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高一数学解三角形练习题


必修五 第一章 解三角形
一、选择题 1.已知 A,B 两地的距离为 10 km,B,C 两地的距离为 20 km,现测得∠ABC=120° , 则 A,C 两地的距离为( A.10 km 到引用源。km ). B.10 错误!未找到引用源。km D.10 错误!未找到引用源。km C.10 错误!未找

2.在△ABC 中,若错误!未找到引用源。=

错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.直角三角形 ). B.等边三角形 D.等腰直角三角形

3.三角形三边长为 a,b,c,且满足关系式(a+b+c)(a+b-c)=3ab,则 c 边的对角 等于( ). B.45° C.60° D.120°

A.15°

4.在△ABC 中,三个内角∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c,且 a∶b∶c=1∶ 错误!未找到引用源。∶2,则 sin A∶sin B∶sin C=( A.错误!未找到引用源。∶2∶1 C.1∶2∶错误!未找到引用源。 ).

B.2∶错误!未找到引用源。∶1 D.1∶错误!未找到引用源。∶2

5.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 的三个内角的正弦值,则 ( ). A.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是锐角三角形 B.△A1B1C1 和△A2B2C2 都是钝角三角形 C.△A1B1C1 是钝角三角形,△A2B2C2 是锐角三角形 D.△A1B1C1 是锐角三角形,△A2B2C2 是钝角三角形 6.在△ABC 中,a=2 错误!未找到引用源。,b=2 错误!未找到引用源。,∠B=45° , 则∠A 为( ). B.60° C.60° 120° 或 D.30°

A.30° 150° 或

7.在△ABC 中,关于 x 的方程(1+x2)sin A+2xsin B+(1-x2)sin C=0 有两个不等的实根, 则 A 为( A.锐角 ). B.直角 C.钝角 D.不存在 ).

8. 在△ABC 中, AB=3, BC=错误! 未找到引用源。 AC=4, , 则边 AC 上的高为( A.错误!未找到引用源。 误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 D.3 错误!未找到引用源。

C . 错

9.在△ABC 中,错误!未找到引用源。=c2,sin A·sin B=错误!未找到引用源。, 则△ABC 一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 ). B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形

10.根据下列条件解三角形:①∠B=30° ,a=14,b=7;②∠B=60° ,a=10,b=9.那 么,下面判断正确的是( ). B.①有两解,②也有两解. D.①只有一解,②有两解.

A.①只有一解,②也只有一解. C.①有两解,②只有一解. 二、填空题

11.在△ABC 中,a,b 分别是∠A 和∠B 所对的边,若 a=错误!未找到引用源。,b =1,∠B=30° ,则∠A 的值是 .

12. 在△ABC 中, 已知 sin Bsin C=cos2 错误! 未找到引用源。 则此三角形是__________ , 三角形. 13.已知 a,b,c 是△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,S 是△ABC 的面积.若 a=4, b=5,S=5 错误!未找到引用源。,求 c 的长度 .

14.△ABC 中,a+b=10,而 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根,求△ABC 周长的 最小值 .

15.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,且满足 sin A∶sin B∶sin C =2∶5∶6. 若△ABC 的面积为错误! 未找到引用源。则△ABC 的周长为________________. , 16.在△ABC 中,∠A 最大,∠C 最小,且∠A=2∠C,a+c=2b,求此三角形三边之 比为 .

三、解答题 17.在△ABC 中,已知∠A=30° ,a,b 分别为∠A,∠B 的对边,且 a=4=错误!未 找到引用源。b,解此三角形.

18.如图所示,在斜度一定的山坡上的一点 A 测得山顶上一建筑物顶端 C 对于山坡的 斜度为 15° ,向山顶前进 100 米后到达点 B,又从点 B 测得斜度为 45° ,建筑物的高 CD 为 50 米.求此山对于地平面的倾斜角?.

19.在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c,若 bcos C=(2a-c)cos B, (Ⅰ )求∠B 的大小; (Ⅱ )若 b=错误!未找到引用源。 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

20.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,求证:错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。.

