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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第9章 第6节 抛物线


走向高考 · 数学
北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第九章
平面解析几何

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平面解析几何

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/>第九章
第六节 抛物线

第九章

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1

高考目标导航

3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第九章

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第九章

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考纲要求

命题分析
通过分析近三年的高考试题可以看出,一 方面以选择题、填空题的形式考查抛物线的定 义、标准方程及简单几何性质等基础知识,另 一方面以解答题的形式考查抛物线的概念和性 质、直线与抛物线的位置关系的综合问题,着 力于数学思想方法及数学语言的考查,题目的 运算量一般不是很大,属于中档题. 预测2016年对本节内容的考查仍将以求抛 物线的方程和研究抛物线的性质为主,三种题 型均有可能.抛物线的性质及有关最值的计 算,可能在2016年高考中出现,同时抛物线对 称轴上的特殊点,抛物线焦点弦的定值问题可 能成为新的考点.
第九章 平面解析几何

1.理解抛物 线的定义、几 何图形和标准 方程,知道它 的简单几何性 质. 2.理解数 形结合的思 想,了解抛物 线的简单应用.

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1.抛物线的概念 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不过 F) 的距离 ______ 相等 焦点 ,直线l叫作 的点的集合叫作抛物线.点F叫作抛物线的______ 准线 . 抛物线的______

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2.抛物线的标准方程和几何性质(如下表所示)
标准 方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离

图形 顶点 对称 轴 y=0 O(0,0) x=0

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标 准 方 程 焦 点 离 心 率 准 线 方 程 范 围

y2=2p x (p> 0 )

y2 = - 2p x (p> 0 )

x2=2p y (p> 0 )

x2 = - 2p y (p> 0 )

p的 几 何 意 义 : 焦 点 F到 准 线 l的 距 离 p p p p ( - , 0 ) (0 , ) F_ _ _ _ _ _2 F_ _ _ _ _ _ 2 F(2,0 ) F(0, - 2) e =1
p x =- _ _ _ _ _ _ 2

p x=2

p y= -2

p y = _ _ _ _ _ _2

x≥0,y∈R

x≤0,y∈ y≥0,x∈ R R

y≤0,x∈R
第九章 平面解析几何

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标 准 方 程 开 口 方 向 焦 半 径

y2=2p x (p> 0 )

y2 = - 2p x (p> 0 )

x2=2p y (p> 0 )

x2 = - 2p y (p> 0 )

p的 几 何 意 义 : 焦 点 向 右 |PF|= p x0+2 向 左 |PF|= p - _ _ _ _ _ _ x0 2

F到 准 线 l的 距 离 向 上 |PF|= p y +2 0 _ _ _ _ _ _ 向 下 |PF|= p -y0+2

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3.抛物线 y2=2px(p> 0 ) 的焦点弦(过焦点的弦)为 AB,A(x1, y1),B(x2,y2), 则 有 如 下 结 论 :
2 p x1+x2+p ;②y1y2=_ - ①|AB|=__________ _ _ _ _ _ p2 ;③x1· x2= 4 .

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1.(文)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( A.1 B.2

)

C.4
[答案] C

D.8

[解析] 由抛物线的标准方程可知p=4,即焦准距为4.

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(理)设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物
线的方程是( C.y2=8x [答案] C ) B.y2=-4x D.y2=4x A.y2=-8x

[ 解析]

p 因为抛物线的准线方程为 x=-2,所以2=2,所

以 p=4,所以抛物线的方程是 y2=8x.所以选 C.

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2.(文) ( 2 0 1 4 · A.y=-1 C.x=-1

1 2 安徽高考)抛物线 y=4x 的准线方程是( B.y=-2 D.x=-2

)

[ 答案]
[ 解析] 化 为 标 准 形 式 :

A
本 题 考 查 了 抛 物 线 的 准 线 方 程 的 求 法 . 将 x2 = 4 y 知 准 线 方 程 为 1 2 y =4 x

y=-1.解 题 关 键 是 明 确

y2=2px 或 x2=2py 中 p 的几何意义.

