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福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理)含答案


福州三中 2015 年校模拟考试理科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. “ a ? b, c ? 0 ”是“ ac ? bc ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知集合 M ? 范围是( A. (??,1) A

. 9

?? x, y ? y ? 2 ? , N ? ?? x, y ? y ? a? ,若 M
x

N ? ? ,则实数 a 的取值
开始 输入 a , b

) B. (??,1] B. 11 C. 13 C. (?? ,0) D. 15 D. (??,0] )

3.执行如图所示的程序框图,若 a ? 1, b ? 2 ,则输出的结果是( 4.已知角 ? 的终边经过点 P ? 4, m? ,且 sin ? ? A. ?3 B. 3 C.

3 ,则 m 等于( 5



a ? 12 ?




m?i 5.复数 z ? 位于( ? m ? R, i为虚数单位? 在复平面上对应的点不可能 ... 1? i
A.第一象限
2

16 3

D. ?3 )

a ? 2b ? a
输出 a 结束

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

PF2 x ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在椭圆上,若线段 PF 的值 1 的中点在 y 轴上,则 PF1 4 1 1 1 1 为 ( ) A. B. C. D. 3 5 7 9 7.在如图 5 ? 5 的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列, 每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为( )
6.设 F1 , F2 为椭圆 8.定义在 R 上的函数 f ( x) ,对 ?x1 , x2 ? R 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ? x2 ? ?1, 则下列命题正确的是( ) A. f ( x) 是偶函数 B. f ( x) 是奇函数 C. f ( x) ? 1 是偶函数 D. f ( x) ? 1 是奇函数 A.1 B. 2 C. 3 D. 4

9.若等式 (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 对于一切实数 x 都成立,

10.在平面直角坐标系中,把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点.若 a 为无理数, 则在过点 P ( a ,? ) 的所有直线中(

1 1 1 ) a1 ? a2 ? ? ? a2014 ? ( 2 3 2015 1 1 2 A. B. C. 4030 2015 2015
则 a0 ?

D.0

1 2



A.有无穷多条直线,每条直线上至少存在两个有理点 B.恰有 n?n ? 2? 条直线,每条直线上至少存在两个有理点 C.有且仅有一条直线至少过两个有理点 D.每条直线至多过一个有理点 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.一个总体分为 A, B, C 三层,用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 15 的样本, 若 B 层中每个个体被抽到的概率都为

1 ,则总体的个数为___________. 20

12.在 ?ABC 中,若角 A 为锐角,且 AB ? (2,3), AC ? (3, m) ,则实数 m 的取值范围是________. 13.如图所示 2 ? 2 方格,在每一个方格中填入一个数字,数字可以是 1、2、3 中的任何一个, 允许重复.若
1

填入 A 方格的数字大于 B 方格的数字,则不同的填法共有_______种(用数字作答) . 14.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 5, BC ? 4, AA1 ? 3 ,沿该 D1 A 长方体对角面 ABC1 D1 将其截成两部分,并将它们再拼成一个新的四棱柱, 1 那么这个四棱柱表面积的最大值为___________. 15.为了近似估计 ? 的值,用计算机分别产生 90 个在 ??1,1? 的均匀随机 数 x1 , x2 ,
D

C1 B1

C

A (14 题图) B

, x90 和 y1 , y2 ,

, y90 ,在 90 组数对 ?xi , yi ? 1 ? i ? 90, i ? N * 中,

?

?

? ? ? y ? tan 4 x 经统计有 25 组数对满足 ? ,则以此估计的 ? 值为________. ?? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 4 ?

(15 题图)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(13 分)甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不影响,只 要有一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队第 5,6 场获胜的概率均 为

3 2 ,但由于体力原因,第 7 场获胜的概率为 . 5 5

(Ⅰ)求甲队分别以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率; (Ⅱ)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望.

17.(13 分)某同学用“五点法”画函数 f ?x ? ? A sin ??x ? ? ? ? B ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 内的图像时,列表并填入的部分数据如下表:

?
2

)在某一个周期

x
?x ? ?
A sin??x ? ? ? ? B

x1
0 0

?
2 3

1 3

x2

?
0

7 3 3? 2 ? 3

x3
2?

