nbhkdz.com冰点文库

数学建模课件与实例 (1)

时间:2011-05-06


第二章

初等模型

2.1 公平的席位分配 2.2 录像机计数器的用途 2.3 双层玻璃窗的功效 2.4 汽车刹车距离 2.5 划艇比赛的成绩 2.6 实物交换 2.7 核军备竞赛 2.8 启帆远航 2.9 量纲分析与无量纲化

2.1
问 题

公平的席位分配

个系学生共200名(甲系100,乙系 ,丙系 ),代表 名 甲系 ),代表 三个系学生共 ,乙系60,丙系40), 会议共20席 按比例分配,三个系分别为10, , 席 会议共 席,按比例分配,三个系分别为 ,6,4席。 席如何分配。 现因学生转系,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。 席如何分配 现因学生转系,三系人数为 若增加为21席 又如何分配。 若增加为 席,又如何分配。

系别 学生 比例 比 例 加 惯 例 甲 乙 丙 103 51.5 63 34 31.5 17.0 100.0

席的分配 20席的分配 21席的分配 席的分配 10.3 6.3 3.4 20.0 10 6 4 20

人数 (%) 比例 结果 )

总和 200

对 比例 结果 丙 10.815 11 系 6.615 7 公 3.570 3 平 吗 21.000 21

“公平”分配方 公平” 公平 法 人数 席位
A方 方 B方 方 p1 p2 n1 n2

衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时,分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ,对 A 不公平

p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度 的 p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10 p1/n1– p2/n2=5 虽二者的 虽二者的绝对 不公平度相同 p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100 p1/n1– p2/n2=5 但后者对A的 但后者对 的不公平 程度已大大降低! 程度已大大降低!

“公平”分配方 公平” 公平 法

将绝对度量改为相对度量

若 p1/n1> p2/n2 ,定义

p1 / n1 ? p2 / n2 的 = rA (n1 , n2 ) ~ 对A的相对不公平度 p2 / n2
类似地定义 rB(n1,n2) 公平分配方案应 使 rA , rB 尽量小

将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 将一次性的席位分配转化为动态的席位分配 即 已分别有n 若增加1席 问应分给A, 还是B 设A, B已分别有 1, n2 席,若增加 席,问应分给 还是 已分别有 即对A不公平 不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ,即对 不公平

应讨论以下几种情况

初始 p1/n1> p2/n2

1)若 p1/(n1+1)> p2/n2 , 则这席应给 A ) 2)若 p1/(n1+1)< p2/n2 , 应计算 B(n1+1, n2) ) 应计算r 3)若 p1/n1> p2/(n2+1), 应计算 A(n1, n2+1) ) , 应计算r 是否会出现? 问: p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现? 否!

若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B

该席给A 当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给 rA, rB的定义

n 2 ( n 2 + 1)

2 p2

<

n1 ( n 1 + 1 )

2 p1

该席给A 该席给 否则, 该席给B 否则 该席给

p i2 , i = 1, 2 , 该席给 值较大的一方 定义 Q i = 该席给Q值 ni ( ni + 1)
推广到m方 推广到 方 分配席位

p i2 , i = 1, 2, , m L 计算 Q i = ni ( n i + 1)

该席给Q值最大的一方 该席给 值最大的一方

Q 值方法

三系用Q值方法重新分配 个席位 三系用 值方法重新分配 21个席位 按人数比例的整数部分已将19席分配完毕 按人数比例的整数部分已将 席分配完毕
甲系: 甲系:p1=103, n1=10 乙系: 乙系:p2= 63, n2= 6 丙系: 丙系:p3= 34, n3= 3

用Q值方法分配 值方法分配 席和第21席 第20席和第 席 席和第

1032 632 342 = 96.4, Q2 = = 94.5, Q3 = = 96.3 第20席 Q1 = 席 10 ×11 6× 7 3× 4

Q1最大,第20席给甲系 最大, 席
103 2 = 80.4, Q2 , Q3 同上 第21席 Q1 = 席 11 × 12
Q值方法 值方法 分配结果

Q3最大,第 最大, 21席给丙系 席 公平吗? 公平吗?

甲系11席 乙系6 丙系4 甲系11席,乙系6席,丙系4席 11

进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 值方法比“比例加惯例”方法更公平吗? 值方法比 席位分配的理想化准则 已知: 方人数分别为 已知 m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为 。 待分配的总席位为N。 设理想情况下m方分配的席位分别为 设理想情况下 方分配的席位分别为n1,n2,… , nm 方分配的席位分别为 (自然应有 1+n2+…+nm=N), 自然应有n 自然应有 , ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数,即ni = ni (N, p1, … , pm ) 的函数, 和 均为整数, 记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数,显然应 ni=qi

qi=Npi /P不全为整数时,ni 应满足的准则: 不全为整数时, 应满足的准则: 不全为整数时 方向取整; 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 ≤ qi方向取整; 方向取整. [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 ≥ qi方向取整 1) [qi]– ≤ ni ≤ [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取 i]– , [qi]+ 之一 必取[q 2) ni (N, p1, … , pm ) ≤ ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时, 即当总席位增加时, ni不应减少 “比例加惯例”方法满足 1),但不满足 2) 比例加惯例” ),但不满足 ) 比例加惯例 ), Q值方法满足 2), 但不满足 1)。令人遗憾! 值方法满足 ) ) 令人遗憾!

