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高中理科数学公式大全(完整版)


高中数学公式大全(最新整理版)
§ 集合与简易逻辑 01.
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B) ? CU A ? CU B .
3.包含关系

A ?

B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R
4.容斥原理

card ( A ? B) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B) .
5. 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2n 个; 真子集有 2n –1 个; 非空子集有 2n –1 个;非空的真子集有 2n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式

N ? f ( x) ? M ? [ f ( x) ? M ][ f ( x) ? N ] ? 0 M ?N M ?N f ( x) ? N |? ?0 ? | f ( x) ? ? 2 2 M ? f ( x) 1 1 ? . ? f ( x) ? N M ? N 8.方程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 不等价,前者是后
者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在
2

(k1 , k 2 ) 内,等价于 f (k1 ) f (k 2 ) ? 0 ,或 f (k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
k1 ? k 2 b ?? ? k2 . 2 2a
9.闭区间上的二次函数的最值

k ? k2 b ? 1 ,或 f (k 2 ) ? 0 且 2a 2

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ? 间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x ? ? 若

b 处及区 2a

f ( x)min

b b ? ? p, q ?, f ( x) min ? f (? ), f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? ; 则 2a 2a b x ? ? ? ? p, q ? , , f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? 2a ?min ? f ( p), f (q)? .
b ? ? p, q ?,则 f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? , 2a

(2)当 a<0 时,若 x ? ?

x??

f ( x)min ? min ? f ( p), f (q)? .

b ? ? p, q ? 2a





f ( x)max ? max ? f ( p), f (q)?



10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 ( m, n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 ( m,??) 内 有 根 的 充 要 条 件 为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2

? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? (2)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( m, n ) 内有根的充要条件为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2 ? f ( m) ? 0 ? f ( n ) ? 0 或? ; ? ? f ( n ) ? 0 ? f ( m) ? 0
? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 ( ??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ? ?m ? ? 2
11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参 数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t )min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成 立的充要条件是 f ( x, t )man ? 0( x ? L) .

?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 ? ?
4 2

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 不是 都是 不都是 大于 不大于 小于 不小于 对所有 x ,成立 存在某 x ,不成立

原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p 且 ?q

对任何 x ,不成立

存在某 x ,成立

p 且q

?p 或 ?q

14.四种命题的相互关系 原命题:与逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否; 15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.

§02. 函数
16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 )? f ( x ) f ( x )? 0 ? 1 ? 1 ? 2 x1 ? x2 (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减函数. 17.如果函数 f (x) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数 y ? f [ g ( x)] 是增函数.

( x1 ? x2 )? f ( x ) f ( x )? ? 0 ? 1 ? 2

18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个 函数是偶函数. 19.若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数 y ? f ( x ? a) 是偶 函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) . 20.对于函数 y ? f (x) ( x ? R ), f ( x ? a) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f (x) 的对称轴 是函数 x ?

a?b ; 2

两个函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2

21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 ( ,0) 对称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P( x) ? an x ? an?1x
n n?1

a 2

多项式函数 P ( x) 是奇函数 ? P ( x) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x) 是偶函数 ? P ( x) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性

? ?? a0 的奇偶性

) ) (1)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ? f( a? x

? f ( 2a ? x ) ? f ( x ) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

a?b ) ( ? ) 对称 ? f ( a ? m x ? f b m x 2

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2m

(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的 图象. 26.互为反函数的两个函数的关系

f (a) ? b ? f ?1 (b) ? a .
27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?

1 [f k

?1

( x ) ? b] , 并 不 是

y ? [ f ?1 (kx ? b) ,而函数 y ? [ f ?1 (kx ? b) 是 y ?

1 [ f ( x ) ? b] 的反函数. k

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,
?
'

f (0) ? 1, lim
x ?0

g ( x) ?1. x

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,

1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 1 ( f ( x) ? 0) , 或 f ( x ? a) ? ? f ( x) 1 2 或 ? f ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a ), ( f ( x) ? ? 0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a; 2 1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; (3) f ( x) ? 1 ? f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) (4) f ( x1 ? x2 ) ? 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1,0 ?| x1 ? x2 |? 2a) , 则 1 ? f ( x1 ) f ( x2 ) f (x) 的周期 T=4a;
或 f ( x ? a) ? (5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a)

? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a.
30.分数指数幂

(1) a (2) a

m n

?
?

