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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第8章 第8节 曲线与方程(理)

时间:2015-04-18


第八章

第八节

一、选择题 1.方程(2x+3y-1)( x-3-1)=0 表示的曲线是( A.两条直线 C.两条线段 [答案] D [解析] 原方程化为
? ?2x+3y-1=0, ? 或 x-3-1=0, ?x-3≥0, ?

)

B.两条射线 D.一条直线和一条射线
<

br />∴2x+3y-1=0(x≥3)或 x=4,故选 D. → → 2.长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,AC=2CB,则点 C 的轨迹是 ( ) A.线段 C.椭圆 [答案] C [解析] 设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a2+b2=9,① → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y), a=3x, ? ? 则? 3 ② b= y, ? 2 ? 1 把②代入①式整理可得:x2+ y2=1.故选 C. 4 [点评] 关于轨迹方程的问题 (1)定义法求轨迹方程 ①设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点 M,则 M 的轨迹方程为( 4x 4y A. - =1 21 25 4x2 4y2 C. - =1 25 21 [答案] D [解析] M 为 AQ 垂直平分线上一点,
2 2

B.圆 D.双曲线

)

4x 4y B. + =1 21 25 4x2 4y2 D. + =1 25 21

2

2

-1-

则|AM|=|MQ|. ∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,(5>|AC|) 5 21 ∴a= ,c=1,则 b2=a2-c2= , 2 4 4x2 4y2 ∴椭圆的标准方程为 + =1.故选 D. 25 21 ②若点 P 到直线 y=-2 的距离比它到点 A(0,1)的距离大 1,则点 P 的轨迹为( A.圆 C.双曲线 [答案] D [解析] 由条件知,点 P 到直线 y=-1 的距离与它到点 A(0,1)的距离相等,∴P 点轨迹是 以 A 为焦点,直线 y=-1 为准线的抛物线. ③(2013· 湘潭模拟)如图所示,一圆形纸片的圆心为 O,F 是圆内一动点,M 是圆周上一动 点,把纸片折叠使 M 与 F 重合,然后抹平纸片,折痕为 CD,设 CD 与 OM 交于点 P,则点 P 的轨迹是( ) B.椭圆 D.抛物线 )

A.椭圆 C.抛物线 [答案] A [解析] 由条件知|PM|=|PF|, ∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|. ∴P 点的轨迹是以 O,F 为焦点的椭圆.

B.双曲线 D.圆

④已知动圆 M 与圆 C1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆 C2:(x-4)2+y2=2 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程. [分析] 设动圆 M 的半径为 r,则|MC1|=r+r1,|MC2|=r-r2,则|MC1|-|MC2|=r1+r2= 定值,故可用双曲线定义求解轨迹方程. [解析] 如图,设动圆 M 的半径为 r, 则由已知得|MC1|=r+ 2, |MC2|=r- 2. ∴|MC1|-|MC2|=2 2. 又 C1(-4,0),C2(4,0), ∴|C1C2|=8,∴2 2<|C1C2|.
-2-

根据双曲线定义知,点 M 的轨迹是以 C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支. ∵a= 2,c=4,∴b2=c2-a2=14, x2 y2 ∴点 M 的轨迹方程是 - =1(x≥ 2). 2 14 (2)直译法求轨迹方程. → → ⑤已知平面上两定点 A、B 的距离是 2,动点 M 满足条件MA· MB=1,则动点 M 的轨迹是 ( ) A.直线 C.椭圆 [答案] B [解析] 以线段 AB 中点为原点, 直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系, 则 A(-1,0), B(1,0), 设 M(x,y), → → ∵MA· MB=1,∴(-1-x,-y)· (1-x,-y)=1, ∴x2+y2=2,故选 B. ⑥设 x1、x2∈R,常数 a>0,定义运算“*”,x1]x*a))的轨迹是( A.圆 C.双曲线的一部分 [答案] D [解析] ∵x1]x*a)= ?x+a?2-?x-a?2=2 ax, 则 P(x,2 ax). B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 ) B.圆 D.双曲线