2.2 录像机计数器的用途 问 题
经试验,一盘标明 经试验,一盘标明180分钟的录像带 分钟的录像带 从头走到尾,时间用了184分,计数 从头走到尾,时间用了 分 器读数从0000变到 变到6061。 器读数从 变到 。

在一次使用中录像带已经转过大半,计数器读数为 在一次使用中录像带已经转过大半, 4450,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? ,问剩下的一段还能否录下 小时的节目 小时的节目?

思考 要求

计数器读数是均匀增长的吗? 计数器读数是均匀增长的吗? 不仅回答问题, 不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录像带转过时间的关系。 录像带转过时间的关系。

观察

计数器读数增长越来越慢! 计数器读数增长越来越慢!

问题分析 录像机计数器的工作原理
左轮盘 右轮盘 主动轮 录像带 磁头 压轮 录像带运动方向 录像带运动 右轮盘半径增大 计数器读数增长变慢 右轮转速不是常数 0000 计数器

录像带运动速度是常数

模型假设
? 录像带的运动速度是常数 ? 计数器读数

v;

n与右轮转数 m成正比,记 m=kn; 与右轮转数 成正比 成正比, ; w; ;

? 录像带厚度(加两圈间空隙)为常数 录像带厚度(加两圈间空隙) ? 空右轮盘半径记作 ? 时间

r;

t=0 时读数 n=0 . 建立时间 与读数 建立时间t与读数 之间的关系 时间 与读数n之间的关系 为已知参数) (设v,k,w ,r为已知参数) , ,

建模目的

模型建立 建立t与 的函数关系有多种方法 建立 与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第 i 圈的半径为 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度 所以 等于录像带在时间 内移动的长度vt, 内移动的长度

∑ 2π (r + wi ) = vt
i =1

m

m = kn
2 π rk n + n v
2

t =

π wk
v

2

模型建立 2. 考察右轮盘面积的 变化,等于录像带厚度 变化, 乘以转过的长度, 乘以转过的长度,即
2 2

3. 考察 到t+dt录像带在 考察t到 录像带在 右轮盘缠绕的长度, 右轮盘缠绕的长度,有

π [( r + wkn ) ? r ] = wvt ( r + wkn ) 2π kdn = vdt

?
t =

?
2

π wk
v

2 π rk n + n v
2

思 考

3种建模方法得到同一结果



m

2 π ( r + wi ) = vt
2 2

i =1

π [( r + wkn ) ? r ] = wvt

t=

π wk
v

2

( r + wkn ) 2π kdn = vdt

2π rk n + n v
2

但仔细推算会发现稍有差别,请解释。 但仔细推算会发现稍有差别,请解释。

思 考

模型中有待定参数

r , w, v , k ,

一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法。 一种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法。

参数估计 另一种确定参数的方法 另一种确定参数的方法——测试分析 测试分析

t = an 2 + bn , 只需估计 a,b 将模型改记作
理论上,已知 再有一组(t, 数据即可 理论上,已知t=184, n=6061, 再有一组 n)数据即可 实际上,由于测试有误差, 实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据: 现有一批测试数据: t 0 20 40 n 0000 1141 2019 t 100 120 140 n 4004 4545 5051 60 2760 160 5525 80 3413 184 6061 用最小二乘法可得

a = 2 . 61 × 10 ? 6 , b = 1 . 45 × 10 ? 2 .

模 型 检 验
应该另外测试一批数据检验模型: 应该另外测试一批数据检验模型:

t = an + bn ( a = 2 . 61 × 10 , b = 1 . 45 × 10
2

?6

?2

)

模 型 应 用
回答提出的问题: 回答提出的问题:由模型算得 n = 4450 时 t = 116.4分, 分 分钟的节目。 剩下的录像带能录 184-116.4= 67.6分钟的节目。 分钟的节目 揭示了“ 之间呈二次函数关系”这一普遍规律, 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律, 当录像带的状态改变时, 即可。 当录像带的状态改变时,只需重新估计 a,b 即可。

2.3

双层玻璃窗的功效

问 双层玻璃窗与同样多材料的单层 玻璃窗相比, 题 玻璃窗相比,减少多少热量损失
热量传播只有传导, 假 热量传播只有传导,没有对流 不变, 设 T1,T2不变,热传导过程处于稳态

室 内 T1

d

l

d

室 外 T2

Q1
墙 室 内 T1 室 外 T2

建 单位时间单位面积传导的热量 模 Q ~单位时间单位面积传导的热量
温差, 材料厚度 材料厚度, 热传导系数 ?T~温差 d~材料厚度 k~热传导系数 温差 热传导定律

材料均匀, 材料均匀,热传导系数为常数

2d

?T Q = k d

Q2


建模 记双层玻璃窗传导的热量 1 记双层玻璃窗传导的热量Q
Ta~内层玻璃的外侧温度 内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 空气的热传导系数 空气

室 内 T1

Ta T b d l d

室 外 T2

Q1


T1 ? T a T a ? Tb Tb ? T 2 Q1 = k 1 = k2 = k1 d l d

T1 ? T2 k1 l , s=h , h= Q1 = k1 d ( s + 2) k2 d

建模 记单层玻璃窗传导的热量 2 记单层玻璃窗传导的热量Q T1 ? T2 T1 ? T 2 Q1 = k1 Q 2 = k1 d ( s + 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比