1
n

?

m n

a 1

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

a

m n

31.根式的性质 (1) ( n a )n ? a . (2)当 n 为奇数时, n an ? a ; 当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质

ar ? as ? ar ?s (a ? 0, r, s ? Q) . (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? Q) . (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
(1) 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
p

loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .
34.对数的换底公式

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a n n 推论 log a m b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ). m log a N ?
35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ;

M ? log a M ? log a N ; N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) .
(2) log a
2 36.设函数 f ( x) ? logm (ax2 ? bx ? c)(a ? 0) ,记 ? ? b ? 4ac .若 f (x) 的定义域为

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f (x) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要
单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广



1 ,则函数 y ? log ax (bx) a 1 1 (1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ??) 上 y ? log ax (bx) 为增函数. a a 1 1 ) (2)当 a ? b 时,在 ( 0 , 和 ( ,?? ) y ? l o g bx 为减函数. 上 ) ax ( a a
若a ? 0 ,b ? 0, x ? 0 , x ? 推论:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则 (1) logm? p (n ? p) ? logm n .

(2) log a m log a n ? log a

2

m?n . 2

§03. 数 列
38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础 数为 N ,平 均 增长 率为 p , 则 对 于时 间 x 的 总产 值 y , 有

y ? N (1 ? p) x .
39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2
40.等差数列的通项公式

an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;
其前 n 项和公式为

n( a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 d 1 ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 sn ?
41.等比数列的通项公式

an ? a1q n ?1 ?

a1 n ? q (n ? N * ) ; q

其前 n 项的和公式为

? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
? a1 ? an q ,q ?1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ? : an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?
其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? . d 1 ? qn d (b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ?
43.分期付款(按揭贷款)

ab(1 ? b) n 每次还款 x ? 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ? 1 § 三角函数 04.
44.常见三角不等式

(1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1.
45.同角三角函数的基本关系式

?

sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =

sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . cos?

46.正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n ? (?1) 2 sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?(?1) 2 co s ? , ?
n ? ( ?1) 2 co s ? , n? ? co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

47.和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ; tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ? sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式);

cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? .
a sin ? ? b cos ? = b 定, tan ? ? ). a
48.二倍角公式

a2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a, b) 的 象 限 决

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
49. 三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) . 3 3 cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

.

tan 3? ?

3tan ? ? tan 3 ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) . 2 1 ? 3tan ? 3 3

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?

2?

?



函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

? . ?
51.正弦定理

a b c ? ? ? 2R . sin A sin B sin C
52.余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C .
53.面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? ? 1 (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB ) . (3) S ?OAB ? 2
(1) S ? 54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)

?

C ? A? B ? ? ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . 2 2 2

55. 简单的三角方程的通解

sin x ? a ? x ? k? ? (?1)k arcsin a(k ? Z ,| a |? 1) . co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a(k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a(k ? Z , a ? R) .
特别地,有

sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? (?1)k ? (k ? Z ) . co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? (k ? Z ) .
56.最简单的三角不等式及其解集

sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a, 2k? ? ? ? arcsin a), k ? Z . sin x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? arccos a), k ? Z . cos x ? a(| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a, 2k? ? 2? ? arccos a), k ? Z .
tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ? arctan a, k? ? ), k ? Z . 2 tan x ? a(a ? R) ? x ? (k? ?

?

?

2

, k? ? arctan a), k ? Z .

§ 平面向量 05.
57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b.

58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1, y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式

??? ??? ??? ? ? ?

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ).

64.平面两点间的距离公式

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设 P ( x1 , y1 ) , P ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P P2 的分点, ? 是实数,且 PP ? ? PP ,则 1 1 2 1 2

??? ?

