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江苏省泰州中学高三数学提优讲义(教师版)函数(2)

时间:2012-12-11


江苏省泰州中学高三数学提优讲义 (教师版)

主编: 泰中 218

★★专题二★★
【基础知识强化】

函数(2)

1. 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ?R) , 若直线 x ? y ? m ? 0 对任意的 m ? R 都不是曲线 y ? f (x) 的切线,

/>则 a 的取值范围是 【答案】 ? ??, ? .

? ?

1? 3?

2.设曲线 y ? ? ax ?1? ex 在点 A? x0 , y1 ? 处的切线为 l1 ,曲线 y ? ?1 ? x? e? x 在点 B ? x0 , y2 ? 处的切线为 l2 ,
若存在 x0 ? ? 0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围是 2 【答案】 ?1, ? 2

? 3? ? ?



? 3? ? ?
2

3.已知函数 y ? f ? x ? 上任一点 ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线斜率 k ? ? x0 ? 3?? x0 ? 1? ,则该函数的单调递减区
间为 . 【答案】 ? ??,3?

4.已知函数 f ? x ? ?
【答案】 b ? 0

sin x ? 2? ? bx ? b ? R ? 在 ? 0, 2 ? cos x ? 3

? ? 2? ? , ? ? 为减函数,则 b ? ? 为增函数,? ? ? 3 ?



1 5.已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,则实数 a 的取值范围为 2
【答案】 ? ?1,0? ? ? 0, ???



6.已知函数 f ? x ? ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b ,其中 a, b ? R .若函数 f ? x ? 仅在 x ? 0 处有极值,则 a 的取值
范围是 【答案】 ? ? , ? 3 3 .

? 8 8? ? ?

7.若函数 f ( x) 满足 f ( x) = f (? ? x) ,且当 x ? ( ?
大小关系为 . 【答案】 f (3) ? f (1) ? f (2)

? ?

, ) 时, f ( x) ? x ? sin x ,则 f (1), f (2), f (3) 的 2 2

8. 若函数 f ? x ? ? ax3 ? ax ? 2 ? a ? 0? 满足 f ? ?1? ? 1, f ? 1 ? 1,则方程 f ? x ? ? 1 的实数解的个数为 ?
个. 【答案】 1
x 9. 如图, 从点 P ? 0,0? 作 x 轴的垂线交曲线 y ? e 于点 Q1 ? 0,1? , 曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P . 2 现 1

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从 P 作 x 轴的垂线交曲线于点 Q2 ,依次重复上述过程得到一系列点: P , Q1 ; P , Q2 ;?; P , Qn , 2 1 2 n 则

?PQ
k ?1 k

n

k

?



e ? e1?n 【答案】 e ?1
y2 10. 如图, 用一块形状为半椭圆 x ? ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取一个以短轴 BC 为 4
2

y

A

D

底的等腰梯形 ABCD ,记所得等腰梯形 ABCD 的面积为 S ,则 S 的最大值 是 【答案】 .

B

o

C

x

3 3 2

? 1 1 ? 1? ?? 3 x ? 6 , x ? ? 0 , 2? , ? ? ? ? 11 . 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 3 函 数 g ? x? ? as i n x? 2 a? 2 其 中 a ? 0 . 若 存 在 , 6 2x ?1 ? ? , x ? ? ,1? . ? x ?1 ?2 ? ?

x1 , x2 ??0,1? ,使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? 成立,则实数 a 的取值范围是
【答案】 ? , ? 2 3



?1 4? ? ?

12.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x2 ? ax ? 3 ,若对一切的 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 a 的取值
范围为 【答案】 ? ??,4? .

13.若函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? 0) 对任意 x1 , x2 ? (0,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 ? | ,则实数 x1 x2

a 的取值范围是
【答案】 [?3, 0)



14.已知 f ( x), g ( x) 都是定义在 R 上的函数, g ( x) ? 0, f ( x) g ?( x) ? f ?( x) g ( x),

? f (n) ? f (1) f (?1) 5 ? ? ,在有穷数列 ? ?(n ? 1,2,? ? ?,10) 中,任意取正 g (1) g (?1) 2 ? g (n) ? 15 整数 k (1 ? k ? 10) ,则前 k 项和大于 的概率是 . 16 3 【答案】 5
f ( x) ? a x ? g ( x) (a>0 且 a ? 1) ,
【典型例题精讲】
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〖例 1〗设函数 f ? x ? ?