室 内 T1

2d

室 外 T2

Q2


Q1 2 k1 l = , s=h , h= Q2 s + 2 k2 d

Q1 < Q 2
l = d

k1=4×10-3 ~8 ×10-3, k2=2.5×10-4, k1/k2=16 ~32 × × 对Q1比Q2的减少量 1 Q1 = , h 作最保守的估计, 作最保守的估计, 取k1/k2 =16

Q2

8h + 1

模型应用

Q1 1 l = , h= Q2 8h + 1 d
Q1/Q2 0.06 0.03 0.02 0

取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材 料的单层玻璃窗相比, 料的单层玻璃窗相比,可 减少97%的热量损失。 的热量损失。 减少 的热量损失

结果分析

2

4

6

h

Q1/Q2所以如此小,是由于层间空气极低的热传 所以如此小, 而这要求空气非常干燥、不流通。 导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 损失的热量更多 双层窗的功效不会如此之大

2.4

汽车刹车距离

美国的某些司机培训课程中的驾驶规则: 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则:

背 景 与 问 题

? 正常驾驶条件下 车速每增 英里 小时, 正常驾驶条件下, 车速每增10英里 小时, 英里/小时 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 ? 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” : 秒准则” 秒准则 ? 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志,而不管车速如何 秒钟后到达同一标志, 秒钟后到达同一标志 秒准则” 车身” 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 秒准则 样; 建立数学模型,寻求更好的驾驶规则。 建立数学模型,寻求更好的驾驶规则。

常识: 常识:刹车距离与车速有关

问 题 分 析

10英里 小时 ≈16公里 小时 车速下 秒钟行驶 英里/小时 公里/小时 车速下2秒钟行驶 英里 小时(≈ 公里 小时)车速下 29英尺 ≈ 9米) >>车身的平均长度 英尺 英尺(≈ 米 英尺 车身的平均长度15英尺 车身的平均长度 英尺(=4.6米) 米 “2秒准则”与“10英里 小时加一车身”规则 秒准则” 英里/小时加一车身 秒准则 英里 小时加一车身” 不同 反 司机 制动系统 反应时间 应 状况 灵活性 距 车速 离 常数 制动器作用力、车重、车速、道路、气候… 制 制动器作用力、车重、车速、道路、气候 … 动 最大制动力与车质量成正比, 最大制动力与车质量成正比, 常数 距 离 使汽车作匀减速运动。 使汽车作匀减速运动。

刹 车 距 离

假设与建模
1. 刹车距离 d 等于反应距离 d1 与制动距离 d2 之和 2. 反应距离 d1与车速 v成正比 成正比 t1为反应时间 3. 刹车时使用最大制动力 , 刹车时使用最大制动力F, F作功等于汽车动能的改变 作功等于汽车动能的改变; 作功等于汽车动能的改变 与车的质量m成正比 且F与车的质量 成正比 与车的质量 F d2= m v2/2 F∝m
2

d = d1 + d 2

d 1 = t1 v

d 2 = kv

d = t1 v + kv 2

d = t1v + kv 2 模型
参数估计 ? 反应时间 t1的经验估计值为 的经验估计值为0.75秒 秒 ? 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 英尺) (英尺) 42(44) ( ) 73.5(78) 73.5(78) 116(124) ( ) 173(186) ( ) 248(268) ( ) 343(372) ( ) 464(506) ( ) 计算刹车距离 英尺) (英尺) 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8 刹车时间 (秒) 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3

车速 (英里 小时 英里/小时 英尺/秒 英里 小时) (英尺 秒) 英尺 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3

最小二乘法 ? k=0.06

计算刹车距离、 计算刹车距离、刹车时间

模型

d = t1v + kv = 0.75v + 0.06 v
2

2

车速 (英里 小时) 英里/小时 英里 小时 20 30 40 50 60 70 80

刹车时间 (秒) 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3

车速(英里 小时 小时) 车速(英里/小时) t(秒) (

“2秒准则”应修正为 “t 秒准 秒准则” 秒准则 则”
0~10 1 10~40 2

40~60 3

60~80 4

2.5
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人

划艇比赛的成绩

对四种赛艇(单人、双人、四人、八人) 次国际大赛冠 对四种赛艇(单人、双人、四人、八人)4次国际大赛冠 军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系。 军的成绩进行比较,发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 米成绩 分 艇长l 艇长 1 2 3 4 平均 (米) 米 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b 艇宽 (米) 米 0.293 0.356 0.574 0.610 l/b 27.0 27.4 21.0 30.0 空艇重w 空艇重 0(kg) 浆手数n 浆手数 16.3 13.6 18.1 14.7

准 调查赛艇的尺寸和重量 备

l /b, w0/n 基本不变

问题分析
分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 ? 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 ? 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度

? 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 对浆手体重、功率、 ? 运用合适的物理定律建立模型

模型假设
符号: 符号:艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1)艇形状相同(l/b为常数 w0与n成正比 )艇形状相同 为常数 为常数), 成正比 2)v是常数,阻力 f与 sv2成正比 ) 是常数 是常数, 与 3)w相同,p不变,p与w成正比 ) 相同 相同, 不变 不变, 与 成正比 艇的静态特性 艇的动态特性 浆手的特征

模型 np ∝ fv f ∝ 建立 s1/2 ∝ A1/3 A ∝W(=w0+nw) ∝ n sv2 v ∝ n1/9

p∝ w

v ∝ (n/s)1/3 s ∝ n2/3

比赛成绩 t ∝ n – 1/9

模型检验
n 1 2 4 8 t 7.21 6.88 6.32 5.84

利用4次国际大赛冠军的平均 利用 次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t ∝ n – 1/ 9 进行检验
t
7.21 6.88 6.32 5.84

? ? ? ?
8 n

1

2

4

t = an

b

log t = a′ + b log n

最小二乘法

t = 7.21n

?0.11

与模型巧合! 与模型巧合!

