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2.4 正态分布1


2.4 正态分布

两点分布 超几何分布
X P 0
0 n CM CN ?M n CN

X P

0 1-p

1 p

E(X)=p

D(X)=p(1-p)
nM E(X)= N

1
1 n

?1 CM CN ?M n CN

… …

k
k n ?k CM CN ?M n CN

… …

n
n 0 CM CN ?M n CN

二项分布
X P
0 n

E(X)=np
1
0 n

D(X)=np(1-p)
k … … n

0

… …

C pq

C pq

1 n

1 n- 1

k Cn p k q n ?k

C nn p n q 0

1.由函数 y ? f ( x)及直线 x ? a, x ? b, y ? 0y b ? f ( x)dx; 围成的曲边梯形的面积S=_________
a

2. 在我班同学身高频率分布直方图中 ①区间(a,b)对应的图形的面积表示 身高在区间(a,b) 内取值的频率 , ______________________________

O

a

b

x

②在频率分布直方图中, 所有小矩形的面积的和 1 为_______ .

a

b

高尔顿板试验

y

频数 组距

总体密度曲线.

0

x

总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多, 各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概 率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩 小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光 滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.

y

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

? 1 ?m ,s ( x) ? e 2?s

( x ? m )2 2s 2

x

x ? (??,??)

式中的实数m、s是参数 正态分布密度曲线(正态曲线)

探究发现

正态分布 如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b

y

P(a ? X ? b) ? ? ?m ,s ( x)dx
a

0

a

b

x

则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s唯 一确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.正 态分布记作N( m,s2).其图象称为正态曲线. 如果随机变量X服从正态分布,则记作 X~N(m,s2)

在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从 正态分布:

在生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标; 在测量中,测量结果; 在生物学中,同一群体的某一特征;……;

在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度、以
及降雨量等,水文中的水位;

总之,正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术 的许多领域中。

正态曲线的特点

y

? m,s ( x) ?

? 1 e 2?s

( x ? m )2 2s 2

x=m 曲线的位置、对称性、最高点、与x轴围成的面积 (1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=m对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1
正态曲线.gsp

O

x

正态曲线的特点
σ 一定
μ =0 μ =-1 μ =1

? m,s ( x) ?

? 1 e 2?s

( x ? m )2 2s 2

σ=0.5

μ 一定

σ=1 σ=2 O x

O



(5)当s 一定时,曲线随着m 的变化而沿x轴平移;

(6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 . σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散; σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

例1.给出下列两个正态总体的函数表达式,请找出其 均值m和标准差s
(1)
(2)

1 ? ( x) ? e , x ? (??, ??) 2? ( x?1)2 ? 1 ? ( x) ? e 8 , x ? (??, ??) 2 2?
王新敞
奎屯 新疆

x2 ? 2

m?0 , s ?1

m?1 , s ?2

注:当m?0 , s ?1时,X 服从标准正态分布记为X~N (0 , 1)
变式1 若一个正态分布的密度函数是一个偶函数且该函数与y轴 交于点 (0, 1 ) ,求该函数的解析式。
4 2?

1 ? ( x) ? e 4 2?

x2 ? 32

, x ? (??, ??)

例题探究

例2 关于正态曲线性质的叙述: (1)曲线关于直线x =m 对称,整条曲线在x轴的上方; (2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数; (3)曲线在x =m处处于最高点,由这一点向左右两侧延伸 时,曲线逐渐降低; (4)曲线的对称位置由μ 确定,曲线的形状由σ 确定,σ 越大,曲线越“矮胖”,反之,曲线越“瘦高”. 上述叙述中,正确的有 (1) (3) (4) .

变式2把一个正态曲线? ( x) 沿着x轴向右移动2个单位,得到 新的一条曲线 ? ( x) .下列说法中不正确的是( D. ) A.曲线 ? ( x) 仍然是正态曲线;
B.曲线? ( x) 和曲线 ? ( x)的最高点的纵坐标相等; C.以曲线 ? ( x)为概率密度曲线的总体的期望比以曲 线 ? ( x) 为概率密度曲线的总体的期望大2



D.以曲线 ? ( x)为概率密度曲线的总体的方差比以曲 线 ? ( x)为概率密度曲线的总体的方差大2。

特殊区间的概率:
若X~N

(m, s ),则对于任何实数a>0,概率
2

P(m ? a ? x ≤ m ? a) ?
x= μ

?m

m ?a
?a

? m ,s ( x )dx

m -a
正态曲线.gsp

m +a

特别地有:

P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826, P( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544, P( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0.9974.

例3.商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.12)(单位:kg)任选一袋这种大米质量在 9.8~10.2kg的概率是多少? 变式3: 若X~N(μ,σ2),问X位于区域(μ ,μ +σ )内 的概率是多少? 解:由正态曲线的对称性可得,

1 P( m ? x ? m ? s ) ? P( m ? s ? x ? m ? s ) ? 0.3413 2

? 我们从上图看到,正态总体在 ?m ? 2s , m ? 2s以外取值 ?m ? 3s , m ? 3以外取值的概率 s? 的概率只有4.6%,在 只有0.3 %。
a

由于这些概率值很小(一般不超过5 % ),通 常称这些情况发生为小概率事件。 当 a ? 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( m ? 3s , m ? 3s ) 之内,其他区间取值几乎不可能. 在实际运用中就只考虑这个区间, 称为 3s 原 则.

