2 a3 an
1 AB , 2

④(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知A(a,b),B(c,d),且(a-c) +(b-d) ≠0,点Pn(n∈N+)满足 AP 1 =
BP 2 =
1 1 Pn Pn ?1 ,则 lim APn = BP 1 , Pn Pn ? 2 = n ?? 2 2

.

12.数列综合 [例 12]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{xn}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?由全体正奇数自小到大排列而成,
并且每个奇数 k 连续出现 k 次,k=1,3,5,?,如果这个数列的通项公式为 xn=a[ bn ? c ]+d,则 a+b+c+d= .

[解析]: [类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知数列{an}满足:an+1≤
an ? 2 ? an ,a1=1,a403=2011,则 a5 的最大值是 2

.

2.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选3个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差 数列的概率是 为 . ②(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知 a1=1,a2=3,an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,当 m≥n 时,am 的值都能被 9 整除,则 n 的最小值为 .
1

.

3.①(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{an}满足:an=(2n-1)(2n+1)(2n+3),则 a1,a2,?,a2008 的最大公约数 d

a1 4.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知数列{an}中,a1= 99 99 ,an= an ?1 .当an为整数时,最小的正整数n是

.

5.(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{
1 )(n 为正整数),则 a2n 的值是 2

1 1 }是等差数列,若 ana2n+a2na3n+a3nan=arcsin ,ana2na3n= an 2

arcos(-

.

6.①(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)[x]表示不超过实数x的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列

12
{an}满足:an=3n-2,若bn=[
an ],则b1+b2+?+b2007= 5

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.

②(2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)在正奇数非减数列{1,3,3,3,5,5,5,5,5,?}中,每个正奇数k出现k次,已知 有整数b、c、d存在,对所有的整数n满足an=b[ n ? c ]+d,其中[x]表示不超过x的最大整数.则b+c+d等于_____. ③(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第 k 棵树 种植在点 Pk(xk,yk)处,其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时, ? ? 案,第 2008 棵树种植点的坐标为 .
5 3 an+ 4 4
2 an ? 2 ], 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数 . 则

k ?1 k ?2 ? ? xk ? xk ?1 ? 1 ? 5[ 5 ] ? 5[ 5 ] ,其中,[a]表示实数 a 的整数部分.按此方 k ?1 k ?2 ? yk ? yk ?1 ? [ ]?[ ] ? 5 5 ?

④(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题 )设 a1=6,an+1=[ a1+a2+?+a2007 的个位数字为 .

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1

竞赛中的数列问题
数列问题是高中联赛的一个考点,涉及数列的各方面和各层次问题.

1.等差数列 [例 1]:(1988 年全国高中数学联赛试题)设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4,均为等差数列,那么
b4 ? b3 =______. a2 ? a1

[解析]: [类题]:

b ?b a2 ? a1 y?x y?x 1 2 8 b ?b = ? a2-a1= (y-x); 4 3 = ? b4-b3= (y-x) ? 4 3 = . 3?2 5 ?1 6?4 5?2 4 3 a2 ? a1 3

1.①(2011 年全国高中数学联赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2010-S1=1,则 S2011= 解:S2010-S1=1 ? a2+a3+?+a2010=1 ? 2009(a2+a2010)=2 ? S2011=
2011( a1 ? a2011 ) 2011( a2 ? a2010 ) 2011 = = . 2 2 2009

.

②(2008 年全国高中数学联赛贵州初赛试题)在等差数列{an}中,a1+2a8+a15=96,则 2a9-a10= ④(2011 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知等差数列{an}前 15 项的和 S15=30,则 a1+a8+a15=
? a11 ? a12 a32 a13 ? ?

. . .

③(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S12=21,则 a3+a4+a9+a10=

⑤(2011 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)如图所示: ? a21 a22 a23 ? 的数阵中,每行的三个数依次成等差数列,每列
?a ? 31 a33 ? ?

的三个数也依次成等差数列.若 a22=2,则所有这 9 个数的和等于

.
n+1

2.①(1997 年第 8 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等差数列{an}中,a5=9,a10=19,则 2 –3 是这个数列中的第 均值为 4.若 a1=-5.则 k= . .

项.

②(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知等差数列{an}的前 11 项的和为 55,去掉一项 ak 后,余下 10 项的算术平 ③(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在公差为 4 的正项等差数列中,a3 与 2 的算术平均值等于 S3 与 2 的几何平 均值,其中 S3 表示数列的前三项和,则 a10 为 ④(1997 年第 8 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S1=1,点(n,Sn )在曲线 C 上,C 和 直线 x-y+1=0 交于 A、B 两点,|AB|= 6 ,那么这个数列的通项公式是 为( (A)p+q ) (B)p-q (C)-p+q (D)-p-q . . . 3.①(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)等差数列前 p 项的和为 q,前 q 项的和为 p(p≠q),则前 p+q 项的和

②(2007年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设S呢为等差数列{an}的前n项和,若S5=10,S10=-5,则公差为d= ③(2004 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知数列{an}为等差数列,且 S5=28,S10=36,则 S15 等于

④(2006 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)等差数列{an}的前 m 项和为 90,前 2m 项和为 360,则前 4m 项和为_____. 4.①(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知等差数列{an}的首项为 a1,前 n 项的和为 Sn 使等式 成立,则 an= .
2n Sn = , Tn 3n ? 1

Sn ?1 n ? 2 = n Sn

②(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)等差数列{an}、 {bn}的前n项和分别为Sn、 Tn,对一切正整数n,都有 则
a7 等于 b9
2

.

解:Sn=2kn ,Tn=kn(3n+1). ③(2011 年全国高中数学联赛福建初赛试题)设 Sn、 Tn 分别为等差数列{an}、 {bn}的前 n 项和,且
2n ? 1 Sn a = ,则 10 + Tn 4 n ? 2 b3 ? b18

2
a11 = b6 ? b15

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.

5.①(2001 年第 12 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大 值的 n 的值是 . ) (C)S20 (D)S21 ②(1995 年全国高中数学联赛试题)(2004 年全国高中数学联赛河南初赛试题)设等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0,Sn 为其前项之和,则 Sn 中最大的是( (A)S10 (B)S12

③(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)在等差数列{an}中,若 小正数时,n= . .

a11 <-1,且它的前 n 项和 Sn 有最大值,那么当 S 取最 a10

④(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知公差大于零的等差数列的第 5 项与第 13 项的绝对值相等,则 当前 n 项和最小时,n=

⑤(2010 年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知 Sn 是公差为正数 q 的等差数列的前 n 项之和,如果 取到最小值,则 q 的取值范围是 解:设 an=a1+(n-1)q,则 Sn=na1+ .

S n ? 210 在 n=6 时 n

S ? 210 q n ( n ? 1) 210 210 210 q q q q q,于是 n = n+ +a1- ,由题设知 ×6+ ≤min{ ×5+ , ×7+ 2 n n 6 5 2 2 2 2 2

210 q },由此可得 5≤ ≤7,故 q 的取值范围是[10,14]. 7 2

⑥(2009 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S15>0,S16<0,则 的是 . .

