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浙江省丽水市2015届高三(下)第一次高考模拟数学(理)测试

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丽水市 2015 年高考第一次模拟测试
数学(理科)试题卷
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 6 页,选择题部分 2 至 3 页, 非选择题部分 3 至 6 页。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答 题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 参考公式: 球的表面积公式
S ? 4?R 2 ,

其中 R 表示球的半径. 球的体积公式

4 V ? ?R 3 , 3
其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式
V ? Sh ,

其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.

锥体的体积公式

V?

1 Sh , 3

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高. 台体的体积公式

V?

1 h( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) , 3

其中 S1 , S 2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高.
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选择题部分(共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 ) 1.“ m ? ?1 ”是“直线 mx ? (2m ?1) y ?1 ? 0 和直线 3x ? my ? 3 ? 0 垂直”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.若某个几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则该几何体的体积是 A.

2 cm3 12 2 cm3 3

B.

2 cm3 6 2 cm3 2

C.

D.

? ? 3.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0,
且 f (? x) ? f ( x) ,则

?
2

) 的最小正周期是 ? ,

? ?? ? 2? ? ?? C. f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?

A. f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? ? D. f ( x ) 在 ? , ? 单调递增 ?4 4 ?
B. f ( x ) 在 ?

4. 已知 P 是边长为 2 的正方形 ABCD 内的点,若 ?PAB ,?PBC 面积均不 大于 1,则 AP ? BP 取值范 . 围是

, 2) A. (?1

, 1) B. (?1

C. ? 0, ?

? ?

1? 2?

D. ? , ?

?1 3 ? ?2 2 ?

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, ?x ? 1 ? 5. 已知实数 x ,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4, 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 6, 最小值是 1, ?ax ? by ? c ? 0, ?


c 的值是 b
B.2 C.3 D.4

A.1

6.定义在实数集 R 上的奇函数 f ( x) ,对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) ,且满足 f (1) ? ?2 ,

3 4

3 4

f ( 2) ? m ?

3 ,则实数 m 的取值范围是 m
B. 0 ? m ? 3 D. m ? 3 或 m ? ? 1

A. ? 1 ? m ? 3 C. 0 ? m ? 3 或 m ? ? 1

7.设数列 ?an ? 是等差数列,公差 d >0,Sn 为其前 n 项和,若正整数 i , j ,k ,l 满足 i ? k ? l ? j , 且 i ? j ? k ? l ,则 A. S i ? S j ? S k ? S l C. S i S j ? S k S l 8.如图,双曲线 C: B. S i ? S j ? S k ? S l D. Si S j ? S k Sl

x2 y2 ? ? 1 (a > 0 , b > 0) 的 左 、 右 焦 点 a2 b2

F1 (?c,、 0) F2 (c, 0) , A 为双曲线 C 右支上一点,且 AF1 ? 2c ,
AF 1 的角平分线,则双曲线 C 1 与 y 轴交于点 B,若 F2 B 是 ?AF2 F
的离心率是 A.

3? 3 2 3? 5 3

B. 1 ? 3

C.

D.

3? 5 2

非选择题部分 (共 110 分)
注意事项: 1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。 二、填空题(本题共 7 小题,满分 36 分, 9-12 题每题 6 分,13-15 题每题 4 分。 )
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9. 设数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99 .则 d = ▲ ;数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值时, n = ▲ . 10.设全集 U ? R ,集合 A ? {x ? R x 2 ? 2x ? 3 ? 0},B ? {x ? R x ? a ? 3} , 则 ?U A= ▲ ;若(?U A) ? B= ? ,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 11.设圆 C 的圆心是抛物线 y ?



; an =

1 2 x 的焦点,且与直线 3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切.则抛物线的准线方程 4

是 ▲ ;圆 C 的方程是 ▲ .