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(理)抛物线 y=ax2 的准线方程是 y-2=0, 则 a 的值是( 1 A.8 C.8 [ 答案]
[ 解析]

)

1 B.-8 D.-8

B
将 抛 物 线 的 方 程 化 为 标 准 形 式

1 x =a y , 其 准 线 方
2

1 1 程是 y=-4a=2,得 a=-8.故选 B.

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3. ( 2 0 1 5 ·

2 2 x y 惠 州 调 研 )若抛物线 y2=2px 的焦点与椭圆 6 + 2 =

1 的右焦点重合,则 p 的值为( A.-2

) B.2

C.-4 D.4 [ 答案] D x 2 y2 [ 解析] 因 为 椭 圆 6 + 2 =1 的右焦点为( 2 0 ,)

, 所 以 抛 物 线

y2=2px 的 焦 点 为 ( 2 0 ,)

,则 p=4.故选 D.

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4.已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是 该 抛 物 线 上 的 两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A.4 5 C.4 [ 答案] B.1 7 D.4
C

)

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[解 析]

本 小 题 考 查 抛 物 线 的 定 义 .

如 图 , |AF|+|BF|=|AC|+|BD| =2 | MN|=3, 3 ∴|MN|=2, 1 又 p=2, ∴AB 中 点 M到y轴 的 距 离 p 5 为|MN|-2=4.

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5 . (2014· 陕 西 高 考 ) 抛 物 线 y2 = 4x 的 准 线 方 程 为
________. [答案] x=-1 [解析] 本题考查了抛物线的准线方程. p 2 ∵y =2px 的准线方程为 x=-2, ∴y2=4x 的准线方程为 x

=-1.

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6.已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=-2的
距离相等,则点P的轨迹方程为________.

[ 答案]
[ 解析]

y2=8x
由条件可知 P 点的轨迹为抛物线,

其焦点为(2,0),准线为 x=-2, p 所以2=2,p=4,轨迹方程为 y2=2px=8x.

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抛物线的定义及应用

已知抛物线 y2=2x 的焦点是 F,点 P 是抛物线 上的动点,又有点 A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求出取最 小值时 P 点的坐标.
[ 思路分析] 抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准 线 l 的距离 d,求|PA|+|PF|的问题可转化为|PA|+d 的问题,运 用三点共线可使问题得到解决.

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[规 范 解 答 ]

将 x=3 代 入 抛 物 线 方 程

y2=2x,

得 y=± 6,∵ 6>2, ∴点 A 在 抛 物 线 内 部 .

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设 抛 物 线 上 点 由 定 义 , 知

1 P到 准 线 l:x= - 2的 距 离 为 |PA|+|PF|=|PA|+d, 7 2,

d,

当 PA⊥l 时 , |PA|+d 最 小 , 最 小 值 为 7 即|PA|+|PF|的 最 小 值 为 2, 此 时 P点 纵 坐 标 为 即 点 P的 坐 标 为 ( 2 2 ,)

2, 代 入 y2=2x, 得 x=2, .

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[方法总结]

与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与

抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活 性,因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点,看到

焦点想准线”,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

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设 P 是曲线 y2=4x 上 的 一 个 动 点 , 则 点

P 到点 B(-1,1)的

距离与点 P 到直线 x=-1 的距离之和的最小值为________.
[ 答案] 5

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[解 析]

∵抛 物 线 的 顶 点 为

O( 0 0 ,)

,p=2,∴准 线 方 程 为

x P

= - 1, 焦 点 F坐 标 为 ( 1 0 ,)

,∴点 P 到 点 B(-1 1 ,) 的 距 离 与 点

到 准 线 x = - 1 的距离之和等于 ?-1-1?2+?1-0?2= 5.

|PB| + |PF|. 如图, |PB| + |BF|=

|PF|≥|BF|,当 B,P,F 三 点 共 线 时 取 得 最 小 值 , 此 时

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抛物线的标准方程与几何性质
已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线

上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和
准线方程.
[ 思路分析] 确定抛物线 待定系数法 明确 → → 方程的形式 确定参数p 结论

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[ 规范解答] 2p y (p> 0 ) . 则 焦 点 为