????

x1 ? ? x2 ? ???? ???? ??? OP ? ? OP ? ?x ? 1? ? ? 1 2 ? OP ? ? 1? ? ? y ? y1 ? ? y2 ? 1? ? ? ??? ???? ? ???? 1 ). ? OP ? tOP ? (1 ? t )OP2 ( t ? 1 1? ?
67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐 标是 G (

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 3 3

68.点的平移公式

???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP' ? OP ? PP' . ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?
' ' '

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 PP 的 坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

????
'

为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h) ? k .
' ' (4) 曲 线 C : f ( x, y ) ? 0 按 向 量 a= ( h, k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .

(5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,则

??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .

§06. 不 等 式
71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 3 3 3 (3) a ? b ? c ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ?
?

(4)柯西不等式

(a2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2 , a, b, c, d ? R.
(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y) ? ( x ? y) ? 2 xy
2 2

1 2 s . 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大.
2 73. 一 元 二 次 不 等 式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) , 如 果 a 与
2

ax 2 ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 异号,则其解集在两
根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ;

x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a ? ?a ? x ? a .
2

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ?a .
75.无理不等式 (1)

(2)

(3)

? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? . f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? . f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 2 ? f ( x) ? [ g ( x)] ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ? (2)当 0 ? a ? 1 时, a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ; ? f ( x) ? 0 ? log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
§ 直线和圆的方程 07.
77.斜率公式

k?

y2 ? y1 ( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ). 1 2 x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 1 (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式

y ? y1 x ? x1 ? ( y1 ? y2 )( P ( x1 , y1 ) 、 P ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )). 1 2 y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
(4)截距式 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . ① l1 || l2 ? (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

A1 B1 C1 ; ? ? A2 B2 C2 ② l1 ? l2 ? A A2 ? B1B2 ? 0 ; 1
80.夹角公式

k2 ? k1 |. 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 |. (2) tan ? ?| 1 2 A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1
(1) tan ? ?| 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l2 的角公式

? . 2

k2 ? k1 . 1 ? k2 k1 ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 . A1 A2 ? B1B2 ( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A A2 ? B1B2 ? 0 ). 1
(1) tan ? ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是

? . 2

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 0

x ? x0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ; 经 过 定 点 P ( x0 , y0 ) 的 直 线 系 方 程 为 0 A( x ? x0 ) ? B( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 的交 点的直线系方程为 ( A x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2 ), 其中λ 是待定的系数. 1 (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是
参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是

Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ 是参变量.
83.点到直线的距离

(点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2 84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 , B 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的上方的区域; B 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 , A 与 Ax ? By ? C 同号时, 当 表示直线 l 的右方的区域; A 与 Ax ? By ? C 当 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 1 设曲线 C : ( A x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1B2 ? 0 ) ,则 1

d?

| Ax0 ? By0 ? C |

( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2
2 2 (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).

? x ? a ? r cos? . ? y ? b ? r sin ? ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ).
(3)圆的参数方程 ? 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 的圆系方程是

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?(ax ? by ? c) ? 0 , 其 中 ax ? by ? c ? 0 是 直 线 AB 的方程,λ 是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程 是 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数. (3) 过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? 0 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交 1
点的圆系方程是 x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ,λ 是待定的 1 系数. 88.点与圆的位置关系 点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

(a ? x0 )2 ? (b ? y0 )2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内.

89.直线与圆的位置关系
2 2 2 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
其中 d ?

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线.
91.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是

D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0. 2 2 D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ? F ? 0 表示过两个切点 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, x0 x ? y0 y ? 2 2 x0 x ? y0 y ?
的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ; 0 ②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k 2 .