S S1 S 2 , ,?, 15 中最大 a1 a 2 a15

6.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)设{an}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之 和等于 2004,则该数列的第 2 项 a2 的值等于 167=668. ②(1997 年全国高中数学联赛试题)设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样的 数列共有( (A)2 个
2 2

解 :S2n+1=3 × 4 × 167 ? (2n+1)an+1=3 × 4 × 167 ? (2n+1)(dn+a1)=3 × 4 × 167 ? 2n+1=3,dn+a1=4 × 167 ? n=1,a2=a1+d=4 ×

) (B)3 个 (C)4 个
2

(D)5 个
2

解:设等差数列的首项为m,公差为k,项数为n,则[2m+(n-1)k]n=2×97 ,注意到n≥3,且97为质数 ? n=97,2×97,97 ,2× 97 ? 2m+96k=2×97(k=0,m=97;k=1,m=49,k=2,m=1),2m+96k=97(无解),2m+96k=2(k=0,m=1),2m+96k=1(无解),共有4个. ③(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设等差数列的首项和公差均为正整数,项数为不小于3的质数,且各项之和 为2006.则这样的数列共有 个. 解:设等差数列的首项为 m,公差为 k,项数为 n,则[2m+(n-1)k]n=2006=2×2×17×59,注意到 n≥3,且为质数 ? n=17,59
? 2m+16k=4×59(m+8k=2×59 ? k=1,2,?,14),2m+58k=4×17(m+29k=34 ? k=1) ? 数列共有 15 个.

④(1998 年全国高中数学联赛试题)各项为实数的等差数列的公差为 4,其首项的平方与其余各项之和不超过 100,这样 的数列至多有___________项. 解:Sn+a1 -a1≤100 ? a1 +(n-1)a1+(2n -2n-100)≤0 ? △≥0 ? 7n -6n-401≤0 ? n 的最大值=8 ? 这样的数列至多有 8 项.
2 2 2 2

2.等比数列 [例 2]:(2000 年全国高中数学联赛试题)等比数列 a+log23,a+log43,a+log83 的公比是____________. [解析]: [类题]:
1.①(2010 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若三个非零实数 x(y-z),y(z-x),z(y-x)成等比数列,则其公比 q= .

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5 ?1 5 ?1 5 ?1 n,又由 0<r<1 ? 0< n<1 ? n=1 ? x=1+ = 2 2 2 5 ?1 . 2

3

②(1989 年全国高中数学联赛试题)一个正数,若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列,则该数为________. 解:设 x=n+r,rx=n ? r(n+r)=n ? r=
2 2

2.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项的和,若 a3+2a6=0,则 ②(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)九个正实数a1,a2,?,a9构成等比数列,且a1+a2= a7+a8+a9等于 .

S6 的值是 S3

.

3 ,a3+a4+a5+a6=15.则 4

解:设公比为q,则由已知条件可得a1(1+q)= +a9=a1q (1+q+q )=112.
6 2

3 1 2 2 3 2 2 ;a1q (1+q+q +q )=15;这两式相比,得q (1+q )=20,从而q=2,a1= .这样a7+a8 4 4

3.①(1996 年第 7 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和 Sn =A,则前 3n 项的和 S3n = 为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于 .

.

②(1998 年全国高中数学联赛试题)(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)各项均为实数的等比数列{an}前 n 项和记

4.①(2003 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知正数 a1,a2,?,a7 构成等比数列.若前五项的和为 7 2 +6,后五项的和 为 14 2 +12,则 a6 等于 则该数列有( (A)10 项 ) (B)11 项 (C)12 项 (D)13 项 . ②(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)一个等比数列的前三项的积为 2,最后三项的积为 4,且所有项的积为 64.

5.①(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{an}是等比数列,bn=1+a1+a2+?+an,cn=2+b1+b2+?+bn,若已知数列 {cn}是等比数列,则它的通项公式cn= _____. ②(2011 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若{Sn}是首项及公比都为 2 的等比数列,则数 列{an }的前 n 项和等于
3

.
1 ,用π n 表示它的前 n 项之积.则π n(n∈N) 2

6.①(1996 年全国高中数学联赛试题)等比数列{an}的首项 a1=1536,公比 q=最大的是( (A)π 9 ) (B)π 11 (C)π 12

(D)π

13

1 ②(2006 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)等比数列{an}的首项为 a1=2020,公比 q=- .设 f(n)表示该数列的前 n 项 2

的积,则当 n=

时,f(n)有最大值.

③(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知等比数列{an}中,a3=2,当此数列的前 5 项和取得最小值时,前 5 项依次为 .

3.差比综合 [例 3]:(2010 年全国高中数学联赛试题)已知{an}是公差不为 0 的等差数列,{bn}是等比数列,其中 a1=3,b1=1,a2=b2,3a5=b3,
且存在常数α ,β 使得每一个正整数 n 都有 an=logα bn+β ,则α +β = .
n-1

[解析]:an=3+(n-1)d,bn=q ,a2=b2 ? 3+d=q,3a5=b3 ? 3(3+4d)=q
n-1

2

? d=6,q=3 ? an=6n-3,bn=3 .an=logα bn+β ? 6n-3=(n-

1)logα 3+β ? logα 3=6,β -logα 3=-3 ? α +β = 6 3 +3.

[类题]:
1.(1992 年全国高中数学联赛试题)设 x,y,z 是实数,3x,4y,5z 成等比数列,且
1 1 1 x z , , 成等差数列,则 + 的值是___. x y z z x

2.(2003 年第 14 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)锐角 α ,β ,γ 成等差数列,公差为 α = ,β = ,γ = .

? ,它们的正切成等比数列,则 12

4
3.(2008 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)在如图的表格中, 如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等 比数列,那么 x+y+z 的值为 . 解:第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、 五列中的 x=0.5,y=
5 3 ,z= ,则 x+y+z=1. 16 16

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1 0.5 2 1 x y z

4.(2000 年全国高中数学联赛试题)给定正数 p,q,a,b,c,其中 p?q,若 p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二 次方程 bx ?2ax+c=0(
2

) (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根

(A)无实根 的是( (A)a2>b2 )

(B)有两个相等实根

5.(2010 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设{an},{bn}分别为等差数列与等比数列,且 a1=b1=4,a4=b4=1,则以下结论正确 (B)a3<b3 . (C)a5>b5 (D)a6>b6

6.①(2006年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知a,b,c,d都是偶数,且0<a<b<c<d,d-a=90,若a,b,c成等差数列,b,c,d成 等比数列,则a+b+c+d的值等于 ②(2007 年全国高中数学联赛试题)已知等差数列{an}的公差 d 不为 0,等比数列{bn}的公比 q 是小于 1 的正有理数.若 a1=d,b1=d ,且
2

2 2 2 a1 ? a2 ? a3 是正整数,则 q 等于__________. b1 ? b2 ? b3

解 : 因为

2 2 2 14 a1 ? a2 ? a3 d 2 ? (2d ) 2 ? (3d ) 2 2 14 = = =m 是正整数 ? 1+q+q = ∈ (1,3)(q ∈ (0,1)) ? m ∈ [5,14), 又因△ m b1 ? b2 ? b3 d 2 (1 ? q ? q 2 ) 1 ? q ? q2

=1-4(1-

14 56 1 )= -3 是某个有理数的平方 ? m=8 ? q= . m m 2

4.求和问题 [例 4]:(2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题)在双曲线 xy=1 上,横坐标为
∈N+).记坐标为(1,1)的点为 M,Pn(xn,yn)是三角形 AnBnM 的外心,则 x1+x2+?+x100=
n n ?1 的点为 An,横坐标为 的点为 Bn(n n ?1 n

.