1? x ? ln x 在 ?1, ?? ? 上是增函数. ax
1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

(1)求正实数 a 的取值范围; (2)设 b ? 0, a ? 1 ,求证: 【解析】 (1) f ? ? x ? ?

ax ? 1 1 1 ? 0 对 x ??1, ??? 恒成立, a ? 对 x ??1, ??? 恒成立. ∴ 又 ? 1, a ? 1 . ∴ 2 ax x x 1? x a?b ? ln x 在 ?1, ?? ? 上 是 增 函 数 , ∵ a ? 1, b ? 0 , ∴ ?1 , ∴ ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ? x? ? ax b a?b 1? a?b 1 a?b ? a?b? b ? . ? 0 ,即 ln f? ? ? f ?1? ? 0 .∴ a ? b ? ln b a?b b ? b ? a? b 1 x ?1 ? 0 ? x ? 1? ,∴ G ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是增函数,又 设函数 G ? x ? ? x ? ln x ? x ? 1? , G? ? x ? ? 1 ? ? x x a?b a?b ? ln . G ?1? ? 1 ? 0 ,∴当 x ? 1 时, G ? x ? ? G ?1? ? 0 .∴ x ? ln x ,即 b b 1 a?b a?b ? ln ? 综上所述, . a?b b b
〖例 2〗某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元~1000 万元的投资收益.现准 备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金 y (单位:万元)随投资收益 x (单位:万元)的增加而增加, 且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 f ? x ? 模型制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数 f ? x ? 模型的基本要求; .... (2)现有两个奖励函数模型:① y ?

x ? 2 ;② y ? 4 lg x ? 3 .试分析这两个函数模型是否符合公司要 150

求? 【解析】 (1)设奖励函数模型为 y=f(x),则公司对函数模型的基本要求是: 当 x??10,1000? 时,① f ? x ? 是增函数;② f ? x ? ? 9 恒成立;③ f ? x ? ? (2)①对于函数模型 f ? x ? ?

x 恒成立. 5

x ? 2: 150 1000 20 ?2? ?2?9. 150 3

当 x??10,1000? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ?max ? f ?1000 ? ? ∴ f ? x ? ? 9 恒成立. ∵函数

? f ? x? ? f ? x? 1 1 1 1 2 ? ? . ? ? 在 ?10,1000? 上是减函数,所以 ? ? ? x 150 x ? x ? max 150 5 5
x 不恒成立.故该函数模型不符合公司要求. 5

∴ f ? x? ?

②对于函数模型 f ? x ? ? 4lg x ? 3 : 当 x??10,1000? 时, f ? x ? 是增函数,则 f ? x ?max ? f ?1000? ? 4lg1000 ? 3 ? 9 .
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∴ f ? x ? ? 9 恒成立. 设 g ? x ? ? 4 lg x ? 3 ?

x 4 lg e 1 ? . ,则 g ? ? x ? ? 5 x 5

当 x ? 10 时, g ? ? x ? ?

4 lg e 1 2 lge ? 1 lg 2 ? 1 e ? ? ? ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?10,1000? 上是减函数,从而 x 5 5 5
x x x ? 0 ,即 4 lg x ? 3 ? ,∴ f ? x ? ? 恒成立.故该函数模型符合 5 5 5

g ? x ? ? g ?10? ? ?1 ? 0 .∴ 4 lg x ? 3 ?
公司要求. 〖例 3〗已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f (x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 , 3

f ?( x ) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) .
(1)求 f ( x ) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) , m ? 0 ,求函数 g ( x) 在 [0, m] 上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对一切 x ? [0, 1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立,求实数 t 的取值范 围. 【解析】 (1) f ?( x) ? x2 ? 2bx ? c ,

? f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,? 函数 y ? f ?( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 b ? ?1 . ? 直线 y ? 4 x ? 12 与 x 轴的交点为 (3, 0) ,∴ f (3) ? 0 ,且 f ?(3) ? 4 ,
即 9 ? 9b ? 3c ? d ? 0 ,且 9 ? 6b ? c ? 4 ,解得 c ? 1 , d ? ?3 .则 f ( x) ?
2 2
2

1 3 x ? x2 ? x ? 3 . 3

? x 2 ? x, x ? 1, ? (2) f ?( x) ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ?1) , g ( x) ? x ( x ? 1) ? x x ? 1 ? ? 2 ? x ? x , x ? 1. ?
其图像如图所示. 当x ?x?
2

y

1 1? 2 时, x ? ,根据图像得: 4 2

2 1
?1

(ⅰ)当 0 ? m ?