0

(Ⅰ)请求出上表中的 x1 , x2 , x3 的值,并写出函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x) 的图像向右平移

2 个单位得到函数 g ?x ? 的图像,若函数 g ?x ? 在区间 ?0, m? 3

( 3 ? m ? 4 )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,求向量 NM 与 ON 夹角 ? 的大小.

2

18.(13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,点 N 与点 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称,

P 是动点,且直线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ?

1 . 3

y

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 MP 和 NP 与直线 x ? 3 分别交于 A, B 两点,问:是否存在 点 P 使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标; 若不存在,请说明理由.

O

3

x

19. (13 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 2 ,现将 ?ACD 沿对角线 AC 折起至 ?ACP 位置, 并使平面 PAC ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)在菱形 ABCD 中,若 ?ABC ? 60 ,求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值; (Ⅲ)求四面体 PABC 体积的最大值.
0
A D

P

B

C

A

C

B

20. (14 分)已知函数 f ? x ? ?

(Ⅰ) 讨论函数 f ? x ? 的单调性;

1 2 x ? ax ? ?a ? 1? ln x 2

?a ? 1? .

(Ⅱ) 若 a ? 2 ,数列 ?an ? 满足 an?1 ? f ?an ? .

(1)若首项 a1 ? 10 ,证明数列 ?an ? 为递增数列;

(2)若首项为正整数,且数列 ?an ? 为递增数列,求首项 a1 的最小值.

3

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分.如果多做,则按所 做的前两题计分. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 在平面直角坐标系中,矩阵 M 对应的变换将平面上的任意一点 P?x, y ?变换为点 P??x ? 2 y, x ? y ? . (Ⅰ)求矩阵 M 的逆矩阵 M
2 2
?1



(Ⅱ)求圆 x ? y ? 1 在矩阵 M 对应的变换作用后得到的曲线 C 的方程.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 过点 P?1,0? , 斜率为 3 ,曲线 C : ? ? ? cos2? ? 8 cos? . (Ⅰ)写出直线 l 的一个参数方程及曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)求实数 m 的值;

已知 m ? 0 ,函数 f ?x? ? 2 x ? 1 ? 2x ? m 的最大值为 3 . (Ⅱ)若实数 a, b, c 满足 a ? 2b ? c ? m ,求 a ? b ? c 的最小值.
2 2 2

4

福州三中 2015 年校模拟考试理科数学参考答案
一、选择题:ADCBC 9、解法一:∵ (2x ? 1)
2014

CADBC

? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 , 1 1 1 1 ∴ , (2x ? 1) 2015 ? C ? a0 x ? a1 x 2 ? a2 x 3 ? ? ? a2014 x 2015 (C 为常数) 4030 2 3 2015 1 1 1 1 取 x ? 1 得 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a2014 ? ?C , 2 3 2015 4030 1 1 再取 x ? 0 得 , (?1) 2015 ? C ? 0 ,即得 C ? 4030 4030 1 1 1 1 ∴ a0 ? a1 ? a2 ? ? ? ,故选 B. a2014 ? 2 3 2015 2015 解法二:∵ (2x ? 1) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 ,

1 1 1 1 ? a 0 ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2014 . 2015 2 3 2015 1 10、解:设一条直线上存在两个有理点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由于 P ( a ,? ) 也在此直线上,若 x1 ? x 2 ,则 2


?0 ?2x ? 1?
1

2014

? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a2014 x 2014 d x ∴
0

1

?

?