解 法 1 :设所求抛物线方程为 p F(0, - 2). |MF|=5,

x2 = -

∵M(m, -3 )在 抛 物 线 上 且

?m2=6p, ? ? ?p=4, 故? ,解 得? p2 2 ? 2 6. m +?-3+2? =5 ?m=± ? ? ∴抛 物 线 方 程 为 准 线 方 程 为 y=2 . x2 = - 8y,m=± 2 6,

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解 法 2: 如 图 所 示 , 设 抛 物 线 方 程 为 x2 = - 2p y ( p> 0 ) , N, p p 则 焦 点 F(0, - 2), 准 线 l:y=2, 作 MN⊥l, 垂 足 为 p 则|MN|=|MF|=5, 则 |MN|=3+2, p ∴3+2=5,p=4 . ∴抛 物 线 方 程 为 x2 = - 8y, 准 线 方 程 为 y =2 . 由 m2= - 8×(-3 ) =24, 得 m=± 2 6.

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[方法总结]

求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法

或轨迹法,标准方程有四种形式,在设方程形式之前,首先要

确定抛物线的开口方向.
为避免开口不一定而分成 y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0)两 种情况求解的麻烦,可以设成 y2 = mx 或x2 = ny(m≠0, n≠0) ,若 m>0,开口向右,m<0开口向左,m有两解,则抛物线的标准方 程有两个.

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已 知 F为 抛 物 线 |MF|=2p, 则 直 线 3 A. - 3 C. - 3

x2=2p y (p> 0 ) 的 焦 点 , M为 其 上 一 点 , 且 ) 3 B.± 3 D.± 3

MF 的 斜 率 为 (

[ 答案]

B

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[解 析]

依 题 意 , 得

p F(0,2), 准 线 为

p y= - 2, 过 点 M作

MN 垂 直 于 准 线 于

N, 过 F 作 FQ 垂 直 于 MN 于 Q, 3 3 3或3.

则|MN|=|MF|=2p,|MQ|=p, 故 ∠M F Q =3 0 °, 即 直 线 MF 的 倾 斜 角 为 1 5 0 ° 或3 0 °, 斜 率 为 -

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抛物线的综合应用
(2015· 丹东模拟)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦 点,斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2) 两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程; → → → (2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC=OA+λOB, 求 λ 的值. [ 思路分析]

(1)联立方程,利用焦点弦公式求解;(2)先求

出 A、B 的坐标,利用关系式表示出点 C 的坐标,再利用点 C 在抛物线上求解.
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[规 范 解 答 ] =2p x 联 立 , 从 而 有

( 1 ) 设 直 线

AB 的 方 程 是

p y=2 2(x-2), 与 y2

4x2-5p x +p2=0,

5p 所 以 : x1+x2= 4 , 由 抛 物 线 定 义 得 : 5p 9p |AB|=x1+x2+p= 4 +p= 4 =9, y2=8x.

所 以 p=4, 从 而 抛 物 线 方 程 是

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( 2 ) ∵p=4,∴4x2-5p x +p2=0 可 化 为 x2-5x+4=0, 从 而 x1=1,x2=4,∴y1= - 2 2,y2=4 2, 从 而 A(1, - 2 2),B( 4 4 , 2), 2) 2, → 设OC=(x3,y3)=(1, - 2 2)+λ( 4 4 , =(4λ+1 4 , 2λ-2

? ?x3=4λ+1, 2),∴? ? ?y3=4 2λ-2

又 y2 ) ] 2=8 ( 4 λ+1), 3=8x3,∴[2 2(2λ-1 ∴(2λ-1 ) 2=4λ+1, 解 得 λ=0, 或 λ =2 .

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[ 方法总结 ]

1. 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、

双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系;

2 .有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛
物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2 +p,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.

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设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛
物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点.若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于________.

[答案] ±1
[ 解析] 本题考查了直线与抛物线的位置关系. 设 lAB:y=k(x+1)与抛物线 y2=4x 联立得 k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 其中 Δ=(2k2-4)2-4k2· k2>0,

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x1+x2 y1+y2 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 Q( 2 , 2 ), 其 中 x 1 +x 2 2k2-4 2-k2 - 2k2 = k2 , 2 = y1+y2 k?x1+x2?+2k 2 =k, 2 = 2 ∴|FQ|= = 2-k2 2 2 2 ?1- k2 ? +?k ?