[解析]:易得 An(

n n ?1 n ?1 n , ),Bn( , ),所以|AnM|=|BnM|,故△AnBnM 是以 AnBn 为底边的等腰三角形,且底边所在直 n ?1 n n n ?1 2n ? 1 2n ? 1 , ), 2n ? 2 2n

线的斜率为-1.因为 M 在直线 y=x 上,所以底边的中垂线方程为 y=x,由此 xn=yn,因为 AnM 的中点为 E(
k An M =-

2n ? 1 n ?1 2n ? 1 n 1 1 1 (2n ? 1) 2 ,所以外心 Pn(xn,yn)在直线 y= (x)上,由此得 xn= =2+ ( ). 2n ? 2 n 2n n ?1 2 n n ?1 2n(n ? 1)

[类题]:
1.①(2009 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设数列{an}的通项公式为 an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+?+|an|= ②(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设数列{8(- ) }的前 n 项和为 Sn,则满足不等式|Sn-6|< 是 . ③(2007 年全国高中数学联赛福建初赛试题)对每一个正整数 k,设 ak=1+ 于 .
1 1 1 2 2 2 2 +?+99× -2500a49=(50 -1 )×1+(50 -2 )× + 2 49 2 1 1 +?+ ,则(3a1+5a2+7a3+?+99a49)-2500a49 等 2 k 1 3
n-1

.

1 的最小整数 n 125

解:(3a1+5a2+7a3+?+99a49)-2500a49=(3+5+?+99)×1+(5+7+?+99)× ?+(50 -49 )×
2 2

1 1 1 2 -2500a49=50 (1+ +?+ )-(1+2+?+49)-2500a49=-(1+2+?+49)=-1225. 49 2 49
2 2

2.①(1992 年全国高中数学联赛试题)对于每个自然数 n,抛物线 y ? (n +n)x ?(2n+1)x+1 与 x 轴交于 An,Bn 两点,以|AnBn| 表示该两点的距离,则|A1B1|+|A2B2|+?+|A1992B1992|的值是 .

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②(2009 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知二次函数 y=x 100
2

5
n ?1 2n ? 1 x+ 在 x 轴上截得的线段长为 dn,则 n(n ? 2) n(n ? 2)2

n ?1

? dn =

.

③(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{ ④(2006 年全国高中数学联赛北京初赛试题)已知数列 a1=
1 1 +?+ 则 S2006 最接近的整数是 a2 a3 an an ?1

1 }的前 n 项的和是 n(n ? 1)(n ? 2)

.

1 2 1 1 2 n 1 ,a2= ? ,?,an= + +?+ ,设 Sn= + 3 3 2 n ?1 n ?1 n ?1 a1a2

.
1 (n ? 1) n ? n n ? 1

3.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知数列{an}的通项公式为an= 则在数列S1,S2,?,S2008中,有理数项共有( (A)43 (B)44 )项. (C)45

(n∈N+),其前n项和为Sn.

(D)46
1 (n ? 1) n ? n n ? 1

②(2009 年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知数列{an}的通项公式为 an= 则在数列 S1,S2,?,S2009 中,有理数项共有 项.
1 n2 ? 1

(n∈N+),其前 n 项和为 Sn,

③(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)数列{an}满足 an = 1 ? 解:n (n+1) +(n+1) +n =n (n+1) +2n(n+1)+1=[n(n+1)+1] .
2 2 2 2 2 2 2

(n ? 1) 2

-1.则 a1+a2+a3+?+an=_____.

④(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)对每个 n∈N+,设 an= 3 n 2 ? 2n ? 1 + 3 n 2 ? 1 + 3 n 2 ? 2n ? 1 则 ? 解:an=
1 n ?1 ? n ?1

500

1 的值是__. a n ?1 2n ?1

( n ? 1 - n ? 1 )( 3 n 2 ? 2n ? 1 + 3 n 2 ? 1 + 3 n 2 ? 2n ? 1 )=

1 n ?1 ? n ?1

[(n+1)-(n-1)]=

2 n ?1 ? n ?1

.

4.①(2006 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 An,Bn,记 cn=anBn+bnAn-anbn(n>1).则数 列{cn}的前 10 项和为( (A)A10+B10 ) (B)
1 (A10+B10) 2

(C)A10B10

(D) A10 B10

解:cn=(An-An-1)Bn+(Bn-Bn-1)An-(An-An-1)(Bn-Bn-1)=AnBn-An-1Bn-1 ②(2009 年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)设 an=2 ,bn=n(n=1,2,3,?),An、Bn 分别为数列{an}、{bn}的前 n 项和.记 cn= anBn+bnAn-anbn,则数列{cn}的前 10 项和为 .
2n (n=1,2,3,?), an ? an ?1
n

③(2001年第12届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{an}的通项公式是an= 2n ? 1 ,bn= 则数列{bn}的前n项和Sn= .
4012

④(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设 N=2 ,则不超过 ? 解:
2 n ?1 ? n

N

1 n

的最大整数为
N

.
1 n

n ?1

<

1 n

<

2 n ? n ?1

? 2( n ? 1 - n )<

1 n

<2( n - n ? 1 ) ? 2( N ? 1 -1)< ?
1

<1+2( N -1) ? 2 = .

2007

-2.

n ?1

5.①(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)计算: 解:

sin 45 0 sin 46 0

+

1 sin 46 0 sin 47 0

+?+

1 sin 89 0 sin 90 0

1 1 sin( 1 an ?1 ? an ) 1 = = (cotan-cotan+1),原式= . sinan sinan ?1 sin d sinan sinan ?1 sin d sin 10

6
②(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)若 x∈R,则数列{cos[x+ (A)比 1 大 (B)比 1 小 (C)等于 1 (D)是零

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2 (n–1)π ]}的前 7 项和( 7

)

解:sin(an+θ )-sin(an-θ )=2cosansinθ ? cosan=

1 d [sin(an+θ )-sin(an-θ )],令可θ = . 2 sin ? 2
2 0 2 0 2 0 2 0

③(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)sin 1 +sin 2 +sin 3 +?+sin 179 的值是_____. ④(2008 年全国高中数学联赛陕西初赛试题)把分母为 24 的所有最简真分数按从小到大的顺序排列,依次为 a1,a2,?,an. 则 ? cosai? 的值是(
i ?1 n

)
1 5 7 11 13 17 19 23 1 23 5 19 7 17 11 13 , , , , , , , .注意到 + = + = + = + =1 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24

解:分母为24的所有最简真分数有
?

? cosai? =0.
i ?1

n

6.①(2010 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{an},{bn}满足:akbk=1,k=1,2,?,已知数列{an}的前 n 项和为 An= 则数列{bn}的前 n 项和 Bn= .

n , n ?1

②(2011 年全国高中数学联赛山西初赛试题)数列{an}满足:a1=1, 解:

a2 k a =2, 2 k ?1 =3,k≥1.则其前 100 项的和 S100 为 a2 k ?1 a2 k

.