1 y2 ? y 2 ? y1 y ? y1 2, x1 ? x 2 ? a 为无理数与有理点予盾, 所以 x1 ? x 2 , 于是 又由于 x2 ? a 为无理数, 而 2 ? x 2 ? x1 x 2 ? x1 x2 ? a 1 1 1 为有理数,所以 y 2 ? ? 0 ,于是 y 2 ? y1 ? ? ,所以直线只有一条,且这条直线方程只能是 y ? ? . 2 2 2 11.300
12.由于角 A 为锐角,所以 AB ? AC ? 0 且 AB, AC 不共线,所以 6 ? 3m ? 0 且 2 m ? 9 ,

9 9 2 2 13.若 A 方格填 3,则排法有 2 ? 3 2 种,若 A 方格填 2,则排法有 1 ? 3 2 种,所以不同的填法有 27 种. 14.当 5 ? 3 的两个面叠合时,所得新的四棱柱的表面积最大,其表面积为 (5 ? 4 ? 5 ? 5 ? 3 ? 4) ? 2 ? 114 . 15.设 A(1,1), B(?1,?1) ,则直线 AB 过原点,且阴影面积等于直线 AB 与圆弧所围成的弓形面积 S1 ,由图知, S 1 25 5 28 S1 ? ? 4? ? 2 ? ? ? 2 ,又 1 ? ? ,所以 ? ? y 4 4 90 18 9 16、解: (Ⅰ)设甲队以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的事件分别为 A,B, 3 2 ∵甲队第 5,6 场获胜的概率均为 ,第 7 场获胜的概率为 , 1 5 5
于是实数 m 的取值范围是 (?2, ) ? ( ,??) .

3 3 6 3 2 2 8 ∴ P ( A) ? (1 ? ) ? ? , P( B) ? (1 ? ) ? ? , 5 5 25 5 5 125
6 8 ∴甲队以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率分别为 和 . 25 125
(Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 5,6,7, ∴ P ( X ? 5) ?

?1

O

1 x

?1

3 3 3 6 3 2 3 2 4 , P( X ? 6) ? (1 ? ) ? ? , P( X ? 7) ? (1 ? ) 2 ? ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) ? , 5 5 5 25 5 5 5 5 25

∴随机变量 X 的分布列为

3 6 4 139 E( X ) ? 5 ? ? 6 ? ? 7? ? . 5 25 25 25 3? ? 1 ? 7 ? 17、解: (Ⅰ)由条件知, ? ? ? ? , ? ? ? ? ,∴ ? ? , ? ? ,

2 3 3 2 3 2 ? ? 2 4 10 ∴ x1 ? ? , x2 ? , x3 ? , f ( x) ? 3 sin( x ? ) . 3 3 3 2 3 ? 2 ? ? 2 (Ⅱ)∵函数 f ? x ? 的图像向右平移 个单位得到函数 g ?x ? 的图像,∴ g ?x? ? 3 sin[ ( x ? ) ? ] ? 3 sin x , 3 2 3 3 2
5

∵函数 g ?x ? 在区间 ?0, m? ( m ? ?3,4? )上的图像的最高点和最低点分别为 M , N ,∴最高点为 M 1, 3 , 最低点为 N 3,? 3 , ∴ ON ? 3,? 3 , NM ? ? 2,2 3 , ∴ cos ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

ON ? NM ON ? NM

??

3 5? ,又 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? . 2 6
y B M O N P A 3

18、解:(Ⅰ) ∵点 N 与 M ?? 1,1? 关于原点 O 对称,∴点 N ?1,?1? ,

1 设 P?x, y ?,∵直线 MP 与 NP 的斜率之积等于 ? , 3
y ?1 y ?1 1 ? ? ? ,化简得 x 2 ? 3 y 2 ? 4 ?x ? ?1? , x ?1 x ?1 3 ∴动点 P 的轨迹方程为 x 2 ? 3 y 2 ? 4 ?x ? ?1? . (Ⅱ)法一:设存在点 P?x0 , y0 ? ,使得 ?PMN 与 ?PAB 的面积相等,
∴ ∴

x

1 1 PA ? PB sin ?APB ? PM ? PN sin ?MPN ,∵ sin ?APB ? sin ?MPN ? 0 , 2 2 PA PN 3 ? x0 x0 ? 1 5 ? ∴ PA ? PB ? PM ? PN , 即 , ∴ ,解得 x0 ? , ? x0 ? 1 3 ? x0 PM PB 3
2 2 ∵ x0 ? 3 y0 ? 4,

∴ y0 ? ?