4?k4-k2+1? =2, 解 得 k=± 1 . k4

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有关抛物线焦点弦的解题技巧 从近两年的高考看,抛物线的定义、标准方程及几何性质

是高考的热点,且常以选择题、填空题的形式出现,属中档题
目,有时与圆、向量等综合交汇,考查定点、定(最)值、或开 放性问题,以解答题的形式出现,突出数学思想与创新探究能 力的考查.

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( 2 0 1 5 · 线 交 该 抛 物 线 2 A. 2 3 2 C. 2 A O B 的 面 积 为 ( )

吉 林 模 拟 )过 抛 物 线

y2=4x 的 焦 点 F的 直 |AF|=3, 则△

于 A,B 两 点 , O为 坐 标 原 点 , 若

B. 2 D.2 2

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[规范解答]

解法一:如图所示,由题意知,抛物线的焦

点F的坐标为(1,0),又|AF| =3,由抛物线定义知:点A到准线x =-1的距离为3,

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∴点 A 的横坐标为 2.将 x=2 代入 y2=4x 得 y2=8, 由 图 知 点 A 的纵坐标 y=2 2, ∴A( 2 2 , 2), ∴直线 AF 的方程为 y=2 2(x-1).
? ?y=2 2?x-1?, 联立直线与抛物线的方程? 2 ? ?y =4x,

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1 ? ? ?x= , ?x=2, 1 2 ? 解 之 得 ? 或 由 图 知 B(2, - 2), ? ?y=2 2. ? - 2 ?y= ∴S△A O B 1 1 =2|OF|· | yA-yB|=2×1×|2 2+ 2|

3 =2 2.故 选 C.

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解法二:由题意,抛物线 y2=4x 的焦点为 F( 1 0 ,) 程为 l:x=-1, 可 得 A 点的横坐标为 2, 不 妨 设 选项知选 C.
[ 答案] C
解 决 与 抛 物 线 的 焦 点 弦 有 关 问 题 , 如 果 能 用 [ 方法总结]

, 准 线 方 2),则

A( 2 2 ,

S△O 又 知 0<S△O 综 合 A F = 2, B F <S△O A F = 2,故 2<S△A O B <2 2,

到 一 些 常 用 结 论 , 就 会 带 来 意 想 不 到 的 效 果 , 而 对 于 一 些 客 观 题采用排除法能快速正确的找出答案.

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已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过 F 的直线与该抛物线相 交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两 点 , 则 A.4 C.12 [ 答案]
[ 解析]
2 y2 + y 1 2的最小值是(

)

B.8 D.16
B
抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-1,∴|AF|=x1+1,|BF|

2 =x2+1,∴y2 + y ( | AF|+|BF|)-8=4|AB|-8. 1 2=4x1+4x2=4

∵|AB|的 最 小 值 为

2p=4(当 AB⊥x 轴时取得),

2 ∴y2 1+y2的最小值为 8.

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(文)分 类 讨 论 考虑不全致误 以 原 点 为 顶 点 , 坐 标 轴 为 对 称 轴 , 并 且 经 过 2,-4)的抛物线方程为________.
[ 错解] 设 方 程 为 y2=-2px(p> 0 ) , 把点 P(-2,-4)代入得:(-4)2=-2p×(-2) 解得 p=4,∴抛物线方程为 y2=-8x. [ 错因分析] 在 解 答 本 题 时 , 因 焦 点 位 置 考 虑 不 全 而 失 误 , 本题中抛物线以坐标轴为对称轴,且过 P(-2,-4), 所 以 焦 点 的可能情况有两种,不是一种,更不是四种情况.
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P(-

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[正 确 解 答 ] ( 1 ) 当 焦 点 在

由 于 点 P在 第 三 象 限 . x轴 负 半 轴 上 时 , 设 方 程 为 y2=-8x. x2 = - 2p y (p> 0 ) , y2=-2p x (p> 0 ) ,

把 点 P(-2, -4 )代 入 得 : ( -4 ) 2= - 2p×(-2 ) 解 得 p=4,∴抛 物 线 方 程 为 ( 2 ) 当 焦 点 在 y轴 负 半 轴 上 时 , 设 方 程 为

把 点 P(-2, -4 )代 入 得 : (-2 ) 2= - 2p×(-4 ). 1 解 得 p=2.∴抛 物 线 方 程 为 综 上 可 知 抛 物 线 方 程 为 x2= - y. y2 = - 8x 或 x2= - y.

