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清北学堂2014年五一数学联赛加试模拟押题试题答案


清北学堂 2014 年五一数学联赛加试模拟押题试题答案
一. P 为 ?ABC 中 ? A 的角平分线上的一个动点, A, P 在 BC 的异侧, AC ? AB , 设 过点 A, C , P 的圆与 AB 的延长线交于点 D ,过点 A, B, P 的圆与 AC 的延长线交于点 E ,

DE, BC 的中点分别为 M , N ,求证:

>
?1? DE 的中垂线经过一个定点;
? 2 ? 直线 MN 平分 ?ADE 的周长。
证明:

?1?
B P ?

因 为 ?D B P ? ? C , E? P

, 且 E C P B? D? P

E P ?DBP ≌ ?CEP , , 所以 于是有 BD ? CE 。 设 BC

的中垂线与 ?ABC 的外接圆交于点 K , 其中 K , A 在 BC 的同 侧,则 ?ABK ? ?ACK ,从而有 ?DBK ? ?ECK 。又因为 BK ? CK ,所以 ?BDK ≌ ?CEK ,于是有 DK ? EK ,即 DE 的中垂线过定点 K 。

? 2 ? 设 NM 与 AC 交于点 F ,与 BA 的延长线交于点 L ,
DM EF AL LD EF ? ? ? 1 ,于是有 ? ①; ME FA LD AL FA BN CF AL LB CF ? ? ? 1 ,于是有 ? 对于直线 NFL 和 ?ABC ,由梅涅劳斯定理有 ②。 NC FA LB AL FA BD CE ? ① ? ②可得 ,由于 BD ? CE ,则有 AL ? FA ,于是由②可得 LB ? CF , AL FA ? B? A A? F C E? B A ? AL ? C? E L? B C ?E C ? F, 即 EF 因 此 有 A D? A F? B D MN 平分 ?ADE 的周长。
对于直线 MFL 和 ?ADE ,由梅涅劳斯定理有

? x ? y ? z ? 3 xy , ? 2 2 2 二.求方程组 ? x ? y ? z ? 3 xz , 的实数解 ? x, y, z ? 的个数,其中 x, y , z 互不相等。 ? x 3 ? y 3 ? z 3 ? 3 yz ?
2 2 2 解: 若 y ? 0, 则 x ? z ? 0, x ? z ? 3xz 。 由 x ? ? ? x ? ? 3x ? ?x ? 可知 x ? 0 , 从而 z ? 0 , 2

不合题意,舍掉。

? a ? 1 ? b ? 3ay , ? x z ? ? a, ? b , 则 ? a 2 ? 1 ? b 2 ? 3ab, , 消 去 y 可 得 若 y?0 , 设 y y ? 3 3 ? ? y ? a ? 1 ? b ? ? 3b

3 3 ? ?? a ? 1 ? b ? ? a ? 1 ? b ? ? 9ab, 。 ? 2 2 a ? 1 ? b ? 3 ab ? ?

2 ? ? ? 9 v, 。 将 v ? 1 ? u 2 代 入 , 可 得 ??1 ? u ? 1 ? u ? u ? 3 v 设 a ? b ? u, ab ? v , 则 ? 5 1 ? u 2 ? 2v ? 3v ? ?

?

?

? ? 2 1 ? u2 1 ? u 1 ? u u ? 3 ? ? ?? ? 5 ? ?

?? 1 ? u2 , 整 理 后 可 得 u 4 ? u 3 ? 6u 2 ? u ? 2 ? 0 , 即 ? 9 ? ?? 5 ??

? u ? 2 ? ? u 3 ? 3u 2 ? 1? ? 0 。
若 u ? 2 ,则 v ? 1 , a ? b ? 1 ,于是 x ? y ? z ? 1,不合题意,舍掉。
3 2 若 u ? 3u ? 1 ? 0 ,设 f ? t ? ? t ? 3t ? 1,则 f ? ?t ? ? 3t ? 6t ? 3t ?t ? 2? 。

3

2

2

令 f ? ?t ? ? 0 ,则 t1 ? ?2, t2 ? 0 。当 t ? ? ??, ?2? 时, f ? t ? 严格递增;当 t ?? ?2,0? 时,

f ? t ? 严格递减;当 t ??0, ??? 时, f ? t ? 严格递增,于是 f ? t ? 在 t1 ? ?2 时取极大值

f ? ?2? ? 5 ? 0 , f ? t ? 在 t2 ? 0 时 取 极 小 值 f ? 0? ? 1 ? 0 。 因 为 当 t ??? 时 , f ?t ? ? ?? ,所以 u3 ? 3u 2 ? 1 ? 0 有唯一的实数解 u0 ? ? ??, ?2? ,于是可得 v0 ?
由于 a ? b ? u0 , ab ?

