nbhkdz.com冰点文库

2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷


2013 年 苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
高 二 试 题
考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟. 2 答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3 本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4 本卷解答一律不准使用计算器. 一、选择题(本大题共

8 小题,每小题 4 分,满分 32 分,每小题有且仅有一个正确的答案)
1.已知集合 A ? {x | x ? 1} , B ? {x | x ? m} ,且 A ? B ? R ,那么 m 的值可以是 A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2

2. 将函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 取值为 A.

? 个单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能 8
D. ?

3? 4

B.

? 4

C.

0

?
4

3.公差不为 0 的等差数列{ an }的前 21 项的和等于前 8 项的和.若 a8+ak=0 ,则 k= A.20 4.下列命题正确的是 A.若直线 l 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行于直线 l B.若直线 l 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直于直线 l C.若平面 ? 不平行于平面 ? ,则 ? 内不存在直线平行于平面 ? D.若平面 ? 不垂直于平面 ? ,则 ? 内不存在直线垂直于平面 ? 5.正三棱锥的底面边长是 a ,侧棱与底面所成的角是 60? ,过底面的一边作一截面使其与底面成 30? 的二 面角,则此截面的面积是 A. B.21 C.22 D.23

3 2 a 4
2

B. a
2

3 8

2

C.
2

3 2 a 3
2

D.

3 3 2 a 8

6. 已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 , C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 ,M , N 分别是圆 C1 , C2 上的动点,P 圆 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为 A. 5 2 ? 4 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2 D. 17

7.已知正三角形 ABC 的边长为 1,点 P 是 AB 边上的动点,点 Q 是 AC 边上的动点,且 AP ? ? AB ,

AQ ? ?1 ? ? ?AC , ? ? R ,则 BQ ? CP 的最大值为
A.

3 2

B. ?

3 2

C.

3 8

D. ?

3 8

8. 已知函数 f ( x) ? x ? [ x] ,其中 [ x] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关于 x 的方程 f ( x) ? kx ? k 有三个 不同的实根,则实数 k 的取值范围是

1 1 1 2 4 3 1 1 1 C. [? , ? ) ? ( ,1] 3 4 2

A. [?1, ? ) ? ( , ]

1 1 1 2 4 3 1 1 1 D. (? , ? ] ? [ ,1) 3 4 2
B. (?1, ? ] ? [ , )

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分.)
9.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视 图和侧视图是腰长为 4 的两个全等的等腰直角 三角形,则该几何体的体积是 ▲ 。

正视图

侧视图

俯视图

? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? 10.变量 x, y 满足 ? x ? 3 y ? 3 ? 0, 目标函数 z ? ax ? y 的最大值为 3a ,则实数 a 的取值范围是 ? y ? 1 ? 0, ?



11. OA , OB 是半径为 R ( R ? 0 )的圆上的两条互相垂直的半径( O 为圆心) C 是该圆上任一点,且 ,
???? ??? ? ??? ? OC ? ? OA ? ? OB ,则 ? 与 ? 满足的关系是____▲___;

12.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) , g ( x) ? 2 ? 2 ,若满足对于任意 x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成
x

立.则 m 的取值范围是




?

13.已知数列 {an } 满足: a0 ? 0, a1 ? 1, 且a2 n ? an , a2 n ?1 ? an ? 1(n ? N ), 则 a2013 ? __▲__. 14. 已知 ? 为参数,当 ? 变化时,所有的直线 l : x cos? ? ( y ? 2) sin? ? 1(0 ? ? ? 2? ) 组成一个集合 M, 则对于下列四个命题: (1) M 中所有直线均经过一个定点 (2)存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 (3)对于任意整数 n(n ? 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 (4) M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的序号是 ▲ (写出所有真命题的序号)

三、解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必要的解答 过程)
15 . 如 图 , 在 Rt?ABC中,AB ? BC ? 4, E在线段AB 上 , 过 点 E 做 EF // BC交AC于点F, 点 将 ,使得 ?PEB ? 60? . ?AEF沿EF折起到?PEF 的位置( 点A与点P重合 )
A E P F E C B F C

a a
B a

(1)若 FC ? PB ,试确定点 E 在 AB 上的位置;

a a

(2)试问:当点 E在线段AB 上移动时,二面角 P ? FC ? B 的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出 定值,若不是,说明理由.

16.设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若对任意 x ? D, 都有 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立, ,则称 函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) . (1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ?
1 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 2

(2)若函数 f ( x) ? 2 x ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取值范围.