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2)内取值的概率 等于( D ) A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 , 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0) = 0.5

. 4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ??) 的概率为0.5,则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。

P(?2 ? X ? 2) = 0.9544

5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5 里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是

1

例2、在某次数学考试中,考生的成绩 布,即 ? ~N(90,100). (1)试求考试成绩

? 服从一个正态分

?

位于区间(70,110)上的概率是多少?

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人?
练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的成 绩X~(100,52 ),据此估计,大约应有57人的分数在 下列哪个区间内?( ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

高二数学 选修2-3

2.4 正态分布(二)

旧知回顾
1 、正态曲线的定义: ( x ? m )2 ? 1 2s 2 e 函数 f ( x) ? 2?s

y

x?m

x ? (??,??)

x
y

称f( x)的图象称为正态曲线。式中的 实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总 体的平均数与标准差。

2、标准正态总体的函数表示式

μ=0

f ( x) ?

1 ?2 e x ? (??,??) 2?

x2

σ=1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

3.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:

则称为X 为正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定.正态分布 记作X~ N( μ,σ2).其图象称为正态曲线.如果随机变量X服从正态 分布,则记作 X~ N( μ,σ2)
若X是一个随机变量,对任给区间

P(a ? X ? b) ? ? ? m ,s ( x)dx
a

b

Y

(a, b ],P(a<X ? b)恰好是正态密度 曲线下方和x轴 (a, b ]上方所围成的图
形的面积,我们就称X服从参数m 和s 2 的正态分布。 简记为:X : N(m ,s 2)

a

b

X

4、正态曲线的性质
y
μ= -1 σ=0.5

? m ,s ( x ) ?
y

1 2?s

e

?

( x ? m )2 2s 2

, x ? ( ??, ?? )
y
μ=1

μ=0 σ=1

σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

-3 -2 -1 0

1 2

x

-3 -2 -1 0

1 2 3 x

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交. (2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称. 1 (3)曲线在x=μ处达到峰值(最高点) σ 2π (4)曲线与x轴之间的面积为1. (5)若s 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数 (6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定 .σ越大,曲线越“矮胖”, 表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的 分布越集中.

m

m

练习:
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件,现从中抽测 10个,它们的尺寸分别如下(单位:mm):10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零件的尺 ? 寸 服从正态分布,求正态分布的概率密度函数式。

若数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布直 方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线,我们称此曲 线为概率密度曲线.

概率密度曲线的形状特征.
频率 组距 概率密度曲线

“中间高,两头低, 左右对称”

总体在区间 (a , b)内取值的概率
产品 尺寸 (mm)

a

b

5、特殊区间的概率:
若X~N
2

(m, s ),则对于任何实数a>0,概率
P(m ? a ? ? ≤ m ? a) ?
m ?a

? m

? m ,s ( x )dx

?a

为如图中的阴影部分的面积,对于固定的 和 而言,该面 s s越小, 落在区间 (m ? a,的 m ? a] 积随着 的减少而变大。这说明 m 概率越大,即X集中在 周围概率越大。

m

s

x=μ

特别地有

P( m ? s ? X ? m ? s ) ? 0.6826, P( m ? 2s ? X ? m ? 2s ) ? 0.9544, P( m ? 3s ? X ? m ? 3s ) ? 0.9974.
m +a

m -a

区 间 (μ -σ ,μ +σ ]

取值概率 68.3%

( μ - 2σ , μ + 2σ ]
( μ - 3σ , μ + 3σ ]

95.4%
99.7%

? 我们从上图看到,正态总体在 ?m ? 2s , m ? 2s 以外取 ? 值的概率只有4.6%,在 ?m ? 3s , m ? 3s以外取值的概率只有 0.3 %。 当 a ? 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小(一般不超过 5 % ),通常称 .在实 (m ? 3 s , m ? 3s ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间 ,称为 3s 原则.

例1、在某次数学考试中,考生的成绩 布,即 ? ~N(90,100). (1)试求考试成绩

? 服从一个正态分

?

位于区间(70,110)上的概率是多少?

(2)若这次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在 (80,100)间的考生大约有多少人?
练习:1、已知一次考试共有60名同学参加,考生的成 绩X~(100,52 ),据此估计,大约应有57人的分数在 下列哪个区间内?( C ) A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]

2、已知X~N (0,1),则X在区间 (??, ?2)内取值的概率 等于( D ) A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 , 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X ? 0) = 0.5

. 4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ??) 的概率为0.5,则 0.3 相应的正态曲线在x= 时达到最高点。

P(?2 ? X ? 2) = 0.9544

5、已知正态总体的数据落在(-3,-1)里的概率和落在(3,5 里的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是

1

例2、已知 ? ~ n(0, s 2 ) ,且 P(?2 ? ? ? 0) ? 0.4 , 则 P(? ? 2) 等于( A)

A.0.1

B. 0.2

C. 0.3

D.0.4

例3、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
y

例4、如图,为某地成年男性 体重的正态曲线图,请写出 其正态分布密度函数,并求 P(|X-72|<20).

1 10 2?

x ? (??, ??)

72(kg)

x

例5、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态 分布 N (70,102 ) ,如果规定低于60分为不及格,求: (1)成绩不及格的人数占多少?

(2)成绩在80~90内的学生占多少?


2.4.1正态分布

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