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等差、等比数列对比表

时间:2015-05-31


等差、等比数列的对比
等差数列 一、证明 (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) ? {an } 等差; (2)中项法: 2an ? an?1 ? an?1 ? {an } 等差; (3)等差中项: 2b ? a ? c ? a、b、c 等差(b 叫做 a 和 c 的等差中项) (1)定义法: 等比数列

an ? 1 ? q (常数) ? {an } 等比; an

(2)中项法: an2 ? an?1an?1 (an ? 0) ? {an } 等比; (3)等比中项: b2 ? ac(b ? 0) ? a、b、c 等比(b 叫做 a 和 c 的等比中项)

二、公式

a ? a1 ?1 (1)通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ;变形得项数公式: n ? n d
(2)广义通项: an ? am ? (n ? m)d ;变形得公差公式: d ?

(1)通项公式: an ? a1qn?1 ; (2)广义通项: an ? am qn? m ; (3)前 n 项和:

an ? am n?m

(3)前 n 项和: S n ? 三、性质

n(a1 ? an ) n( n ? 1) d (基本量表示) (首末项表示) ? na1 ? 2 2

? a1 ? an q a1 (1 ? q n ) (首末项表示) ? (基本量表示) ( q ? 1) ? Sn ? ? 1 ? q 1? q ? na (q ? 1) ? 1
(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am an ? a paq ; (2)从 {an } 中等距抽取(即下标等差)所得新数列也等比;

(1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2)从 {an } 中等距抽取(即下标等差)所得新数列也等差; (3) a1 ? a2 ?

? am , am?1 ? am? 2 ?

? a2m , a2m?1 ? a2m? 2 ?

? a3m , …

(3) a1 ? a2 ?

? am , am?1 ? am? 2 ?

? a2m , a2m?1 ? a2m? 2 ?

? a3m , …

也等差(即 Sm , S2m ? Sm , S3 m ? S2 m , …也等差) 四、函数 特征 (1) 通项函数特征: {an } 等差 ? an ? kn ? b (公差为 k) (2) 前 n 项和函数特征: {an } 等差 ? Sn ? An ? Bn (公差为 2A)
2

也等比(即 Sm , S2m ? Sm , S3 m ? S2 m , …也等比) (1) 通项函数特征: {an } 等比 ? an ? Aq ,其中 A ? 0 (公比为 q)
n

(2) 前 n 项和函数特征: {an } 等比 ? Sn ? Aqn ? A ,其中 A ? 0 (公比为 q)

2 特别的,若 Sn ? An ? Bn ? C (C ? 0) ,则 {an } 从第二项之后起各项等差。 若 Sn ? Aqn ? B( A ? B) ,则 {an } 从第二项之后起各项等比。

五、常用 技巧

三个数等差可设为 a ? d , a , a ? d ; 四个数等差可设为 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d 或 a ? d , a , a ? d , a ? 2d

三个数等比可设为

a , a , aq ; q

六、基本思 考方法

(1)常规方法:基本量法,即将所有的条件和待求转化为用首项和公差(比)表示,再寻求联系; (2)特殊方法:活用性质; (3)最大(小)项问题思路有二: 一是利用函数的图象、性质 二是借助单调性:设 an 为最大项,则 ?

? an ? an?1 ? an ? an?1 ;设 an 为最小项,则 ? ; ? a n ? a n ?1 ? a n ? a n ?1


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