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浙江省2016届高三调研考试数学(文)试题


2015 年高三测试卷 数 学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 P ? {x ? Z x ? 1 ? 2} , Q ? {x ? Z ? 1 ? x ? 2} ,则 P ? Q ? A. {0,1, 2} C. {?1,0,1, 2} B. {?1,0,1} D.

{1, 2}
4 3

2.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积等于 A.10 cm
3

5

B.20 cm C.30 cm

3

3

D.40 cm

3

π 3.为得到函数 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,只需将函数 y ? 2sin 2 x 的 4

正视图 3

侧视图

图象 A. 向左平移 C. 向左平移
π 单位 4 π 单位 8

B. 向右平移 D. 向右平移

π 单位 4 π 单位 8

俯视图 (第 2 题图)

4.已知 a, b 为实数,则 A. (a ? b) 2 ? 4ab , a ? b ? 2a 2 ? 2b 2 C. (a ? b) 2 ? 4ab , a ? b ? 2a 2 ? 2b 2 5.若函数 f ( x) ? a x ? b 的图象如图所示,则 A. a ? 1 , b ? 1 B. a ? 1 , 0 ? b ? 1 C. 0 ? a ? 1 , b ? 1 D. 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 6.设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,则“函数 f ( x) 为偶函数”是“函数 xf ( x) 为 奇函数”的 A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 7.如图,F1,F2 是双曲线 C1: x 2 ? B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 B. (a ? b) 2 ? 4ab , a ? b ? 2a 2 ? 2b 2 D. (a ? b) 2 ? 4ab , a ? b ? 2a 2 ? 2b 2

y2 ? 1 与椭圆 C2 的公共 3

y A

焦点, 点 A 是 C1, C2 在第一象限的公共点. 若|F1F2|=|F1A|, 则 C2 的离心率是 A.
F1 O

F2

x

1 3

B.

2 3

C.

1 5

D.

2 5

8.已知平面向量 a , b, c 满足 c ? xa ? yb (x, y ? R ) ,且 a ? c ? 0 , b ? c ? 0 . A. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0 B. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0

(第 7 题图)

C. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0

D. 若 a ? b ? 0 ,则 x ? 0 , y ? 0

非选择题部分 (共 110 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图, 可先使用 2B 铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 9.计算: (0.027) 3 ? log 3 2 ? log8 3 ? _______. 10.函数 f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? 1 的最小正周期是_______,振幅是_______.
?1

? ? x 2 ? 2 x, x ? 2, ? 11.已知函数 f ( x) ? ? 则 f ( f (4)) ? _______,函数 f ( x) 的单调递减区间 ? ?log 2 x ? 1, x ? 2,
是_______.
? x ? 2, ? 12.设 z ? ?2 x ? y ,实数 x, y 满足 ? x ? y ? ?1, 若 z 的最大值是 0,则实数 k =_______, z 的 ?2 x ? y ? k . ?

最小值是_______. 13.函数 f ( x) ?
2 1 ? ( x ? (0,1)) 在 x ? _______处取到最小值,且最小值是_______. x 1? x

14.设 A(1,0),B(0,1),直线 l:y=ax,圆 C:(x-a)2+y2=1.若圆 C 既与线段 AB 又与 直线 l 有公共点,则实数 a 的取值范围是________. 15.已知向量 a , b 及实数 t 满足 a ? tb ? 3 .若 a ? b ? 2 ,则 t 的最大值是________.

三、 解答题: 本大题共 5 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2a cos C+c=2b. (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a2=3bc,求 tan B 的值. 17.(本题满分 15 分) 已知等差数列{an}的首项 a1=2,a7=4a3,前 n 项和为 Sn. (I) 求 an 及 Sn; (Ⅱ) 设 bn=

S n ? 4an ? 4 ,n∈N*,求 bn 的最大值. n
A D

18. (本题满分 15 分)如图,已知矩形 ABCD 所在平面与等腰直角三角形 BEC 所在平面互相垂直, BE ? EC , AB ? BE , M 为线段 AE 的中点. (Ⅰ) 证明: BM ? 平面AEC ; (Ⅱ) 求 MC 与平面 DEC 所成的角的余弦值.

M

B E

C

19. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 . (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; (第 18 题图) (Ⅱ) 函数 f ( x) 在 [t , t ? 2] (t ? 0) 上的最大值与最小值的差为 h(t ) ,求 h(t ) 的表达式. 20. (本题满分 15 分)已知抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 与直线 3x ? 2 y ? 1 ? 0 交于 A, B 两点,
AB ? 5 13 ,点 M 在抛物线上, MA ? MB . 8 (Ⅰ) 求 p 的值;

(Ⅱ) 求点 M 的坐标. (第 20 题图)

测试卷数学试题(文科) 参考答案 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 40 分。 1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,满分 36 分。 9. 3 10. π , 2 11.1, (1, 2) 12.4, ?4

13. 2 ? 2 , 3 ? 2 2

14.[ 1 ? 2 ,

1? 5 ] 2

15.

