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2012高考真题文科数学专题训练:圆锥曲线

时间:2012-12-30


2012 高考真题文科数学专题训练:圆锥曲线
一、选择题(共 12 小题)
1. ( 2012 · 新 课 标 · 4 · 5 分 ) 设 F1 F2 是 椭 圆 5.(2012·全国·10·5 分)已知 F1 、 F2 为双曲线

C : x2 ? y 2 ? 2 的 左 、 右 焦 点 , 点 P 在 C 上 ,
| PF1

|? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ?

E:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直 a 2 b2

3a 线x? 上一点, ?F2 PF1 是底角为 30 的等腰三 2
角形,则 E 的离心率为

1 4 3 (C) 4
(A)

3 5 4 (D) 5
(B)

1 2 ? (C) ?
(A)

2 3 ? (D) ?
(B)
2

6.(2012·浙江·8·5 分)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两 顶点。若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与 椭圆的离心率的比值是

2.(2012·新课标·10·5 分)等轴双曲线 C 的中 心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16 x 的 准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长 为 (A) 2 (B) 2 2 (A)3 (C) 3 (B)2 (D) 2

(C) ? (D) ? 3. ( 2012 · 山 东 · 11 · 5 分 ) 已 知 双 曲 线 C1 :
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 离 心 率 为 2 。 若 抛 物线 a 2 b2

7.(2012·四川·9·5 分)已知抛物线关于 x 轴对 称, 它的顶点在坐标原点 O , 并且经过点 M (2, y0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | OM |?

C2 : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点到双曲线 C1 的渐近线的

距离为 2,则抛物线 C2 的方程为 (A) x 2 ?
8 3 y 3

(B) x 2 ?

16 3 y 3

(A) 2 2 (C) 4

(B) 2 3 (D) 2 5
2 2

(C) x 2 ? 8 y

(D) x 2 ? 16 y

4.(2012·全国·5·5 分)椭圆的中心在原点,焦 距为 4 ,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方程为 (A)

8.(2012·四川·11·5 分)方程 ay ? b x ? c 中 的 a, b, c ?{?2,0,1, 2,3} ,且 a, b, c 互不相同,在所 有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 (A)28 条 (B)32 条 (C)36 条 (D)48 条
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x2 y 2 ? ?1 16 12 x2 y 2 ? ?1 8 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 12 8 x2 y 2 ? ?1 12 4

(C)

(D)

9. (2012· 上海· 16· 5 分) 对于常数 m 、 “ mn ? 0 ” n, 是“方程 mx ? ny ? 1的曲线是椭圆”的
2 2

14. (2012· 辽宁· 15· 5 分) 已知双曲线 x

2

?

y =1,

2

点 F1,F2 为其两个焦点, 点 P 为双曲线上一点, 若 P F1 ⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为__________。 15.(2012·江苏·8·5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 分 ) 椭 圆

10. ( 2012 · 江 西 · 8 · 5

x2 y2 ? 2 ? 1 的离心率为 5 ,则 m m m ?4

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B, a 2 b2
左、右焦点分别是 F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等 比数列,则此椭圆的离心率为 (A)

的值为__________。 16.(2012·陕西·14·5 分)右图是抛物线形拱桥, 当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位 下降 1 米后,水面宽__________米。

1 5 (B) 4 5

(C)

1 (D) 5-2 2

11. (2012· 湖南· 6· 5 分) 已知双曲线 C :

x2 y2 a 2 b2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 (A)

x2 y 2 x2 y2 =1 (B) =1 20 5 5 20

17.(2012·重庆·14·5 分)设 P 为直线 y ?

b x 3a

(C)

x2 y2 x2 y 2 =1 (D) =1 20 80 80 20 x2 y2 =1 a2 5

与双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支的交点, a 2 b2

12.(2012·福建·5·5 分)已知双曲线

F1 是左焦点, PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率

e ? __________。
18.(2012·安徽·14·5 分)过抛物线 y ? 4 x 的
2

的右焦点为(3,0) ,则该双曲线的离心率等于 (A)

3 14 14
3 2

(B)

3 2 4
4 3

焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, 若 | AF |? 3 , 则 | BF | =__________。 19. ( 2012 · 天 津 · 11 · 5 分 ) 已 知 双 曲 线

(C)

(D)

二、填空题(共 7 小题)
13.(2012·四川·15·5 分)椭圆

C1 : x y ? ? 1(a 为 2 a 5
2 2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2







线

定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与 椭圆相交于点 A 、 B, ?FAB 的周长的最大值是 12, 则该椭圆的离心率是__________。

x2 y2 C2 : ? ? 1 有相同的渐近线,且 C1 的右焦点 4 16
为 F ( 5, 0) , 则 a ? __________, b ? __________。

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三、解答题(共 11 小题)
20.(2012·江苏·19·16 分)如图,在平面直角坐 标系 xoy 中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a 2 b2

? 3? 分别为 F1 (?c , e) 和 ? 0) .已知 (1, 0) ,F2 (c , ?e,2 ? ? ? ?
都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直 线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与 BF1 交于点 P.

6 , 求直线 AF1 的斜率; 2 (ii)求证: PF1 ? PF2 是定值.
(i) 若 AF1 ? BF2 ?

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21.(2012·安徽·20·13 分)如图, F1 , F2 分别是 椭圆 C :

22. (2012· 广东· 20· 14 分) 在平面直角坐标系 xOy

x2 y2 + =1 ( a ? b ? 0) 的左、 右焦点, a2 b2

中,已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左 a 2 b2

A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一
个交点, ?F1 A F2 =60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知△ A F1 B 的面积为 40 3 ,求 a, b 的值.