1 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m ; 2

1 1 1? 2 (ⅱ)当 ? m ? 时, g ( x) 最大值为 ; 4 2 2
(ⅲ)当 m ?

O

1

1? 2 2

2 x

1? 2 2 时, g ( x) 最大值为 m ? m . 2
2

(3) h( x) ? ln( x ?1) ? 2ln x ?1 , h( x ?1 ? t ) ? 2ln x ? t , h(2x ? 2) ? 2ln 2x ?1 ,
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? 当 x ? [0, 1] 时, 2x ?1 ? 2x ?1 ,∴不等式 2ln x ? t ? 2ln 2x ?1 恒成立等价于 x ? t ? 2x ? 1 且 x ? t
恒成立.由 x ? t ? 2x ? 1 恒成立,得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 恒成立.

? 当 x ? [0, 1] 时, 3x ? 1? [1, 4] , ? x ? 1? [?2, ?1] ,∴ ?1 ? t ? 1.
又? 当 x ? [0, 1] 时,由 x ? t 恒成立,得 t ?[0,1] ,∴实数 t 的取值范围是 ?1 ? t ? 0 . 〖例 4〗 M 是由满足下列条件的函数 f (x) 构成的集合: 设 “①方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根; ②函数 f (x) 的 导数 f ' ( x ) 满足 0 ? f ' ( x) ? 1. ” (I)证明:函数 f ( x) ?

3x x3 1 ? (0 ? x ? ) 是集合 M 中的元素; 4 3 2

1 3x x3 1 ? (0 ? x ? ) 具 有 下 面 的 性 质 : 对 于 任 意 [ m, n] ? [0, ) , 都 存 在 ( II ) 证 明 : 函 数 f ( x) ? 2 4 3 2

x0 ? (m, n) ,使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ' ( x0 ) 成立.
(III)若集合 M 中的元素 f (x) 具有下面的性质:若 f (x) 的定义域为 D,则对于任意[m,n] ? D ,都存 在 x0 ? (m, n) ,使得等式 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ' ( x0 ) 成立。试用这一性质证明:对集合 M 中的任一元 素 f (x) ,方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根. 【解析】 (I)因为 f '( x) ? 3 ? x 2 , 且0 ? x ? 1 ,所以f '( x) ? [ 3 ,1)满足条件0 ? f '( x) ? 1 , 4 2 4 又因为当 x=0 时, f (0) ? 0 ? 0 ,所以方程 f ( x) ? x ? 0 有实数根 0。 所以函数 f ( x) ?

3x x3 1 ? (0 ? x ? ) 是集合 M 中的元素。 4 3 2

??????4 分

(II) 证明:

? f ( n ) ? f ( m) ?

3 (n ? m)?(n 2 ? nm ? m 2 ) f (n) ? f (m) 3 (n 2 ? nm ? m2 ) ( n ? m) ? ? ? ? , 4 3 n?m 4 3

1 f (n) ? f (m) 3 (n 2 ? nm ? m2 ) 3 3 ? ? ? ? m2 , ? n2) ( ? [m,n] ? [0, ) ? 2 n?m 4 3 4 4

3 1 3 3 ? x 2 ,?当0 ? m ? x ? n ? 时,f '( x) ? ( ? m 2 , ? n 2 ) 4 2 4 4 f ( n ) ? f ( m) ? f '( x0 ) ?存在x0 ? (m, n), 使得 ? n?m
又? f '( x) ? 也就是 f (n) ? f (m) ? (n ? m) f ' ( x0 ) ;
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(III) 假设方程 f x) x=0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ),则f (? ) ? ? ? 0, f (? ) ? ? ? 0 不妨设 ? ? ? , ( — 根据题意存在数 c ? (? , ? ) 使得等式 f (? ) ? f (? ) ? (? ? ? ) f ' (c) 成立. 因为 f (? ) ? ? , f (? ) ? ? , 且? ? ? , 所以f ' (c) ? 1, 与已知 0 ? f ' ( x) ? 1 矛盾,所以方程 f ( x) ? x ? 0 只有一个实数根. 〖例 5〗 设函数f ( x) ? e x ? sin x, g ( x) ? ax, F ( x) ? f ( x) ? g ( x). (1)若 x ? 0 是 F ? x ? 的极值点,求 a 的值; (2)当 a ?

