nbhkdz.com冰点文库

数学奥林匹克高中训练题125


2010年第1期

41

熬孥象游蜃窘鑫吩锄锨迢(125)
中图分类号:e424.79 文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2010)01—0041—06

第一试
一、填空题(每小题7分,共56分) 1.设点D在△ABC的外部,且
———}———'——+

7.已知四次多项式f(x)的四个实根构

成公差为2的等差数列.则,’x)的所有根中

最大根与最小根之差是——.
8?如图3,已知M、 Ⅳ分别是单位正方形 ABCD的边BC、CD上的




DA一2D曰一3DC=0.

则S脚c:S△伽c=——.
2.十张卡片显示数字9
072 543

681(如

点,么MAN=450,BE_L AN千点E。DF L AM于 点F,BG上A膨于点G, DH-L AN于点鼠则四 边形EFGH的面积为
B M 圉3 C

图1).将相邻两张卡片的位置互换一次称为 一次操作(如第一次操作后数字从原始的
9 072 543

681变成9

027 543

681).则将原

始数字换成一个可被99整除的数至少需要 次操作.


二、解答题(共44分)
9.(14分)在平面直角坐标系xOy中, 横、纵坐标均为整数的点称为整点.已知

团回团曰日曰曰曰困田
图l

3.已知两个非零复数戈、Y的立方和为

o(o,o)、A(2,1),M是椭圆南+等=1内
的整点.若S△删=3,求符合条件的整点M
的个数.

剐u(刍)一+(南)一的锄一.
4.如图2,在长方体 Dl中,二


10.(15分)已知a、b、c是△ABC的三边
长,且满足

ABCD—Al B1 Cl

面角A—BD。一Ai的度数为
n,AB:BC:CCl=1:1:2.

则tan

ot=——.

∑丢√古+÷≥寻√Ⅱ(丢+古),


5.数字钟分别用两 个数字显示小时、分、秒

B 图2

其中,“∑…‘Ⅱ”分别表示循环和、循环积
试判定△ABC的形状. 11.(15分)设a0,口l'.”,an均为实数,A是关

(如10:03:18).在同一天的05:00:00~

23:00:00(按小时计算)之间,钟面上的六个
数字都不相同的概率是


于聋的实系数方程∑q戈‘=0的复数根,且
IAf≥口。≥…≥口l≥口0I>1.求证:A”1=1.

6.数列{口。}满足o。=÷,及对于自然数

加试

n,口川=口2。+%则蚤ib的整数部分是
万   方数据

一、(50分)已知黝、船是00的切线,
A、B为切点,C是劣弧AB上一点,AC>BC,

42

中等数学

PC的延长线分别交AB、00于点Q、D,E是 AB的中点,c,平分么ACB交AB于点,.求

又(9+7+5+3+8)一(0+2+4+6+1)=19, (19—11)÷2=4, 因为4=(7—2)+(3—4),所以,7与2、3与 4交换后,所得数字能被11整除.
3.2—1 999或一1.

证:,是△CDE的内心..
二、(50分)四位数m和凡互为反序的 正整数,且m+,l=18k+9(k∈N.),m、ll,分

别有16个、12个正因数(包括l和本身),
n的质因数也是m的质因数,但n的质因数 比m的质因数少1个.求m的所有可能值. 三、(50分)求所有的函数^R+_+R+, 使得对于所有的正数x,y,恒有

设菇=wy.则W3+1=0.
解得加=一1或W2一W+1=0. 当彬=一1时,

原式=(南)2000+(击)2000
=2—2㈣+2—2咖=2—1
999.

夥(厂(菇)+以y))三(菇+y)/(“茗),,).①
四、(50分)是否存在4 098个集合 Bi={口fl,口i2,…,af。}(i=1,2,…,4 098, aiJ∈Aj={可一2,巧一1,巧},J=1,2,…,12) 满足下列三个条件: (1)尻nB川=f2j(i=1,2,…,4 098,约 定84嘲=B1); (2)当i≠歹时,B;≠召j; (3)当2≤li-j
J≤4

当彬2一W+1=0时,

’原式=(i一2埘,.2000+(w=W--w)2。∞
=(等)一+(三)一爿咖搿咖
=(加3)1 333埘+w3)666w2 =(一1)1 333w+(一1)酗aw2=一船+扩=一1.

096时,最n毋≠a?


4.2厢.

D \舳

参考答案
第一试
i、1.4。

图n

.1

生h


如图4,设D、E分
别是边AB、BC的中点, 联结CD.则

田 肛

姗鲰舭~舭礁 又,山A哪c.E 壤毗∥醮傩交 射球眠熵∞"
H点泉 5乱D埋C曩
由对称性可知

q面g曰


葫+葫:2一OD’,① 蔬+砣:2蔬.②
①一②×3得

天∑
图4

点F,联结AE.