法二:设 P ? x0 , y0 ? , A ? 3, y1 ? , B ?3, y2 ?

33 , 9

5 33 ). ∴满足条件的点 P 为 ( ,? 3 9

x0 ? 4 y 0 ? 3 ? y1 ? 1 y 0 ? 1 ? ? 4 ? x ?1 ? y1 ? x0 ? 1 ? 2 x0 ? 6?? x0 ? y0 ? , ? ? 0 ∴? ,解得 ? ,∴ AB ? y1 ? y2 ? 2 x0 ?1 ? y2 ? 1 ? y0 ? 1 ? y ? 2 y 0 ? x0 ? 3 2 ? ? x0 ? 1 x0 ? 1 ? 2 ?
∵ S?PAB ? S?PMN , MN ? 2 2 ,又点 P 到直线 MN 的距离 d ?

x0 ? y0 2



1 1 ∴ 3 ? x0 y1 ? y2 ? MN d ,∴ 3 ? x0 2 2
解得 x0 ?

? 2 x0 ? 6?? x0 ? y0 ?
2 x0 ?1

? 2 ? x0 ? y0 ? ,

? x0 ? 3? ∴
2 x0 ?1

2

?1,

5 33 5 33 2 2 ). ,∵ x0 , ∴满足条件的点 P 为 ( ,? ? 3 y0 ? 4 , ∴ y0 ? ? 9 3 9 3 19、解: (Ⅰ)证明:取 AC 中点 O ,连接 PO, BO ,由于四边形 ABCD 为菱形, ? PA ? PC, BA ? BC ,? PO ? AC, BO ? AC, 又 PO ? BO ? O , ? AC ? 平面 POB ,又 PB ? 平面 POB , ? AC ? PB . 面 PAC , PO ? AC , (Ⅱ) ? 平面 PAC ? 平面 ABC , 平面 PAC ? 平面 ABC ? AC , PO ? 平 ?PO ? 面ABC,?OB, OC, OP 两两垂直,
故以 O 为原点,以 OB, OC, OP 方向分别为 x, y, z 轴正方向建立空间直角坐标系,

? ?ABC ? 600 ,菱形 ABCD 的边长为 2 , ∴ A(0, ?1,0), B( 3,0,0), C(0,1,0), P(0,0, 3) ,
AB ? ( 3,1,0), PB ? ( 3,0, ? 3), PC ? (0,1, ? 3) ,
设平 面PBC 的法向量 n ? ( x, y, z) ,直线 AB 与平 面PBC 成角为 ? ,

z P

? ? 3x ? 3z ? 0 ∴? ,取 x ? 1 ,则 y ? 3, z ? 1 ,于是 n ? (1, 3,1) , ? y ? 3 z ? 0 ?
∴ sin ? ?| cos ? AB, n ?|?|

A

O

C

y

B x

3? 3 2? 5

|?

15 15 , ∴直线 AB 与平面 PBC 成角的正弦值为 . 5 5
∴ PO ? AP cos

(Ⅲ)法一:设 ?ABC ? ?APC ? ? , ? ? (0, ? ) ,

? ? 1 ? 2cos , S ?ABC ? ? 2 2 sin? ? 2 sin? , 2 2 2
6

又 PO ? 平面 ABC, ∴ VPABC ? S ?ABC ? PO ? sin? cos
? ? ?

1 3

4 3

?? ? 8 ? 2? 8 ?? ? ? ? sin ?1 ? sin 2 ? ( 0 ? ? ), ? sin cos 2? 2 3 2 2 3 2? 2 2
? ? ??
? ?
3

2 ? 1 ? sin 2 ? 1 ? sin 2 ? ? 2 sin 32 ?? ? ?? ?? 2 2 2 ? ? 32 ? 2 , ? 2 sin 2 ?1 ? sin 2 ??1 ? sin 2 ? ? 32 ? ∴V 2 ? 9 2? 2 ?? 2? 9 ? ? 3 9 ? 27

16 3 ? 3 ? ? ,当且仅当 2 sin 2 ? 1 ? sin 2 ,即 sin ? 时取等号, 27 2 3 2 2 16 3 ∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 27 法二:设 ?ABC ? ?APC ? ? , ? ? (0, ? ) ,
∴V ?

