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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件(浙江专版):导数的简单应用选择、填空题型


第五讲

导数的简单应用?选择、填空题型?

考点 导数的几何 意义 导数与函数 的单调性 导数与函数 的极值 导数与函数 的最值

考情 1.高考对导数的考查多以解答题的形式出现. 2.在选择题或填空题中,以导数的几何意义为考查重 点,如2013年广东T10等. 3.利用导数研究函数的单调性、求函数的极值问题也 常出

现在解答题中,且难度较小,如2013年新课标全国 卷ⅡT10,湖北T10,重庆T17. 4.以导数的几何意义为背景,设置导数与解析几何 等知识点有关的综合问题是一类新兴问题,也符合高考 要求中关于在不同知识点交汇处命题的基本思路,希望 引起同学们的注意.

1.(2013· 浙江高考)已知函数 y=f(x)的图 像是下列四个图像之一,且其导函数 y =f′(x)的图像如图所示,则该函数的 图像是 ( )

A

B

C

D

解析:由函数 f(x)的导函数 y=f′(x)的图像自左至右是先 增后减,可知函数 y=f(x)图像的切线的斜率自左至右先增 大后减小.

答案:B

2.(2013· 湖北高考)已知 a 为常数, 函数 f(x)=x(ln x-ax)有两个 极值点 x1,x2(x1<x2),则 1 A.f(x1)>0,f(x2)>- 2 1 B.f(x1)<0,f(x2)<- 2 1 C.f(x1)>0,f(x2)<- 2 1 D.f(x1)<0,f(x2)>- 2 ( )

解析:∵f(x)=x(ln x-ax), ∴f′(x)=ln x-2ax+1. 又函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1, x2,∴f′(x)=ln -1有两个交点. ∴a>0,且0<x1<x2. 设经过点(0,-1)的曲线g(x)=ln x的切线与曲线g(x)=ln x相切于 1 点(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=x (x-x0),将点(0,-1)代
0

x-2ax+1有两个零点

x1,x2,即函数g(x)=ln x与函数h(x)=2ax

入,得x0=1,故切点为(1,0).此时,切线的斜率k=1,

∴要使函数g(x)=ln

x与函数h(x)=2ax-1的图像有两个交

1 点,结合图像可知,0<2a<1,即0<a<2且0<x1<1<x2. 由函数的单调性得:

(0,x1)

x1

(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

f′(x)
f(x)


?

0
极小 值


?

0
极大 值


?

1 ∴f(x1)<0,f(x2)>f(1)=-a>-2.
答案:D

3.(2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ ex,则 f′(1)=________.

解析:因为 f(ex)=x+ex,所以 f(x)=x+ln x(x>0),所以 f′(x) 1 =1+x,所以 f′(1)=2.

答案:2

4.(2012· 新课标全国卷)曲线 y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方 程为____________.
解析:y′=3ln x+4,所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为 4, 所以切线方程为 y-1=4(x-1),即 y=4x-3.
答案:y=4x-3

5.(2012· 浙江高考)定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为 曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x2+a 到直线 l:y=x 的 距离等于曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的距离,则实数 a =____________. 0-?-4? 2 2 解析: 因曲线 C2: +(y+4) =2 到直线 l: x y=x 的距离为 - 2 2 =2 2- 2= 2,则曲线 C1 与直线 l 不能相交,即 x2+a>x,∴x2+a -x>0. 设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), ? 1?2 1 ?x0- ? +a- |x0-y0| -x0+x2+a ? 2? 4 0 则点(x0,y0)到直线 l 的距离 d= = = 2 2 2 4a-1 9 答案:y=4x-3 ≥ = 2,所以 a= . 4 4 2

1.四个易误导数公式 (1)(sin x)′=cos x;
x x

(2)(cos x)′=-sin x;

1 (3)(a )′=a ln a(a>0); (4)(logax)′=xln a(a>0,且a≠1). 2.四个重要概念 (1)切线的斜率 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的 斜率,因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线 方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).

(2)函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0(f′(x)<0),那么 函数 y=f(x)在这个区间内单调递增(单调递减). (3)函数的极值 设函数 f(x)在点 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近所有的点 x, 都 有 f(x)<f(x0),那么 f(x0)是函数的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0); 如果对 x0 附近的所有的点都有 f(x)>f(x0),那么 f(x0)是函数的一个 极小值,记作 y 极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值. (4)函数的最值 将函数 y=f(x)在(a, b)内的各极值与端点处的函数值 f(a), f(b) 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

导数的几何意义
[例1] 线方程是 A.x-y+1=0 C.x-y-1=0 B.2x-y+1=0 D.x-2y+2=0 (1)(2013· 东城检测)曲线y=xex+1在点(0,1)处的切 ( )

(2)直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则a -b的值为 A.-4 B.-1 C.3 ( D.-2 )

[自主解答]

(1)y′=ex+xex,y′|x=0=1,∴曲线y=xex

+1在点(0,1)处的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0. (2)由题易知,直线y=kx+1和曲线y=x3+ax+b均过点 A(1,3),则k=2,a+b=2;又y′=3x2+a,则k=y′|x=1=3+ a=2,所以a=-1,b=3.

