nbhkdz.com冰点文库

全国高中数学联赛江苏赛区初赛考试题


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 ? n 2 ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那 么 mx+ny 的 答:[B] A. 解
a?b 2




/>值



B.

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ?

a b ,x? y? 时, mx? ny ? ab . 选 B. 2 2

?1 1? 2. 设 y ? f (x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中, ?2 4?

函数
y ? f (x) 与 其 反 函 数 y ? f ?1 ( x) 的 图 像 的 公 共 点 只 可 能 是 点

答:[D] A. P 解 能是 点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列 成等比 数 答:[A] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 列 , 那 么
1 0.5

B. Q

C. M
1

D. N
1

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 取 a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴ 公共点只可 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?

x? y?z
2 1







x
y

z



第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的
5 3 , z ? ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16 16

x ? 0 .5 , y ?

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是

锐角三角形;若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设
?? ? cos A1 =sin A2 =cos ? ? A1 ? , ?2 ? ?? ? cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . ?2 ? ?? ? cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ?


A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30°的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ” 的 答: [D] A. 不存在 C. 有且只有两对 解 线. b 与 B. 有且只有一对 D. 有无数对 平 面

?



?

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x 2 ? ?x? ? 2 和B ? ?x x ? 2?,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整 数,则

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x 2 ? 0 无解; 当[x]=0,则 x 2 ? 2 无解; 所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? 成既约 分数).
91 (结果要求写 216

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x 2 ? 1 ,∴ ? 1 ; x= 当[x]=1,则 x 2 ? 3 ,∴ ? 3 . x

91 ?5? 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?
OA 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:
1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

3

A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

9. 与 圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 0 外 切 , 且 与 y 轴 相 切 的 动 圆 圆 心 的 轨 迹 方 程 为

y 2 ? 8x( x ? 0) 或
y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线

上的点;若切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) , 或 y ? 0( x ? 0) .

a2 ? b2 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2



切割化弦,已知等式即 亦即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

所以,

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ? 3. 2c 2 c2

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,0 ? m ? n ,并且 x ? ?m, n?
?1 1 ? 时, f (x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

解 分

由题 f ( x) ? ?2( x ?1) 2 ? 1 ,

??5

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

1 1 且 f (n) ? ?2(n ? 1) 2 ? 1 ? . m n

??

10 分

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

1 的两个解,方程即 x

( x ?1)(2 x 2 ? 2 x ?1) =0,
解方程,得解为 1,
1? 3 1? 3 , . 2 2 1? 3 . 2

?1 ? m ? n ,?m ? 1 , n ?

??

15 分 12. A、B 为双曲线
x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA?OB ? 0 。 4 9

(Ⅰ)求证:

1
2

?

1
2

为定值;

OA

OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ)设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) ,B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) ,

则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ? ? 1. ? ? ?
所以 5分 由 OA?OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos2 ? ? ? sin 2 ? , cos2 ? ? sin 2 ? ? . 同理, 所以 10 分 (Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ? ? ?

1 cos2 ? sin 2 ? ? ? . 4 9 r2

??

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2

1 | OA |
2

?

1 | OB |
2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'

??

? ? 2 2 ? 1 1 ? ?1 1? ? 5 ? ? ? OP ? ? ? ? ? OP ? ? ? ? 1 . 即 OP ? ? 2 2 ? ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
2

于是, OP ?
2

36 . 5

6 5 即 P 在以 O 为圆心、 为半径的定圆上. 5

??15

分 13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射 线

DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? ,?BDA ? ? ,?CDA ? ? , ? ,? ,? 都 且 是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? ,? 的三角函数值表 示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点; 在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
AB ? tan? , DB ? AC ? tan? ,DC ?
B M N C A D

1 , cos ?
1 , cos?

??5

分 并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 10 分 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式
BC 2 ? 1 1 2 ? ? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 2 tan? tan? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos? cos?

??

所以,
2 tan? tan? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?

= 15 分 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos? cos? ) , cos? cos?

??

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3×3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每 行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不 能,请给予证明.(Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48;

(Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72. 解(Ⅰ)不能. 分 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2×4×6×8×12×18×24×36×48=21+2+1+3+2+1+3+2+4×3 1?1? 2?1? 2?1 =219· 8 不是立方数,故 3 不能. (Ⅱ)可以. 15 分 如右表 ??5

36 8 6

2 12 72

24
??

18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. 分

? ? 20


2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案

2014 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 (4 月 20 日 8:00 至 10:00) 一.填空题(本大题共 10 小题,每小题 7 分,共 70 分) 1.若 x ≥ 2 ,则...

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛及答案(word)

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛答案(word)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) ) 1...

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷答案 文档贡献者 I一头热 贡献于2016-05-08...

2015全国高中数学联赛江苏预赛试题及答案

2015全国高中数学联赛江苏预赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则一、填空题(本题共 10 小题,满分 ...

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)_学科竞赛_高中教育_教育专区。南京清江花苑严老师 2015 年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则一、填空...

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版)

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版)_学科竞赛_高中教育_教育专区。2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题+答案(word打印版) ...

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2014年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(3)一.填空题(...

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析

2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析_学科竞赛_高中教育_教育专区。2005-2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析整理 高一数学竞赛训练试题(2)一.填空题:...

2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷考生注意:1.本试卷共两大题(14 小题) ,全卷满分 150 分,考试时间:120 分钟. 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答. 3....