3 a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k a a a k-1 k-1 50 = =6, 2k ? 2 = 2k ? 2 2 k ?1 =6,a1=1,a2=2 ? a2k-1=6 ,a2k=2×6 ? S100= (6 -1). 5 a2 k ?1 a2 k a2 k ?1 a2 k a2k ?1 a2 k
* 2

③(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{an}满足:a1=1,且对每个 n∈N ,an,an+1 是方程 x +3nx+bn=0 的两根,则

k ?1

? bk =

20

.
3 7 9 2 21 29 20 n-1 n (2n-1)+ (-1) ,bn= n + (-1) , ? bk =6385. 4 4 4 8 8 k ?1

解:an+an+1=-3n,anan+1=bn,an=-

④(2011 年全国高中数学联赛内蒙古初赛试题)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,3Sn=(n+2)an,则 ?

1 = a i ?1 i

n

.

7.①(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知数列 2004,2005,1,-2004,-2005,?,这个数列的特点是从第二项起, 每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2004 项之和 S2004 等于 么,S2003-2S2004+S2005的值是 .
2011 1 1 2 ,及对于自然数n,an+1=an +an,则 ? 的整数部分 4 a i ?1 i ? 1

.

②(2005年全国高中数学联赛天津初赛试题)在数列{an}中,已知a1=2,an+an+1=1(n∈N+).若Sn为数列{an}的前n项和,那

③(2011年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)数列满足a0= 是 .

④(2004 年第 15 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=2,an+1= 的前 n 项和,则下列不等式中一定成立的是( (A)0.3<Sn<0.4 解:an> )

3 ? an ,且 bn=|an+1-an|(n∈N*),设 Sn 是{bn} 2

(B)0.4<Sn<0.5

(C)0.5<Sn<0.8

(D)0.5<Sn<0.9

3 10 10 3 2 ,a2= ∈(0.4,0.5) ? Sn≥b1>0.4;2an+1 =3+an ? 2an =3+an-1 ? 2(an+1-an)(an+1+an)=an-an-1 ? 2bn(an+1+ ? b1=22 2 2
1 1 n-1 6 3 bn-1<( ) b1 ? Sn< b1< =0.6.选(B). 6 6 5 5

an)=bn-1 ? bn<

5.数列判定

Y.P.M 数学竞赛讲座 7 [例5]:(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知正项非常值数列{an},{bn}满足:an,bn,an+1成等差数列,bn,an+1,bn+1成
等比数列.令cn= bn ,则下列关于数列{cn}的说法正确的是( (A){cn}为等差数列 (B){cn}为等比数列 ) (D){cn}的每一项为偶数

(C){cn}的每一项为奇数

[解析]:an,bn,an+1 成等差数列 ? [类题]:
1.(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知 a,b,c,d 成等比数列,则下列三个数:①a+b.b+c,c+d;②ab,bc,ca;③ a-b,b-c,c-d 中,必成等比数列的个数为 则数列{bn}( (A)是等差数列 数列的( ) (B)必要不充分条件 (C)充要条件
*

.

2.(1999 年全国高中数学联赛试题)给定公比为 q(q?1)的等比数列{an},设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6,?,bn=a3n?2+a3n?1+a3n,?, ) (B)是公比为 q 的等比数列 (C)是公比为 q 的等比数列
3

(D)既非等差数列也非等比数列

3.(1990 年第 1 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}:a1=p,an+1=qan+r(p,q,r 是常数),则 r=0 是数列{an}成等比 (A)充分不必要条件 (D)不充分也不必要条件 )

4.(2009 年第 20 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)若数列(n+1)an=nan+1(n∈N ),a1≠0,则{an}( (A)是等比数列但不是等差数列 (C)是等差数列也是等比数列 (B)是等差数列但不是等比数列 (D)不是等差数列也不是等比数列
n +

5.(2011 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知数列{an}满足递推关系式 an+1=2an+2 -1(n∈N ),且{ 则λ 的取值是 .

an ? ? 2n

}为等差数列,

6.(2011 年全国高中数学联赛江西初赛试题 ) 设数列 {an} 满足 :a1=1,a2=2,an= an= .

( n ? 1) an ?1 ? ( n ? 1) an ?1 + ,n ≥ 2,n ∈ N , 则通项 2n

6.递推数列 [例 6]:(2004 年全国高中数学联赛试题)已知数列 a0,a1,a2,?,an,?满足关系式(3-an+1)(6+an)=18,且 a0=3,则 ? 1 的值
i ? 0 ai n

是________.

[解析]:(3-an+1)(6+an)=18 ? 3an-6an+1-anan+1=0 ?
2n

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 n =2 + ?( + )=2( + )? + = ×2 ? = × an 3 an 3 an 3 3 an 3 an ?1 an ?1 3

1 ? 3

i ?0 i

?a

n

1

=

2 1 1 n+1 n+2 (2 -1)- (n+1)= (2 -n)-1. 3 3 3

[类题]:
1.①(2009 年全国高中数学联赛青海初赛试题)已知数列{an}中,a1=-1,an+1an=an+1-an,则数列通项公式 an= . ②(1994 年全国高中数学联赛试题)已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n -6|<
1 的最小整数 n 是 125

.
n+1

③(2000 年第 11 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}满足:an+1=(-1) n–2an,n≥1,并且 a1=a2001,则 a1+a2+? +a2000= .
n+1

解:an+1=(-1) n–2an ?

an ?1 (?2)

n ?1

=

an ( ?2 )
n

+n(

1 n+1 ) . 2
1 (xn-1+xn-2)(n≥3),则数列{xn}的通项公 2

2.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{xn}满足x1=0,x2=1,xn= 式 xn=______.

8
为 .
n n

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② (2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题 ) 设数列 {an}:a0=2,a1=16,an+2=16an+1-63an,n ∈ N+, 则 a2005 被 64 除的余数 解:an=7 +9 为 .
2 3

③(2008年全国高中数学联赛上海初赛试题)数列{an}定义如下:a1=1,a2=3,an+2=2an+1-an+2,n=1,2,3,?,则它的前n项和 解:令 an+2=2an+1-an+2 ? (an+2-an+1)-(an+1-an)=2. 3.①(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)正数列满足a1=1,a2=10,an an-2=10an-1 (n≥3).则a100的值为
2 2

.

②(2007 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设{an}为 a1=4 的单调递增数列,且满足:an+1 +an +16=8(an+1+an)+2an+1an,则 an=
2

.
2 2 2 2 2

解:an+1 +an +16=8(an+1+an)+2an+1an ? x +y +16=8(x+y)+2xy ? (x+y) -8(x+y)+16=4xy ? (x+y-4) =4xy ? x+y-4=2 xy ?
x y =2,an=4n .
2 2

③(2007年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2an-an+1 -an+1an=0.则a2008= 解:an+2an-an+1 -an+1an=0 ?
2

.

an ? 2 an ?1 =1. an ?1 an

4.①(2007 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)若数列{an}满足:a1= 解:由 an+1-an=

2 ,an+1-an= 3

2 (an ?1 ? an ) ,则 a2007= 3

.

2 2 2 (an ?1 ? an ) 两边平方得 3(an+1-an) =2(an+1+an) ? 3(an-an-1) =2(an+an-1),两式相减,得 3(an+1-an-1)(an+1-2an+an-1) 3
2 4 2 ? 数列{an+1-an}是以 a2-a1= 为首项, 为公差的 3 3 3

=2(an+1-an-1).又 a2=2,an+1>an ? 3(an+1-2an+an-1)=2 ? (an+1-an)-(an-an-1)= 等差数列 ? an+1-an=
2 1 ? an= n(n+1). 3 3

②(2008 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知数列{an}满足:a1=0,an+1=an+1+2 1 ? an (n=1,2,?),则 an=___ ③(2009 年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=an+1+ 1 ? 4an (n∈N ),则数列的通项 an= 解:令 bn= 1 ? 4an 则 an=
1 1 1 2 2 2 2 2 (bn -1),从而有 (bn+1 -1)=1+ (bn -1)+bn,即 bn+1 =(bn+2) ,由 bn>0 知 bn+1=bn+2. 4 4 4
*

. .