2.6

实物交换

甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要, 问 甲有物品 乙有物品 双方为满足更高的需要, 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 题 商定相互交换一部分。研究实物交换方案。 分别表示甲(乙 占有 用x,y分别表示甲 乙)占有 分别表示甲 X,Y的数量。设交换前甲占 的数量。 的数量 有X的数量为 0, 乙占有Y的 的数量为x 乙占有 的 的数量为 数量为y 作图: 数量为 0, 作图: y yo?

y

.

p

x ? 0 xo x 若不考虑双方对X,Y的偏爱,则矩形内任一点 p(x,y) 的偏爱, 若不考虑双方对 的偏爱 都是一种交换方案:甲占有 乙占有(x 都是一种交换方案:甲占有(x,y) ,乙占有 0 -x, y0 -y)

分析与建模

甲的无差别曲线
y yo y1 y2 0 x1

如果甲占有(x 与占有(x 如果甲占有 1,y1)与占有 2,y2) 与占有 具有同样的满意程度, 具有同样的满意程度,即p1, p2 对甲是无差别的, 对甲是无差别的, 将所有与p1, p2无差别的点连接 所有与 起来,得到一条无差别曲线 无差别曲线MN, 起来,得到一条无差别曲线

M

. .
p1

M1

p3(x3,y3)

.

p2

N1

N

x2

xo x

线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度, 的偏爱程度, 线上各点的满意度相同 线的形状反映对 的偏爱程度 各点满意度更高的点如p 在另一条无差别曲线M 比MN各点满意度更高的点如 3,在另一条无差别曲线 1N1上。 各点满意度更高的点如 于是形成一族无差别曲线(无数条)。 于是形成一族无差别曲线(无数条)。

y

甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度 满意度
?y

f(x,y)=c1

.
?x

p1

c1↑

等满意度曲线) (f ~等满意度曲线) 等满意度曲线 无差别曲线族的性质: 无差别曲线族的性质:
0

?y

?x

.

p2

x

? 单调减 增加 y减小 ? 下凸 凸向原点 单调减(x增加 减小 增加, 减小) 下凸(凸向原点 凸向原点) 点占有x少 多 在p1点占有 少、y多, 宁愿以较多的? 换取 宁愿以较多的? y换取 较少的? 较少的? x;

? 互不相交

点占有y少 在p2点占有 少、x多, 多 就要以较多的? 换取 就要以较多的? x换取 较少的? 。 较少的? y。

乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同 性质(形状可以不同) 性质(形状可以不同)

y

g(x,y)=c2 c2 ↑

双方的交换路径
甲的无差别曲线族 f=c1 乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标 坐标 且反向) 系x’O’y’, 且反向)
O

x

两族曲线切点连线记作AB 两族曲线切点连线记作 y ’ x O‘ y
o

双方满意的交换方案必 在AB(交换路径)上 (交换路径)
因为在AB外的任一点 因为在 外的任一点p’, 外的任一点 (双方 满意度低于 上的点 双方)满意度低于 上的点p 双方 满意度低于AB上的点
O

?p
A

B

P’

?
f=c1 xo x y’

g=c2

交换方案的进一步确定
交换方案 ~ 交换后甲的占有量 (x,y) 0≤x≤x0, 0≤y≤y0矩 ≤ ≤ ≤ ≤ 形内任一点 交换路 径AB 等价交 换原则
y yo

AB与CD的 与 的 交点p 交点

双方的无差别曲线族 X,Y用货币衡量其价值,设交换 用货币衡量其价值, 用货币衡量其价值 价值相同, 前x0,y0价值相同,则等价交换原 则下交换路径为 (x0,0), (0,y0) 两点的连线 两点的连线CD

.

D

B

p
0

A

.

C

xo x

单价a, 单价 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0) 单价b, 设X单价 Y单价 则等价交换下 单价

2.7
背 景

核军备竞赛

? 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“核威 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行“ 慑战略” 核军备竞赛不断升级。 慑战略”,核军备竞赛不断升级。 ? 随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了一系列 随着前苏联的解体和冷战的结束, 的核裁军协议。 的核裁军协议。 ? 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 在暂时的平衡状态。 在暂时的平衡状态。 ? 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量, 数量受哪些因素影响。 数量受哪些因素影响。 ? 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 当一方采取加强防御、提高武器精度、 弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。 弹等措施时,平衡状态会发生什么变化。

模 型 假 设

以双方(战略 核导弹数量描述核军备的大小 以双方 战略)核导弹数量描述核军备的大小。 战略 核导弹数量描述核军备的大小。 假定双方采取如下同样的核威慑战略: 假定双方采取如下同样的核威慑战略: 核威慑战略 ? 认为对方可能发起所谓第一次核打击,即倾其全部 认为对方可能发起所谓第一次核打击, 核导弹攻击己方的核导弹基地; 核导弹攻击己方的核导弹基地; ? 乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹, 乙方在经受第一次核打击后,应保存足够的核导弹, 给对方重要目标以毁灭性的打击。 给对方重要目标以毁灭性的打击。 在任一方实施第一次核打击时,假定一枚核导弹只能 在任一方实施第一次核打击时, 攻击对方的一个核导弹基地。 攻击对方的一个核导弹基地。 摧毁这个基地的可能性是常数,它由一方的攻击精 摧毁这个基地的可能性是常数, 度和另一方的防御能力决定。 度和另一方的防御能力决定。

