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备课资料(2.4.1 等比数列的概念及通项公式)


备课资料 一、备用例题? 已知:b 是 a 与 c 的等比中项,且 a、b、c 同号,? 求证:

a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成等比数列.? 3 3

证明:由题设:b2=ac,得?

a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? c

a 2 ? abc ? ? b ? ?( ) ? 3 3 3 3


a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成等比数列.?? 3 3

二、阅读材料? 斐波那契数列的奇妙性质? 前面我们已提到过斐波那契数列,它有一系列奇妙的性质,现简列以下几条,供读者欣赏. 1.从首项开始,我们依次计算每一项与它的后一项的比值,并精确到小数点后第四位:?

2 1 =1.000 0 =2.0 000? 1 1 3 5 =1.500 0 =1.666 7? 2 3 8 13 =1.600 0 =1.625 0? 5 8 21 34 =1.615 4 =1.619 0? 13 21 55 89 =1.617 6 =1.618 2? 34 55 144 253 =1.618 0 =1.618 1? 89 144
如果将这一工作不断地继续下去, 这个比值将无限趋近于某一个常数, 这个常数位于 1.618 0 与 1.618 1 之间,它还能准确地用黄金数

1? 5 表示出来.? 2

2.我们在初中曾经遇到过杨辉三角形,如右图所示,杨辉三角形中虚线上的数的和恰好组成 斐波那契数列:? 3.在斐波那契数列中,请你验证下列简单的性质:?

前 n 项和 Sn=a n+2-1,? ana n+1-an-1a n-2=a 2n-1(n≥3),? an-12+an2=an-1(n≥2),? an-2an=a n-12-(-1)n(n≥3).? 据载首先是由 19 世纪法国数学家吕卡将级数{Un}: 1, 3, 8, 21, ..{U n+1=Un+Un-1} 1, 2, 5, 13, 34, 命名为斐波那契级数, 它是一种特殊的线性递归数列, 在数学的许多分支中有广泛应用.1680 年意大利—法国学者卡西尼发现该级数的重要关系式 U n+1U n-1-Un2=(-1)n.1730 年法国数学家 棣莫弗给出其通项表达式,19 世?纪初另一位法国数学家比内首先证明了这一表达式

1? 5 n 1? 5 n S n ? [( ) ?( ) ] ,现在称为之为比内公式.? 2 2
世界上有关斐波那契数列的研究文献多得惊人.斐波那契数列不仅是在初等数学中引人 入胜,而且它的理论已经广泛应用,特别是在数列、运筹学及优化理论方面为数学家们展开 了一片施展才华的广阔空间.?


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