一够
B 图5

?\|. ./1

AE上BDl,AE=EC. 所以,么AEF是二面角A—BDl—A,的 平面角,即a=么AEF. 设AB=口.则BC=a,CCl=2a.于是, ADl=438,AC=在8,BDl=49a. 毛E
Rt

0=伽一2凹一3 Dc

——+———}——斗

:2砀一6蔬.
.——_'————’

则面:3一OE. 因此,-O-B与蔬共线,且I面|-3 I蔬f. 于是,I朋I=2lD应1.

故穗=手幺注=2石S,垒aco=4.
2.2.

cos么栅=气警
在△ACE中,由余弦定理得

A脚。¨层=筹=每.


注意到99=9×11.于是,原始数字不管 经过几次操作均能被9整除.

I一——————=-一=一一 2AF2 5

2A萨一Ac2

万   方数据

2010年第1期

43

故COS a=COS么AEF

(k≠0). 令t=z—a一3.于是,

=00s(1S0叱么AEC)=一咖么AEC=专
号。in

八戈)=k(t+3)(t+1)(t一1)(t-3)
=七(,一10t2+9)=g(t). 则g7(t)=k(4t3—20t)=4kt(t2—5).

a:万i而:学

j切n仅:丝业:2后. 丘旦
。’540。

因而,g’(£)的三个根为一√亨、0、万.
于是,/’(茗)的三个根为

D+3一,8-、口+3、口+3+√歹. 故(口+3+√歹)一(a+3一√互)=2√亨.

为了满足题中的条件,设钟面显示应为 hih2:mlm2:sls2(m1.<6,sl<6,hI≠^2). 当hl<6,h2<6时,ml和s1应在小于7 中的另外四个数中选择.因而,m。有四种选 择方式,s。有三种选择方式. 由于已选择了四个数字,m:和s:就只能 从剩余的六个数字中选择,它们分别有六种、 五种的选择方式. 在05:00:00—23:00:00之间,这种情形 共有时间总数是7×4×3×6
X5=2 520.

8.÷.
设么MAB=q,么MAN=卢=45。,么NAD
=7.则

s出EF=扣E?AFsin口

=争瓤n

7?AD8in fit'Sin p

当h。、h2中只有一个小于6时,类似可求 在05:00:00~23:00:00之间,这种情形共有 时间总数是8×5
x4 x6 X5=4 800.

=丢sin a.8inp.8in≯
同理,s出甜=虿1
c∞a?sin

p?cos

y.

因此,钟面上的六个数字都不相同的次 数是2
520+4 800=7

故S四边形E删=S△^铘一SZuEF

320,概率为

=÷sin卢(c。s
一上

a.cos

y“n a.sin

y)

18×3 600—540’ 6.3.

2兰至Q一旦

=÷8in卢?c∞(a+7)=专血45。?cos 45。
一4‘


___I_…==一
注意到
l l



二、9.联结似.易知椭圆内整点在菇轴
上有两个肘。(-6,0)、M2(6,0)满足题意.

口。+l

a。(口。+1)

口。

口。+1

考j一:土一上. 口n+1
n“口n+1

分别过点M。、鸩作平行于直线伽的两


则羹者=去一赤一忐.
因为口:。,:>1,所以,所求整数部分为3.

条直线Z。、Z:. 根据三角形等底同高面积相等可知,符 合条件的整点膨均在直线Z。、Z:上.易知


7.2店.
设四次多项式f(戈)的四个实根分别为 a、o+2、a+4、a+6.贝8 f(x)=.i}(茗一口)(石一口-2)(髫一口-4)(髫一口一6)

1—0

l 2—2—‘

后OA

22—-—0

故直线Z。、Z:的解析式分别为

,,=丢(茹+6),Y=÷(菇一6).

万   方数据

中等数学

已知M是椭圆丽2+等=1内的整点,有
面X2+等2<1.


∑÷腮=钏记巧
此即为式①中等号成立.

:L8





分别解

上+8笠-<120

所以,么D=么E=么,=要

, ,

:斋垆

1—2

o十



,,=号(髫_6),

=祀=e沪口+6=6+c=c+口
j口=6=cj△ABC为等边三角形-

得一10<菇<一面10,西10<菇<10.
由M是整点,且在直线1,、12上,知戈为 偶数.

11.因颓是方程∑ai算i=0的根,所以,
I=U

∑哦膏=oj(A—1)∑哦膏=0
I=U ‘00

所以,在一10<石<一西10及西10<茗<10
中,名分别有4个偶数. 故符合条件的整点的个数为8.