图 的 模 型

y=f(x)~甲方有 枚导弹,乙方所需的最少导弹数 甲方有x枚导弹 甲方有 枚导弹, x=g(y)~乙方有 枚导弹,甲方所需的最少导弹数 乙方有y枚导弹 乙方有 枚导弹, 乙方的威慑值 当 x=0时 y=y0,y0~乙方的威慑值 时 乙方的

y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹,乙方为毁灭 甲方实行第一次打击后已经没有导弹, 甲方实行第一次打击后已经没有导弹 甲方工业、 甲方工业、交通中心等目标所需导弹数 双方 y y y = y0 + x 安全区 乙安全区 y=f(x) y=f(x) P(xm,ym)甲 y1 安 乙安全线 x=g(y) 全 y0 y0 区 0 0 x x0 x1 x y0 < y = f (x) < y0 + x P~平衡点 双方最少导弹数 平衡点(双方最少导弹数 平衡点 双方最少导弹数)

精细 模型
x<y

乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 乙方残存率 甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地,基地未被摧毁的概率。 基地,基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, 攻击乙方 个基地中的 个 sx个基地未摧毁,y–x个基地未攻击。 个基地未摧毁, 个基地未攻击 个基地未攻击。 个基地未摧毁 y0=sx+y–x y= y0+(1-s)x y=y0/s

x=y y<x<2y
y0 =

y0=sy

乙的x–y个被攻击 次 个未摧毁; 乙的 个被攻击2次,s2(x–y)个未摧毁; 个被攻击 个未摧毁 y –(x–y)=2y– x个被攻击 次,s(2y– x )个未摧毁 个被攻击1次 个被攻击 个未摧毁 s2(x–y)+ y0=s2y s(2y– x )
y = y0 1? s + x s(2 ? s) 2? s

x=2y

y=y0/s2

精细 模型

x<y, y= y0+(1-s)x x=y, y=y0/s

y0 1? s + x y<x<2y, y = s(2 ? s ) 2 ? s
x=2y, y=y0/s2 y0~威慑值 威慑值 s~残存率 残存率

y0 y0 x=a y, y = a = x / y s s
y x=y y=f(x) y0 0 x=2y

a~交换比 甲乙导弹数量比 交换比(甲乙导弹数量比 交换比 甲乙导弹数量比) y是一条上凸的曲线 是一条上凸的曲线 y0变大,曲线上移、变陡 变大,曲线上移、 s变大,y减小,曲线变平 变大, 减小 变大 减小,

x

a变大,y增加,曲线变陡 变大, 增加 变大 增加,

模型解释
? 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标 甲方增加经费保护及疏散工业、 乙方威慑值 y0变大 (其它因素不变) 其它因素不变) 乙安全线 y=f(x)上移 上移 平衡点P→ ? 平衡点 →P?
P(xm,ym) y0 0 y=f(x) x0 x=g(y) x y
P′( x′ , y′ ) m m

′ ′ xm > xm , ym > ym

甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。 甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。

模型解释
? 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变 不变 乙安全线 甲方残存率变大 威慑值x 0和交换比不变 威慑值 x减小,甲安全线 减小, 减小 x=g(y)向y轴靠近 向 轴靠近 P→P? → ?
y0 0 y=f(x) x0 x=g(y) x y
′ m P′( xm , y′ )

P(xm,ym)

′ x ′ < xm , y m < y m m

甲方这种单独行为, 甲方这种单独行为,会使双方的核导弹减少

模型解释
? 双方发展多弹头导弹,每个弹头可以独立地摧毁目标 双方发展多弹头导弹,
(x , y仍为双方核导弹的数量 仍为双方核导弹的数量) 仍为双方核导弹的数量

双方威慑值减小,残存率不变, 双方威慑值减小,残存率不变,交换比增加 乙安全线 y=f(x) y0减小 → y下移且变平 下移且变平 a 变大 → y增加且变陡 增加且变陡
y=f(x) y0 0 y

P′′
P(xm,ym)

P′
x=g(y)

P → P ′ ? P → P ′′ ?

x0

x

双方导弹增加还是减少, 双方导弹增加还是减少,需要更多信息及更详细的分析

2.8 启帆远航
帆船在海面上乘风远航, 帆船在海面上乘风远航,确定 最佳的航行方向及帆的朝向

简化问题
海面上东风劲吹,设帆船 海面上东风劲吹, 帆船 要从A点驶向正东方的 点驶向正东方的B点 要从 点驶向正东方的 点, α 确定起航时的航向θ, 帆 以及帆的朝向α A

航向



风向 ? B

θ ?