17.在 ?ABC 中,已知 AB? AC ? 9, sin B ? cos A sin C ,又 ?ABC 的面积等于 6.学 (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长; (Ⅱ)设 p 是 ?ABC (含边界)内一点, p 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d 2、d3 ,求
d1 ? d2 ? d3 的取值范围.

?

?

2013 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二答题卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.________________________ 11._______________________ 13._______________________ 10._____________________________ 12._____________________________ 14._____________________________

三、 解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必要的解答 过程)
15 . 如 图 , 在 Rt?ABC中,AB ? BC ? 4, E在线段AB 上 , 过 点 E 做 EF // BC交AC于点F, 点 将
? ,使得 ?PEB ? 60 . ?AEF沿EF折起到?PEF 的位置( 点A与点P重合 )

A E

a a
B a

P F E C B F C

(1)若 FC ? PB ,试确定点 E 在 AB 上的位置;

a a

(2)试问:当点 E在线段AB 上移动时,二面角 P ? FC ? B 的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出 定值,若不是,说明理由.

16.设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若对任意 x ? D, 都有 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立, ,则称 函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) . (1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ?
1 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 2

(2)若函数 f ( x) ? 2 x ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取值范围.

17.在 ?ABC 中,已知 AB? AC ? 9, sin B ? cos A sin C ,又 ?ABC 的面积等于 6.学 (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长;学科网 (Ⅱ)设 p 是 ?ABC (含边界)内一点, p 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d 2、d3 , 求 d1 ? d2 ? d3 的取值范围.学

?

?

2013 年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛 高二参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)

题号 答案

1 D

2 B

3 C

4 D

5 B

6 A

7 D

8 B

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 6 分,满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上)
9.

64 3

10. a ?

1 2

11. ? ? u ? 1
2 2

12. (?4,0)

13. 9

14.(2) (3)

三、

解答题(本大题共 3 小题,第 15、16 题各 10 分,第 17 题 12 分,满分 32 分.要求写出必要的

解答过程)
15 . 如 图 , 在 Rt?ABC中,AB ? BC ? 4, E在线段AB 上 , 过 点 E 做 EF // BC交AC于点F, 点 将 ?AEF沿EF折起到?PEF 的位置( 点A与点P重合 ) , 使得 ?PEB ? 60 .
?

A E

a a
B a

P F E C B F C

(1)若 FC ? PB ,试确定点 E 在 AB 上的位置;

a a

(2)试问:当点 E在线段AB 上移动时,二面角 P ? FC ? B 的平面角的余弦值是否为定值?若是,求出 定值,若不是,说明理由. 解: (1)在 Rt ?ABC 中,? EF / / BC ,? EF ? AB .

? EF ? EB , EF ? EP , 又? EB ? EP ? E ,? EF ? 平面 PEB.
又? PB ? 平面 PEB, ? EF ? PB . 若 FC ? PB ,则 PB ? 面BEFC ,即 PB ? BE

? ?PEB ? 60?, BE ? ?

1 PE 2

即 E 在 AB 上是三等分点 AE ? 2EB ……………5 分

(2)过 P 作 PQ ? BE 于点 Q,垂足为 Q;过 Q 作 QH ? FC,垂足为 H。 则 ?PHQ 即为所求二面角的平面角。………………………………………………7 分

设 PE=x,则 EQ=

3 1 x, x ,PQ= 2 2

QH= ( PE ? EQ )sin

?
4

?

3 2 x ,…………………………………………………8 分 4

故 tan ?PHQ ?

PQ 6 ? ,……………………………………………………9 分 QH 3

cos ?PHQ ?

15 15 ,即二面角 P-FC-B 的平面角的余弦值为定值 ……10 分 5 5

16.设函数 f ( x) 和 g ( x) 是定义在集合 D 上的函数,若对任意 x ? D, 都有 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立, ,则称 函数 f ( x) 和 g ( x) 在集合 D 上具有性质 P( D) . 1 (1)若函数 f ( x) ? 2 x 和 g ( x) ? cos x ? 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求集合 D ; 2 (2)若函数 f ( x) ? 2 x ? m 和 g ( x) ? ? x ? 2 在集合 D 上具有性质 P( D) ,求 m 的取值范围. 1 解: (1)? f ( x) ? 2 x , g ( x) ? cos x ? , 2 1 1 ………2 分 ? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2(cos x ? ) ? cos 2 x ? , 2 2 变形得: 4cos2 x ? 4cos x ? 3 ? 0 , 1 3 , ………4 分 ? cos x ? ? 或 cos x ? (啥去) 2 2 2? ? x ? 2k? ? ,k ?Z , 3 2? ? ? ………5 分 ? D ? ? x x ? 2k ? ? ,k ?Z ? ; 3 ? ? (2)? f ( x) ? 2 x ? m , g ( x) ? ? x ? 2 ,