5.①(2008 年全国高中数学联赛试题)设数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+an= 解:an+1=Sn+1-Sn= +

n ?1 ,n=1,2,?,则通项 an= n(n ? 1)

.

1 n n ?1 (n ? 2) ? 2 1 ?2 1 -an+1+an ? 2an+1= + +an ? 2an+1= + +an ? an+1 (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1)

1 1 n 1 n 1 1 1 1 = [an+ ](a1=0) ? an+ =( ) ? an=( ) . 2 2 (n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1)

②(2005 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设无穷数列{an}的各项都是正数,Sn 是它的前 n 项之和,对于任意正整数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项,则该数列的通项公式为: (n∈N*).
2

③(1998 年第 9 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn=n an,则通项公式 an = 列{an}的和为 .
2

,数

④(2005年全国高中数学联赛山东初赛试题)数列{an}满足Sn=n an,若有a1=1003,则a2005的值为________. 6.①(1999 年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知函数 f(x)=
2x ,当 x1=1,xn=f(xn-1)(n≥2,n∈N)时,x1999= x?2

.

Y.P.M 数学竞赛讲座
②(2005 年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知数列 xn,满足(n+1)xn+1=xn+n,且 x1=2,则 x2005= 解 :(n+1)xn+1=xn+n ? xn+1= ?= ? .

9

1 n 1 1 1 1 1 1 x n+ xn+1(xn-1) ? xn-1= (xn-1-1)= (xn-2-1)= ? xn+1= ? xn+1-1= n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 n n n ?1

7.递推思想 [例 7]:(1994 年第 5 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=a(0<a<1),an+1=
个通项公式是 an= .
? ? ? ),则 a2=sin ? ? ? an=sin n ?1 . 2 2 2
2 1 ? 1 ? an

2

(n∈N*),则{an}的一

[解析]:令 a=sinθ (0<θ < [类题]:

1.①(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知数列{an}满足:a1=3,an+1=an -(n+1)an+1.则数列{an}的前n项和等 于 .
2

2

解:由a1=3,an+1=an -(n+1)an+1 ? a2=4 ? a3=5,猜测an=n+2. ②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{an}中,相邻两项an、an+1是方程x +3nx+bn=0的两根,已知a10=-17.则b51 的值等于 . . 解:设 a1=x,由 an+an+1=-3n ? ③(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)设数列{an}满足;a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3,n=4,5,?,则 a2011= 解:由题意,a2-a1=3,a3-a2=5,且 an-an-1=an-2-an-3(n≥4) ? a2n-a2n-1=3,a2n+1-a2n=5 ? a2n+1-a2n-1=8 ? a2011=1005×8+1=8041. 2.①(2006 年全国高中数学联赛北京初赛试题)递增数列{an}有 a1=6,当 n∈N+,n≥2 时,an+an-1= 解:an+an+1=
9 +8 ? an ? an ?1
2 an ? an ?1 ? 2an ,n=2,3, ? ,a1=1,a9=7, 则 a5 的值 an ?1 ? 1
2

9 +8,则 a70=_____. an ? an ?1

② (2005 年全国高中数学联赛福建初赛试题 ) 实数列 {an} 定义为 an+1= 为 .

解:设 bn=an+1,则 bn+1-1=

2 bn 2 2 -1 ? bn =bn+1bn-1,故 b5 =b1b9,b5=4(-4 舍去),所以,a5=3. bn ?1

3.①(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)已知定义在正整数集上的函数 f(n)满足以下条件:①f(m+n)=f(m)+f(n)+ mn,其中 m,n 为正整数;②f(3)=6.则 f(2011)= .

解:在 f(m+n)=f(m)+f(n)+mn 中,令 n=1 得:f(m+1)=f(m)+f(1)+m;令 m=n=1 得:f(2)=2f(1)+1;令 m=2,n=1 得:6=f(3)=f(2) +f(1)+2=3f(1)+3 ? f(1)=1 ? f(m+1)-f(m)=m+1 ? f(2011)=2023066. ②(2010 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N (m,n∈N ),且对任意 m,n∈N 都有:①f(m,n+1) =f(m,n)+2;②f(m+1,1)=2f(m,1).则 f(2010,2008)的值为 .
0 * * *

4.①(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在直角△ABC 中,∠C=90 ,CD 为斜边上的高,D 为垂足,AD=a,BD=b,CD=a-b=1, 设数列{uk}的通项为 uk=a -a b+a b-?+(-1) b ,k=1,2,3,?,则( (A)u2008=u2007+u2006
2 k k-1 k-2 k k

) (D)2008u2008=2007u2007
b a k [1 ? (? ) k ?1 ] a k ?1 ? (?b) k ?1 a = b a?b 1 ? (? ) a

(B)u2005=u2007-u2006
k k-1 k-2

(C)2007u2008=2008u2007
k k k

b 解:CD =AD×BD ? ab=1,a-b=1.uk=a -a b+a b-?+(-1) b =首项为 a ,公比为- 的前 k+1 项和= a

? uk+2=[a+(-b)]uk+1-a(-b)uk ? uk+2=uk+1+uk.

10
②(2004 年全国高中数学联赛天津初赛试题)如图,以 O(0,0),A(1,0)为顶点 作正△OAP1,再以 P1 和 P1A 的中点 B 为顶点作正△P1BP2,再以 P2 和 P2B 的中点 C 为顶点作正△P2CP3,?,如此继续下去.有如下结论: ①所作的正三角形的边长构成公比为
1 的等比数列; 2

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y P1 C B P4 P2 P3

②每一个正三角形都有一个顶点在直线 AP2(x=1)上; ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点 P6 的坐标是( 三角形边上的顶点 P2004 的横坐标是 x2004=1解:
1 2 2004

O

A

x

63 21 3 );④第 2004 个正三角形的不在第 2003 个正 , 64 64

.其中正确结论的序号是

(把你认为正确结论的序号都填上).

5.(2011 年全国高中数学联赛广东初赛试题)10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、 黄色或者蓝色的帽子,要求每 种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同.则满足要求的发帽子的方法共有 种. 解:推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an,等价于红色、黄色或者蓝色的帽子按要求的排列数,n+1 时的排列有两种情况:①前 n 个符合要求,排列的方法数为 an,第 n+1 个位有 2 种,共有 2an;②前 n 个不符合要求,即只有两 种,选两种颜色有 C3 ,每两种颜色有 2 种排列的方法,第 n+1 个位放第 3 种颜色有 1 种,共有 C3 ×2×1=6,则 a3=6,a4=18, an+1=2an+6(n≥3) ? an=(a3+6)2 -6. 6.(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)甲、乙、丙三人练习传球,设传球 n 次,球从甲手中传出,第 n 次仍传给甲,共 有 an 种不同的传球方法,则数列{an}的通项公式为
n n-3 2 2

.
n

解:每人每天传球有 2 种方法,传球 n 次有 2 种方法,传球 n 次在甲手中有 an,在乙,或丙有 2 -an,传球 n+1 次在甲手中,等 价于第 n 次在在乙,或丙手中,传回甲手中,有 2 -an,即 an+1=2 -an,a1=0,an= [2 +2(-1) ].
n n

1 3

n

n-2

8.周期数列 [例 8]:(1992 年全国高中数学联赛试题)设数列 a1,a2,?,an,?满足 a1=a2=1,a3 ? 2,且对任何自然数 n,都有 anan+1an+2?1,
又 anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3,则 a1+a2+?+a100 的值是 (an+4-an)an+1an+2an+3=an+4-an ? an+4=an.a1+a2+?+a100=25(1+1+2+4)=200. .