§ 圆锥曲线方程 08.
92.椭圆 93.椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 2 a b ? y ? b sin ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a 2 b2 a2 a2 PF1 ? e( x ? ) , PF2 ? e( ? x) . c c
2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b

94.椭圆的的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b

( 3 ) 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a 2 b2

A2 a 2 ? B 2b 2 ? c 2 . x2 y 2 96.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a b a2 a2 PF1 ?| e( x ? ) | , PF2 ?| e( ? x) | . c c
97.双曲线的内外部

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为

2 2 x0 y0 ? 2 ? 1. a2 b 2 2 x0 y0 ? 2 ?1. a2 b

x2 y2 x2 y2 b ? 2 ? 1 ? 渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x . 2 a b a a b 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a a b 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x a b a b 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
99. 双曲线的切线方程

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 a b x0 x y0 y ? 2 ?1. a2 b x2 y 2 ( 3 ) 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . 2 100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式 p 2 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 2 y 2 2 101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P ( ? , y ? ) 或 P(2 pt ,2 pt)或 P ( x? , y? ) ,其中 2p 2 y? ? 2 px? .
(1)双曲线

b 2 4ac ? b2 (a ? 0) 的图象是抛物线: ) ? (1)顶 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); 点坐标为 ( ? (2)焦点的坐标为 (? (3)准线方程是 2a 4a 2a 4a
102.二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a( x ?
2

y?

4ac ? b 2 ? 1 . 4a
103.抛物线的内外部 (1)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的内部 ? y ? 2 px( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px( p ? 0) . (2)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px( p ? 0) 的内部 ? y 2 ? ?2 px( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 y ? ?2 px( p ? 0) 的外部 ? y ? ?2 px( p ? 0) .
2 2

(3)点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的外部 ? x2 ? 2 py( p ? 0) . (4) 点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的内部 ? x ? 2 py( p ? 0) .
2 2

点 P( x0 , y0 ) 在抛物线 x ? ?2 py( p ? 0) 的外部 ? x ? ?2 py( p ? 0) .
2 2

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) .
2

( 2 ) 过 抛 物 线 y ? 2 px 外 一 点 P( x0 , y0 ) 所 引 两 条 切 线 的 切 点 弦 方 程 是
2

y0 y ? p( x ? x0 ) .
(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) ? 0 , f 2 ( x, y) ? 0 的交点的曲线系方程是
2 2

f1 ( x, y) ? ? f 2 ( x, y) ? 0 ( ? 为参数).
x2 y2 ? 2 ? 1 , 其 中 k ? max{a2 , b2 } . 当 (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程 2 a ?k b ?k 2 2 2 k ? min{a , b } 时,表示椭圆; 当 min{a , b2} ? k ? max{a2 , b2} 时,表示双曲线.
106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 或

AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ? ( 弦 端 点
A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

?y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 , ? ? 0 , ? 为直 F( x, y) ? 0 ?

线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率). 107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x0 -x, 2 y0 ? y) ? 0 . (2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线是

F (x ?

2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? ) ?0. 2 2 A ?B A2 ? B 2
2 2
2

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 , x0 x 代 x , y0 y 代 y , 用 用
2



x0 y ? xy0 x ?x y ?y 代 xy ,用 0 代 x ,用 0 代 y 即得方程 2 2 2 x y ? xy0 x ?x y ?y Ax0 x ? B ? 0 ? Cy0 y ? D ? 0 ?E? 0 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点 2 2 2

弦,弦中点方程均是此方程得到.

§ 立体几何 09.
109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体 的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.

??? ??? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? P、 A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共线且 AB、CD 不共线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线.

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x, y ,使 p ? ax ? by . 推论

空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x, y ,使 MP ? xMA ? yMB ,

????

??? ?

????

或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ? OM ? xMA ? yMB .

??? ?

???? ?

????

????

119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 OP ? xOA ? yOB ? zOC

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(x? y?z ?k) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O?平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OD ? (1 ? x ? y)OA ? xOB ? yOC ( O?平面 ABC).

???? ??? ???? ? ???? ??? ? ??? ? A、B、 、D 四点共面 ? AD 与 AB 、 AC 共面 ? AD ? xAB ? y AC ? C

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC . 121.射影公式 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A' ,作 B 点在 l 上的射影 B ' ,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? A' B' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1, y1, z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) .

r

r

? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a Pb ? a ? ?b(b ? 0) ? ? y1 ? ? y2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .
125.夹角公式 设 a= (a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

2 2 2 2 2 推论 (a1b1 ? a2b2 ? a3b3 )2 ? (a1 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角 四面体 ABCD 中, AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

cos ? ?

