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2014届高考数学一轮复习检测《平面向量的数量积及平面向量的应用》

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平面向量的数量积及平面向量的应用
【选题明细表】 知识点、方法 数量积的运算 长度及垂直问题 夹角问题 平面向量的应用 题号 1、4、9 1、2、3、5 7、10 6、8、11、12 B )

一、选择题 1.(2012 年高考重庆卷)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|等于( (A) (B) (C)2 (D)

10

解析:∵a⊥b,∴x-2=0, ∴x=2. ∴|a+b|= = = = .故选 B.

2.(2013 乐山市第一次调研)已知两点 A(-1,0),B(1,3),向量 a=(2k-1,2),若 的值为( C ) (A)2 (B)1 解析:由

⊥a,则实数 k

(C)-1

(D)-2 ⊥a,

=(2,3),因为

所以 2(2k-1)+2×3=0, 得 k=-1,故选 C. 3.(2012 年高考辽宁卷)已知两个非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是 ( B ) (A)a∥b ( B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a-b 2 2 解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b| =|a-b| , 2 2 2 2 ∴a +2a·b+b =a -2a·b+b ,∴a·b=0,∴a⊥b, 故选 B.

法二 几何法:如图所示, 在?ABCD 中,设 =a, =b,



=a+b,

=a-b,
1

∵|a+b|=|a-b|, ∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形 AB CD 为矩形, ∴a⊥b,故选 B. 4.(2013 玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量 a 在向量 b 方向上的投影 是 ( A ) (A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2 解析:cos<a,b>= = =- ,

向量 a 在向量 b 方向上的投影为 |a|cos<a,b>=6×(- )=-4, 故选 A. 5.(2012 东北四校联考)已知平面向量 a 和 b,|a|=1,|b|=2, 且 a 与 b 的夹角为 120°,则 |2a+b|等于( A ) (A)2 (B)4 (C)2
2

(D)6
2 2 2 2

解析:由题意可知|2a+b| =4a +b +4a·b=4|a| +|b| +4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2, 故选 A. 6.(2013 成都市高三一诊模拟)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 大值和最小值分别为( (A)4 ,0 (B)4,0 B ) (C)16,0 ( D)4,4 ,1),则|2a-b|的最

解析:|2a-b|=|(2cos θ -

,2sin θ -1)|

=

=

,

所以最大值和最小值分别为 4,0. 故选 B. 二、填空题 7. 单位圆上三点 A,B,C 满足 + + =0,则向量 , 的夹角为 .

解析:∵A,B,C 为单位圆上三点 , ∴| |=| |=| |=1,又 + + =0,

2

∴-

=

+

,



=(

+

)=

2

+

+2

·

,

可得 cos<

,

>=- ,

∴向量

,

的夹角为 120°.

答案:1 20° 8.(2011 年高考天津卷)已知直角梯形 ABCD 中,AD∥BC, ∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则| +3 |的最小值为 .

解析:如图建立平面直角坐标系, 设 C(0,b),则 B(1,b), 又 A(2,0),设 P(0,y), 则 +3 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),

∴|

+3

| =25+(3b-4y) ,

2

2

∴当 3b- 4y=0,即 y= b 时,

|

+3

| 的最小值为 25.

2

∴|

+3

|的最小值为 5.

答案:5 9.(2012 德州一模)已知 a=(m,n),b=(p,q),定义 a?b=mn-pq,下列等式中, ①a?a=0;②a?b=b?a;③(a+b)?a=a?a+b?a;

3

④(a?b) +(a·b) =(m +q )(n +p ), 一定成立的是 .(填上所有正确等式的序号) 解析:由 a?b 的定义可知,①a?a=mn-mn=0,故①正确,②a?b=mn-pq,b?a=pq-mn,故②错误 ,③ a+b=(m+p,n+q), 所 以 (a+b) ? a=(m+p)(n+q)-mn, 而 a ? a+b ? a=pq-mn, 故 ③ 错 误 , ④ (a ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b) =(mn-pq) ,(a·b) =(mp+nq) ,所以(a?b) +(a·b) =(m +q )(n +p ),故④正确. 答案:①④ 三、解答题 10.已知 a、b、c 是同一平面内的三个向量,其中 a=(1,2). (1)若|c|=2 ,且 c∥a,求 c 的坐标;

2

2

2

2

2

2

(2)若|b|= ,且 a+2b 与 2a-b 垂直,求 a 与 b 的夹角θ .

解:(1)设 c=(x,y),由 c∥a 和|c|=2

,可得:

∴ ∴c=(2,4)或 c=(-2,- 4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b), ∴(a+2b)·(2a-b)=0, 2 2 即 2a +3a·b-2b =0, 2 2 ∴2|a| +3a·b-2|b| =0, ∴2×5+3a·b-2× =0,



∴a·b=- ,

∴cos θ =

=-1,

∵θ ∈[0,π ],∴θ =π . 即 a 与 b 的夹角大小为π . 11.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 (1)判断△ABC 的形状; (2)若 k=2,求 b 的值. 解:(1)∵ · =cbcos A, · =bacos C, · = · =k(k∈R).

∴bccos A=abcos C, 根据正弦定理,得 sin Ccos A=sin Acos C,

4

即 sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0, ∴A=C,即 a=c. 则△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知 a=c, 由余弦定理,得 · =bccos A=bc· = .

·

=k=2,

即 =2,解得 b=2.

12.(2012 山 东 省 威 海 市 高 三 第 一 次 模 拟 ) 已 知 向 量 m=(2cos x,

cos x-sin

x),n =

,且满足 f(x)=m·n.

(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A 满足 f(A)=2,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 BC 的最小值. 解:(1)f(x)=2cos x( sin x+ cos x)+ sin x·cos x-sin x=2
2

·

=

,求边

sin x·cos x+cos x-sin

2

2

x=

sin 2x+cos 2x=

2sin

,

由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,

得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z,

故所求单调递增区间为

(k∈Z).

(2)由 f(A)=2sin

=2,0<A<π 得 A= ,

5



·

=

,即 bccos A=

,

∴bc=2, 又△ABC 中, a =b +c -2bccos A=b +c =(2∴ )bc, =(2)×2=4-2 ,
2 2 2 2 2

bc≥2bc-

bc

∴amin=

=

-1.

即边 BC 的最小值为

-1

6


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