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新高一衔接课数学学科学员资料学生第七讲(函数)


第七讲:函数的有关概念(★★★★★)

学习目标
1、理解函数的概念和本质; 2、学习用集合和对应的语言去刻画函数,并了解函数的三要素; 3、准确理解函数标记 y=f(x);

知识梳理

10min.

在初中,我们就学习了函数的概念以及一些特殊函数,请学生回答有哪些特殊函数?根据这三种特

殊函数, 引导学生回忆初中的函数的概念 (设一个变化过程中有两个变量 X 和 Y, 如果对于 X 的每一个值, Y 都有唯一的值与它对应,那么就说 Y 是 X 的函数) 。 就以前所学的知识,提出两个思考题: ①y=1 是不是函数? ②y=x 和 y ?

x2 是不是同一个函数? x

通过这两个思考题,让学生在思想上引起冲突,从而引入新课 函数的有关概念 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function) . 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain) ;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range) . 注意: 1 “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ○ 2函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. ○ 2. 构成函数的三要素: 定义域、对应关系和值域
1

3.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

典例精讲

20min.

(★★★★)例 1、设集合 M={ x |0≤ x ≤2},N={ y |0≤ y ≤2},从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示:

其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有。 (★★★★)例 2、求下列函数的定义域: ① f ( x) ?

1 ; x?2

② f ( x ) = 3x ? 2 ;

③ f ( x) = x ? 1 +

1 2? x

求函数的定义域的常见类型: (1)当 f ( x) 为整式时,定义域为 R ; (2)当 f ( x) 为分式时,定义域为使分母不为 0 的 x 的集合; (3)当 f ( x) 为 n 次根式中的偶次根式时,定义域为使被开方式非负的 x 的集合; (4)当 f ( x) 是由几个式子组成时,定义域是使各个式子都有意义的 x 的取值的集合。
2

(★★★★★)例 3、已知函数 f ( x) =3 x 2-5 x +2,求 f (3) , f (? 2 ) , f (a ? 1) 。

(★★★★★)例 4、下列函数中哪个与函数 y = x 是同一个函数? (1) y ? ( x ) 2 ;
3 3 (2) y ? x ;

(3) y ?

x2

(★★★★★)例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数? (1) y1 ?

( x ? 3)( x ? 5) x?3

y2 ? x ? 5



(2) y1 ?

x ? 1 x ? 1 y2 ? ( x ? 1)(x ? 1)

(3) f1 ( x) ? ( 2x ? 5 ) 2 f 2 ( x) ? 2 x ? 5

〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

巩固练习

8min.

(★★★★)1、函数 f ( x) ?
A. (? ,?? )

3x 2 1? x
1 3

? lg(3x ? 1) 的定义域是( )
C. (? , )

1 3

B. ( ? ,1)

1 1 3 3

D. ( ?? ,? )

1 3

3

(★★★★)2、下列各组,函数 f ( x) 与 g ( x) 表示同一个函数的是(
A. f ( x) =1, g ( x) = x 0 C. f ( x) = x 2, g ( x) = ( x ) 4 B. f ( x ) = x 0 , g ( x ) =



x2 x

D. f ( x) = x 3, g ( x) = (3 x ) 9

(★★★★)3、已知函数 f ( x) =2 x -3,求:
(1) f (0) , f ( 2) , f (5) ; (2) f [ f ( x)] ; (3)若 x ∈{0,1,2,3},求函数的值域。

(★★★★)4、若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} , a, b, c ? R ,则 A 到 B 的映射有个, B 到 A 的映射有
个, A 到 B 的函数有个

课时小结

2min.

1、函数是非空数集到非空数集上的一种对应关系; 2、函数三要素; 3、函数符号:y=f(x); 4、判断两个函数相同的方法;

专题:函数的性质
教学目标
1、使学生理解增函数、减函数的概念; 2、使学生掌握判断某些函数增减性的方法; 3、培养学生利用数学概念进行判断推理的能力;
4

(★★★★★)

4、培养学生数形结合、辩证思维的能力; 5、养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

知识梳理
课堂导入

10min.

1.函数有哪几个要素? 2.函数的定义域怎样确定?怎样表示? 3.函数的表示方法常见的有哪几种?各有什么优点? 4.区间的表示方法. 前面我们学习了函数的概念、 表示方法以及区间的概念, 现在我们来研究一下函数的性质 (导入课题, 板书课题) 。 一、一般地,设函数 f(x)的定义域为 I: 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1 ? x2 时都有 f(x1)< f(x2).那么就说 f(x)在 这个区间上是增函数(increasing function) 。 如果对于属于 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时都有 f(x1)>f(x2).那么就是 f(x)在这个 区间上是减函数(decreasing function)。 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说 y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做 y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。 注意: (1)函数的单调性也叫函数的增减性; (2)注意区间上所取两点 x1,x2 的任意性; (3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。 二、定义偶函数:一般地,对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f ( x) 叫 偶函数(even function). 仿照偶函数的定义给出奇函数(odd function)的定义. (如果对于函数定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ) ,那么函数 f ( x) 叫奇函数。

典例精讲

20min.

(★★★★★)例 1.证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数。

5

(★★★★★)例 2、利用函数单调性定义证明函数 f(x)=-x3+1 在(-∞,+∞)上是减函数.

(★★★★★★)例 3、求下列函数的增区间与减区间 (1)y=|x2+2x-3|

x 2 ? 2x (2)y= 1?| x ? 1| (3)y= ? x 2 ? 2 x ? 3

6

(★★★★★)例 3、判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? x4 ; (2) f ( x) ? x5 ; (3) f ( x) ? x ?

1 1 ; (4) f ( x ) ? 2 . x x

巩固练习

8min.

(★★★★★)1、已知二次函数 y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为 x=3 的抛物线,试 比较大小:(1)f(6)与 f(4) (2)f(2)与f( 15)

(★★★★★)2、判断函数 f ( x) ?

ax (a ? 0) 在区间 (?1,1) 上的单调性 x ?1
2

7

(★★★★★)3、判断下列函数的奇偶性: (复杂函数奇偶性) (1) f ( x) ? lg (4 ? x) ? lg (4 ? x)

?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ?2 (2) g ( x ) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? ? 2

课时小结

2min.

1、判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤: a.设 x1、x2∈给定区间,且 x1<x2; b.计算 f(x1)- f(x2)至最简; c.判断上述差的符号; d.下结论。 2、利用定义判断函数奇偶性的步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x)与f ( x)的关系; ③作出相应结论:

8


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