? 由 f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 得: 2? x ? 2 ? m ? ?(2 x ? m) ? 2 , 4 变形得: 2 ? 2m ? 2 x ? x , 2 4 ? D ? ? ,且 2x ? x ? 4 , 2 ? 2 ? 2m ? 4 ,? m ? ?1 ,即 m 的取值范围为 (??, ?1] .

………7 分

………10 分

17.在 ?ABC 中,已知 AB? AC ? 9, sin B ? cos A sin C ,又 ?ABC 的面积等于 6.学 (Ⅰ)求 ?ABC 的三边之长;学科网 (Ⅱ)设 p 是 ?ABC (含边界)内一点, p 到三边 AB、BC、CA 的距离分别为 d1、d 2、d3 ,求
d1 ? d2 ? d3 的取值范围.学

?

?

解: (Ⅰ)设三角形三内角 A、B、C 对应的三边分别为 a, b, c, ∵ sin B ? cos Asin C ,∴ cos A ?
sin B b ,由正弦定理有 cos A ? , sin C c

b b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? c 2 ? a 2 2 2 2 又由余弦定理有 cos A ? ,∴ ? ,即 a ? b ? c , c 2bc 2bc

所以 ?ABC 为 Rt ?ABC ,且 ?C ? 90? .................................. 3 分
? ? ?? ? ? AB? AC ? AB ? AC cos A ? 9........ ?1? ? 又 ? ? 1 ? ?S ? AB ? AC sin A ? 6......... ?2 ? ? ?ABC 2 ?

两式相除,得: tan A ?

4 a ? ...................................... 4 分 3 b

令 a=4k, b=3k (k>0) 1 则 S ?ABC ? ab ? 6 ? k ? 1 ∴三边长分别为 3,4,5.....................6 分 2 (Ⅱ)以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则 A、B 坐标为(3,0)(0, , 4) ,直线 AB 方程为 4x ? 3y ? 12 ? 0. 设 P 点坐标为(x, y) ,则由 P 到三边 AB、BC、AB 的距离为 d1, d2 和 d3 可知
d1 ? d2 ? d3 ? x ? y ? | 4 x ? 3 y ? 12 | ,..................................8 分 5

? x ≥ 0, ? x ? 2 y ? 12 . .......................10 分 且 ? y ≥ 0, 故 d1 ? d2 ? d3 ? 5 ?4 x ? 3 y ? 12 ≤ 0. ?

令 m ? x ? 2 y ,由线性规划知识可知 0≤m≤8, 故 d1+d2+d3 的取值范围是 ?12 ,4? ...........12 分 ? ?
?5 ?

(若有其它解法参照上述评分标准给分)


2013年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

2013年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年 苍南县姜立夫杯数学竞赛高 二试题 考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,...

浙江省苍南县“姜立夫杯”2013年高二上学期数学竞赛试卷

浙江省苍南县“姜立夫杯”2013年高二上学期数学竞赛试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2013 年 苍南县姜立夫杯数学竞赛高 二试题 考生注意事项: 1 本卷共有 ...

2012年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

? 1? 2? 。 2 2012 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二答题卷一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且仅有一个正确的答案)...

2010年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷及答案

2010年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2010 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二试卷考生注意事项: 考生注意事项: 本卷...

2015年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

2015年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二试卷考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷...

2014年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

则不同的 “好集” 的个数为 . 2 2014 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二答题卷一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分.每小题有且...

2015年苍南县姜立夫杯数学竞赛高一试卷

2015年苍南县姜立夫杯数学竞赛高一试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高一试卷考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分...

2011年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷

2011年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。年苍南县姜立夫杯” 2011 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二试卷考生注意事项: 考生注意...

2008年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷

2008年苍南县姜立夫杯数学竞赛高二试卷_学科竞赛_高中教育_教育专区。2008 年苍南县姜立夫杯数学竞赛 高二试卷考生注意事项: 1 本卷共有 17 道题目,全卷满分...