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甘肃省永昌县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


永昌县第一高级中学 2015—2016 期中考试卷 高二理科数学 座位号______

本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) ,考试时间 120 分 钟,满分为 150 分。请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷在答题卡上做答。 一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题列出的四个选项中,选出

符合题目要求的一项。 ) 1.设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是 ( D. a 2 ? 2b ( D. 6 ) ) )

1 1 A. ? a b

1 1 B. ? a b

C. a ? b 2

2.已知数列 {an } 中, an ? 3n ? 4, 若 an ? 13, 则 n 等于 A. 3 B. 4
2

C.5

3.若不等式 8x ? 9 ? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a 、 b 的值为 ( B. a =﹣4, b =﹣9 cos A b ? ,则 ?ABC 是 4.在 ?ABC 中,若 cos B a A. 等腰或直角三角形 5.已知 A.5 B. 等边三角形 A. a =﹣8, b =﹣10 C. a =﹣1, b =9

b =2 D. a =﹣1,
( )

C. 直角三角形

D. 等腰三角形 ( )

x ? 2 ,函数 y ?
B.4

4 ? x 的最小值是 x?2
C.6 D.8

6. 已 知 数 列 {an } 满 足 l o 3g an ? ?1

* a2 ? a4 ? a6 ? 9 , 则 l3a o n?g 1 n ? N( , 且 )

log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
3





A. ?

1 5

B.5

C. ?5

D.

1 5
( D. 30
?

7.△ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则 A 的度数等于 A. 120
?



B. 60

?

C. 150

?

y≤x, ? ? 8.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 ? ?y≥-1, m
( ) A.5 B.6 C.7 D.8 -

n



9. 数列 ?an ? 中, a1 =15, 3an?1 ? 3an ? 2 ( n ? N * ) ,则该数列中相邻两项的乘积是负数的 是 ( ) A. a23 a24 B. a21a22 C. a22 a23 D. a24 a25 ( )

10. 在△ABC 中, 如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 , 那么 cosC 等于

A.

11. 已知数列 ?an ? 中, 且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在一次函数 y ? x ? 1 a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn , 的 ( A. ) 图 象 上 , 则

2 3

B. -

2 3

C. -

1 3

D. -

1 4

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? S1 S 2 S 3 Sn

2n n ?1

B.

2 n(n ? 1)
2

C.

n(n ? 1) 2

D.

n 2(n ? 1)

12. 若关于 x 的不等式 2 x ? 8x ? 4 ? a ? 0在1 ? x ? 4 内有解,则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ?12 B. a ? ? 4 C. a ? ?12 D. a ? ?4 二.填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 7 ? 35 ,则 a 4 ? ___________. 14.设 x, y ? (0,??) ,且 )

1 9 ? ? 1 ,则 x ? y 的最小值为________. x y
. ..

15. 数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2an ? 3(n ? N * ) ,则 a5 ? 16.在Δ ABC 中,若 S?ABC ?

1 4 3

(b 2 ? c 2 ? a 2 ) ,则角 A=

三.解答题(其中 17 题 10 分,18、 19、20、21、22 每题 12 分) 17. 若不等式 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ? x
2

? 1 ? ? x ? 2? , ? 2 ?

(1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax ? 5 x ? a ? 1 ? 0 的解集.
2 2

18.△ABC 中, a, b, c 是 A,B,C 所对的边,S 是该三角形的面积,且 (1)求∠B 的大小; (2)若 a =4, S ? 5 3 ,求 b 的值。

cos B b ?? cos C 2a ? c

19. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a5 ? 5, S5 ? 15 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 bn ?

1 , n ? N ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . a n a n ?1

20.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行 道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析 式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计? D D1 C1 C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

21.如图 1?5 所示,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7.

(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

图 1?5

22. 已知数列 ?an ? , 其中 a1 ? ?bn ?, 满足 b1 ? 2, bn?1 ? 2bn . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;

1 * , 数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? n 2 an (n∈N ), 数列 ?bn ? 2

(2)是否存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有 1+ + +…+
*

1 b1

1 b2

1 bn-1



m-8 恒成 4

立?若存在,求出 m 的最小值.

永昌县第一高级中学 2015—2016—1 期中考试 高二数学 (理科) 参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 5×12=60 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 C 6 C 7 B 8 B 9 A 10 D 11 A 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 5×4=20 分) 13.5 14.16 15.48 16.300

三、解答题(17 题 10 分,19、20、21、22 每题 12 分) 17、 (1)依题意,可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为
2

1 和 2, 2

由韦达定理得: 解得: a =-2

1 5 +2= ? 2 a

1 2 cos B b cos B sin B ?? ? ?? 18、⑴由 cos C 2a ? c cos C 2sin A ? sin C ? 2sin A cos B ? cos B sin C ? ? sin B cos C ? 2sin A cos B ? ? sin B cos C ? cos B sin C
(2) {x ? 3 ? x ? }

? 2sin A cos B ? ? sin( B ? C ) ? 2sin A cos B ? ? sin A
1 2 ? cos B ? ? , 又0 ? B ? ? ,? B ? ? 2 3
⑵ 由a ? 4, S ? 5 3有S ?

1 1 3 ac sin B ? ? c ? ?c?5 2 2 2 3 ? b ? 61 2

b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? b2 ? 16 ? 25 ? 2 ? 4 ? 5 ?
19、(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15, a +4d=5, ? ?a1=1, ? 1 ? ∴? ∴? 5×?5-1? ? ?d=1, d=15, ? 2 ?5a1+ ∴an=a1+(n-1)d=n. (2)∴ bn = =1 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = - , s n ? 1 ? ? ? ? ? ? ......? ? n anan+1 n?n+1? n+1 2 2 3 3 4 n n ?1

1 n ? n ?1 n ?1

20、

⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ?

4000 x

4000 ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x S ? ( x ? 20)(
⑵ S ? 4160 ? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160 ? 2 8 x? ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米. 21、 解:(1)在△ ADC 中,由余弦定理,得

AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 21 2 7?2 1-? = , 7 ? 7 ? sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 1-?-

?

2 3 21 7? = . 14 14 ?

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 7 ? 14 ? 3 = . 2 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sin α sin∠CBA 3 7× 2 AC·sin α 故 BC= = =3. sin∠CBA 21 6 22、(1)因为 Sn=n an(n∈N ),当 n≥2 时,Sn-1=(n-1) an-1. 所以 an=Sn-Sn-1=n an-(n-1) an-1. an n-1 1 所以(n+1)an=(n-1)an-1.即 = .又 a1= , an-1 n+1 2 an an-1 an-2 a3 a2 所以 an= · · ·…· · ·a1 an-1 an-2 an-3 a2 a1
2 2 2 * 2

n-1 n-2 n-3 2 1 1 = · · ·…· · · n+1 n n-1 4 3 2 = 1 . n(n+1)

1 当 n=1 时,上式也成立,故 an= . n(n+1) 因为 b1=2,bn+1=2bn. 所以{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 bn=2 . (2)由(1)知,bn=2 . 1 1 1 1 1 1 则 1+ + +…+ =1+ + 2+…+ n-1 b1 b2 bn-1 2 2 2 1 =2- n-1. 2 1 1 1 m- 8 * 假设存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有 1+ + +…+ < 恒成立, b1 b2 bn-1 4 即 2- 1 2
n-1 n n

m-8 < 恒成立. 4

m-8 由 ≥2,解得 m≥16. 4 1 1 1 m-8 * 所以存在自然数 m,使得对于任意 n∈N ,n≥2,有 1+ + +…+ < 恒成立.此时 b1 b2 bn-1 4 m 的最小值为 16.

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