?3 x,x ? [?1 , 1], ? 1] ,则实数 t 的取 12.设函数 f ( x) ? ? 9 3x 则 f (? log3 2) = ▲ ;若 f ( f (t )) ? [0, , 3), ? ? ,x ? (1 ?2 2
值范围是 ▲ . 13.设 ? , ? ? (0,?) , sin(? ? ? ) ?

5 ? 1 ? .则 cos? 的值是 ▲ . , tan 13 2 2

14.设非零向量 a 与 b 的夹角是

2a ? tb 5? ,且 a ? a ? b ,则 的最小值是 ▲ . b 6

15 . 如 图 , ?PAB 和 ?QAC 是 两 个 全 等 的 直 角 三 角 形 , 其 中 PA ? AC ? 2 AB ? 2CQ ? 4 ,

?PBA ? ?AQC ? 90? .将 ?PAB 绕 AB 旋转一周, P, Q 两点间的距离在 [ 10 动点 P , 2 7 ] 内变化时,
的轨迹的长度是 ▲ .

P

当 所形成 Q

A B

B (第 15 题)

C

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. (15 分)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 已知 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC . (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 sin B ? p sin C ,且 ?ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

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17. (15 分)如图(1) ,在边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 是边 AB 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起 使得平面 ADE ? 平面 BCDE ,如图(2) , F 是折叠后 AC 的中点. (I)求证: BF // 平面 ADE ; (II)求二面角 E ? AB ? D 的平面角的余弦值. A D A F E B (图 1) (第 17 题) C B (图 2) C D

E

x2 y2 2 18. (15 分)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率是 ,且过点 (2 , 2 a b
(I)求椭圆 E 的方程;

2) .

(II)若 A,B,C 是椭圆 E 上的三个动点, A,B 关于原点对称,且 ?ABC 的面积是 4 2 ,设直 线 AB, OC 的斜率分别是 k 1 , k 2 ,求 k1 ? k 2 值.

19. (15 分)已知数列 ?an ? , a1 ?

3 15 , a2 ? ,若数列 ?an?1 ? 2an ?, ?2an?1 ? an ?都是等比数列, 2 4

公比分别是 q1 , q2 ?q1 ? q 2 ? . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式;

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(Ⅱ )设 S n 是数列 ?

?1? 4 ? 的前 n 项和,求证: S n ? . 3 ? an ?

2 2 20. (14 分)已知函数 f ( x) ? a x ? 1 ? ax ( a ? R ,且 a ? 0 ) .

(Ⅰ )当 a ? 0 时,若函数 y ? f ( x) ? c 恰有 x1 , x2 , x3 , x4 四个零点, 求 x1 ? x2 ? x3 ? x4 的值; (Ⅱ )若不等式 f ( x) ? x 对一切 x ? ?b, ? ?? 都成立,求 a b ? (b ? ) 的最小值.
2 2 2

1 2

丽水市 2015 年高考第一次模拟测试
数学(理科)参考答案
一、选择题 1.A 二、填空题 9. ? 2 , ?2n ? 41 , 20 12. 10. [?1, 3] , 13. ? 2.B 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D

[0 , 2]
14.

1 , x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 11. y ? -

1 ? 7 ? ? 13? , ?log3 ,1? ? ?1, ? 2 ? 3 ? ? 9?

16 65

3 3

15.

8 3 ? 3

三、解答题 16.(Ⅰ) 由题意得

3s i n Bs i n C?c o s Bc o C s ? 3s i n Bc o C s ? 3c o s Bs i n C ? 4c o s Bc o C s

( ? C) ? 3 c o sB ( ? C) ??????????????(4 分) ? ? 3 s i nB
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? t a nB ( ? C) ? ? 3 ? B ? C ?
?A?

2? 3

?
3

??????????????(7 分)

(Ⅱ) p ?

sin B sin(120? ? C ) 3 1 ? ? ? ???????????(10 分) sin C sin C 2 tanC 2 ? ? ?ABC 为锐角三角形,且 A ? 3

?