模型分析
推力w的分解 推力 的分解

? 风(通过帆 对船的推力 通过帆)对船的推力 通过帆 对船的推力w ? 风对船体部分的阻力 风对船体部分的阻力p p1 p2 p w w2

w=w1+w2 w1=f1+f2

f1~航行方向的推力 航行方向的推力 阻力p的分解 阻力 的分解 p=p1+p2 f1 ? θ p1 ~航行方向的阻力 航行方向的阻力 f2

α
w1

模型 假设

? w与帆迎风面积 1成正比,p与船迎风面积 与帆迎风面积s 与帆迎风面积 成正比, 与船迎风面积 s2成正比,比例系数相同且 s1远大于 s2, 成正比,

模型 假设

? w2与帆面平行,可忽略 与帆面平行, ? f2, p2垂直于船身,可由舵抵消 垂直于船身, ? 航向速度 与力 1-p1成正比 航向速度v与力 与力f=f w=ks1, p=ks2 w1=wsin(θ-α) f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ v=k1(f1-p1) f1 f2 v1 v p1 p2 p w w2

模型 建立

α
w1

? θ

船在正东方向速度分量v 船在正东方向速度分量 1=vcosθ

模型建立

v1=vcosθ = k1(f1-p1)cosθ f1=w1sinα=wsinα sin(θ-α) p1=pcosθ p2 p1 p v

模型求解

求θ,α ,使 v1最大 使

1) 当θ固定时求α使f1最大 f1=w[cos(θ-2α)-cosθ]/2

α
f1 ? θ w1 f2 v1 w2

w

α =θ /2 时 f1=w(1-cosθ)/2最大 最大
2) 令α =θ /2, v1=k1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ 求θ使v1最大(w=ks1, p=ks2) 最大(

模型求解

v1=k1 [w(1-cosθ)/2 -pcosθ]cos θ =( k1w/2)[1-(1+2p/w)cosθ]cos θ

w=ks1, p=ks2

记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2

1 1 2 v1 = k2 (1 ? t cosθ ) cosθ = k 2 t [ 2 ? (cos θ ? ) ] 4t 2t

1 2 s2 θ cos θ = (t = 1 + ), α = 2t s1 2
1< t < 2 1/4<cos θ<1/2

v1最大
60? < θ < 75?

s1>> s2 备注

? 只讨论起航时的航向,是静态模型 只讨论起航时的航向, ? 航行过程中终点 将不在正东方 航行过程中终点B将不在正东方

2.9
物 理 量 的 量 纲

量纲分析与无量纲化
动力学中 基本量纲 L, M, T 导出量纲
=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2

2.9.1 量纲齐次原则
长度 l 的量纲记 L=[l] 质量 m的量纲记 M=[m] 的量纲记 时间 t 的量纲记 T=[t] 速度 v 的量纲 [v]=LT-1 加速度 a 的量纲 [a]=LT-2 力 f 的量纲 [f]=LMT-2 引力常数 k 的量纲 [k]

对无量纲量α,[α]=1(=L0M0T0)

m1m2 f =k 2 r

量纲齐次原则
例:单摆运动

等式两端的量纲一致

量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 量纲分析 利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系 求摆动周期 t 的表达式
设物理量 t, m, l, g 之间有关系式

t = λm l g
α1 α 2
α1 α2
1

α3

(1)

l m

α1, α2, α3 为待定系数,λ为无量纲量 为待定系数,
(1)的量纲表达式 的量纲表达式

[t ] = [ m ] [l ] [ g ] ?2α α α +α T =M L T
α3
3 2

3

mg 对比

?α1 = 0 ? ?α 2 + α3 = 0 ?? 2α = 1 ? 3

?α1 = 0 ? ?α 2 = 1/ 2 ?α = ?1/ 2 ? 3

l t =λ g

l t = 2π g

t = λm l g
α1 α 2

α3

为什么假设这种形式

设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单 的量纲单 位缩小a,b,c倍 位缩小a,b,c倍

的两组测量值x 对 x,y,z的两组测量值 1,y1,z1 和x2,y2,z2, 的两组测量值 p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )

′ p1 = f (ax1, by1, cz1), p′ = f (ax2 , by2 , cz2 ) 2
f ( x1 , y1 , z1 ) f (ax1 , by1 , cz1 ) = f ( x2 , y2 , z2 ) f (ax2 , by2 , cz2 )

p1 p1′ = ′ p2 p2
p= f(x,y,z)的形式为 的形式为

f ( x, y , z ) = λx y z
α β

γ

单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式

f (t , m , l , g ) = 0

[t ] = L0 M 0T 1 ? ? [ m ] = L0 M 1T 0 ? ? 1 0 0 ?[l ] = L M T ?[ g ] = L1 M 0T ?2 ?
? y3 + y 4 = 0 ? ? y2 = 0 ?y ? 2y = 0 4 ? 1

t m l g =π
y1 y2 y3 y4

y1~y4 为待定常数 π为无量纲量 为待定常数,

( L0 M 0T 1 ) y ( L0 M 1T 0 ) y ( L1 M 0T 0 ) y
1 2

3

(L M T ) = L M T
1 0 ?2 y4 0 0

0

L
y

y3 + y4

M T

y2

y1 ?2 y4

=LM T
0 0

0

基本解

= ( y1, y2 , y3 , y4 ) = (2, 0, ?1, 1)
T

T

t l g = π F (π ) = 0
2 ?1

(t = λ l / g )

