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高一数学等比数列练习题


【等比数列】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 已知等比数列 {an } 中 an?1 ? an ,且 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则

a11 ?( a7



A.

1 2

B.



2 3

C.

3 2

D. 2
2

2.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 a2 =1,则 a1 = ( A.

)

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

3. 在等比数列 {an } 中, a5 ? ?16, a8 ? 8, 则 a11 ? ( A. ? 4 B. ? 4 C. ? 2

) D .? 2 )

2 4. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? (

A.38

B.20

C.10

D.9 ,若

5.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

S6 =3 ,则 S3
8 3

S9 = ( S6

)

(A) 2

(B)

7 3

(C)

(D)3

6. 已知等比数列的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某同学计算得到 S2=20,S3=36,S4=65, 后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为( A.S1 B.S2 C. S3 ) D.S4

7. 已知 S n 是公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S1 , S 2 , S 4 成等比数列, 且 则 等于( A. 4 ) B. 6 C.8 D.10

a 2 ? a3 a1

8. 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 0 ,其前 n 项的和为 Sn ,则 S4 a5 与 S5 a4 的大小关系是 ( ) B. S4 a5 ? S5a4
n ?1

A. S4 a5 ? S5a4

C. S4 a5 ? S5a4

D.不确定 )

9. 已知等比数列 {a n }的前 n项和 S n ? a ? 2

1 ? , 则a 的值为( 6

A.

1 3

B.

1 2

C.—

1 3

D.—

1 2
)

2 2 2 2 10. 若 ?an ? 是等比数列,前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (

A. (2n ?1)2

B. (2 ? 1)
n

1 3

2

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 11. 已知数列 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 12. 已知等差数列{an},公差 d ? 0, a1,a3,a4 成等比数列,则
a1 ? a 2 ? _______. b2

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

13. 等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和

S4 =



14. 在 等 比 数 列 {an } 中 , a1 ? a2 ?6 , a2 ? a3 ?1 2 ,nS为 数 列 {an } 的 前

n 项和,则

l o g S 2 0 1? 2? ) 2 ( 0

.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分) 已知等比数列 {a n }满足 a3 ? 12, a8 ? (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 S n ? 93, 求n. 16. (本小题满分 10 分) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列. (1)求 ?an ? 的公比 q ; (2)若 a1 ? a3 ? 3 ,求 S n . 17. (本小题满分 12 分)在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 公比 q ? 0 ,设 bn ? log2 an ,且

3 , 记其前 n 项和为 S n . 8

b1 ? b3 ? b5 ? 6, b1b3b5 ? 0.
(1)求证:数列 ?bn ? 是等差数列; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 及数列 ?an ? 的通项公式; (3)试比较 an 与 S n 的大小.

18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 4 2 是 a1 和 a 4 的一个等比中 项, a 2 和 a3 的等差中项为 6 ,若数列 ?bn ? 满足 bn ? log2 an ( n ? N ) .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Sn .

答案

一、选择题

? a3 ? a7 ? 3, ?a3 ? 1, a11 a7 ? 1. 解析: a2 ? a8 ? a3 ? a7 , ? a3 ? a7 ? 2 解得 ? , ? ? 2 ,故选 D ?a7 ? 2 a7 a3 ?a ? a n ? n ?1
2. B 解析:设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q
2 8

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比

为正数,所以 q ? 3. A4. C5. B

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B。 ? ? q 2 2

解析:设公比为 q ,则

S6 (1 ? q3 ) S3 3 3 =1+q =3 ? q =2, ? S3 S3

于是

S9 1 ? q 3 ? q 6 1 ? 2 ? 4 7 ? ? ? S6 1 ? q3 1? 2 3

6. C7. C8. A9. C10. D 二、填空题 11.

8 15 5 12. 13. 14. 2011 2 11 2

三、解答题

15. 解析: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q,则

?a3 ? a1q 2 ? 12, ?a1 ? 48, ? ? ? 1 3 解得 ? 7 ?q ? 2 , ?a8 ? a1q ? , ? 8 ?
所以 a n ? a1 q
n ?1

…………4 分

1 ? 48 ? ( ) n ?1 . 2

…………5 分

a (1 ? q n ) (2) S n ? 1 ? 1? q
1 2

1 48[1 ? ( ) n ] 1 2 ? 96[1 ? ( ) n ] 1 2 1? 2
n

…………8 分

由 S n ? 93, 得96[1 ? ( ) ] ? 93, 解得 n ? 5.

16. 解析: (1)由题意有 a1 ? (a1 ? a1q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q 2 ) ,又 a1 ? 0, q ? 0 ,故

1 q?? . 2

1 2 (2)由已知得 a1 ? a1 (? ) ? 3 ? a1 ? 4. 从而 S n ? 2

1 4[1 ? (? ) n ] 8 1 2 ? [1 ? (? ) n ]. 1 3 2 1 ? (? ) 2

17. 解析: (1)由已知 bn ?1 ? bn ? log2 且公差为 d ? log2 q. (先求 q 也可)

an?1 ? log q 为常数.故数列 ?bn ? 为等差数列, an

(2)因 a1 ? 1, ? b1 ? log2 a1 ? 0 ,又 b1 ? b3 ? b5 ? 6 ? b3 ? 2 ,所以 b5 ? 0. 由?

?b3 ? b1 ? 2d ? 2, 9n ? n 2 ? b1 ? 4, d ? ?1 ? S n ? . 2 ? b5 ? b1 ? 4d ? 0 ? d ? log 2 q ? ?1 1 ? a1 ? 16, q ? ? a n ? 2 5? n , n ? N * . 2 ?b1 ? log 2 a1 ? 4

由?

(3)因 a n ? 0, 当 n ? 9 时, S n ? 0 ,所以 n ? 9 时, an ? S n ; 又可验证 n ? 1,2 是时, an ? S n ; n ? 3,4,5,6,7,8 时, an ? S n . 18. 解: (Ⅰ)因为 4 2 是 a1 和 a 4 的一个等比中项,

所以 a1 ? a4 ? (4 2) ? 32 .由题意可得 ?
2

?a2 ? a3 ? 32, 因为 q ? 1 ,所以 a3 ? a2 .解得 ?a2 ? a3 ? 12.

?a2 ? 4, ? ?a3 ? 8.
所以 q ?

a3 ? 2 .故数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n . a2

(Ⅱ)由于 bn ? log2 an ( n ? N* ) ,所以 anbn ? n ? 2n .

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n .
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 .
①-②得 ?Sn ? 1? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n ? 2n?1 ? 所以 Sn ? 2 ? 2n?1 ? n ? 2n?1

① ②

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 . 1? 2


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