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高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关理北师大版选修4

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第 1 讲 相似三角形的判定及有关性质 1.如图,AB∥EM∥DC,AE=ED,EF∥BC,EF=12 cm,求 BC 的长. 解: AB∥EM∥DC? ? AE=ED ?? E 为 AD 的中点,M 为 BC 的中点. ? ? 又 EF∥BC? EF=MC=12 cm, 所以 BC=2MC=24 cm. 2.在平行四边形 ABCD 中,点 E 在边 AB 上,且 AE∶EB=1∶2,DE 与 AC 2 交于点 F,若△AEF 的面积为 6 cm ,求△ABC 的面积. 解:在平行四边形 ABCD 中,AB 綊 CD. 因为 AE∶EB=1∶2,所以 AE∶DC=1∶3, 所以△AEF 与△CDF 对应边 AE 与 DC 上的高的比为 1∶3, 所以△AEF 与△ABC,AE 与 AB 边上的高的比为 1∶4. 因为 AE∶AB=1∶3, 所以 S△AEF∶S△ABC=1∶12, 2 所以 S△ABC=6×12=72(cm ). 3. 如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BC 延长线上一点,过 A 作 AH∥BE.连接 ED 并延长,交 AB 于 F,交 AH 于 H.若 AB=4AF,EH=8,求 DF 的长. HF AF 解:因为 AH∥BE,所以 = . HE AB HF 1 因为 AB=4AF,所以 = . HE 4 因为 HE=8,所以 HF=2. HD AD 因为 AH∥BE,所以 = . DE DC HD 因为 D 是 AC 的中点,所以 =1. DE 因为 HE=HD+DE=8,所以 HD=4. 所以 DF=HD-HF=4-2=2. 4. 如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E.求证:AE·BF =2DE·AF. 证明:取 AC 的中点 M,连接 DM 交 CF 于点 N. 1 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF,所以 DN= BF. 2 因为 DN∥AF, 所以△AFE∽△DNE, AE DE 所以 = . AF DN 1 AE 2DE 又因为 DN= BF,所以 = , 2 AF BF 即 AE·BF=2DE·AF. 5. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是中线,P 为 AD 上一点,CF∥AB,BP 的延长线交 AC、CF 于 E、 2 F 两点,求证:PB =PE·PF. 证明:如图,连接 PC. 易证 PC=PB,∠ABP=∠ACP. 因为 CF∥AB, 所以∠F=∠ABP. 从而∠F=∠ACP. 又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角,从而△CPE∽△FPC,所以 所以 PC =PE·PF.又 PC=PB, 2 所以 PB =PE·PF. 6. 2 CP PE = . FP PC 已知在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,且 AD=AC,DE⊥BC,DE 与 AB 相交于点 E,EC 与 AD 相交于 点 F. (1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长. 解:(1)证明:因为 DE⊥BC,D 是 BC 的中点,所以 EB=EC,所以∠B=∠1.又因为 AD=AC,所以 ∠2=∠ACB.所以△ABC∽△FCD. (2)如图,过点 A 作 AM⊥BC,垂足为点 M.因为△ABC∽△FCD,BC=2CD,所以 S△ABC ?BC?2 = =4.又 S△FCD ?CD? 1 1 因为 S△FCD=5,所以 S△ABC=20.因为 S△ABC= BC

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