1 时,若存在 x1 , x2 ? ?0,??? 使得 f ?x1 ? ? g ?x2 ? ,求 x2 ? x1 的最小值; 3

(3)若 x ? ?0,??? 时, F ?x ? ? F ?? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

(1)F ( x) ? e x ? sin x ? ax, F ?( x) ? e x ? cos x ? a. 因为x ? 0是F ( x)的极值点,所以F ? (0)=e 0 ? cos 0 ? a ? 0, 所以a ? 2. 当x ? 0时, F ?( x) ? e x ? cos x ? a ? 1 ? 1 ? 2 ? 0; 当x ? 0时, 则? ( x) ? e x ? cos x ? a,则? ?( x) ? e x ? sin x ? 1 ? 1 ? 0; 所以F ?( x)在 ?0,+? ? 单调递增。从而F ?( x) ? F ?(0) ? 1 ? 1 ? a ? 2 ? 2 ? 0. 于是x ? 0是F ( x)的极小值点,所以a ? 2符合题意。 4分。 ??

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1)当a ? 2时,h?( x) ? 0,? h( x)在 ?0, ?? ? 单调递增,即h( x) ? h(0) ? 0, ?当a ? 2时,F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ? 0, ?? ? 恒成立。 2)当a ? 2时,h?( x) ? 0, 又 ? h?( x)在 ?0, ?? ? 单调递增, ?总存在x0 ? (0, ??)使得在区间? 0,x0 ? 上h?( x) ? 0。 导致h( x)在 ? 0, x0 ? 递减,而h(0) ? 0, 当x ? (0, x0 )时,h( x) ? 0, ? 这与F ( x) ? F (? x) ? 0对x ? ? 0, ?? ? 恒成立不符, a ? 2不合题意。 ? 综上a取值范围是 ? -?,2? .???15分。
【创新试题集锦】

2 1.已知点P(a, a)(a为常数), 点Q( 2, 2), 若点R在函数f ( x) ? (x>0)图象上 移动时不等式 PR ? PQ 恒成立,则 x
实数 a 的取值范围是________. 【答案】 a ? 2 2 2. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 的导函数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 , f ? x ? 与 x 轴恰有一个交 点,则

f (1) 的最小值为________. f ?(0)
【答案】2 3. 已知 a, b 是实数,且 10 ? a ? b ,其中 e 是自然对数的底数,则 a 与 b 的大小关系是_______.
e b a

【答案】 a > b . 4. 已知函数 f(x)=lnx+2x,g(x)=a(x2 +x),若 f(x)≤g(x)在(0,+∞)上恒成立,则 a 的取值范围是 ________. 【答案】[1,+∞)

b

a

5.函数 f ? x ? ?

1 2 ax ? bx ? ln x , a ? 0 , f ? ?1? ? 0 .(1)①试用含有 a 的式子表示 b ;②求 f ? x ? 的单 2

调区间; (2)对于函数图像上的不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,如果在函数图像上存在点 P ? x0 , y0 ? (其 中 x0 在 x1 与 x2 之间) 使得点 P 处的切线 l ∥ AB , , 则称 AB 存在 “伴随切线” 当 x0 ? ,

x1 ? x2 时, 又称 AB 2

存在“中值伴随切线” 。试问:在函数 f ? x ? 的图像上是否存在两点 A . B ,使得 AB 存在“中值伴随切 线”?若存在,求出 A . B 的坐标;若不存在,说明理由. 【解析】 (1)① f ? ? x ? ? ax ? b ?

1 ,∵ f ? ?1? ? 0 ,∴ b ? a ? 1 . x

② f ?? x? ?

? ax ? 1?? x ? 1? ,
x

∵ x ? 0 , a ? 0 ,∴当 x ? 1 时 f ? ? x ? ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ? ? x ? ? 0 .