[解析]:由 a1=a2=1,a3 ? 2,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3 ? a4=4,anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3 ? an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4 ? [类题]:
1.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{an}对任意正整数 n 都有 an+1=an+an+2,若 a2=-1,a3=1,则 a2011=_________. 2.①(1997 年全国高中数学联赛试题)已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1 ? a,x2 ? b,记 Sn ? x1+x2+?+xn,则下列结论正 确的是( ) (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a . (D)x100??a,S100?b?a (A)x100??a,S100=2b?a

②(2002年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列{an}中,an为实数,且对n≥3,n∈N,都有an=an-1-an-2.若该数列前 1985项之和为1000,前1995项和为4000,那么,该数列前2002项之和为 则前2006项的和等于 . ③(2006年全国高中数学联赛山西初赛试题)已知数列{an}(n≥1)满足an+2=an+1-an,且a2=1,若数列的前2005项之和为2006, 解:设 a1=x,a2=1,an+2=an+1-an ? a3=1-x,a4=-x,a5=-1,a6=x-1,a7=x,a8=1. 3.①(2010 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)数列{an}满足:a1=1,a2=3,且 an+2=|an+1|-an(n∈N*).记{an}的前 n 项和为 Sn, 则 S100= .89 解:an+2=|an+1|-an ? a3=2,a4=-1,a5=-1,a6=2,a7=3,a8=1,a9= ②(2009 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设数列{an}满足:an+1an=2an+1-2(n=1,2,?),a2009= 2 ,则此数列的前 2009 项的和为 . ③(2003 年第 14 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}定义为:a1=cosθ ,an+an+1=nsinθ +cosθ ,n≥1,则 S2n+1 等于

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( )
2 2

11

(A)ncos θ +n(n+1)sin θ (B)(n+1)cos θ +n(n+1)sin θ (C)(n+1)cos θ +(n +n-1)sin θ (D)ncosθ +(n +n-1)sinθ 解:B 4.①(2011 年第 22 届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知数列{an}满足 a1=2,an+1=②(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)数列{an}中,a1=2,an+1= ③(2008 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设数列{an}满足:a1=
1 ,则 a2010 的值为______. an ? 1

1 ? an ,则 a2005 的值为____________. 1 ? an

1 1 ? an ,an+1= (n≥1),则 a2008= 2 1 ? an

.

④(2004 年第 15 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}中,a1=1,an+1=

3an ? 1 an ? 3

(其中 n∈N*),a2004=
+

.

5.①(2011 年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知数列{an}满足:a1=2,a2=1,anan+1an+2=an+an+1+an+2(n∈N ),则 a1+a2+? +a20011= .
1 .记数列{an}的前 n 项之积为 Pn,则 P2009 的 an

②(2009 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{an}满足:a1=2,an+1=1值为 .

③(2010 年全国高中数学联赛江苏初赛试题)设复数列{xn}满足 xn≠a-1,0,且 xn+1= 值是 解:由 xn+1= =0. .

axn .若对任意 n∈N+都有 xn+3=xn,则 a 的 xn ? 1

a3 xn a 2 xn ?1 axn axn ? 2 3 2 2 = = 2 =xn 恒成立,即 a =(a +a+1)xn+1 ? 因为 xn≠a-1,或 0,故 a +a+1 ? xn+3= xn ? 1 xn ? 2 ? 1 (a ? 1) xn ?1 ? 1 (a ? a ? 1) xn ? 1

6. ① (2006 年全国高中数学联赛浙江初赛试题 ) 设 f(n) 为正整数 n( 十进制 ) 的各数位上的数字的平方之和 , 比如 f(123)=1 +2 +3 =14.记 f1(n)=f(n),fk+1(n)=f(fk(n)),k=1,2,3,?,则 f2006(2006)=
2 2 2

.

解:f1(2006)=40 ? f2(2006)=16 ? f3(2006)=37 ? f4(2006)=58 ? f5(2006)=89 ? f6(2006)=145 ? f7(2006)=42 ? f8(2006) =20 ? f9(2006)=4 ? f10(2006)=16 ? ? ? 从第二项开始,fn(2006)是周期为 8 的周期数列.故 f2006(2006)=f6(2006)=145. ②(1987 年全国高中数学联赛试题)若 k 是大于 1 的整数,a 是 x -kx+1=0 的根,对于大于 10 的任意自然数 n,a +a 的 个位数字总是 7,则 k 的个位数字是____________.
2 2nn -2n

9.生成数列 [例 9]:(2005 年全国高中数学联赛试题)记集合 T={0,1,2,3,4,5,6},M={
元素按从大到小的顺序排列,则第 2005 个数是 .
4 3 2

a a1 a 2 a3 + 2 + 3 + 4 |ai∈T,i=1,2,3,4},将 M 中的 7 7 7 74

解:用[a1a2?ak]p 表示 k 位 p 进制数,将集合 M 中的每个数乘以 7 ,得 S={a1×7 +a2×7 +a3×7+a4|ai∈T,i=1,2,3,4}= {[a1a2a3a4]7|ai∈T,i=1,2,3,4},S 中的最大数为[6666]7=2400.在十进制数中,从 2400 起从大到小顺序排列的第 2005 个数 是 2400-2004=396.而 396=[1104]7,将此数除以 7 ,便得 M 中的数
4

1 0 4 1 + + + . 7 7 2 73 7 4

[解析]: [类题]:
1.①(1991 年全国高中数学联赛试题)将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:(第一组){1}, (第二组){3,5,7},(第三组){9,11,13,15,17},?.则 1991 位于第_______________组中. ②(2007 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)将正奇数集合{1,3,5,?}由小到大按第 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:(第 一组){1}, (第二组){3,5,7},(第三组){9,11,13,15,17},?.则 2007 位于第_______________组中. 2.①(2005 年全国高中数学联赛河南初赛试题)一个正整数数表如下:

12
(表中下一行中数的个数是上一行中数 的个数的 2 倍),则第 8 行中的第五个 数是 . ②(2005年全国高中数学联赛吉林初赛试题)将一 个等差数列依次写成第1行:2;第2行:5,8;第3行:11, 第一行 第二行 第三行 第四行 1 2 4 3 5

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6

7

…………… .