参考答案
一、选择题 1.D 解析:AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC =102+202-2×10×20cos 120° =700. AC=10 错误!未找到引用源。 . 2.B 解析:由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。及 正弦定理,得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 由 2 倍角的正弦公式得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引 用源。 ,∠A=∠B=∠C. 3.C 解析:由(a+b+c)(a+b-c)=3ab, 得 a2+b2-c2=ab.

∴ cos C=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 故 C=60° . 4.D 解析:由正弦定理可得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶错误!未找到引用源。∶2. 5.D 解析:△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则△A1B1C1 是锐角三角形. 若△A2B2C2 不是钝角三角形,由错误!未找到引用源。,得错误!未找到引用源。, 那么,A2+B2+C2=错误!未找到引用源。-(A1+B1+C1)=错误!未找到引用源。,与 A2+B2+C2=π 矛盾. 所以△A2B2C2 是钝角三角形. 6.C 解析:由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得 sin A=错误!未找到引 用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 而 b<a,

∴ 有两解,即∠A=60° 或∠A=120° . 7.A 解析:由方程可得(sin A-sin C)x2+2xsin B+sin A+sin C=0. ∵ 方程有两个不等的实根, ∴ 4sin2 B-4(sin2 A-sin2 C)>0. 由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 代入不等式中得 b2-a2+c2>0, 再由余弦定理,有 2ac cos A=b2+c2-a2>0. ∴ 0<∠A<90° . 8.B 解析: 由余弦定理得 cos A=错误! 未找到引用源。 从而 sin A=错误! , 未找到引用源。 , 则 AC 边上的高 BD=错误!未找到引用源。. 9.A 解析:由错误!未找到引用源。=c2 错误!未找到引用源。a3+b3-c3=(a+b-c)c2 错误!未找到引用源。a3+b3-c2(a+b)=0 错误!未找到引用源。 (a+b)(a2+b2-ab-c2)=0. ∵ a+b>0, ∴ a2+b2-c2-ab=0. 由余弦定理(1)式可化为 a2+b2-(a2+b2-2abcos C)-ab=0, 得 cos C=错误!未找到引用源。,∠C=60° . 由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 得 sin A=错误!未找到引用源。,sin B=错误!未找到引用源。, ∴ sin A·sin B=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 错误!未找到引用源。=1,ab=c2.将 ab=c2 代入(1)式得,a2+b2-2ab=0,即 (a-b)2=0,a=b. △ABC 是等边三角形. (1)

10.D 解析:由正弦定理得 sin A=错误!未找到引用源。,①中 sin A=1,②中 sin A=错误! 未找到引用源。 .分析后可知①有一解,∠A=90° ;②有两解,∠A 可为锐角或钝角. 二、填空题 11.60° 120° 或 . 解析:由正弦定理错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。计算可得 sin A=错 误!未找到引用源。 ,∠A=60° 120° 或 . 12.等腰. 解析:由已知得 2sin Bsin C=1+cos A=1-cos(B+C), 即 2sin Bsin C=1-(cos Bcos C-sin Bsin C), ∴ cos(B-C)=1,得∠B=∠C, ∴ 此三角形是等腰三角形. 13.错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. 解:∵ S=错误!未找到引用源。absin C,∴ sin C=错误!未找到引用源。,于是∠C =60° 或∠C=120° . 又 c2=a2+b2-2abcos C, 当∠C=60° 时,c2=a2+b2-ab,c=错误!未找到引用源。; 当∠C=120° 时,c2=a2+b2+ab,c=错误!未找到引用源。. ∴ c 的长度为错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。. 14.10+5 错误!未找到引用源。. 解析:由余弦定理可得 c2=a2+b2-2abcos C,然后运用函数思想加以处理. ∵ 2x2-3x-2=0, ∴x1=2,x2=-错误!未找到引用源。. 又 cos C 是方程 2x2-3x-2=0 的一个根, ∴ cos C=-错误!未找到引用源。. 由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab·(-错误!未找到引用源。)=(a+b)2-ab, 则 c2=100-a(10-a)=(a-5)2+75, 当 a=5 时,c 最小,且 c=错误!未找到引用源。=5 错误!未找到引用源。, 此时 a+b+c=5+5+5 错误!未找到引用源。=10+5 错误!未找到引用源。, ∴ △ABC 周长的最小值为 10+5 错误!未找到引用源。.