Pi定理 (Buckingham) 定理

设 f(q1, q2, …, qm) = 0

是与量纲单位无关的物理定律, 是与量纲单位无关的物理定律,X1,X2, … , Xn 是基本量 纲, n≤m, q1, q2, … , qm 的量纲可表为 ≤

[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1

n

j = 1,2,L, m

量纲矩阵记作 线性齐次方程组

A = { a ij } n × m ,

若 rank A = r

个基本解, Ay = 0 有 m-r 个基本解,记作

ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r 则

π s = ∏q j
j =1

m

ysj

个相互独立的无量纲量, 为m-r 个相互独立的无量纲量 且

F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价 F未定 等价, 未定

量纲分析示例: 量纲分析示例:波浪对航船的阻力 航船阻力 f 航船速度v, 船体尺寸l, 航船速度 船体尺寸 浸没面积 s, 重力加速度g 海水密度ρ, 重力加速度 。

f (q1 , q2 , L, qm ) = 0

? ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
[g] = LT-2, [l] = L, [ρ] = L-3M, [v] = LT-1,, [s] = L2, [f] = LMT-2
?1 A= ? 0 ? ?? 2 ? (g) 1 ?3 1 2 1 (L) ? 0 1 0 0 1 (M)? ? 0 0 ?1 0 ? 2 (T) ? ? (l) (ρ) (v) (s) ( f )

[q j ] = ∏ X i ,
aij i =1

n

j = 1,2,L, m

A = { a ij } n × m
m=6, n=3

f (q1 , q2 , L, qm ) = 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解 个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T

? ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解 个基本解

s = 1,2,…, m-r

m-r 个无量纲量

? y1 = ( ?1/ 2,?1/ 2,0, 1, 0, 0) ? T ? y2 = ( 0, ? 2, 0, 0, 1, 0) ? y = ( ?1, ? 3, ?1, 0, 0, 1)T ? 3
T

πs = ∏qj
j=1

m

ysj

?π = g l v ? 1 ? π 2 = l ?2 s ? ?π = g ?1l ?3 ρ ?1 f ? 3 ?
? 1 2 ? 1 2

F(π1, π2 ,π3 ) = 0与 与 ?(g,l,ρ,v,s,f) = 0 等价 F(π 1, π2,…, πm-r ) = 0 与 f (q1, q2, …, qm) =0 等价

π s = ∏qj
j =1

m

ysj

为得到阻力 f 的显式表达式

?π = g l v ? 1 ? ?2 ?π 2 = l s ?π = g ?1l ? 3 ρ ?1 f ? 3 ? π 3 = ψ (π1,π 2 ) F=0
? 1 2 ? 1 2

f = l gρψ(π1,π2 ),
3

v s π1 = , π2 = 2 l gl

ψ 未定

量纲分析法的评注
? 物理量的选取 ? (…) = 0中包括哪些物理量是至关重要的 中包括哪些物理量是至关重要的 ? 基本量纲的选取 基本量纲个数n; 基本量纲个数n; 选哪些基本量纲 ? 基本解的构造 有目的地构造 Ay=0 的基本解 ? 方法的普适性 ? 结果的局限性 不需要特定的专业知识 函数F和无量纲量未定 函数 和无量纲量未定

2.9.2 量纲分析在物理模拟中的应用
例: 航船阻力的物理模拟 通过航船模型确定原型船所受阻力 已知模 型船所 π = v , π = s 1 2 2 受阻力 l gl

f = l gρψ (π1,π 2 )
3

可得原 型船所 π ′ = v1 , π ′ = s1 1 2 2 受阻力 l1 g1l1 ~原型船的参数 原型船的参数 (f1未知,其他已知 未知,其他已知)

′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 )

f , s,l,v, ρ , g
~模型船的参数 均已知 模型船的参数(均已知 模型船的参数 均已知) 注意: 注意:二者的ψ相同

f 1 , s 1 , l1 , v 1 , ρ 1 , g 1

f = l gρψ (π1,π 2 )
3

′ ′ f1 = l13g1ρ1ψ (π1,π 2 ) v1 s1 ′ π1′ = , π2 = 2 l1 g1l1

v s π1 = , π2 = 2 l gl

g = g1
3 1 3

π 1 = π 1′,
v1 2 l1 ( ) = v l

′ π2 =π2
s1 l1 2 = ( ) s l

f1 l ρ1 = f l ρ
( ρ = ρ1 )

按一定尺寸比例造模型船, 按一定尺寸比例造模型船, 量测 f,可算出 f1 ~ 物理模拟 ,

f1 l1 3 = ( ) f l

2.9.3 无量纲化
例:火箭发射
星球表面竖直发射。初速 星球表面竖直发射。初速v, 星球半 表面重力加速度g 径r, 表面重力加速度 研究火箭高度 x 随时间 t 的变化规律 t=0 时 x=0, 火箭质量 1, 星球质量 2 火箭质量m 星球质量m 牛顿第二定律, 牛顿第二定律,万有引力定律 m1

x v g 0 m2 r

m1 m 2 m1 && = ? k x 2 2 ( x + r ) km2 = r g

&& = ? g ( x = 0) x

r g && = ? x 2 (x + r) & x (0) = 0, x (0) = v

2

x = x ( t ; r , v , g ) ——3个独立参数 个独立参数

用无量纲化方法减少独立参数个数
变量 x,t 和独立参数 r,v,g 的量纲 [x]=L, [t]=T, [r]=L, [v]=LT-1, [g]=LT-2 参数r,v,g的组合,分别 的组合, 用参数 的组合 构造与x,t具有相同 具有相同量纲 构造与 具有相同量纲 特征尺度) 的xc, tc (特征尺度) 如 令

x t x = ,t = xc tc
—无量纲变量 无量纲变量

xc = r, tc = r / v

x, t

利用新变量 x , t , x = x ( t ; r , v , g ) 将被简化

xc, tc的不同构造

x t x = ,t = xc tc

x = x(t; r , v, g ) 的不同简化结果 1)令 xc = r , t c = r / v x = x / r, t = vt / r
dx & & x=v = vx dt 2 2 2 v d x v && && = x = x 2 r dt r

r g && = ? x (x + r)2 & x (0) = 0, x (0) = v

2

1 v ? && ,ε = ?εx = ? 2 rg ( x + 1) ? ?x (0) = 0, x (0) = 1 & ?
2

x = x (t ; r , v , g )

x = x (t ; ε )