14,17;第4行:20,23,26,29??第m行:am1,am2,am3,?,ammami表示第m行第i个数,i=1,2,3,?,m.那么,第m行的m个数的和是 3.①(2005 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知数列: , 这个数列的第 2005 项 a2005= .
k-1

1 1

2 1 3 2 1 4 3 2 1 , , , , , , , , ,?,依它的前 10 项的规律, 1 2 1 2 3 1 2 3 4

②(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)一个数列的各项均为3或5,首项为3,且在第k个3和第k+1个3之间有2 个5, 即3,5,3,5,5,3,5,5,5,5,3,?.则此数列的前2004项的和S2004= . . ③(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)将正整数从1开始不间断地写成一行,第2006个数码是 则a2007= .
2 k-1 2 n-1 n

④(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)将各位数码不大于3的全体正整数m按自小到大的顺序排成一个数列{an}, 解:简称这种数为“好数”,则一位好数有 3 个;两位好数有 3×4=12 个;三位好数有 3×4 =48 个;?,k 位好数有 3×4
5 4

个;k=1,2,?,记 Sn=3(1+4+4 +?+4 )=4 -1,因 S5<2007<S6,2007-S5=984 即第 2007 个好数为第 984 个六位好数;而六位好数 中,首位为 1 的共有 4 =1024 个,前两位为 10,11,12,13 的各有 4 =256 个,因此第 2007 个好数的前两位数为 13,且是前两 位数为 13 的第 9984-3×256=216 个数;而前三位为 130,131,132,133 的各 64 个,则 a2007 的前三位为 133,且是前三位数为 的第 216-3×64=24 个数;而前四位为 1330,1331,1332,1333,的各 16 个,则 a2007 的前四位为 1331,且是前四位数为 1331 的 第 24-16=8 个数;则 a2007 的前五位为 13311,且是前五位数为 13311 的第 8-4 个数,则 a2007=133113. 4.①(2003 年全国高中数学联赛试题)删去正整数数列 1,2,3,??中的所有完全平方数,得到一个新数列,这个新数列的 第 2003 项是 . ②(2007 年全国高中数学联赛安徽初赛试题)在正整数构成的等差数列 1,3,5,7,?中删去所有和 55 互质的项之后,把余 下的各项按从小至大的顺序构成一个数列{an},易见 a1=1,a2=3,a3=7,a4=9,a5=13,?.那么 a2007= f[f(2001)]= . .
2

5. ① (2011 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 江 苏 初 赛 试 题 ) 设 f(m) 为 数 列 {an} 中 小 于 m 的 项 的个 数 , 其 中 an=n ,n ∈ N*. 则 ②(1990年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知⊙O的半径为1,A1、A2、?、A8是该圆周的8个等分点,自A1作A1B2⊥OA2,垂 足为B2;自B2作B2B3⊥OA3,垂足为B3;?;自B8作B8B9⊥OA1,垂足为B9;这样可以无限作下去,则使|BnBn+1|<
1 的最小自然数n=_. 1990

6.①(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{an}是递增的正整数数列1,7,8,49,50,56,57,?,它们或者是7的幂,或者 是若干个7的不同的幂之和.则a1000= {an}:7,11,13,14,?.则a36= . .
r s t

②(2005年全国高中数学联赛四川初赛试题)设r,s,t为整数,集合{a|a=2 +2 +2 ,0≤t<s<r}中的数由小到大组成数列

10.数列性质 [例10]:(1985年全国高中数学联赛试题)(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设0<a<1.若x1=a,x2= a x1 ,x3= a x2 ,?,
xn= a xn ?1 ,?.则数列{xn}( (A)递增 ). (B)奇数项增,偶数项减 (C)递减 (D)偶数项增,奇数项减

[解析]: [类题]:
1.①(2006年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知数列{an}的通项公式an=
2 n 2 ? 4n ? 5

,则{an}的最大项是

.

②(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)已知数列{an}的通项an=(

2 n-1 2 n-1 ) [( ) -1].则下列表述正确的是( 3 3

).

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(A)最大项为a1,最小项为a4 (B)最大项为a1,最小项不存在 数列{bn}的前 n 项和 Tn 取得最大值时,n 的值是 大,n=23,25. ②(1992 年第 3 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)等比数列{an}的首项 a1=logax,公比 q=arctan 个数列是( (A)递增数列 ) (B)递减数列 (C)递增数列或者递减数列
n

13
(C)最大项不存在,最小项为a3 (D)最大项为a1,最小项为a3

2.①(2009 年全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1>0,S50=0.设 bn=anan+1an+2(n∈N+),则当 . 解 : 由 a1>0,S50=0 得 a1,a2, ? ,a25>0,a26,a27, ? <0, 于 是 b23>0,b24<0,b25>0, 且 b24+b25=a25a26(a24+a27)=0, 所 以 T23=T25 最

1 2 +arctan ,那么这 5 3

(D)以上都不对
1 )+3,若此数列的各项都是正数, 2n

3.(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)数列{an}的通项是 an=(–1) (λ + 则 λ 的取值范围是 .

4.①(2008年全国高中数学联赛陕西初赛试题)已知函数f(x)= ? 增数列.则实数a的取值范围是 (2,3). .

?(3 ? a) x ? 3, x ? 7 ,数列{an}满足an=f(n)(n∈N+),且{an}是递 x ?6 ? a ,x ?7

解:由{an}是递增数列得3-a>0,a>1 ? 1<a<3,又由f(7)<f(8),得7(3-a)-3<a .解得a<-9或a>2.故实数a的取值范围是
?(5 ? a) x ? a ? 6( x ? 4) 数列{an}满足an=f(n)(n∈N+), 2a x ?3 ( x ? 4) ?

2

②(2011年第22届希望杯全国数学邀请赛高一试题)已知函数f(x)= ? 且数列{an}是单调递增数列,则实数a的取值范围是 .
1
2 an

5.(2009 年全国高中数学联赛吉林初赛试题)数列{an}满足 a1=1, N 恒成立,则正整数 t 的最小值为 解:由已知可求得 an = 得 S2n+1-Sn≤
2 *

?4 =

n t 1 ,记 Sn= ? ai2 ,若 S2n+1-Sn≤ 对任意的 n∈ 30 an ?1 i ?1

.

1 1 1 1 2 2 2 .令 g(n)=S2n+1-Sn 得 g(n+1)-g(n)=an+1 -a2n+2 -a2n+3 = >0,即 g(n)为减函数, 4n ? 3 4 n ? 1 8n ? 5 8n ? 9

t t 28 ,则 t 的最小值为 10. ? g(1)≤ ? t≥ 30 30 3
2n+1

6.(2008 年全国高中数学联赛江西初赛试题)设 an=(2+ 7 ) (A)必为无理数 (B)必为偶数
2

,bn 是 an 的小数部分,则当 n∈N 时,anbn 的值( (C)必为奇数
2 n n-1 n-2 n n-1 n-2

*

)
n n

(D)可为无理数或有理数
2n+1 2n+1

解:令 a=2+ 7 ,b=2- 7 ,则 a,b 是方程 x =4x+3 的两根,则 a =4a+3,b =4b+3,所以 a =4a +3a ,b =4b +3b ,令 xn=a +b , 则 xn=4xn-1+3xn-2,x1=4,故所有 xn 为偶数,an=x2n+1-(2- 7 ) 部分,即 bn=( 7 -2)
2n+1 2n+1

2

=2k+( 7 -2)

2n+1

,因 0<( 7 -2) <1,所以( 7 -2)

为 an 的小数

,anbn=( 7 +2) ( 7 -2)

2n+1

2n+1

=3

2n+1

,奇数.

11.数列极限 [例 11]:(2003 年全国高中数学联赛试题)设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0. a1a2 ? ? ? an |ai 只取 0 或 1(i=1,2,?,n-1,an=
1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim
Sn =_______. Tn

n ??

