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圆锥曲线(三)定点、定直线、定值专题 教师版

时间:2014-12-01


圆锥曲线(三)定点、定直线、定值专题 教师版 第 1 页 共 3 页

?1.求解求值问题 ? ?2.定点定值问题 解析几何解答题:? ,核心是变量 ?3.取值范围问题 ?4.轨迹方程问题 ?
例 1 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 2 2 5 ,它的一个顶点恰好是抛物线 y ? x 的焦点. 4 5

( 1)求椭圆 C 的标准方程; ( 2)过椭圆 C 的右焦点 F 直线 l 交椭圆 C 与 A、B 两点,交 y 轴与 M 点,

MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证: ?1 ? ?2 为定值.
答案: (1)

? x ? my ? 2 x2 ? y 2 ? 1(2)-10 思路:设直线 AB:x=my+2,联立 ? 2 A( y1, my1 ? 2), B( y2 , my2 ? 2) , 2 5 ?x ? 5 y ? 5 ? 0

将 ?1 , ?2 均用 y1 , y2 表示

例 2 在直角坐标系 xOy 中,点 M 到 F 1 (? 3,0), F 2 ( 3,0) 的距离之和为 4,点 M 的轨迹 C 与 x 轴的负半轴交于点 A,不过点 A 的直线 l :y=kx+b 与轨迹 C 交与不同的两点 P 和 Q. (1) 求轨迹 C 的方程; (2) 当 AP AQ ? 0 时,求 k 与 b 的关系,并证明直线 l 过定点.

答案: (1)

6 x2 ? y 2 ? 1(2) (? , 0), (?2, 0)(舍) 5 4

例 3 已知椭圆 C 的离心率 e ?

3 ,长轴的左右端点分别为 A 1 (?2,0), A2 (2,0) . 2

(1) 求椭圆 C 的方程; (2)设直线 x=my+1 与椭圆 C 交与 P、Q 两点,直线 A1P与A2Q 交于点 S。试问:当 m 变化时,点 S 是否在一条定直线上?若是,请写出这条直线方程,并证明你的结论;若不是,请说明理 由。 答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1 ( 2 ) 在 直 线 x=4 上 。 思 路 : P(my1 ? 1, y1 ), Q(my2 ? 1, y2 ) , S ( x,y ) , 4

y1 ?

3y y 1 1 y1 ? y2 2 2 , y2 ? , (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 利用 ? 得到 x=4 ? x ? 2 ? my my ? x ? 2 y1 y2 y1 y2

练习: 1 过抛物线 y ? 2 px (p>0)上一定点 M ( x0 , y0 ) ? y ? 0? ,作两条直线分别交抛物线于 A( x1 , y1 ) , B ? x2 , y2 ? ,
2

当 MA 与 MB 的斜率存在且倾斜角互补时,则

y1 ? y2 等于()A y0

圆锥曲线(三)定点、定直线、定值专题 教师版 第 2 页 共 3 页

A.-2

B.2

C.4

D.-4

2 过椭圆 4 a

x2 y2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点 F 作直线交椭圆于 P、Q 两点,若线段 FP 和 FQ 的长分别为 m、n, 4a 2 a 2

1 1 ? 等于()C m n 1 1 4 A. B. C. a 2a a


D. 2 a

x2 y 2 3.若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ,AB 为不平行于对称轴且不过原点的弦,M 为 AB 中点,设 AB、OM 的斜率分别为 a b

k AB , kOM , k AB kOM =_____ ?

b2 a2

4.已知椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为 2 ? 1 ,离心率为 e ? (1)求椭圆 E 的方程;

2 , 2

(2)过点(1,0)作直线 l 交椭圆 E 于 P、Q 两点,试问:在 x 轴上是否存在一个定点 M, MP MQ 为定值?若 存在,求出这个定点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 答案: (1)

x2 ? y 2 ? 1(2)设直线 L:y=k(x-1),P ? x1 , y1 ? Q ? x2 , y2 ? ,M(n,0), 2

因为 MP MQ ?

?1 ? 4m ? 2m ? k
2

2

? m2 ? 2

2k 2 ? 1
2 2

为定值,所以

5 1 ? 4m ? 2m 2 ? 2 ,a ? 2 4 m ?2

5.已知定点 C(-1,0)及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 M,使

MA MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:y=k(x+1),M(m,0) A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,

?3m MA MB ?

2

? 6m ? 1? k 2 ? m2 ? 5 3m2 ? 6m ? 1 ?3, , m2 ? 5 3k 2 ? 1

6.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F (0, 2), 且长轴长与短轴的比是 2 :1。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜率为定值。 答案(1)

x2 y 2 ? ? 1 (2) K AB ? 2 2 4

圆锥曲线(三)定点、定直线、定值专题 教师版 第 3 页 共 3 页

7.已知椭圆的焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 ? 4 y 的焦点,离心率 e ?

2 ,过椭圆的右焦点 F 5

作与坐标轴不垂直的直线 l,交椭圆与 A、B 两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点,在 x 轴上是否存在一个定点 N,使得 C、B、N 三点共线?若存在,求出 定点 N 的坐标,若不存在,请说明理由。

x2 2 答案: (1) ? y ? 1 (2) 设直线 L 的方程 y=k(x-2), 设 Ax ( , y, ) ( , 1y, )( Bx ?, y )2 1 1Cx 1 5
5 5 ? 1 ? 2 4 ? 2 ? 5 ? y ? y ? 1 ? 0 ,x= 2 ,存在 N( 2 ,0) k ?k ?

2

2 y1 y2 k ?2 , N(x,0), x ? y1 ? y2

20.已知椭圆的两个焦点 F1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) ,过 F1 且与坐标轴不平行的直线 l1 与椭圆交于 M , N 两点,如 果 ?MNF2 的周长等于 8。 (1)求椭圆的方程; (2)若过点 (1,0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 P, Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E(m,0) ,使 PE ? QE 恒为定 值?若存在,求出点 E 的坐标及定值;若不存在,说明理由。 20.1)

x2 ? y2 ?1 4
17 ,0 ) 8
定值

(2) E (

33 64


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