?

6 2 1 ? ? p ? 2 .??????????????(15 分) 2

?C?

?

?t an C?

3 ??????????????(14 分) 3

17.(Ⅰ) 证明:取 AD 中点 G,连结 EG,FG,

? F 为 AC 中点, 1 1 ? FG // CD , BE // CD 2 2 ? FG//BE ,从而四边形 EBFG 是平行四边形???????(3 分) ? BF//EG 又 BF ? 平面 ADE, EG ? 平面 ADE ? EG//平面 ADE.??????????????(7 分)
(Ⅱ) 如图示以 E 为坐标原点,建立空间直角坐标系 则 A (? , ,

1 2 5 5

2 5

) ,B(1,0,0) ,D( ? 1 ,2,0)

设平面 EAB 的法向量为 n1 ? ( x1,y1,z1 )

2 2 ? 1 ? z1 ? 0 ?n1 ? EA ? 0 ?? x1 ? y1 ? 5 则? ?? 5 5 ? ?n1 ? EB ? 0 ? ? x1 ? 0
解得一个法向量为 n1 ? (0 ,5, ? 1) ??????????????(10 分) 设平面 ABD 的法向量为 n2 ? ( x2,y2,z 2 )

2 2 ? 6 ? z2 ? 0 ?n2 ? BA ? 0 ?? x2 ? y 2 ? 5 则? ?? 5 5 ? ?n2 ? BD ? 0 ? ?? 2 x2 ? 2 y 2 ? 0
解得一个法向量为 n2 ? ( 5 ,5, 2) ??????????????(13 分)

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? cos ? n1, n2 ??

n1 ? n2 n1 ? n2

?

21 14
21 .??????????(15 分) 14

? 二面角 E-AB-D 的平面角的余弦值
2 ?4 ?a2 ? b2 ? 1 ? 2 1 ?c 18.(Ⅰ) 由已知 ? 2 ? 2 ?a 2 ?c ? a 2 ? b 2 ? ?
所以椭圆方程为

2 ? ?a ? 8 .??????????(4 分) ? ? 2 ? b ? 4 ?

x2 y2 ? ? 1 ??????????????(6 分) 8 4
2 2 2k12 ? 1

(Ⅱ) 由已知 AB 所在直线方程为 y ? k1 x 代入椭圆方程并整理得:

(2k12 ? 1) x 2 ? 8 ? x ? ? AB ? 1 ? k12 ?

??????????????(8 分)

所以

4 2 2k12 ? 1

??????????????(10 分) 联立椭圆方程得

又 OC 所在直线方程为: y ? k 2 x

C (?

2 2
2 2k 2 ?1

, ?

2 2k 2
2 2k 2 ?1

)

2 2 ( k1 ? k 2 )
点 C 到直线 AB 的距离

d?

2 2k 2 ?1

1 ? k12

???????????(12 分)

S ?ABC ?

1 AB d ? 2

8 k1 ? k 2
2 (2k12 ? 1)(2k 2 ? 1)

?4 2

2 2 2 ? 2k12 ? 4k1 k 2 ? 2k 2 ? 4k12 k 2 ? 2k12 ? 2k 2 ?1 2 ? 4k12 k 2 ? 4 k1 k 2 ? 1 ? 0

? k1 k 2 ? ?