15.13. 解析:由正弦定理及 sin A∶sin B∶sin C=2∶5∶6,可得 a∶b∶c=2∶5∶6,于是可 设 a=2k,b=5k,c=6k(k>0),由余弦定理可得 cos B=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ sin B=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由面积公式 S△ABC=错误!未找到引用源。ac sin B,得 错误!未找到引用源。·(2k)·(6k)·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ k=1,△ABC 的周长为 2k+5k+6k=13k=13. 本题也可由三角形面积(海伦公式)得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 即错误!未找到引用源。k2=错误!未找到引用源。,∴ k=1. ∴ a+b+c=13k=13. 16.6∶5∶4. 解析:本例主要考查正、余弦定理的综合应用. 由正弦定理得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =2cos C,即 cos C=错误!未找到引用源。, 由余弦定理 cos C=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. ∵ a+c=2b, ∴ cos C=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 整理得 2a2-5ac+3c2=0. 解得 a=c 或 a=错误!未找到引用源。c. ∵∠A=2∠C,∴ a=c 不成立,a=错误!未找到引用源。c ∴ b=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ a∶b∶c=错误!未找到引用源。c∶错误!未找到引用源。∶c=6∶5∶4. 故此三角形三边之比为 6∶5∶4. 三、解答题 17.b=4 错误!未找到引用源。,c=8,∠C=90° ,∠B=60° b=4 错误!未找到引 或 用源。,c=4,∠C=30° ,∠B=120° . 解:由正弦定理知错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用 源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。sin B=错误!

未找到引用源。,b=4 错误!未找到引用源。. ∠B=60° 或∠B=120° 错误! 未找到引用源。 ∠C=90° 或∠C=30° 错误! 未找到引用源。 c=8 或 c=4. 18.分析:设山对于地平面的倾斜角∠EAD=?,这样可在△ABC 中利用正弦定理求出 BC;再在△BCD 中,利用正弦定理得到关于??的三角函数等式,进而解出??角. 解:在△ABC 中,∠BAC=15° ,AB=100 米, ∠ACB=45° -15° =30° . 根据正弦定理有错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, ∴ BC=错误!未找到引用源。.
(第 18 题)

又在△BCD 中,∵ CD=50,BC=错误!未找到引用源。,∠CBD=45° ,∠CDB=90° +??, 根据正弦定理有错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 解得 cos???=错误!未找到引用源。-1,∴ ??≈42.94° . ∴ 山对于地平面的倾斜角约为 42.94° . 19.解:(Ⅰ )由已知及正弦定理可得 sin Bcos C=2sin Acos B-cos Bsin C, ∴ 2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C). 又在三角形 ABC 中,sin(B+C)=sin A≠0, ∴ 2sin Acos B=sin A,即 cos B=错误!未找到引用源。,B=错误!未找到引用源。. (Ⅱ)∵ b2=7=a2+c2-2accos B,∴ 7=a2+c2-ac, 又 (a+c)2=16=a2+c2+2ac,∴ ac=3,∴ S△ABC=错误!未找到引用源。acsin B, 即 S△ABC=错误!未找到引用源。·3·错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 20.分析:由于所证明的是三角形的边角关系,很自然联想到应用正余弦定理. 解:由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A;b2=a2+c2-2accos B 得 a2-b2=b2-a2-2bccos A+2accos B, ∴ 2(a2-b2)=-2bccos A+2accos B, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 由正弦定理得 a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。.

故命题成立.


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