焦点为 F1 (?1, 0) ,且点 P(0,1) 在 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; ( 2 )设直线 l 同 时与椭圆 C1 和抛物线 C2 :

y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.

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x2 y2 23.(2012·北京·19·14 分)已知椭圆 C: 2 + 2 a b
=1 (a>b>0) 的一个顶点为 A(2,0) , 离心率为 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

24. ( 2012 · 广 东 · 21 · 13 分 ) 如 图 , 椭 圆
M: x2 y 2 3 ,直线 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 a 2 b2 2

2 , 2

x ? ?a 和 y ? ?b 所围成的矩形 ABCD 的面积为 8.

10 时,求 k 的值 3
(Ⅰ)求椭圆 M 的标准方程; (Ⅱ) 设直线 l : y ? x ? m(m ? R) 与椭圆 M 有两个不 同的交点 P, Q, l 与矩形 ABCD 有两个不同的交点 S , T . 求
| PQ | 的最大值及取得最大值时 m 的值. | ST |

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25.(2012·福建·21·12 分)如图,等边三角形 OAB 的边长为 8 3 ,且其三个顶点均在抛物线 E: x2=2py(p>0)上。

26. (2012· 上海· 22· 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C : 2 x 2 ? y 2 ? 1 (1)设 F 是 C 的左焦点, M 是 C 右支上一点,若 ; MF ? 2 2 ,求点 M 的坐标(5 分) (2)过 C 的左焦点作 C 的两条渐近线的平行线, 求这两组平行线围成的平行四边形的面积(5 分) ; (3)设斜率为 k ( k ?

2 )的直线 l 交 C 于 P 、

Q 两点,若 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 相切,求证: OP ⊥
(1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的圆恒 过 y 轴上某定点。

OQ (6 分)

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27. (2012· 新课标· 20· 12 分) 设抛物线 C: x2=2py(p>0) 的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知以 F 为 圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的 值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求坐标原点到 m,n 距离的比值.

28.(2012·浙江·22·14 分)如图,在直角坐标系

1 2 2 5 的准线的距离为 。点 M(t,1)是 C 上的定点, 4
xOy 中, 点P (1 , ) 到抛物线 C: y =2px (P>0) A, B 是 C 上的两动点, 且线段 AB 被直线 OM 平分。

(1)求 p,t 的值。 (2)求△ABP 面积的最大值。

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29.(2012·湖南·21·13 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为

1 的椭圆 E 的一个 2
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30.(2012·湖北·21·14 分)设 A 是单位圆 x2+y2=1 上任意一点,l 是过点 A 与 x 轴垂直的直线,D 是直 线 l 与 x 轴的交点,点 M 在直线 l 上,且满足 当点 A 在圆上运动时, 记点 M 的轨迹为曲线 C。 (1) 求曲线 C 的方程, 判断曲线 C 为何种圆锥曲线, 并求其焦点坐标。 (2) 过原点斜率为 K 的直线交曲线 C 于 P, Q 两点, 其中 P 在第一象限,且它在 y 轴上的射影为点 N, 直线 QN 交曲线 C 于另一点 H,是否存在 m,使得对 任意的 K>0,都有 PQ⊥PH?若存在,求 m 的值;若 不存在,请说明理由。

焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积 为

1 的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求 2

P 的坐标.

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31.(2012·全国·22·12 分) 已知抛物线 C : y ? ( x ? 1)2 与圆

32. ( 2012 · 辽 宁 · 20 · 12 分 ) 如 图 , 动 圆

1 M : ( x ? 1) 2 ? ( y ? ) 2 ? r 2 (r ? 0) 有一个公共点 2 A ,且在点 A 处两曲线的切线为同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m 、n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条 直线, m 、 n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。

C1 : x 2 ? y 2 ? t 2 ,1<t<3,与椭圆 C2 :

x2 ? y2 ? 1相 9

交于 A,B,C,D 四点,点 A1 , A2 分别为 C2 的左, 右顶点。 (Ⅰ)当 t 为何值时, 矩形 ABCD 的面积取得最大值? 并求出其最大面积; (Ⅱ)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程。

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33.(2012·江西·20·13 分)已知三点 O(0,0) , A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y)满 足 (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是(0,-1) ,l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的 面积之比。

34.(2012·四川·21·12 分)如图,动点 M 与两 定点 A(?1,0) 、 B(1, 0) 构成 ?MAB ,且直线 设动点 M 的轨迹为 C 。 MA、MB 的斜率之积为 4,

y

M

A

O B

x

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? x ? m(m ? 0) 与 y 轴交于点 P , 与 轨 迹 C 相 交 于 点 Q、R , 且 | PQ |? | PR |, 求

| PR | 的取值范围。 | PQ |

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35.(2012·重庆·21·12 分) 已知椭圆的中心为原点 O , 长轴在 x 轴上, 上顶点 为 A ,左、右焦点分别为 F1 , F2 ,线段 OF1 , OF2 的中点分别为 B1 , B2 , 且△ AB1 B2 是面积为 4 的直 角三角形。 (Ⅰ) 求该椭圆的离心率和标准方程; (Ⅱ) 过 B1 作直线交椭圆于 P, Q , PB2 ? QB2 ,求△ 36. (2012· 陕西· 20· 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y2 ? 1 , 4

椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心 率。 (1)求椭圆 C2 的方程; (2) 设 O 为坐标原点, 点 A, B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程。

PB2Q 的面积

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