1 2
???????(15 分)

19.解:(Ⅰ)∵数列 ?an?1 ? 2an ?、 ?2an?1 ? an ?的公比分别为 q1 、 q2

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3 n?1 ? n ?1 ?an?1 ? 2an ? ?a2 ? 2a1 ?q1 ? q1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(1) ∴? ?????????(3 分) 4 ?2a ? a ? ?2a ? a ?q n?1 ? 6q n?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(2) n 2 1 2 2 ? n?1 1 n ?1 ? q1n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(3) 2 ? (2) ? (1) 得: a n ?1 ? 4q 2 4 1 n ?1 ? q1n ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(4) (2) ? 2 ? (1) 得: a n ? 2q 2 2 15 1 15 15 ? q1 ? 4q 2 ? ∵ a2 ? ,由 ( 4) 得: 2q 2 ? q1 ? 4 2 4 2 1 1 2 2 2 又分别由 (3) 、 ( 4) : a3 ? 4q 2 ? q1 ? 2q 2 ? q1 ? 2q2 ? 9q2 ? 10 ? 0 4 2
?q 2 ? 2 5 ? ?? 1 ( q1 ? q 2 ? 不合题意,舍去)??????????????(7 分) 2 q1 ? ? 2 ?
或 an?2 ? 2an?1 ? (an?1 ? 2an ) ? q1 ? an?2 ? (2 ? q1 )an?1 ? 2q1an

q 1 2a n? 2 ? a n ?1 ? (2a n?1 ? an ) ? q 2 ? a n? 2 ? ( ? q 2 )an ?1 ? 1 a n 2 2

1 ? 2 ? q1 ? ? q 2 ?q 2 ? 2 ? ? ? 2 则有 ? ?? 1 q1 ? ?2 q ? q 2 ? 2 ? 1 ? 2 ?
由 ( 4) 得: a n ? 2 ?
n

1 ??????????????(8 分) 2n

1 2n 1 2 n?1 1 1 1 1 1 1 ? 2n ? ? 2 n?2 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? n?1 ? ???(11 分) an 2 ? 1 2 2 a1 ? 1 2 an?1 2 an?2 2 1? 1 1 ? 2? 1 ? 4 ∴ Sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? n?1 ? ? ? 2 ? n?1 ? ? .???????????(15 分) a1 ? 2 2 ? 3? 2 ? 3
(2) 20.解:(Ⅰ) 解:如图,当 1 ? c ? 依次设为 x1 , x2 , x3 , x4 则显然有 x1 , x4 , 是方程

5 时 4

y ? f ( x) ? c 有四个零点

a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两个根

因此 x1 ? x 4 ? ?

1 ????(3 分) a
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x2 , x3 , 是方程 ? a 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 的两个根,
因此 x1 ? x 4 ?

1? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 .??????????(6 分) a

(Ⅱ) f ( x) ? x 在 [b , ? ?) 上恒成立,则 (1) a ? 1, b ? 0 , 此时 a b ? (b ? ) ? b ? (b ? ) ? 2b ? b ?
2 2 2 2 2 2

1 2

1 2

1 1 1 1 ? 2(b ? ) 2 ? ? 4 4 8 8

????????????(8分) (2) a ? 1, b ? 0 则必须满足 a b ? ab ? b ? 1,
2 2

此时,由于 a ? 0 , b ? 0 所以 a b ? (b ? ) ? b ? b ? b ?
2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 ? 2b 2 ? b ? ? ?(10分) 4 4 4

2 2 (3) 0 ? a ? 1 ,则 b ? 0 且 a b ? b ? 1 ? ab

所以

1 1 1 a 2 b 2 ? (b ? ) 2 ? b ? 1 ? ab ? b 2 ? b ? ? b 2 ? ab ? 1 ? 2 4 4 1 1 1 1 1 ? (b ? a) 2 ? ? a 2 ? 1 ? (b ? a) 2 ? (1 ? a 2 ) ? 1 ? 1 ????(12 2 4 4 2 4

分)
2 2 (4) a ? 0 则 b ? 0 且 a b ? b ? 1 ? ab

所以 a b ? (b ? ) ? b ? 1 ? ab ? b ? b ?
2 2 2 2

1 2

1 4

综上所以

5 5 ? ?????????(14分) 4 4 1 1 1 a 2 b 2 ? (b ? ) 2 ? 且 a ? 1 , b ? 时取等号. 2 8 4 ? b 2 ? ab ?
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