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA2 ) | . 2 AC ? BD

127.异面直线所成角

r r cos ? ?| cos a, b | r r | x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 | | a ?b | r ? = r | a |?| b | x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2
o o

b b (其中 ? ( 0 ? ? ? 90 )为异面直线 a, 所成角, a, b 分别表示异面直线 a, 的方向向量)

r r

??? ?? ? AB ? m ?? ? ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m | 129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ?1 、 ? 2 , A、 B 为 ?ABC 的两个内角,则

128.直线 AB 与平面所成角

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? (sin2 A ? sin2 B)sin2 ? .
特别地,当 ?ACB ? 90 时,有
?

130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ? 1 、 ? 2 , A 、B 为 ?ABO 的两个内角,则
' '

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? .

tan2 ?1 ? tan2 ?2 ? (sin2 A' ? sin2 B' ) tan2 ? .
特别地,当 ?AOB ? 90 时,有
?

sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ?? ? ?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |
132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos? ? cos?1 cos? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二 面角的棱所成的角是θ ,则有 sin2 ? sin2 ? ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? 2sin?1 sin? 2 cos? ;

| ?1 ??2 |? ? ? 180? ? (?1 ??2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立).

??? ? ??? ??? ? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 . 135.点 Q 到直线 l 距离 ??? ? 1 h? (| a || b |)2 ? (a ? b)2 ( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= PA , 向 量 |a| ??? ? b= PQ ).
136.异面直线间的距离

134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C、 D 分别是 l1 , l2 上任一点,d 为 d? |n|

l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离 ??? ?? ? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). d? |n|
138.异面直线上两点距离公式

d ? h2 ? m2 ? n2 ? 2mn cos? .

???? ??? ? d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF .
d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos ? ( ? ? E ? AA' ? F ).
(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 AA 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两
' 点 E、F, A E ? m , AF ? n , EF ? d ). 139.三个向量和的平方公式
'

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? (a ? b ? c) 2 ? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ? 2 ? 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、l2、l3 ,夹角分 别为 ?1、? 2、? 3 ,则有
2 l 2 ? l12 ? l2 ? l32 ? cos2 ?1 ? cos2 ?2 ? cos2 ?3 ? 1 ? sin2 ?1 ? sin2 ?2 ? sin2 ?3 ? 2 .

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S?

S' . cos?
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 c1 和 S1 ,则 ① S斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形 是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面 积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ?

1 nF ; 2 1 mV . 2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则

4 ? R3 , 3 2 其表面积 S ? 4? R .
其体积 V ? 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线

长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积

6 6 a ,外接球的半径为 a. 12 4

1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 3 1 V锥体 ? Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高). 3

§ 排列组合二项定理 10.
149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 151.排列数公式
m An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =

n! * .( n , m ∈N ,且 m ? n ). (n ? m)!

注:规定 0! ? 1 . 152.排列恒等式
m m (1) An ? (n ? m ? 1) An ?1 ;

n m An ?1 ; n?m m m?1 (3) An ? nAn?1 ;
(2) An ?
m

(4) nAn ? An?1 ? An ;
n n

n?1 m

(5) An?1 ? An ? mAn
m

m?1

.

(6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n! ? (n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m!(n ? m)! ? Am
m

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n (2) C
m n +

n?m

;
m C n ?1 .

C
0

m?1 = n

注:规定 Cn ? 1 . 155.组合恒等式

n ? m ? 1 m ?1 Cn ; m n m m Cn ?1 ; (2) Cn ? n?m n m ?1 m (3) Cn ? Cn ?1 ; m
(1) Cn ?
m

(4)

?C
r ?0

n

r n

= 2n ;

r r ?1 (5) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn?1 . 0 1 2 r n (6) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n . 1 3 5 0 2 4 (7) Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? Cn ? Cn ? ?2 n?1 . 1 2 3 n (8) Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n2 n?1 . r 0 r 1 0 r r (9) CmCn ? Cm?1Cn ? ? ? Cmr Cn ? Cm?n . 0 1 2 n n (10) (Cn ) 2 ? (Cn ) 2 ? (Cn ) 2 ? ? ? (Cn ) 2 ? C2n .

