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人教A版高中数学必修二模块综合测试


人教 A 版高中数学必修二模块综合测试 (满分 120 分,测试时间 100 分钟) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.给出下列命题:①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等,②棱台的各侧棱不一定 相交于一点, ③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行, 则连结它 们的对

应顶点所围成的多面体是三棱台, ④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连 线都是圆台的母线.其中正确的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:命题①中:底面多边形内接于一个圆,但并不能推测棱长相等;命题②中:由棱台的 性质可知,棱台的各侧棱延长后相交于一点;命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平 行,可推出连结对应顶点后延长线交于一点,即此几何体可由一个平行于底面的平面所截, 故命题③正确;命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能:在圆周 上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段. 答案:C 2.图 1 是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )

图1 解析:从三个角度看都是符合的,故选 D. 答案:D 3.(2006 全国高考卷Ⅰ,理 7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这 个球的表面积是( )

图2 A.16π B.20π C.24π D.32π 解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为 4,边长为 2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的 球心在该长方体的中心,即球的直径为 26,根据球的表面积公式可得球的表面积为 24π. 答案:C 4.(2005 湖北高考,文 5)木星的体积约是地球体积的 240 30 倍, 则它的表面积约是地球表面 积的( A.60 倍 ) B. 60 30 倍 C.120 倍 D. 120 30 倍

1

解析:设木星的半径为 r1,地球的半径为 r2,由题意,得
2 2 3 3

r1 r2

3 3

? 240 30 ,则木星的表面积∶地球

的表面积=

r1 r2

?

r1 r2

?

r2 1 ? 240 30 ? ? 3 240 2 ? 30 2 ? 120 . 3 r1 240 30

答案:C 5. 已 知 水 平 放 置 的 △ABC 是 按 “ 斜 二 测 画 法 ” 得 到 如 图 3 所 示 的 直 观 图 , 其 中 B′O′=C′O′=1,A′O′=

3 ,那么原△ABC 是一个( 2

)

A.等边三角形 C.三边中有两边相等的等腰三角形

图3 B.直角三角形 D.三边互不相等的三角形

解析:根据“斜二测画法”可得 BC=B′C′=2,AO=2A′O′= 3 .故原△ ABC 是一个等边三?角形. 答案:A 6.(2005 福建高考,理 4)已知直线 m、n 与平面 α、β,给出下列三个命题: ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n;②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题. 答案:C 7.点 P(2,5)关于直线 x+y+1=0 的对称点的坐标为( ) A.(6,-3) B.(3,-6) C.(-6,-3) D.(-6,3) 解析:根据两点关于直线对称的特点:两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上, 可得对称点为(-6,-3). 答案:D 8.点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PD⊥平面 ABCD,PD=AD,则 PA 与 BD 所成角的度 数为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:将图形补成一个正方体如图,则 PA 与 BD 所成角等于 BC′与 BD 所成角即∠DBC′.在 等边三角形 DBC′中,∠DBC′=60°,即 PA 与 BD 所成角为 60° .

2

答案:C 9.(2006 天津高考,文 7)若 l 为一条直线,α、β、γ 为三个互不重合的平面,给出下面三个命 题: ①α⊥γ,β⊥γ ? α⊥β;②α⊥γ,β∥γ ? α⊥β;③l∥α,l⊥β ? α⊥β. 其中正确的命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的. 答案:C
2 2 10.已知实数 x、y 满足 2x+y+5=0,那么 x ? y 的最小值为(

) D. 2 10

A. 5

B. 10

C. 2 5

2 2 2 2 解析: x ? y 表示点 P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得 x ? y 的最小值为原点到

直线 2x+y+5=0 的距离,即 d=

5 5

? 5.

答案:A 11.(2004 全国高考,理 8)在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直 线共有( ) A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 解析:与点 A(1,2)的距离为 1 的直线即为以点 A(1,2)为圆心,以 1 为半径的圆的切线.与点 B(3,1)的距离为 2 的直线即为以点 B(3,1)为圆心,以 2 为半径的圆的切线.所以到 A、B 两
2 2 点距离为 1 和 2 的直线即为两圆的公切线,因|AB|= (1 ? 3) ? (2 ? 1) ?

5 ,且

5 ? 2 ? 1 ,所以两圆相交,故有两条公切线.
答案:B 12.(2005 江西高考,9)矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面 角 BACD,则四面体 ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.

125 ? 12

B.

125 ? 9

C.

125 ? 6

D.

125 ? 3

解析:连结矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O,则 AO=BO=CO=DO,翻折后仍然 AO=? BO=CO=DO ,则 O 为四面体 ABCD 四个顶点所在球的圆心,因此四面体 ABCD 四 个顶点所在球的半径为

5 4 5 3 125 ,故球的体积为 ? ( ) ? ?. 2 3 2 6

答案:C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 13.圆台上、下底半径为 2 和 3,则中截面面积为________________. 解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆,圆的直径为轴截面梯形的中位线,设中截面圆的 半径为 x,故有 4x=4+6,解得 x= 答案:

5 25 ,S ? ? . 2 4

25 ? 4
3

14.经过直线 2x+3y-7=0 与 7x+15y+1=0 的交点,且平行于直线 x+2y-3=0 的直线方程是 ____________. 解 析 : 由 已 知 可 设 经 过 直 线 2x+3y-7=0 与 ? 7x+15y+1=0 的 交 点 的 直 线 方 程 为 2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0,整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y-7+λ=0.根据两直线平行关系得 λ=1,代入 得 3x+6y-2=0. 答案:3x+6y-2=0 15.过 A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________. 解析:根据圆的性质,圆的半径最小时,面积最小,即以 AB 为直径端点的圆满足条件,所求方 程为 x2+y2=9. 答案:x2+y2=9 16. 已 知 圆锥 的 侧 面积 是底 面 积 的 2 倍 , 它的 轴截 面 的 面 积为 Q , 则 圆锥 的 体 积为 ___________. 解析:设圆锥的高为 h,半径为 r,母线为 l,则 S 侧=πrl,S 底=πr2,∵S 侧=2S 底,∴πrl=2πr2,即 l=2r. 又 l2=r2+h2,解得 h= 3r . 又∵S 轴截面=rh=Q,∴r2=

Q 3

,即 r=

Q
4

.