1 ? u0 2 。 5

1 ? u0 2 1 ? u0 2 2 ? 0 的两个 ,则 a , b 是关于 s 的二次方程 s ? u0 s ? 5 5
2

根。因为判别式 ? ? ? ?u0 ? ? 4 ?

1 ? u0 2 u0 2 ? 4 ? ? 0 ,所以这个二次方程有两个不等的实 5 5

根 s1 , s2 ,且 ?s1, s2 ? ? ?a, b? 。由于 x ? ay, z ? by,则 x ? z 。若 a , b 中有一个为 1 ,则

1 ? u0 ?

1 ? u0 2 ? 0, 于是 ? u0 ? 2?? u0 ? 3? ? 0 , 即 u0 ? 2 或 u0 ? 3 , 与 u0 ? ? ??, ?2? 矛盾, 5

因此 a , b 均不等于 1 ,于是 x ? y, z ? y 。 若 a ? s1 , b ? s2 , 则 y1 ?

s ? 1 ? s1 s1 ? 1 ? s2 ; 若 a ? s2 , b ? s1 , 则 y2 ? 2 。 因为 s1 ? s2 , 3s2 3s1

所以 y1 ? y2 ,再由 x ? ay, z ? by ,可得 ? x, y, z ? ? ? s1 y1, y1, s2 y1 ? , ? s2 y2 , y2 , s1 y2 ? 。 综上可知,原方程组的实数解 ? x, y, z ? 的个数为 2 。

三. 设 k 为正整数,2 k 位数 m ? a1a2

ak ak ?1ak ?2

a2k ,n ? ak ?1ak ?2

a2k a1a2

ak , 且

满足 m ? n , ?1? 是否存在 2014 位数 m ,使得 n 是 m 的倍数? ? 2 ? 若 m 的位数大于 2014 , 求 k 的最小值,使得 n 是 m 的倍数。

解:
设 x ? a1a2

ak , y ? ak ?1ak ?2

a2k ,则 m ? x10k ? y, n ? y10k ? x ,且 x ? y 。若存 , ?9, 于 是 有

在 正 整 数 m, n , 使 得 n 是 m 的 倍 数 , 设 n ? l m , 其 中 l ??2 , 3,

y1 0k ? x ? l ? x 1 k 0 ? y ? ,并将其改写为 ? y ? x ? ?10k ? 1? ? ? l ? 1? ? x10k ? y ? 。
k k k k k 若 10 ? 1, l ? 1 ? 1 ,则 10 ? 1 x10 ? y 。因为 x10 ? y ? x 10 ? 1 ? y ? x ,所以

?

?

?

?

10 k ? 1 y ? x 。由于 0 ? y ? x ? 10k ? 1,则有 x ? y ,矛盾。
考虑到 l ? 1??3, 4,

,10? , 10k ? 1 不能被 2, 3, 5 整除,则一定有 ?10k ? 1, l ? 1? ? 7 ,

k k 于是 l ? 1 ? 7 , l ? 6 。设 10 ? 1 ? 7t ,其中 t 为正整数,则 ? y ? x ? t ? x10 ? y 。

?1? 若存在 2014 位数 m ,则 k ? 1007 。因为103 ? ?1? mod7? ,1007 ? 3 ? 335 ? 2 ,
所以 10
1007

? ?103 ?

335

? 102 ? ?2 ? mod 7 ? ,与 101007 ? ?1? mod7? 矛盾,因此不存在满足

条件的 2014 位数 m 。

? 2?

若 2k ? 2014 , 则 k ? 1008 。 对 于 k ? 1008,1009,1010 , 由 于
336

101008 ? ?103 ?

? 1? mod 7 ? ? 102 ? 2 ? mod 7 ?

, 均 与

101009 ? ?103 ?