?x1=x 设 P(x1,y1),即? ,消去 x 得, ?y1=2 ax
y2 1=4ax1(x1≥0,y1≥0), 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分.故选 D. ⑦已知 log2x、log2y、2 成等差数列,则在平面直角坐标系中,点 M(x,y)的轨迹为( )

[答案] A [解析] 由 log2x,log2y,2 成等差数列得 2log2y=log2x+2 ∴y2=4x(x>0,y>0),故选 A. ⑧(2014· 广州模拟)已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的
-3-

轨迹方程为(

) B.x2+y2=4 D.x2+y2=4(x≠± 2)

A.x2+y2=2 C.x2+y2=2(x≠± 2) [答案] D

→ → ⑨(2014· 上海徐汇一模)在平面直角坐标系中,动点 P 和点 M(-2,0),N(2,0)满足|MN|· |MP| → → +MN· NP=0,则动点 P(x,y)的轨迹方程为________. [答案] y2=-8x → → → → → → → [解析] 由题意可知MN=(4,0),MP=(x+2,y),NP=(x-2,y),由|MN|· |MP|+MN· NP= 0,可知 4 ?x+2?2+y2+4(x-2)=0,化简,得 y2=-8x. (3)代入法求轨迹方程 ⑩动点 A 在圆 x2+y2=1 上移动,它与定点 B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( A.(x+3)2+y2=4 C.(2x-3)2+4y2=1 [答案] C [解析] 设中点 M(x,y),则动点 A(2x-3,2y), ∵A 在圆 x2+y2=1 上, ∴(2x-3)2+(2y)2=1,即(2x-3)2+4y2=1,故选 C. → → → ?平面直角坐示系中,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=λ1OA+λ2OB(O 为原 点),其中 λ1,λ2∈R,且 λ1+λ2=1,则点 C 的轨迹是( A.直线 C.圆 [答案] A → → → [解析] 设 C(x,y),则OC=(x,y),OA=(3,1),OB=(-1,3), → → → ∵OC=λ1OA+λ2OB,
? ?x=3λ1-λ2 ∴? ,解得 ?y=λ1+3λ2 ?

)

B.(x-3)2+y2=1 3? 2 1 D.? ?x+2?+y =2

)

B.椭圆 D.双曲线

+y , ?λ =3x10 ? 3y-x ?λ = 10 .
1 2

又 λ1+λ2=1, ∴x+2y-5=0,表示一条直线. x2 ?设 P 为双曲线 -y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的轨 4 迹方程是________.
-4-

[答案] x2-4y2=1 [解析] 设 M(x,y),则 P(2x,2y),代入双曲线方程得 x2-4y2=1,即为所求. ?如右图所示,从双曲线 x2-y2=1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的 垂线,垂足为 N,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程. [分析] 直接求 P 的轨迹方程不好找关系,可利用 Q,P,N 三者 之间的对称关系及直线的垂直关系求解. [解析] 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x-x1,2y- y1). ∵点 N 在直线 x+y=2 上, ∴2x-x1+2y-y1=2,① 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2, ∴ y-y1 =1.即 x-y+y1-x1=0.② x-x1

由①、②联立,解得

?x =2x+2y-1, ? 1 3 ?y =2x+2y-1.
1 1 2 ∴x1 -y2 1=1,

3

1

又 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,

3 1 1 3 即( x+ y-1)2-( x+ y-1)2=1 整理得 2 2 2 2 2x2-2y2-2x+2y-1=0,这就是所求动点 P 的轨迹方程. 3.(2014· 山东青岛一模)如图,从点 M(x0,4)发出的光线,沿平行于抛 物线 y2=8x 的对称轴方向射向此抛物线上的点 P,经抛物线反射后,穿 过焦点射向抛物线上的点 Q,再经抛物线反射后射向直线 l:x-y-10 =0 上的点 N,经直线反射后又回到点 M,则 x0 等于( A.5 C .7 [答案] B [解析] 由题意可知,p=4,F(2,0),P(2,4),Q(2,-4),QN:y=-4,直线 QN,MN 关 于 l:x-y-10=0 对称,即直线 l 平分直线 QN,MN 的夹角,所以直线 MN 垂直于 y 轴.解
? ?y=-4, ? 得 N(6,-4),故 x0 等于 6.故选 B. ?x-y-10=0, ?