156.排列数与组合数的关系
m An ? m ? Cn . ! m

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 An?1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ?1 (补集思想)
m
1 m m 1 m ? An ?1 An ??1 (着眼位置) ? An ?1 ? Am?1 An ??1 (着眼元素)种. 1 1
m?1

m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
k m?k ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
n ? k ?1 k ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 An ? k ?1 Ak 种.注:此类问题

常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的 一组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ?1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n Am?1 n 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有 n ? C m ?1 种排法. An
h k

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个,各组元素分别相同的排列数为

C

n m? n

.

158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C mn ? C mn ?n ? C mn ?2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

(m n)! . (n!) m

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其 分配方法数共有
n n n n n Cmn ? Cmn ? n ? Cmn ? 2n ...? C2n ? Cn (mn)! . ? m! m!(n!)m (3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n1 , n 2 ,?, nm 件,且 n1 , n 2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则

N?

nm n n 其分配方法数共有 N ? C p1 ? C p 2 n1 ...Cnm ? m!? ?

p!m! . n1!n2!...nm!

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分给 m 个人,

物件必须被分完,分别得到 n1 , n 2 ,?, nm 件,且 n1 , n 2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、

p !m ! . a!b!c!... n1 !n2 !...nm !(a !b !c !...) (5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法 p! 数有 N ? . n1!n2!...nm! (6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n2 +?+n m ) 个物体分为任意的 n1 , n2 ,?, nm 件无记号的 m 堆,且 n1 , n2 ,?, nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个 p! 相等,则其分配方法数有 N ? . n1!n2!...nm!(a!b!c!...) (7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 +?+nm )个物体分给甲、乙、 丙,??等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n1 件,乙得 n 2 件,丙得 n3 件,?时,
b、c、?个相等,则其分配方法数有 N ?

nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ? m!

?

则无论 n1 , n 2 ,?, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
nm n n N ? C p1 ? C p 2? n1 ...Cnm ?

p! . n1!n2!...nm!

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为

1 1 1 1 ? ? ? ? ? (?1) n ] . 2! 3! 4! n! 推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为 f (n) ? n ![
1 2 3 4 f (n, m) ? n !? Cm ( n ? 1)!? Cm ( n ? 2)!? Cm ( n ? 3)!? Cm ( n ? 4)! p m ? ? ? (?1) p Cm ( n ? p )!? ? ? (?1) m Cm ( n ? m)!

? n![1 ?

1 2 3 4 Cm Cm Cm Cm Cp Cm ? 2 ? 2 ? 4 ? ? ? (?1) p m ? ? ? (?1)m m ] . 1 m An An An An Anp An

160.不定方程 x1 +x2 +?+xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N )的正整数解有 C m?1 个. (2) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N )的非负整数解有 Cn?m?1 个.
? (3) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )
?

?

n ?1

?

n ?1

的非负整数解有

n Cm??11?(n?2)( k ?1) 个.
?

? (4) 方程 x1 +x2 +?+xn ? m ( n, m ? N )满足条件 xi ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 )

的正整数解有 C n?m?1

n ?1

n n n ? C1?2 C m??n1?k ?2 ? C n2?2 C m??n1?2 k ?3 ? ? ? (?1)n ?2 C nn??2 2C m??11?( n?2) k 个. n

161.二项式定理
0 1 2 r n (a ? b) n ? Cn a n ? Cn a n?1b ? Cn a n?2b 2 ? ? ? Cn a n?r b r ? ? ? Cn b n ;

二项展开式的通项公式
r 1, Tr ?1 ? Cn a n?r b r (r ? 0,2?,n) .

§ 11、12. 概率与统计
162.等可能性事件的概率

P ( A) ?

m . n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k Pn (k ) ? Cn Pk (1 ? P)n?k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) P ? 0(i ? 1, 2,?) ; i (2) P ? P ? ? ? 1 . 1 2 169.数学期望

E? ? x1P ? x2 P2 ? ? ? xn Pn ? ? 1
170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ? 171.方差

1 . p

D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

172.标准差

?? = D? .
173.方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?

q . p2

174.方差与期望的关系

D? ? E? 2 ? ? E? ? .
2

175.正态分布密度函数

f ? x? ?