336

? 10 ? 3 ? mod 7 ?

, 所 以

101010 ? ?103 ?

336

1 k0 ??

?

1

? m 矛o

盾 d

, 7

k ?1 0 0 8 , 。 1 0 0 9 , 1 0 1 0
1011 ? 103 若 k ? 1011 , 则 10
1011

? ?

337

1011 ? ?1? mod 7 ? , 于是存在正整数 t , 使得 10 ? 1 ? 7t 。

将 10

1011 ? 7t ? 1 代入 ? y ? x ? t ? x101011 ? y , 有 ?t ?1?? y ? x ? ? 5tx 。 由 10 ? 6 ? 7 ?t ?1?
1011

可知, ?t ?1,5? ? 1 。考虑到 ? t ? 1, t ? ? 1 ,则 5t y ? x 。因为 0 ? y ? x ? 10

? 1 ? 7t ,所

101011 ? 1 以 y ? x ? 5t ,于是 x ? t ? 1, y ? 6t ? 1 ,其中 t ? ,从而可得 7 m ? x10
1011

? y ? ? t ? 1?10

1011

6 ?102022 ? 1? 102022 ? 1 ? 6t ? 1 ? ,n ? 。 7 7

综上可知,满足条件的正整数 k 的最小值为 1011 。 四.若平面上有 n 个点,任意三点不共线,任意两点之间连一条线段,并将每条线段染为红 色与蓝色之一,称三边颜色相同的三角形为同色三角形,记同色三角形的个数为 S 。

?1? 若 n ? 6 ,对于所有可能的染法,求 S 的最小值;
? 2 ? 若 n ? 2k ,其中正整数 k ? 4 ,对于所有可能的染法,求 S 的最小值。
解:
我们对于 n ? 2k ? k ? 3? 统一证明 S 的最小值为

k ? k ? 1?? k ? 2 ? 。 3

3 3 因为共有 C2 k 个三角形,所以非同色三角形有 C2 k ? S 个。称两条邻边(有一个公共点)

同色的角为同色角,下面计算同色角的个数。
3 3 一方面,同色角的个数为 3S ? C2 k ? S ? 2 S ? C2 k ;另一方面,对于每个点 A ,由 A

?

?

引出的 2k ? 1 条边中,若一种颜色的边有 i 条,则另一种颜色的边有 2k ? 1 ? i 条,其中

i ? 0,1,

, k ?1









A











色 角









2 2 2 2 Ci2 ? C2 k ?1?i ? i ? ? 2k ?1? i ? 2k ? 3k ? 1 ,其中当 i ? 0,1 时, Ci ? 0 。

设 f ? x ? ? x ? ? 2k ?1? x ? 2k ? 3k ? 1 ,其中 x ? 0 ,则当 x ? ? 0,
2 2

? ?

2k ? 1 ? ? 时, f ? x ? 2 ?

严格单调下降,因此对于 i ? 0,1,
2

, k ? 1 ,当 i ? k ? 1 时, i 2 ? ? 2k ?1? i ? 2k 2 ? 3k ?1 取
2

得最小值 f ? k ? 1? ? ? k ? 1? ,因此以 A 为顶点的同色角的个数至少有 ? k ? 1? 个,于是有
3 2 S ? C2 k ? 2k ? ? k ? 1? ,从而可得 S ? 2

k ? k ? 1?? k ? 2 ? 1 2 3 2k ? ? k ? 1? ? C2 。下面的 k ? 2 3

?

?

例子说明 S 的最小值为

k ? k ? 1?? k ? 2 ? 。 3

设这 2 k 个点分别为 A 1, A 2, 红色;将 B1 , B2 ,

, Ak , B1, B2 ,

, Bk ,将 A1 , A2 ,

, Ak 两两之间的连线染为

, Bk 两两之间的连线染为红色;对于所有 i, j ??1, 2,

, k? ,将 Ai , Bj 之

间的连线染为蓝色,则不存在蓝色三角形,且以 A1 , A2 , 均为红色三角形,以 B1 , B2 , 三角形共有 2Ck ?
3

, Ak 中任意三个点为顶点的三角形

, Bk 中任意三个点为顶点的三角形均为红色三角形,因此同色

k ? k ? 1?? k ? 2 ? 个。 3


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