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∴ f ? x ? 增区间为 ?1, ?? ? ,减区间为 ? 0,1? (2)不存在(反证法) 若存在两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,不妨设 0 ? x1 ? x2 ,则曲线 y ? f ? x? 在 x0 ?

x1 ? x2 的切线斜率 2

x ?x y2 ? y1 x ?x ln x2 ? ln x1 2 k ? f ? ? x0 ? ? a? 1 2 ? b ? ? a? 1 2 ? b ? ,又 k AB ? 2 x1 ? x2 x2 ? x1 2 x2 ? x1

∴由 k ? k AB 得 ln x2 ? ln x1 ?

2 ? x2 ? x1 ? ?0 x2 ? x1
2 ? x ? x1 ? x ? x1



法一:令 g ? x ? ? ln x ? ln x1 ?

? x ? x1 ? 0?

? g ?( x) ?

4 x1 ( x ? x1 )2 1 ? ? ? 0 ,∴ g ? x ? 在 ? x1, ??? 上为增函数 x ( x ? x1 )2 x( x ? x1 )2

又 x2 ? x1 ,∴ g ? x2 ? ? g ? x1 ? ? 0 与①矛盾,∴不存在.

法二:令 t ?

x2 4 ? 1 ,则①化为 ln t ? ?2 x1 t ?1



4 令 g ? t ? ? ln t ? t ?1

? t ? 1? ? 0 1 4 ? ,∴ g ? t ? 在 ?1, ?? ? 为增函数, ?t ? 1? ,∵ g ? ? t ? ? t ? 2 2 ? t ? 1? t ? t ? 1?
2

又 t ? 1 ,∴ g ? t ? ? g ?1? ? 2 此与②矛盾,∴不存在.

2 x 6.已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 3) ? e ,其定义域为 ? ?2,t ? ( t ? ? 2 ),设 f (?2) ? m, f (t ) ? n .

(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 ? ?2,t ? 上为单调函数; (2)试判断 m, n 的大小并说明理由; (3)求证:对于任意的 t ? ? 2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,并确定这样的 x0 的个数. x0 e 3
x x

【解析】 (1)因为 f ?( x) ? ( x ? 3x ? 3) ? e ? (2 x ?3) ? e ? x( x ?1) ? e ,
2 x

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由 f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1, 所以 f ( x ) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减, 要使 f (x) 在 ?? 2, t ? 上为单调函数,则 ?2 ? t ? 0 . (2) n ? m .

f ( x) 在 (??,0),(1, ??) 上递增,在 (0,1) 上递减,∴ f ( x) 在 x ? 1 处有极小值 e ---6 分
又 f (?2) ?

13 ? e ,∴ f ( x) 在 ? ?2, ?? ? 上的最小值为 f (?2) , e2

从而当 t ? ?2 时, f (?2) ? f (t ) ,即 m ? n .

(3)证:∵

f ' (x ) 2 f ' ( x0 ) ? x0 2 ? x0 ,又∵ x0 0 ? (t ? 1) 2 , e 3 e x0
2 2 2 (t ? 1) 2 ,令 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 =0 3 3 3

∴x0 ? x0 ?
2

在 (?2, t ) 上有解,并讨论解的个数. ∵g (?2) ? 6 ?

2 2 2 1 (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4) , g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1) , 3 3 3 3

①当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时, g (?2) ? g (t ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且只有一解 ②当 1 ? t ? 4 时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0 ,但由于 g (0) ? ? 所以 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有解,且有两解,
2 ③当 t ? 1 时, g ( x) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1 ,故 g ( x) ? 0 在 (?2, t ) 上有且只有一解;

2 (t ? 1) 2 ? 0 , 3

2 当 t ? 4 时, g ( x) ? x ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3 ,

所以 g ( x) ? 0 在 (?2, 4) 上也有且只有一解,

f ' ( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ,且当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1 时,有唯 综上所述, 对于任意的 t ? ?2 ,总存在 x0 ? (?2, t ) ,满足 x0 e 3
一的 x0 适合题意;当 1 ? t ? 4 时,有两个 x0 适合题意. (说明:第(3)题也可以令 ? ( x) ? x ? x , x ? (?2, t ) ,然后分情况证明
2

2 (t ? 1) 2 在其值域内,并讨论直线 3

y?

2 (t ? 1) 2 与函数 ? ( x) 的图象的交点个数即可得到相应的 x0 的个数). 3
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