ε为无量纲量

2)令 x c = r , t c =

r/g

x = x (t ; r , v , g )

x = x (t ; ε )
ε为无量纲量
3)令 xc = v / g , t c = v / g
2

1 ? && ? x = ? ( x + 1) 2 ? ? ? x (0 ) = 0 2 ? & (0 ) = ε , ε = v ?x ? rg ?

x = x (t ; r , v , g )

x = x (t ; ε )
ε为无量纲量

1 v ?&& ,ε = ?x = ? 2 (εx +1) rg ? ?x(0) = 0, x(0) =1 & ?
2

1)2)3) ) ) ) 的共同点 重要差别



x = x (t ; ε )

只含1个参数 只含 个参数——无量纲量ε 个参数 无量纲量 考察无量纲量

rg = 6370×103 × 9.8 = 8000(m / s) &

v ε = rg

2

>> v

ε << 1

为因子的项? 在1)2)3)中能否忽略以ε为因子的项? ) ) ) 2 1 1 v 忽略ε项 ? && = 0, 2 ,ε = ( x + 1) ?εx = ? 2 1) ? (x +1) rg & x (0) = 0, x (0) = 1

?x(0) = 0, x(0) = 1 & ?

x 无解

不能忽略ε项

1 ? && x =? ? ( x + 1) 2 ? ? 2) ? x ( 0 ) = 0 ? v2 & ? x (0 ) = ε , ε = ? rg ?

忽略ε项 && = ? x

1 , 2 ( x + 1) & x (0) = 0, x (0) = 0

x (t ) < 0 → x (t ) < 0
不能忽略ε项 忽略ε项

3)

1 v ?&& ,ε = ?x = ? 2 (εx +1) rg ? ?x(0) = 0, x(0) =1 & ?
2

&& = ?1, x & x(0) = 0, x(0) = 1

t x (t ) = ? + t 2

2

x t 2 x = ,t = t xc tc x(t ) = ? + t
2
xc = v / g, tc = v / g
2

1 2 x(t) = ? gt +vt 2
x ? && = ? g ? ? x(0) = 0 ? x(0) = v ?&

原 问 题

r g && = ? x 2 (x + r) & x (0) = 0, x (0) = v

2

火箭发射过程 中引力m 不变 中引力 1g不变 即 x+r ≈ r

1 2 是原问题 x(t ) = ? gt + vt 的近似解 2

可以忽略ε项

为什么3)能忽略 得到原问题近似解, 不能? 为什么 能忽略ε项,得到原问题近似解,而1) 2)不能 不能 3)令 xc = v / g , t c = v / g )
2

火箭到达最高点时间为v/g, 高度为 2/2g, 高度为v 火箭到达最高点时间为

x = x / xc , t = t / tc
ε (<< 1)
1)令 xc = r , t c = ) 2)令 x c = r , t c = )

大体上具有单位尺度

项可以忽略

r/v
r/g

x << xc

x , t << 1

ε (<< 1) 项不能忽略

林家翘: 林家翘:自然科学中确定性问题的应用数学


2015数学建模作业实验1

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 教学研究 教学...2015数学建模作业实验1_教学案例/设计_教学研究_教育专区。姓名:雷锋 答: 假设...

数学建模案例库(1)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 专业资料 自然科学 ...数学建模案例(1)_数学_自然科学_专业资料。数学建模案例数学建模案例案例...

1、举例说明什么是数学模型?

对在小学数学教学中引入建模教学的必要性你是 举例说明什么是数学模型? 如何思考...五、检验问题 在学生交流的基础上,用课件结合“练一练”第 1 题进行动态演示...

数学建模学历案(学生用)1

2016河南省优质课大赛高中数学 课件 数学建模学历案 编制人:郑敏 审核人:冯瑞先...《函数模型应用实例数学建模》学历案【课标要求】 1.通过数学建模,了解和经历...

2014年数学建模国家一等奖优秀论文 (1)

2014年数学建模国家一等奖优秀论文 (1)_数学_自然科学_专业资料。2014 高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》...

数学建模(1)

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 专业资料 自然科学 ...数学建模(1)_数学_自然科学_专业资料。1 建立一个命令 M 文件:求数 60.70...

数学建模 1

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...山东师范大学数学科学学院实验报告实验课程:数学建模 ...数学软件 lindo 的基本用法 通过一个经济问题的实例...

推荐:数学建模参赛真实经验(强烈推荐)1

搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 专业资料 自然科学 ...常见的数学模型和建模方法,知道一些常见的数学建模案例,这些方面都要通过看建模方...

数学建模B作业全部 (1)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高等教育 理学...2015 年数学建模 B 作业 (全部,共 23 题)作业要求 1.作业解答写在实验报告...

数模第一次作业 (1)

搜试试 3 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 专业资料 自然...数模第一次作业 (1)_数学_自然科学_专业资料。2016 年数学建模论文第 套 ...