[解析]:Tn=2n-1,ai=0,或 1 各 2n-2 次,所以 Sn=2n-2(
1 18

1 1 1 1 1 1 1 S n-1 n-2 n-1 + +?+ n ?1 )+2 × n = ×2 (1- n ?1 )+2 × n ? lim n = 10 10 2 9 n ?? Tn 10 10 10 10

.

[类题]:

14
1.①(1999 年第 10 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)若无穷等比数列{an}满足 lim 的公比是 .
n ??

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a1 ? a4 ? a7 ? ? ? ? ? a3n ? 2 3 = .则该数列 4 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an

②(2005 年第 16 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知{an}为无穷递缩等比数列,且 a1+a2+a3+?= =
1 ,则 an= 4

1 ,a1-a3+a5-a7+? 2

.

2.①(1991 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知每项都是正数的无穷等比数列各项的和是 5,首项 a∈N,则公比 q 的最 小可能值为_____. ②(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知{an}是等比数列,a2=2,a5=
1 ,则 a1a2+a2a3+?+anan+1 的取值范围是 4

. =.

3.①(1999 年第 10 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知 n∈N,常数 p,q 均大于 1,且都不等于 2,则 lim
2n ?1 ? 2

p n ?1 ? q n p
n?2

n ??

? 2q n ?1

②(2005年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知集合M={x|x= lim 和为 .

n ??

?2 ? 2n

,λ 为常数,且λ +2≠0}.则M的所有元素的

4. ① (2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题 ) 设数列 {an} 为等差数列, 数列{bn} 满足:b1=a1,b2=a2+a3,b3=a4+a5+a6, ?, 若
n ??

lim

bn n3

=2,则数列{an}的公差 d=

.
1 2 成等比数列,则 lim n an= n ?? 2

②(2010 年全国高中数学联赛四川初赛试题)在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,an,Sn,Sn-

.

5.①(2006 年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知数列{an}满足 a1=3,an+1=9 3 an (n≥1),则 lim an=_________.
n ??

②(2011 年全国高中数学联赛四川初赛试题)己知(1+ 3 ) =an+bn 3 ,其中 an,bn 为整数,则 lim ③(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)数列{an},{bn}满足:a1=1,b1=7,且 ?

n

n ??

an = bn

.

? an ?1 ? bn ? 2an a ,则 lim n =_________. n ? ? bn ?bn ?1 ? 3bn ? 4an
n ?? n ??

6.①(1990 年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知数列{xn}、 {yn}满足 lim (2xn+yn)=1, lim (xn-2yn)=1,则 lim (xnyn)= .
n ??
2n

② (2009 年 全 国 高 中 数 学 联 赛 四 川 初 赛 试 题 ) 设 二 项 式 (3x-1) =a2nx +a2n-1x + ? +a2x +a1x+a0, 记 Tn=a0+a2+ ? +a2n,Rn=a1+a3+?+a2n-1,则 lim
n ??

2n

2n-1

2

Tn = Rn

.
n

③(2000 年全国高中数学联赛试题)设 an 是(3? x ) 的展开式中 x 项的系数(n=2,3,4,?),则 lim (
n ??
2 2

32 33 3n )= . ? ? ??? ? a2 a3 an
1 AB , 2

④(2004年全国高中数学联赛安徽初赛试题)已知A(a,b),B(c,d),且(a-c) +(b-d) ≠0,点Pn(n∈N+)满足 AP 1 =
BP 2 =
1 1 Pn Pn ?1 ,则 lim APn = BP 1 , Pn Pn ? 2 = n ?? 2 2

.

12.数列综合 [例 12]:(2006 年全国高中数学联赛江西初赛试题)数列{xn}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,?由全体正奇数自小到大排列而成,
并且每个奇数 k 连续出现 k 次,k=1,3,5,?,如果这个数列的通项公式为 xn=a[ bn ? c ]+d,则 a+b+c+d= .

[解析]:由 xk 2 ?1 = xk 2 ?2 =?= x( k ?1) 2 =2k+1,即当 k2+1≤n≤(k+1)2 时,xn=2k+1,k=[

n ? 1 ],所以 xn=2[ n ? 1 ]+1,于是,

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a=2,b=1,c=-1,d=1.

15

[类题]:
1.(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知数列{an}满足:an+1≤ 解:an+1≤
an ? 2 ? an ,a1=1,a403=2011,则 a5 的最大值是 2

.

an ? 2 ? an ? 点(n,an)列在一凹函数上 ? 当点(5,a5)在直线 A(1,a1)B(403,a403)上时,a5 的最大值=21. 2

2.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)从集合{1,2,3,?,20}中任选3个不同的数排成一个数列,则这个数列为等差 数列的概率是 为 . ②(2011 年全国高中数学联赛河北初赛试题)己知 a1=1,a2=3,an+2=(n+3)an+1-(n+2)an,当 m≥n 时,am 的值都能被 9 整除,则 n 的最小值为 . 解:an+2-an+1=(n+2)(an+1-an) ? an-an-1=n(an-1-an-2)=n(n-1)(an-2-an-3)=?=n! ? an=1+2!+3!+?+n! ? n 的最小值为 5.
1

.

3.①(2008 年全国高中数学联赛四川初赛试题)设数列{an}满足:an=(2n-1)(2n+1)(2n+3),则 a1,a2,?,a2008 的最大公约数 d

a1 4.(2004年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知数列{an}中,a1= 99 99 ,an= an ?1 .当an为整数时,最小的正整数n是
n ?100 99
n ?100

.

解:an=

a1 an ?1

? lgan=a1lgan-1 ? lgan=a

n-1 1

lga1= 99

lg99 ? an= 99 99

99

为整数时,最小的正整数 n 是 100.

5.(2007 年第 18 届希望杯全国数学邀请赛高二试题)已知数列{
1 )(n 为正整数),则 a2n 的值是 2

1 1 }是等差数列,若 ana2n+a2na3n+a3nan=arcsin ,ana2na3n= an 2

arcos(-

.

6.①(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)[x]表示不超过实数x的最大整数,比如[3.14]=3,[0]=0,[-3.14]=-4.数列 {an}满足:an=3n-2,若bn=[
an ],则b1+b2+?+b2007= 5

.

②(2005年全国高中数学联赛河南初赛试题)在正奇数非减数列{1,3,3,3,5,5,5,5,5,?}中,每个正奇数k出现k次,已知 有整数b、c、d存在,对所有的整数n满足an=b[ n ? c ]+d,其中[x]表示不超过x的最大整数.则b+c+d等于_____. ③(2008 年全国高中数学联赛湖南初赛试题)某学校数学课外活动小组,在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下:第 k 棵树
k ?1 k ?2 ? x ? xk ?1 ? 1 ? 5[ ] ? 5[ ] ? ? k 5 5 ,其中,[a]表示实数 a 的整数部分.按此方 种植在点 Pk(xk,yk)处,其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时, ? k ?1 k ?2 ? yk ? yk ?1 ? [ ]?[ ] ? 5 5 ?

案,第 2008 棵树种植点的坐标为

.
5 3 an+ 4 4
2 an ? 2 ], 其中 [x] 表示不超过 x 的最大整数 . 则

④(2007 年全国高中数学联赛广西初赛试题 )设 a1=6,an+1=[ a1+a2+?+a2007 的个位数字为 .


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