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
x ? 1 f ? x? ? e 2 , x ? ? ??, ?? ? . 2? 6
2

177.对于 N ( ? , ? 2 ) ,取值小于 x 的概率

? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ?

? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ? x1 ? ? ? ? ?? 2 ? ??? ?. ? ? ? ? ? ?
178.回归直线方程
n n ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y ? ? ?b ? i ?1 n ? i ?1n ? ? a ? bx ,其中 ? 2 . y ? ? xi ? x ? ? xi 2 ? nx 2 ? i ?1 i ?1 ? ?a ? y ? bx

179.相关系数

r?

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

? (x ? x ) ? ( y ? y)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

?
2

? ? x ? x ?? y ? y ?
i ?1 i i

n

.
n 2 2 2 i ?1

(? xi ? nx )(? yi ? ny )
2 i ?1

n

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小.

§13. 极 限
180.特殊数列的极限

?0 ? (1) lim q ? ?1 n ?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或q ? ?1
.

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim ?? n ?? b n t ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?
(3) S ? lim

(k ? t ) (k ? t ) . (k ? t )

a1 1 ? q n 1? q
x ? x0

?

n ??

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列

?a q ?
n ?1 1

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x) ? a ? lim? f ( x) ? lim? f ( x) ? a .
x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) lim g ( x) ? a, lim h( x) ? a (常数),则 lim f ( x ) ? a . 本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 (1) lim
x ? x0 x ? x0
x ? x0

1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n ?? n ?? n

(2) lim x ? x0 , lim
x ? x0

1 1 ? . x ? x0 x x0

184.两个重要的极限 (1) lim

sin x ?1; x ?0 x
x

? 1? (2) lim ?1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x ?? ? x?
185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x ) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ?
x ? x0 x ? x0

(2) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ? (3) lim
x ? x0

f ? x? a ? ?b ? 0? . g ? x? b
n ??

186.数列极限的四则运算法则 若 lim an ? a, lim bn ? b ,则 (1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ;
n ?? n ??

n ??

(3) lim

n ??

(4) lim ? c ? an ? ? lim c ? lim an ? c ? a ( c 是常数).
n ?? n ?? n ??

an a ? ?b ? 0? bn b

§ 导 数 14. 187. f (x) 在 x 0 处的导数(或变化率或微商) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
188.瞬时速度

? ? s?(t ) ? lim

?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t

189.瞬时加速度

a ? v?(t ) ? lim

?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 190. f (x) 在 ( a, b) 的导数 dy df ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? ? ? lim ? lim . dx dx ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 191. 函数 y ? f (x) 在点 x 0 处的导数的几何意义
函 数 y ? f (x) 在 点 x 0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f (x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ? nx
' n?1

(n ? Q) .

(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 e x ; (log a )? ? log a . x x (6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a .
(1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

193.导数的运算法则 (2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有
' ' ' ' ' 导 数 yu ? f (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ? yu ? ux , 或 写 作

f x' (? ( x)) ? f ' (u)? ' ( x) .
195.常用的近似计算公式(当 x 充小时)

1 1 x ; n 1? x ?1? x ; 2 n 1 ? ?1? x ; (2) (1 ? x) ? 1 ? ? x(? ? R) ; 1? x x (3) e ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tanx ? x ( x 为弧度) ; (7) arctanx ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法
(1) 1 ? x ? 1 ? 当函数 f (x) 在点 x 0 处连续时, (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值.

§ 复 数 15.
197.复数的相等

a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
| z | = | a ? bi | = a2 ? b2 .
199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi ) ? (c ? di ) ?

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) . c2 ? d 2 c2 ? d 2

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有

交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
202.向量的垂直 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ2 ,则

???? ?

???? ?

???? ???? ? ? z OZ1 ? OZ2 ? z1 ? z2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 z1

? | z1 ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 (λ 为非
零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

复数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a


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