9 8

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分。 16.本题主要考查正、余弦定理、三角变换,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 由题意及正弦定理得 2 sin A cos C+sin C=2 sin B ???? 2 分 =2 sin (A+C) =2 (sin A cos C+cos A sin C), 即 sin C (2 cos A-1)=0. ???? 4 分 因为 sin C≠0,所以 cos A=

1 ,从而得 2
A=

π . 3

???? 6 分

(Ⅱ) 由 A=

即 所以

π 及余弦定理得 3 b2+c2-bc=a2=3bc, b2+c2-4bc=0, b =2± 3 . c

???? 8 分



b =2+ 3 时, c

又 sin C=sin ( 故

2π 1 3 -B)= cos B+ sin B, 3 2 2
tan B

b sin B = = c sin C

3 1 ? tan B 2 2

=2? 3 ,

???? 11 分

所以 tanB=-2- 3 . 当

b =2- 3 时,同理得 tan B=2- 3 . c
???? 14 分

综上所述,tan B=2+ 3 或 2- 3 .

17.本题主要考查等差数列的概念与通项公式、求和公式、不等式等基础知识,同时考查运 算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 设公差为 d,由题意知 a1+6d=4(a1+2d), 由 a1=2 解得 d=-3, 故 an=-3n+5, Sn=
?3n ? 7 n ,n∈N*. 2 (Ⅱ) 由(I)得
2

???? 2 分

???? 5 分 ???? 7 分

bn= 由基本不等式得

S n ? 4an ? 4 n



31 3 16 - (n+ ). 2 2 n

???? 9 分

n+

16 16 ≥2 n ? =8, n n

???? 11 分

所以 bn=

7 31 3 16 7 - (n+ )≤ ,又当 n=4 时,bn= . 2 2 n 2 2 7 从而得 bn 的最大值为 . 2

???? 15 分

18.本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和 运算求解能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 因为 平面ABCD ? 平面BEC ,所以 AB ? 平面BEC ,故 AB ? EC . A D 因为 BE ? EC ,所以 EC ? 平面ABE ,
F 故 EC ? BM . ???? 3 分 M 因为 AB ? BE , M 为 AE 的中点,所以 AE ? BM . 所 以 题图)C B (第 18 G B M ? 平面 A . E C ???? E 7分 (Ⅱ) 如图,将几何体 ABCDE 补成三棱柱 AFD ? BEC ,设 EF 的中点为 G ,连结 MG, GC . 因为 MG ? BE ,所以 MG ? 平面DEC . ???? 10 分 因此 ?MCG 为 MC 与平面 DEC 所成的角. ???? 11 分

不妨设 AB ? 2 ,则 AB ? BE ? EC ? 2 ,因此 MG ? 1 , ME ? 2 ,
MC ? 6 ,故

sin ?MCG ?
所以 MC 与平面 DEC 所成的角的余弦值为

6 , 6
???? 15 分

30 . 6

(可选择不同方法,相应给分。 ) 19.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识,同时考查推理论证能力、分 析问题和解决问题的能力。满分 15 分。

(Ⅰ) 由题意得
1 5 ? ( x ? ) 2 ? , x ? 1, ? ? 2 4 f ( x) ? ? 1 2 ?( x ? ) ? 3 , x ? 1, ? ? 2 4
?1 ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? , ?? ? . ?2 ? (Ⅱ) 由题意得

???? 3 分

???? 6 分

f max ? f (t ? 2) ? t 2 ? 5t ? 5 .
当0 ? t ?
1 时, 2 1 3 f min ? f ( ) ? . 2 4

???? 9 分



1 ? t ? 1 时, 2

f min ? f (t ) ? t 2 ? t ? 1 .
当 t ? 1 时,

f min ? f (t ) ? t 2 ? t ? 1 .
综上,
17 1 ?2 ?t ? 5t ? 4 , 0 ? t ? 2 , ? 1 ? h(t ) ? ?6t ? 4, ? t ? 1, 2 ? t ? 1. ?4t ? 6, ? ?

???? 14 分

???? 15 分

20.本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析 几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ) 将 y ?
3 1 x ? 代入 x 2 ? 2 py ,得 2 2

x 2 ? 3 px ? p ? 0 ,
由 AB ?
5 13 及 p ? 0 得(过程相应给分) 8 p? 1 . 4

???? 2 分

???? 7 分

1 1 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 A(1, 2) , B(? , ) . 4 8

设点 M ( x0 , y0 ) ,由 MA ? MB 得
???? ???? MA ? MB ? 0 ,


1 1 ( x0 ? 1)( x0 ? ) ? ( y0 ? 2)( y0 ? ) ? 0 , 4 8
2 将 y0 ? 2 x0 代入得

???? 10 分

1 1 1 ( x0 ? 1)( x0 ? ) ? 4( x0 ? 1)( x0 ? 1)( x0 ? )( x0 ? ) ? 0 , 4 4 4 1 又 x0 ? 1 且 x0 ? ? ,得 4 1 1 ? 4( x0 ? 1)( x0 ? ) ? 0 , 4

解得

3 x0 ? 0 或 x0 ? ? , 4 3 9 所以点 M 的坐标为 (0,0) 或 (? , ) . 4 8

???? 14 分 ???? 15 分


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