1 2 ? 2 sin ? ? 2 sin ? ,又 PO ? 平面 ABC, 2 2 2 ?? ?? 1 4 ? 8 ? ? 8 ? ? ∴ VPABC ? S ?ABC ? PO ? sin? cos ? sin cos 2 ? sin ?1 ? sin 2 ? ( 0 ? ? ), 3 3 2 3 2 2 3 2 2 2? 2? 8 8 ? ? 设 t ? sin ,则 VPABC ? (t ? t 3 ) ,且 0 ? t ? 1 , ∴ VPABC ? (1 ? 3t 2 ) , 3 3 2 3 3 ? ? ? t ? 1 时, V PABC ? 0 ,当 ? 0, ∴当 0 ? t ? 时, V PABC 3 3 3 16 3 16 3 ∴当 t ? 时, V PABC 取得最大值 ,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 3 27 27
∴ PO ? AP cos

?

? 2 cos

?

, S ?ABC ?

法三:设 PO ? x ,则 BO ? x , AC ? 2 4 ? x 2 , ?0 ? x ? 2? 又 PO ? 平面 ABC,∴ VP? ABC ?

1 1 1 1 PO ? S ?ABC ? ? x ? ? x ? 2 4 ? x 2 ? ? x 2 4 ? x 2 , 3 3 2 3

1 1 1 2 2 1 1 ? x 2 ? x 2 ? 8 ? 2x 2 ? x ? x 8 ? 2x 2 ? ∵ ? x2 4 ? x2 ? 3 3 2 3 2? 3 ?

?

?

? 16 3 ? ? , ? 27 ?

3

当且仅当 x ? 8 ? 2 x ,即 x ?
2 2

20、解(Ⅰ) ∵ f ? x ? ? 当 a ? 2 时,则 f ?? x ? ?

?x ? 1?2
x

1 2 x 2 ? ax ? a ? 1 ?x ? 1??x ? 1 ? a ? x ? ax ? ?a ? 1? ln x ,∴ f ?( x) ? ? (x?0) , x x 2
? 0 在 ?0,??? 上恒成立,

2 6 16 3 时取等号,∴四面体 PABC 体积的最大值为 . 27 3

当 a ? 2 时, 若 x ? ?1, a ? 1? ,则 f ??x ? ? 0 ,若 x ? ?0,1? 或 x ? ?a ? 1,??? ,则 f ??x ? ? 0 , 综上所述: 当 1 ? a ? 2 时,函数 f ?x ? 在区间 ?a ? 1,1? 上单调递减,在区间 ?0, a ? 1? 和 ?1,??? 上单调递增; 当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 在区间 ?1, a ? 1? 上单调递减,在区间 ?0,1? 和 ?a ? 1,??? 上单调递增. 当 a ? 2 时,函数 f ? x ? 在 ?0,??? 上单调递增; (Ⅱ)若 a ? 2 ,则 f ? x ? ?

当 1 ? a ? 2 时,若 x ? ?a ? 1,1? ,则 f ??x ? ? 0 ,若 x ? ?0, a ? 1? 或 x ? ?1,??? ,则 f ??x ? ? 0 ,

1 2 x ? 2 x ? ln x ,由(Ⅰ)知函数 f ?x ? 在区间 ?0,??? 上单调递增, 2 (1)因为 a1 ? 10 ,所以 a2 ? f ?a1 ? ? f ?10? ? 30 ? ln10 ,可知 a 2 ? a1 ? 0 , 假设 0 ? ak ? ak ?1 ( k ? 1 ) ,因为函数 f ? x ? 在区间 ?0,??? 上单调递增,
∴ f ?ak ?1 ? ? f ?ak ? ,即得 ak ?2 ? ak ?1 ? 0 , 由数学归纳法原理知, a n ?1 ? a n 对于一切正整数 n 都成立,∴数列 ?an ? 为递增数列.