[答案]

(1)A

(2)A

——————————规律· 总结———————————— 求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型
(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程 求出切线的斜率f′(x0),由点斜式写出方程; (2)已知切线的斜率k,求切线方程 设切点P(x0,y0),通过方程k=f′(x0)解得x0,再由点斜式 写出方程; (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程 设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f′(x0),再由斜 率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点 式写出方程. ————————————————————————

1.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相 a 垂直,则b的值为 1 A.3 2 B.3 2 C.-3 ( 1 D.-3 )

解析: 设曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的切线斜率为 k, k=y′|x 则
=1

=3.因为直线 ax-by-2=0 与曲线 y=x3 在点 P(1,1)处的

a 1 切线互相垂直,所以b=-3.

答案:D

2.已知函数y=f(x)的图像如图所示,则其导函数y=f′(x)的 图像可能是 ( )

A

B

C

D

解析:函数f(x)的图像自左向右看,在y轴左侧,依次是增、 减、增;在(0,+∞)上是减.因此,f′(x)的值在y轴左侧,依 次是正、负、正,在(0,+∞)上的取值恒非正.结合各选项 知,只有A项符合题意.

答案:A

利用导数研究函数的单调性
[例2]
? 1 ?1 (1)(2013· 全国高考)若函数f(x)=x +ax+ x 在 ?2,+∞? 上 ? ?
2

是增函数,则a的取值范围是 A.[-1,0] C.[0,3] (2)设函数f(x)=x(e -1)- ________.
x

( B.[-1,+∞) D.[3,+∞) 1 2

)

x2,则函数f(x)的单调增区间为

[自主解答]

?1 ? 1 (1)f′(x)=2x+a- x2 ,因为函数在 ?2,+∞? 是 ? ? ?1 ? ? ,+∞? ?2 ?

增函数,所以f′(x)≥0在

1 上恒成立,即a≥ x2 -2x在

?1 ? 1 2 ? ,+∞?上恒成立.设g(x)= 2-2x,g′(x)=- 3-2,令g′(x) x x ?2 ? ?1 ? 2 =- x3 -2=0,得x=-1,当x∈ ?2,+∞? 时,g′(x)<0,故 ? ? ?1? g(x)max=g?2?=4-1=3,所以a≥3. ? ?

1 2 (2)因为f(x)=x(e -1)-2x ,
x

所以f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1). 令f′(x)>0,即(ex-1)(x+1)>0, 解得x∈(-∞,-1)或x∈(0,+∞). 所以函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1]和[0,+∞).

[答案]

(1)D

(2)(-∞,-1]和[0,+∞)

x 若将本例(2)中的函数f(x)更换为“f(x)=ln x”,如何求解?
ln x-1 x 解: f(x)= , f′(x)= 则 , f′(x)>0, ln x>1, 令 则 ln x ln2x 即 x>e. 又∵函数 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞), ∴函数 f(x)的单调递增区间为[e,+∞).

——————————规律· 总结————————————

利用导数研究函数单调性的步骤 第一步:确定函数 f(x)的定义域; 第二步:求 f′(x); 第三步:解方程 f′(x)=0 在定义域内的所有实数根; 第四步:将函数 f(x)的间断点(即 f(x)无定义的点)的横坐标和 各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间; 第五步:确定 f′(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区 间的单调性.
————————————————————————

3.定义在

? π? ?0, ? 2? ?

上的函数f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有 (
?π? B.f(1)<2f?6?sin ? ?

f(x)<f′(x)· x成立,则 tan A. C.
?π? 3f?4?> ? ? ?π? 2f?3? ? ?

)

1

?π? ?π? 2f?6?>f?4? ? ? ? ?

D.

?π? ?π? 3f?6?<f?3? ? ? ? ?

解 析 : 由 f(x)<f′(x)tan x 得 cos xf(x) - f′(x)· x<0 , 则 sin cos xf?x?-f′?x?sin x π? f?x? ? <0,即sin x在?0,2?上为单调递增函数,比 sin2x ? ? π π π 较其在 x=6,4,3和 1 时的大小,可知 A、B、C 错,D 正确.

答案:D

4.若函数f(x)=2x2-ln

x在其定义域内的一个子区间(k-1,k

+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________. 1 解析:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-x.
1 ? ?k-1< <k+1, 1 2 由f′(x)=0,得x=2.据题意得? ?k-1≥0, ? 3 解得1≤k<2.
? 3? 答案:?1,2? ? ?