)

B.6 D.8

4.(2014· 北京朝阳期末)已知正方形的四个顶点分别为 O(0,0),A(1,0),B(1,1),C(0,1),点 D,E 分别在线段 OC,AB 上运动,且 OD=BE,设 AD 与 OE 交于点 G,则点 G 的轨迹方程

-5-

是(

) A.y=x(1-x)(0≤x≤1) C.y=x2(0≤x≤1) [答案] A [解析] 设 D(0,λ),E(1,1-λ)(0≤λ≤1),所以线段 AD 方程为 y=-λx+λ(0≤x≤1),线 B.x=y(1-y)(0≤y≤1) D.y=1-x2(0≤x≤1)

段 OE 方程为 y=(1-λ)x(0≤x≤1),联立方程组
? ?y=-λx+λ?0≤x≤1?, ? (λ 为 参 数 ) ,消 去参 数 λ 得 点 G 的 轨 迹方 程为 y = x(1 - ? ?y=?1-λ?x?0≤x≤1?

x)(0≤x≤1),故 A 正确. 5.(2014· 合肥模拟)设抛物线 y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( 1 1 A.[- , ] 2 2 C.[-1,1] [答案] C [规范解答] 由题意得 Q(-2,0). 设 l 的方程为 y=k(x+2),代入 y2=8x 得 k2x2+4(k2-2)x+4k2=0, ∴当 k=0 时,直线 l 与抛物线恒有一个交点; 当 k≠0 时,Δ=16(k2-2)2-16k4≥0,即 k2≤1, ∴-1≤k≤1,且 k≠0, 综上-1≤k≤1. x2 y2 y2 x2 6.(2014· 河南开封第二次模拟)已知双曲线 M: 2- 2=1 和双曲线 N: 2- 2=1,其中 a b a b b>a>0,且双曲线 M 与 N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点,则双曲线 M 的 离心率是( A. C. ) 5+1 2 5+3 2 B. 5-1 2 ) B.[-2,2] D.[-4,4]

3- 5 D. 2

[答案] A

[解析] 解方程组

? ?y x ?a -b =1,
2 2 2 2

x2 y2 - =1, a2 b2

得 x2=

a2b2 a2b2 b4 b2 2 2 2,由 2 2=c ,化简得 4- 2-1=0.所 a a b -a b -a

-6-

b2 1+ 5 以 2= ,∴e= a 2 二、填空题

b2 1+ 2 = a

1+ 5 1+ = 2

3+ 5 1+ 5 = . 2 2

x2 y2 → → 7.P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,OQ=PF1 a b → +PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. [答案] x2 y2 + =1 4a2 4b2

[解析] 设 F1(-c,0),F2(c,0),Q(x,y),P(x1,y1), → → → ∴PF1=(-c-x1,-y1),PF2=(c-x1,-y1),OQ=(x,y),
? ?x=-2x1, → → → 由OQ=PF1+PF2得,? ? ?y=-2y1,

?x =-2, ∴? y ?y =-2.
1 1

x

x2 y2 x2 y2 代入椭圆方程 2+ 2=1 中得, 2+ 2=1. a b 4a 4b 8.(2014· 北京模拟)△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上, 则顶点 C 的轨迹方程是________. [答案] x2 y2 - =1(x>3) 9 16 3 3 x 和 y=- x 上的两个动点,线段 AB 的长为 2 3,P 3 3

9.已知 A、B 分别是直线 y=

是 AB 的中点,则动点 P 的轨迹 C 的方程为________. [答案] x2 2 +y =1 9

[解析] 设 P(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2). x , ?x=x + 2 ∵P 是线段 AB 的中点,∴? y +y ?y= 2 .
1 2 1 2