毒%r”=∑(哦一q—1)f+ao,
‘=1



其中,ai—a¨(i=1,2,…,rt)为非负数
又…>11 考…“≥121‘I>1(i=1,2,…,n)

10.设d=a+b,e=b+c,/=c+a.贝q以
d、已、f为边长可构成一个△DEF.于是,

考k∥1 l≤∑(口i一吼一1)…+口o
l=l





吼n虿2 √

f一=



百=i吾历

≤∑(口f一口㈠)…8+口。121 8≤口。…“
‘=I

jlAI≤1jIAI=1 j口n=a^一l=…=at={z0
21.

腿si鹰=后磊磊


由式①得r“=1.



鲫n丁2 √瓦i叹i可 在△DEF中,恒有

厂——磊—一

加试
一、如图6,过点 B作BF-L AC于点


sin譬+sin导+sin虿F≤虿3,
sln虿+sln虿+sm虿≤虿,
号成立.



F,联结OB、OC、OD、 OP、EF、AD、BD.则

当且仅当么D=/E=≠F=詈时,式①等
故∑

PE

LAB.



由切割线定理

≤吾.

及射影定理得
PC?PD=PBz
图6

上式两边同乘以∑丢“_万得

=PE?Po.

∑÷仁巧≤甜记巧.②
由式②及题设不等式得 万   方数据

所以,C、D、0、E四点共圆.

故么C肿=么ODC=么DCD=/O肋.
从而,么CEQ=么OEQ,即EQ平分

2010年第1期

45

么CED.

故,扎=2口23。1P叼(al、a2、a3∈N+). 又(a2+1)(aI+1)(a3+1)=16,贝Ⅱ
al=3,a2


因为即=÷仰=AE=朋,所以,
么CFE=么FAB=么PBC.’ 又么BCF=么ADB=么ABP,则

a3=1,即In,=54t,.

由m≥l 000,知P≥19. 此时,32p3的值大于9 当P=19时,33p2=9
999. 747。

Rt/\BCFcoRt△脚毒篙=篙=篙.
故△CEF∽△CPBj/ECF=么PCB.
从而,么ACE=/BCD. 因为么ACI=么BCI,所以,么ECI= 么OCl,即口是么ECD的平分线. 因此。,是ix CDE的内心. 二、设m=abcd,ad≠O.则凡=dcba. 由tlq,+凡=9(2k+1),贝0 9l(,n+n). 故9 I[(1 000a+lOOb+lOc+d)+ (1 000d+lOOc+10b+口)],


而/71,=54p=1 026不互为反序数,于是, pi>23.此时,33p2>9
999.

.因此,凡=35p.于是,

詈=等瑚一2扎,
9(1 ooO口+lOOb+lOc+d) =2(1 000d+100c+10b+口),
818a+80b=181d+lOc. 818a≤181 X9+10 X9=1 719<3 X818.



故口<3. 因为孢为奇数,所以,a为奇数.故8=1.

12(a+b+c+d),9 l(8+6+c+d).

于是,9lm,9h 由m+n为奇数,知m与乃一奇一偶. 若,l为偶数,即2 f尼,则2 m,m为偶数. 矛盾. 因此,m为偶数,死为奇数. 记m分解质因数后,3的个数为a,,2的 个数为a2.贝9
dl

d=婴酱尊≥掣=4击.
由式①得
因为m为偶数,所以,d为偶数. 于是,d=6或8.

d5——百广≥—1盯一私面’
当d=6时,由式①得
880b—llOc=2 948.

I>2,仅2>t1.

由因数个数定理得 [(仪1+1)(a2+1)]I 16. 于是,(al+1)18,al+1>13。 所以,al+l=4或8,a1=3或7. 故m至多有三个质因数. 于是,n至多含有两个质因数,3是n的 一个质因数. 若凡只有一个质因数,则这个质因数为 3.从而,,l=311>10 000,与,l是四位数相
矛盾.

因为5 l(80b一10c),所以,d=8.

得8b—c=63,8b=63+ci>63,6I>7÷.
于是,b=8或9. 当6=8时,c=l; 当b=9时,c=9. 于是,m=1 818或1 又m=1
998. 818.


因为27Im,所以,m≠1
998=2×33

37.拜=8 991=

35×37符合题意. 因此,m=1
998.

因此,凡含有两个质因数. 设n的另一个质因数为P. 因为9In,所以, 几=32P3或33p2或35p(p>3).

三、将菇=y=t代人式①得
2t2f(t)=20coc(t)t),

即认t)=八tf(t))(Vt∈R+).



若存在石。≠搿:,使得八筇。)=八名:),则将

万   方数据

中等数学

茗'--Xl,Y=菇2代人式①得

(曰。,1),(B。,2),(B2,1),(曰,,2),…, (曰。,2) 就是一个(s+1,2t)集合圈(这里第二个分量 交替取1,2); (ii)当t为偶数时, (B。,3),(B:,1),(B3,2),(B。,1), (B5,2),…,(曰I一2,1),(B^一l,2),

毛恐以毛)坝恐))=(茗。+x2)f(f(x,)吻).