3

∴h= 3r ?

3Q
4

.故 V 圆锥=

3

1 2 ?Q Q πr h= . 3 34 3

答案:

?Q Q
34 3

17.已知圆柱的高为 h,底面半径为 R,轴截面为矩形 A1ABB1,在母线 AA1 上有一点 P,且 PA=a,在母线 BB1 上取一点 Q,使 B1Q=b,则圆柱侧面上 P、Q 两点的最短距离为 ____________. 解析:如图甲,沿圆柱的母线 AA1 剪开得矩形 (如图乙) ,过 P 作 PE∥AB 交 BB1 于 E, 则 PE=AB=

1 ·2πR=πR,QE=h-a-b. 2
(?R) 2 ? (h ? a ? b) 2 .

2 2 ∴PQ= PE ? QE ?

2 2 答案: (?R ) ? ( h ? a ? b)

18.过圆 x2+y2=4 外的一点 A(4,0)作圆的割线,则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为 ________________. 解析:设弦的中点是 P(x0,y0),根据圆的几何性质得 OP⊥AP,即点 P(x0,y0)在以 OA 为直径的

4

圆上, 即(x0-2)2+y02=4.因 P(x0,y0)在圆 x2+y2=4 内, 故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4, x∈ [0,1). 答案:(x-2)2+y2=4,x∈[0,1) 三、解答题(本大题共 4 小题,共 48 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分 10 分)已知直线 l 垂直于直线 3x-4y-7=0,直线 l 与两坐标轴围成的三角形 的周长为 10,求直线 l 的方程.

b b ,0),B(0, ? ). 4 3 |b| |b| 5|b| 5 ∴|AB|= b .由|OA|+|OB|+|AB|=10,得 =10.∴b=± 10. ? ? 4 3 12 12
解:设直线 l 方程为 4x+3y+b=0,则 l 与? x轴、y 轴的交点为 A( ? ∴l 方程为 4x+3y+10=0,4x+3y-10=0. 20.(本小题满分 12 分)圆锥底面半径为 1 cm,高为 2 cm,其有一个内接正方体,求这 个内接正方体的棱长. 解:过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆锥的轴截面 SEF,正 方体对角面 CDD1C1,如图,设正方体棱长为 x,

则 CC1=x,C1D1= 2 x.作 SO⊥EF 于 O,则 SO= 2 ,OE=1, ∵△ECC1∽△ESO,∴

CC1 EC1 . ? SO EO



x 2

?

1?

2 x 2 . 1

∴x=

2 (cm). 2 2 cm. 2

∴正方体棱长为

21.(本小题满分 12 分)(2005 江苏高考,19)如图 4,圆 O1 与圆 O2 的半径都是 1,?O1O2=4,过 动点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM、PN(M、N 分别为切点) ,使得 PM=2PN,试建立适 当的坐标系,并求动点 P 的轨迹方程.

5

图4 解:如图,以直线 O1O2 为 x 轴,线段 O1O2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系, 则两圆心分别为 O1(-2,0),O2(2,0).

设 P(x,y),则 PM2=O1P2-O1M2=(x+2)2+y2-1.同理,PN2=(x-2)2+y2-1. ∵PM= 2 PN, ∴(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1] ,即 x2-12x+y2+3=0,即? (x 2+y2=33.这就是动点 P 的轨迹 -6) 方程. 22.(本小题满分 14 分)如图 5,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、M、N 分别为棱 DD1、 AB、BC 的中点.

图5 (1)求二面角 B1MNB 的正切值; (2)求证:PB⊥平面 MNB1. (3)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有 4 个正方形面相连成一个长方形”的条件, 并求出展开图中 P、B 两点间的距离. (1)解:连结 BD 交 MN 于 F,连结 B1F.

∵平面 DD1B1B⊥平面 ABCD,交线为 BD,AC⊥BD, ∴AC⊥平面 DD1B1B.又∵AC//MN, ∴MN⊥平面 DD1B1B. ∵B1F,BF ? 平面 DD1B1B, ∴B1F⊥MN,BF⊥MN. ∵B1F ? 平面 B1MN, BF ? 平面 BMN,则∠B1FB 为二面角 B1-MN-B 的平面角. 在 Rt△ B1FB 中,设 B1B=1,则 FB=

2 , 4
6

∴tan∠B1FB= 2 2 . (2)证明:过点 P 作 PE⊥AA1,则 PE∥DA,连结 BE. 又 DA⊥平面 ABB1A1,∴PE⊥平面 ABB1A1,即 PE⊥B1M. 又 BE⊥B1M,∴B1M⊥平面 PEB. ∴PB⊥MB1. 由(1)中 MN⊥平面 DD1B1B,得 PB⊥MN,所以 PB⊥平面 MNB1. (3)解:PB=

13 ,符合条件的正方体表面展开图可以是以下 6 种之一: 2

7


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