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[误区警示]

(1)对抛物线的标准方程要准确把握,注意和

二次函数的形式区分开,例如抛物线 y =2x2 要化成标准方程 x2 =y的形式.用待定系数法求抛物线中p的值时,要注意对称轴 与抛物线的开口方向,防止设错抛物线的标准方程. (2)直线与抛物线有一个交点并不表明直线与抛物线相切,

因为当直线与对称轴平行时 ,直线与抛物线也只有一个交
点.因此通过方程判断直线与抛物线的位置关系时,要注意这 种情况.

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(理)忽 视 判 别 式 对 参 数 的 限 制 而 失 误 已 知 抛 物 线 ( 1 ) 求 抛 物 线 ( 2 ) 是 否 存 在 平 行 于 l与 抛 物 线 求 出 直 线 C:y2=2p x (p> 0 ) 过点 A(1, -2 ). OA(O 为 坐 标 原 点 )的 直 线 l, 使 得 直 线 5 若 存 在 , 5?

C的 方 程 , 并 求 其 准 线 方 程 ;

C有 公 共 点 , 且 直 线

OA 与 l 的 距 离 等 于

l的 方 程 ; 若 不 存 在 , 说 明 理 由 .

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[错 解]

( 1 ) 将(1,-2 )代 入 y2=2px,得 p=2, 故 所 求 的 抛 y2=4x, x= -1 . l, 设 l:y= - 2x+t,

物 线 C的 方 程 为 其 准 线 方 程 为

( 2 ) 假 设 存 在 直 线

5 由 直 线 OA 与 l 的 距 离 d= 5 , |t| 1 得 = , 解 得 t =± 1 . 5 5 故 符 合 题 意 的 直 线 +1=0 . l存 在 , 其 方 程 为 2x+y-1=0 或 2x+y

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[错因分析]

由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否

有公共点的重要方法,在解决直线与圆锥曲线相交的问题时, 有时不需要考虑判断式,致使有的学生思维定势的原因,任何 情况下都没有考虑判别式,导致解题错误.

[ 正确解答] 所以 p=2.

(1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p· 1,

故所求的抛物线 C 的方程为 y2=4x, 其准线方程为 x=-1.

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( 2 ) 假 设 存 在 符 合 题 意 的 直 线
? ?y=-2x+t 由? 2 ? ?y =4x

l,其方程为 y=-2x+t,

得 y2+2y-2t=0.

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥-2.

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另 一 方 面 , 由 直 线

5 OA 与 l 的 距 离 d= 5 ,

|t| 1 可 得 = , 解 得 t=± 1 . 5 5 1 1 因 为 - 1?[-2, + ∞),1∈[-2, + ∞),∴t=1 . 所 以 符 合 题 意 的 直 线 l存 在 , 其 方 程 为 2x+y-1=0 .

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[误区警示]

在直线与抛物线有关的参数范围问题中,一

般与函数知识相结合,在确定函数的定义域时,应充分考虑判 别式对参数的影响.

第九章

平面解析几何

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一 个 结 论 焦 半 径 : 抛 物 质 线 p 0 )的 距 离 |PF|=x0+2. p y =2p x (p> 0 ) 上 一 点 P(x0, y0)到 焦 点 F(2,
2

第九章

平面解析几何

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两种方法: (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定 p的值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数 p的

值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式.从简单化角度出
发,焦点在 x 轴的,设为 y2 =ax(a≠0) ,焦点在 y 轴的,设为x2 = by(b≠0).

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平面解析几何

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第九章

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