利用导数研究函数的极值与最值
[例3] (1)(2013· 浙江高考)已知e为自然对数的底数,设函数 ( )

f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则 A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值 B.当k=1时,f(x)在x=1 处取到极大值 C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值 D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值

(2)(2013· 安徽高考)已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 有两个极值 点 x1,x2.若 f(x1)=x1<x2,则关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同实根个数为 A.3 B.4 C.5 D.6 ( )

[自主解答]

(1)当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),则f′(x)=

ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是 极值. 当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex- 1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1)· x(x+1)-2], [e

所以f′(1)=0,当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧, f′(x)<0,所以f(1)是极小值. (2)因为函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2,可 知关于导函数的方程f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不等的实 根x1,x2.则方程3(f(x))2+2af(x)+b=0有两个不等的实根,即 f(x)=x1或f(x)=x2,原方程根的个数就是这两个方程f(x)=x1和 f(x)=x2的不等实根的个数之和,再结合图像可看出函数y=f(x) 的图像与直线y=x1和直线y=x2共有3个不同的交点,故所求方 程有3个不同的实根.

当 x1 是极小值点时,f(x1)=x1,x2 为极大值点,且 x2<x1, 如图 2 可知方程 f(x)=x1 有 2 个实根,f(x)=x2 有 1 个实根,故 方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根. 综上, 可知方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 共有 3 个不同实根.

[答案]

(1)C

(2)A

——————————规律· 总结————————————
理解可导函数的极值应注意三点 (1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定,有 可能极大值小于极小值,也有可能极小值大于极大值; (2)对于可导函数f(x),“f(x)在x=x0处的导数f′(x)=0”是 “f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件; (3)注意导函数的图像与原函数图像的关系,导函数由正变负 的零点是原函数的极大值点,导函数由负变正的零点是原函数的 极小值点.

————————————————————————

5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数 f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)图像的是 ( )

解析:若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则易得 a=c.因 选项 A、B 的函数为 f(x)=a(x+1)2,则[f(x)ex]′=f′(x)ex+ f(x)(ex)′=a(x+1)(x+3)ex,∴x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极 b 值点满足条件;选项 C 中,对称轴 x=- >0,且开口向下, 2a ∴a<0,b>0,∴f(-1)=2a-b<0,也满足条件;选项 D 中, b 对称轴 x=- <-1,且开口向上,∴a>0,b>2a,∴f(-1)= 2a 2a-b<0,与图像矛盾.

答案:D

6.已知函数f(x)的导数f′(x)=a(x+1)(x-a),若f(x)在x=a处 取得极大值,则a的取值范围是________. 解析:若a=0,则f′(x)=0,函数f(x)不存在极值;若a=-
1,则f′(x)=-(x+1)2≤0,函数f(x)不存在极值;若a>0,当x ∈(-1,a)时,f′(x)<0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以 函数f(x)在x=a处取得极小值;若-1<a<0,当x∈(-1,a) 时,f′(x)>0,当x∈(a,+∞)时,f′(x)<0,所以函数f(x)在x =a处取得极大值;若a<-1,当x∈(-∞,a)时,f′(x)<0, 当x∈(a,-1)时,f′(x)>0,所以函数f(x)在x=a处取得极小 值.所以a∈(-1,0). 答案:(-1,0)

课题 5 [典例]

利用导数研究函数的单调性

(2013· 重庆高考改编)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x,

其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相交于 点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间.

[考题揭秘]

本题主要考查导数的几何意义以及函数单调区

间的求法,意在考查考生的运算能力以及逻辑思维能力. [审题过程] 第一步:审条件.已知函数f(x)的解析式以及

曲线f(x)在(1,f(1))处的切线与y轴的交点坐标. 第二步:审结论.由条件求a的值以及f(x)的单调区间. 第三步:建联系.(1)借助导数求出切线方程,代入已知点 即可求得字母取值;(2)首先确定函数的定义域,然后求导研究 函数的单调性.

[规范解答] 6 +x.

(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,故f′(x)=2a(x-5)

令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在 点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在 1 切线上可得6-16a=8a-6,故a=2. 1 (2)由(1)知,f(x)=2(x-5)2+6ln x(x>0),??????①

6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+x= .??????????② x 令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3. 当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为 增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数.?③ 故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)和(3,+∞);单调递减区 间为(2,3).????????????????????④

[模型归纳] 利用导数求解函数的单调区间的模型示意图如下:

[变式训练]

1.若函数f(x)的导函数为f′(x)=x2-4x+3,则函数f(x+1)的 单调递减区间是 A.(2,4) C.(1,3) B.(-3,-1) D.(0,2) ( )

解析:由f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3)知,当x∈(1,3)时, f′(x)<0,函数f(x)在(1,3)上为减函数.函数y=f(x+1)的图像是 由函数y=f(x)的图像向左平移1个单位长度得到的,所以(0,2)为 函数y=f(x+1)的单调递减区间.

答案:D

2. 已知 f(x)是定义在(0, +∞)上的非负可导函数, 且满足 xf′(x) +f(x)≤0.对任意的 0<a<b,则必有 A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤f(b)
解析:因为

(

)

B.bf(a)≤af(b) D.bf(b)≤f(a)

?f?x?? xf′?x?-f?x? ? ? xf′(x)≤-f(x),f(x)≥0,所以? ?′= x2 ? x ?

-2f?x? f?x? ≤ ≤0,则函数 x 在(0,+∞)上单调递减.由于 0<a<b, x2 f?a? f?b? 则 a ≥ b ,即 af(b)≤bf(a).

答案:A

预测演练提能


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