(2)由(1)知:当且仅当 0 ? a1 ? a2 ,数列 ?an ? 为递增数列,

7

∴ f ?a1 ? ? a1 ,即 a1 ? 3a1 ? ln a1 ? 0
2

1 2

?a1为正整数?,设 g?x? ? 1 x 2 ? 3x ? ln x ?x ? 1? ,则 g ??x ? ? x
2

2

? 3x ? 1 , x

5 3? 5 ,?? ) 上递增,由于 g ?5? ? ln 5 ? ? 0 , g ?6? ? ln 6 ? 0 ,又 a1 为正整数, 2 2 ∴首项 a1 的最小值为 6 .
∴函数 g ?x ? 在区间 ( 21、 (1)解:(Ⅰ)法一:设 P ?( x ?, y ?) ,依题意得: ?

? x? ? x ? 2 y , ? y? ? x ? y

2? ?1 ? ? 3 3 ?1 ? ?. ∴M ? ? 1 1? ? ?? ? 3 3? 1 2 ? ?1 x ? x? ? y ? ? ? ? x? ? x ? 2 y ? 3 3 3 ?1 法二:设 P ?( x ?, y ?) ,依题意得: ? , ∴? , ∴M ? ? ? 1 ? y? ? x ? y ? y ? ? 1 x? ? 1 y ?? ? 3 3 ? ? 3 1 2 ? x ? x? ? y ? ? ? 3 3 (Ⅱ) ∵点 P?x, y ?在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,又 ? , 1 ? y ? ? x? ? 1 y ? 3 3 ?

?1 ? 2 ? ∴M ? ? ?1 1 ? ? , ∴ M ? 3, ? ?

2? ? 3? . 1? ? 3?

2 ? ? 1 1 ? ?1 ∴ ? x? ? y ? ? ? ? ? x? ? y ? ? ? 1 ,即得 2 x? 2 ? 2 x?y ? ? 5 y ? 2 ? 9 , 3 3 3 3 ? ? ? ?
∴变换作用后得到的曲线 C 的方程为 2 x 2 ? 2 xy ? 5 y 2 ? 9 .

2

2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? ?t为 (2)解:(Ⅰ) ∵ 直线 l 过点 P?1,0? ,斜率为 3 ,∴直线 l 的一个参数方程为 ? 参 数 ?; ?y ? 3 t ? 2 ? 2 ∵ ? ? ? cos2? ? 8 cos? , ∴ ? ?1 ? cos2? ? ? 8 cos? , 即得 ( ? sin ? ) ? 4? cos? ,
∴ y ? 4 x , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .
2 2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 2 2 (Ⅱ) 把 ? 代入 y ? 4 x 整理得: 3t ? 8t ? 16 ? 0 , ?y ? 3 t ? 2 ?

16 16 , ∴ PA ? PB ? t1t 2 ? . 3 3 (3)解:(Ⅰ) f ?x? ? 2 x ? 1 ? 2x ? m ? 2x ? 2 ? 2x ? m ? ?2x ? 2? ? ?2x ? m? ? m ? 2
设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1t 2 ? ? ∵ m ? 0 , ∴ f ?x? ? m ? 2 ? m ? 2 , 当 x ? 1 时取等号, (Ⅱ)根据柯西不等式得: a 2 ? b 2 ? c 2 12 ? ?? 2? ? 12 ? ?a ? 2b ? c? ,
2 2

∴ f ?x ?max ? m ? 2 ,又 f ?x ? 的最大值为 3 ,

?

??

∴ m ? 2 ? 3 ,即 m ? 1 .

?

∵ a ? 2b ? c ? m ? 1, 当

∴a ?b ? c ?
2 2 2

1 , 6

1 1 1 1 a b c 2 2 2 ? ? ,即 a ? , b ? ? , c ? 时取等号,∴ a ? b ? c 的最小值为 . 6 3 6 6 1 ?2 1

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福建省福州三中2015届高三5月份模拟考试数学(理) Word版含答案

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福州三中2015届高三5月质量检测试卷数学(理)

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