2xl石√一(菇2)=(髫l+菇2蝴鼻2)菇2),


由以石。)钒菇:)及式②得

2xl髫2,I髫2)=(石l+茗2)茗√一(茹2). 又戈2>0,八茹2)>0,贝q 2x1=茗l+茗2,即

髫l"-X2,这与xi≠z2相矛盾. 故对任意的菇。≠菇:有 八髫。)≠以算:).

(晚,3),(日¨,1),(BI一2,2),…, ③
(B5,1),(日。,2),(B,,1),(B:,2) 是一个(s+l,2k一2)集合圈,其中,_i}表示不

将t=1代人式②得八1)=尺八1)). 由式③得八1)=1. 将z=I代入式①得
,,(1+以,,))=(1+,,九尺y). 所以,尺,,)=弘

大于t的偶数,并且除了B。、玩对应的第二1L
分量取值为3外,其余所对应的第二个分量 都交替地取1,2. 显然,有(1,3)集合圈. 根据上面构造新集合圈的方法,可依次 得到集合圈: (2,6),(3,10),(4,18),(5,34), (6,66),(7,130),(8,258),(9,514), (10,1 026),(11,2 050),(12,4 098). 故存在12个集合A。,A:,…,A.2和4 个集合日。,B:,…,B。嗍构成的集合圈. (谢文晓湖北省黄冈中学,438000)
098

经检验,八茗)=菇满足题目要求.
四、用(s,t)表示有s个集合A。,A:,…,

A,和t个集合B,,B:,…,曰;符合题设条件的 一个集合圈,用(曰;,p)表示Bi的所有元素与 A…中的第P个元素组成的一个集合.
若曰,,B:,…,曰,满足题设条件,则 (i)当t为奇数时, (B。,1),(启2,2),(B3,1),(B。,2),…,

《走进教育数学》丛书介绍



作者 林群 张景中 张景中 沈文选 朱华伟 朱华伟 李尚志 谈祥柏 彭翕成 张景中

单价 本丛书为“教育数学”量身打造。灌输
25.00 35.00 35.00 48.00 46.00 46.00

微积分快餐 几何新方法和薪体系 一线串通的初等数学 走进教育数学 数学解题策略 从数学竞赛到竞赛数学 数学的神韵 数学不了情 绕来绕去的向量法 直来直去的微积分

“教育数学”理念:改造数学使之更适宜于教 学和学习,是教育数学为自己提出的任务。 丛书以学术高度、历史高度、文化高度和欣 赏高度设计取材,谋篇布局。由当代中国著 名数学大家张景中院士牵头和主要负责,组 织该领域内知名数学家、院士、名师、专家、 科普作家执笔撰写而成。与同类图书相比, 知识性、科学性、独创性、趣味性、可读性等 方面都更胜一筹。 联系人:宋悦 联系电话:010—64030053

即将出版 即将出版 即将出版 即将出版

万   方数据


数学奥林匹克高中训练题(30)及答案

数学奥林匹克高中训练题(30)第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题37) a 是由 1998 个 9 组成的 1998 位数, b 是由 1998 个 8 ...

数学奥林匹克高中训练题(23)及答案

数学奥林匹克高中训练题(23)及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学奥林匹克高中训练题(23)第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练...

数学奥林匹克高中训练题(12)

数学奥林匹克高中训练题(12)第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练题12)在数 38 , 47 ,56 ,65 中,最大的一个是(B). (A) 3 8 (...

数学奥林匹克高中训练题(19)及答案

数学奥林匹克高中训练题(19)及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学奥林匹克高中训练题(19)第一试一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1....

数学奥林匹克高中训练题(18)及答案

数学奥林匹克高中训练题(18)及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学奥林匹克高中训练题(18)第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(训练...

数学奥林匹克高中训练题1

数学奥林匹克高中训练题1_学科竞赛_高中教育_教育专区。奥林匹克高中训练题数学奥林匹克高中训练题(1)第一试一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) x |f ( ...

数学奥林匹克高中训练题(14)及答案

数学奥林匹克高中训练题(14)及答案_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学奥林匹克高中训练题(14) 第一试一、选择题(本题满分36分,每小题6分) 1.(...

数学奥林匹克高中训练题(1)

数学奥林匹克高中训练题(1)_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。数学奥林匹克高中训练题(1)第一试一、选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1.(训练题...

数学奥林匹克高中训练题(24)及答案

数学奥林匹克高中训练题(24)第一试一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1. (训练题 24) 对于每一对实数 x, y , 函数 f 满足方程 f ( x ? ...

数学奥林匹克高中训练题115

数学奥林匹克高中训练题(精... 8页 2财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...