∵A、B 分别是直线 y= ∴y1=

3 3 x 和 y=- x 上的点, 3 3

3 3 x 和 y2=- x2. 3 1 3

-7-

x -x =2 3y, ? ?1 2 代入①中得,? ② 2 3 y1-y2= x. ? 3 ? → 又|AB|=2 3,∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12. 4 x2 ∴12y2+ x2=12,∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 3 9 三、解答题 10.如图所示,在平面直角坐标系中,N 为圆 A:(x+1)2+y2=16 上的一动点,点 B(1,0), → → 点 M 是 BN 的中点,点 P 在线段 AN 上,且MP· BN=0.

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x2+y2=4 的位置关系,并说明理由. → → [解析] (1)∵点 M 是 BN 中点,又MP· BN=0, ∴PM 垂直平分 BN,∴|PN|=|PB|, 又|PA|+|PN|=|AN|,∴|PA|+|PB|=4,由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭 圆. x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1, a b 由 2a=4,2c=2 可得,a2=4,b2=3. x2 y2 可得动点 P 的轨迹方程为 + =1. 4 3 1 (2)设 PB 中点为 C,则|OC|= |AP|= 2 1 1 1 (|AN|-|PN|)= (4-|PB|)=2- |PB|. 2 2 2 ∴两圆内切.

一、解答题 11.(2013· 宁夏育才中学模拟)已知平面上一定点 C(-1,0)和一定直线 l:x=-4,P 为该 → → → → 平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q,(PQ+2PC)· (PQ-2PC)=0. (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线方程;

-8-

→ → → (2)点 O 是坐标原点,A、B 两点在点 P 的轨迹上,若OA+λOB=(1+λ)OC,求 λ 的取值范 围. → → → → → → [解析] (1)由(PQ+2PC)· (PQ-2PC)=0,得PQ2-4PC2=0. x2 y2 设 P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0,化简得 + =1,即点 P 在椭圆上,其方程为 4 3 x2 y2 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), → → → → → ∵OA+λOB=(1+λ)OC,∴CA+λCB=0, ∴(x1+1,y1)+λ(x2+1,y2)=0,∴?
? ?x1=-1-λ-λx2, ?y1=-λy2. ?

2 ?-1-λ-λx2?2 ?-λy2?2 x2 y1 1 因为 + =1,所以 + =1,① 4 3 4 3 2 x2 y2 ?λx2?2 ?λy2?2 2 2 又因为 + =1,所以 + =λ ,② 4 3 4 3

由①-②得 3-5λ 2≤ ≤2, 2λ

2λ?λ+1?x2+?λ+1?2 3-5λ = 1 - λ2 ,化简得 x2 = . 因为- 2≤x2≤2 ,所以- 4 2λ

1 1 解得 ≤λ≤3,所以 λ 的取值范围为[ ,3]. 3 3 12.(2014· 大纲全国理)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,直线 y=4 与 y 轴的交点 5 为 P,与 C 的交点为 Q,且|QF|= |PQ|. 4 (1)求 C 的方程; (2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点,若 AB 的垂直平分线 l′与 C 相交于 M、N 两点, 且 A、M、B、N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 8 [解析] (1)设 Q(x0,4),代入 y2=2px 得 x0= . p 8 p p 8 所以|PQ|= ,|QF|= +x0= + . p 2 2 p p 8 5 8 由题设得 + = × ,解得 p=-2(舍去)或 p=2. 2 p 4 p 所以 C 的方程为 y2=4x. (2)依题意知 l 与坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x=my+1(m≠0). 代入 y2=4x 得,y2-4my-4=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4m,y1y2=-4. 故 AB 的中点为 D(2m2+1,2m),|AB|= m2+1|y1-y2|=4(m2+1).
-9-

1 又 l′的斜率为-m,所以 l′的方程为 x=- y+2m2+3. m 4 将上式代入 y2=4x,并整理得 y2+ y-4(2m2+3)=0. m 4 设 M(x3,y3),N(x4,y4),则 y3+y4=- ,y3y4=-4(2m2+3). m 2 2 故 MN 的中点为 E( 2+2m2+3,- ).|MN|= m m 4?m2+1? 2m2+1 1 1+ 2|y3-y4|= . m m2

1 1 由于 MN 垂直平分 AB,故 A、M、B、N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|= |MN|,从而 2 4 1 |AB|2+|DE|2= |MN|2, 4 4?m2+1?2?2m2+1? 2 2 即 4(m2+1)2+(2m+ )2+( 2+2)2= m m m4 化简得 m2-1=0,解得 m=1 或 m=-1. 所求直线 l 的方程为 x-y-1=0 或 x+y-1=0. 13.(2014· 江西鹰潭二模)如图,A(- 3m,m),B( 3n,n)两点分别在射线 OS,OT 上移 1 → → → → → 动,且OA· OB=- ,O 为坐标原点,动点 P 满足OP=OA+OB. 2

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; 1 (2)设 Q(x0, ),过 Q 作(1)中曲线 C 的两条切线,切点分别为 M,N,①求证:直线 MN 2 → → 过定点;②若OM· ON=-7,求 x0 的值. 1 1 → → [解析] (1)由已知得OA· OB=-3mn+mn=- ,得 mn= . 2 4 → → → 设点 P 坐标为(x,y)(y>0),由OP=OA+OB,得(x,y)=(- 3m,m)+( 3n,n)=( 3(n -m),m+n).

?x= 3?n-m?, x2 ∴? 消去 m,n,可得 y2- =1(y>0), 3 ?y=m+n,
x2 ∴轨迹 C 的方程为 y2- =1(y>0). 3 (2)由(1)知,y= x2 1+ ,即 y′= 3 x 3 x2 1+ 3
- 10 -

.

设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 kQM= 3 x1 x2 1 1+ 3 = x1 ,k = 3y1 QN 3 x2 x2 2 1+ 3 = x2 . 3y2

x1 ∴lQM:y= (x-x1)+y1,即 lQM:x1x-3y1y+3=0. 3y1 3 ∵Q 在直线 QM 上,∴x0x1- y1+3=0,① 2 3 同理可得 x0x2- y2+3=0.② 2 3 由①②可知,lMN:x0x- y+3=0, 2 ∴直线 MN 过定点(0,2). 2x0 3 由以上可知,设直线 MN 的方程为 y=kx+2,易知 k= ,且|k|< ,将直线 MN 的方程 3 3 代入曲线 C 的方程得(3k2-1)x2+12kx+9=0. 12k 9 ∴x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 . 3k -1 3k -1 → → 又OM· ON=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2) 5-3k2 =(k +1)x1x2+2k(x1+x2)+4= 2 =-7, 3k -1
2

1 1 ∴k=± ,∴x0=± . 3 2 14.(2014· 鹤壁淇县检测)如图所示,已知 C 为圆(x+ 2)2+y2=4 的 圆心,点 A( 2,0),P 是圆上的动点,点 Q 在圆的半径 CP 所在直线上, → → → → 且MQ· AP=0,AP=2AM.当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程. [解析] 圆(x+ 2)2+y2=4 的圆心为 C(- 2,0),半径 r=2, → → → → ∵MQ· AP=0,AP=2AM,∴MQ⊥AP,点 M 是 AP 的中点,即 QM 是线段 AP 的中垂线,连接 AQ,则|AQ|=|QP|,∴||QC|-|QA||=||QC|- |QP||=|CP|=2, 又|AC|=2 2>2,根据双曲线的定义,点 Q 的轨迹是以 C(- 2,0),A( 2,0)为焦点,实 轴长为 2 的双曲线,由 c= 2,a=1,得 b2=1, 因此点 Q 的轨迹方程为 x2-y2=1.

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